多层面安全资本要求的风险分担

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英文标题：
《Risk sharing for capital requirements with multidimensional security
  markets》
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作者：
Felix-Benedikt Liebrich and Gregor Svindland
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider the risk sharing problem for capital requirements induced by capital adequacy tests and security markets. The agents involved in the sharing procedure may be heterogeneous in that they apply varying capital adequacy tests and have access to different security markets. We discuss conditions under which there exists a representative agent. Thereafter, we study two frameworks of capital adequacy more closely, polyhedral constraints and distribution based constraints. We prove existence of optimal risk allocations and equilibria within these frameworks and elaborate on their robustness.
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中文摘要：
我们考虑了由资本充足率测试和证券市场引起的资本要求的风险分担问题。参与分享程序的代理人可能是不同的，因为他们采用不同的资本充足率测试，并可以进入不同的证券市场。我们讨论存在代表代理人的条件。之后，我们更深入地研究了资本充足率的两个框架，多面体约束和基于分布的约束。我们证明了在这些框架内存在最优风险分配和均衡，并阐述了它们的稳健性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：风险分担 Requirements distribution Quantitative Applications

多维证券市场资本要求的风险分担德国慕尼黑大学数学系Elix-BENEDIKT LIEBRICH GREGOR Svindland。我们考虑了由资本充足率测试和证券市场引起的资本要求的风险分担问题。参与共享程序的代理可能是异质的，因为他们应用不同的资本充足率测试，并可以进入不同的证券市场。我们讨论存在代表性的条件。此后，我们更深入地研究了资本充足率的两个框架，多面体约束和基于分布的约束。我们证明了这些框架中存在最优风险分配和均衡，并阐述了它们的稳健性。关键词：资本要求、多面体接受集、定律不变接受集、多维安全空间、帕累托最优风险分配、均衡、最优分配的稳健性。电子邮件地址：liebrich@math.lmu.de, svindla@math.lmu.de.Date：2018年9月25日。2010年数学学科分类。91B16、91B30、91B32、91B50.1。引言在本文中，我们考虑资本要求的风险分担问题。几十年来，经济主体或业务单位之间的最优资本和风险分配一直是各自学术和工业研究领域的一个重要课题。用资本要求衡量金融风险可以追溯到Artzner等人的开创性论文【5】。在那里，风险度量是由两个基本要素确定的定义资本要求：接受集和证券市场。验收集是环境损失空间的子集，对应于资本充足率测试。如果损失属于验收集，则视为资本充足，否则视为资本不足。

如果损失未通过资本充足率测试，代理机构应采取预先规定的行动：她可以筹集资本，以便在证券市场购买组合证券，当与相关损失文件结合时，将导致资本充足的担保损失。假设证券市场只包含一项资产，以任意数量进行流动交易。贴现后，我们得到一个所谓的货币风险度量，其特征是满足现金可加性属性，即ρ（X+a）=ρ（X）+a。这里，ρ表示资产风险度量，X表示损失，a∈ R是计入或从损失中提取的资本金额。货币风险度量已被广泛研究，seeF¨ollmer&Schied[23]及其参考文献。正如Farkas等人【18、19、20】和Munari【29】所述，这是重新审视Artzner等人【5】的原始风险衡量方法的好理由：（1）通常，证券市场上有不止一种资产。代理人投资旨在确保特定损失的证券组合的成本也低于将补救措施限制为投资于独立于损失资产的单一资产。（2） 即使证券化仅限于购买单一资产，也可能无法使用该资产进行贴现，因为它不是一个数字；c、 f.Farkas等人【19】。此外，由于风险是在贴现后衡量的，因此隐含地假设贴现程序不会增加额外风险，这是值得怀疑的，因为不确定的未来利率等因素会带来风险。有关此问题的详细讨论，请参见El Karoui和Ravenelli【17】。通常，风险纯粹是根据风险头寸的分布来确定的，我们将在下面详细讨论这一范例。

因此，另一个反对意见是贴现下风险度量的这一关键法律不变性的不稳定性。如果证券不是无风险的（即等于现金），最初分配相同的损失在贴现后可能不再共享相同的分配，而最初显示不同法律的损失可能会变得相同。（3） 如果没有贴现，如果证券市场上只有一项资产可用，现金可加性要求证券是无风险的，而且这种证券是否实际可用（至少在更长的时间范围内）值得怀疑。在保险领域，这是一个特别棘手的问题。多维证券市场的风险分担3在本文中，我们将遵循[5]中的原始想法，研究由接受集和可能的多维证券空间诱导的风险度量的风险分担问题。我们考虑一个由有限数量n构成的单周期市场≥ 2名代理人寻求担保未来某个固定日期（如明天）发生的损失。我们将其归因于每个代理∈ {1，…，n}一个有序向量空间Xiof损失减去可能产生的收益，一个接受集Ai Xias资本充足率测试，以及由子空间Si组成的证券市场 Xiof证券投资组合以及这些证券的可观察价格由线性函数pi:Si给出→ R、 由于亚洲的证券被认为适合对冲，因此，亚洲和菲律宾的线性假设反映出这些证券是流动交易，其买卖价差为零。药剂i的r iskattitudes完全由再熔风险度量ρi（X）：=inf{pi（Z）| Z反映∈ Si，X- Z∈ Ai}，X∈ Xi，（1.1）这是用Si中的证券为X提供担保所需的最低资本。我们考虑的问题是如何通过分配来降低系统中的总风险。

从形式上讲，假设市场损失X∈Pni=1xi系统总计产生，我们需要解决优化问题Nxi=1ρi（Xi）→ 最小值受Xi约束∈ X+…+Xn=X。（1.2）向量X=（X，…，Xn），即所谓的X的分配，它解决了优化问题并产生一个确定的最优值，是帕累托最优的。然而，这类似于集中分布（centraledredistribution），它以一种总体最优的方式将总损失的某一部分归属于每个代理人，而不考虑个人福祉。代理机构的红色分配在坚持个人理性约束的同时，以一定价格交易部分损失，由此产生了均衡分配和均衡价格的概念，这是上述风险分担问题的一种变体。这一普遍问题的特殊实例在文献中被广泛研究。Borch【9】、Arrow【4】和Wilson【38】考虑了预期效用的问题。从Barrieu和El Karoui【7】和Filipov i'c和Kupper【21】开始，对凸型货币风险度量进行了更多最近的研究。允许证明凸货币风险度量存在最优风险分担的一个关键假设是法律不变性，即在基准概率模型下共享相同分布的所有损失的测量风险相同，见Jouini等人【27】、Acciaio【1】、Acciaio&Svindland【2】和Filipovi\'c&Svindland【22】。有关现有文献的详细讨论，请参阅Embrechts等人【15】。主要贡献。

在下文中，我们总结了本文的四个主要贡献。首先，我们证明了风险分担问题的代表性代理人公式：在温和的假设下，市场中相互作用的代理人的行为由（1.1）型市场资本要求捕获，即∧（X）=inf{π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ A+}，4与多维证券市场的风险分担，其中∧（X）是通过重新分配X实现的聚合风险的正常水平，如（1.2），A+是市场接受集，（M，π）是全球证券市场。其次，我们研究了两个突出的案例，主要特征是涉及的可接受性概念，我们证明了风险分担问题（1.2），包括寻求均衡，允许解决方案。首先，从最广泛的意义上讲，个人损失取决于未来经济状况的情景。如果在一套有限的线性聚合规则下未超过某些资本阈值，则认为损失是可接受的，这些规则可能因代理而异。读者可能会想到Carr等人[10]研究的许多估值和压力测试规则的组合，另见[23，第4.8节]。由此产生的验收集将是多面体的。在考虑的第二类可接受集合中，损失是否被视为充分资本化，仅取决于固定参考概率度量下的分布特性，而非情景因素：可接受性是一个统计概念。更准确地说，损失被建模为概率空间上的随机变量(Ohm, F、 P）和各自的单个验收集Ai、i∈ {1，…，n}，将是定律不变的。

然而，在非平凡的情况下，证券空间不会具有法律不变性，因此证券化取决于损失和证券的潜在变化联合分布，因此是按状态而非分布的。这既反映了从业者的现实，又在数学上很有趣，因为结果资本要求ρ远不是法律不变的。只有当安全空间由现金资产跨越，即Si=R时，接受集的法律不变性意味着相应货币风险度量的法律不变性。在这种情况下，风险分担问题已得到解决，c.f.【22，27】。我们将利用这些结果，但要强调的是，将一般问题归结为规律不变的现金加成情况是不可能的。作为第三个贡献，我们不仅证明了解的存在性，即最优风险分配的存在性，而且还仔细研究了集值映射的连续性性质，将其分配给一个集合损失的最优风险分配。这些反映了最优值是对输入、总损失比例的错误描述。如果map是上半连续的，则对总损失的轻微误算不会彻底改变此类最佳风险分配的集合。从建设性的角度来看，它也很有用：可以通过用简单的损失近似并计算这些损失的解决方案来解决复杂损失的风险分担问题。

另一方面，较低的半连续性保证了给定的最优风险分配在下面的累计损失的s光扰动下保持接近最优。最后，我们研究了Tsanakas【36】和Wang【37】的spir it中的最优分割问题，作为一般理论的应用：在存在交易成本等市场摩擦的情况下，一个金融机构是否可以通过引入受潜在不同监管制度约束的补贴机构并获得潜在变化的证券市场来最优分割总损失？论文的结构。在第2节中，我们严格介绍了资本需求、代理系统、最优分配和均衡方面的风险度量。第3节介绍了风险分担问题的代表性代理公式，并证明了多维证券市场5结果的有效风险分担。这些是讨论风险分担的关键，涉及第4节中的多面体接受集和第5节中的定律不变接受集，以及第6节中的最优投资组合分割。技术补充被归入附录ix.2。代理系统和最优分配2.1。预备工作。在建模的第一步中，我们假设个体代理人对风险的态度是由风险度量区域和相应的风险度量给出的。定义2.1。让（X，) 是有序向量空间，X+：={X∈ X | 0 十} 是它的正锥，X++：=X+\\{0}接受集是X的非空真凸集a，它是单音的，即a- X个+ A、 o证券市场是由有限维线性子空间组成的一对（S，p） X与正线性泛函p:S→ 这样就有U∈ S∩X+，p（U）=1。

元素Z∈ S被称为证券组合或简单的证券，andS是证券空间，而eas p被称为定价函数如果A是一个可接受集，而（S，p）是一个证券市场，且以下无套利条件成立，则trip le R：=（A，S，p）是一种风险度量制度： 十、∈ X：sup{p（Z）| Z∈ S、 X+Z∈ A} <∞. （2.1）o与风险度量制度R相关的风险度量是函数ρR:X→ (-∞ , ∞], x7→ inf{p（Z）| Z∈ S、 X个- Z∈ A} 。（2.2）如果ρR（0）=0，则ρRis归一化，或等效supZ∈A.∩Sp（Z）=0。对于X上的某个向量空间拓扑τ，它是下半连续的（l.s.c.），只要每个下水平集{X∈ X |ρR（X）≤ c} ，c∈ R、 是τ-闭合的。定义ρrave的直接后果如下：oρRis a proper functionby（2.1）和ρR（Y）≤ 0表示任意Y选项∈ A、 此外，它是凸的，即ρR（λX+（1- λ） Y）≤ λρR（X）+（1- λ） ρR（Y）适用于λ的所有选项∈ [0，1]和X，Y∈ X；o-单调性，即X Y表示ρR（X）≤ ρR（Y）；oS-可加性，即ρR（X+Z）=ρR（X）+p（Z），对于所有X∈ X和所有Z∈ S、 请注意，（2.2）中的风险度量评估了扣除收益X后的损失风险∈ 十、正锥X+对应于纯损耗。因此，ρRis不随r而减小, 在大多数风险度量文献中，收益减去损失的风险是被度量的，而不是非递增的。然而，在证券市场中，我们考虑通常的单调性，即证券Z*∈ S比Z好∈ S如果Z Z*. 这也说明了定价函数p:S的积极性→ R

结合这两个观点，这里和下面的安全性的影响，给定向量空间X的子集a和B，a+B表示它们的Minkowskisum{a+B | a∈ A、 b类∈ B} ，和- B：=A+(-B） 。给定一个非空集M，一个函数f:M→ [-∞, ∞] 如果为f，则为正确-1({-∞}) =  和f 6≡ ∞.6与多维证券市场SZ的风险分担∈ 损失报告X中的S∈ S由X给出- Z、 ρR（X）是证券市场中证券Z在有损失的情况下必须支付的价格-Z，以将X的风险降低到可接受的水平。无套利条件（2.1）意味着一个人不能做空任意有价证券，也不能接受。（2.2）定义的资本要求与超高边缘之间有着密切的联系。给定有序向量空间（X）上的风险度量制度R=（a，S，p），), letker（p）：={N∈ S | p（N）=0}表示定价函数的核心，即以零成本提供的完全平均证券组合集。此外，fix一个仲裁机构∈ S∩ X+使得p（U）=1。每个Z∈ S可以写为Z=p（Z）U+（Z- p（Z）U），andZ- p（Z）U∈ 克尔（p）。因此，X∈ X和Z∈ S满足X- Z∈ A当且仅当r：=p（Z）∈ R我们可以找到∈ ker（p）使得rU+N+(-X）∈ -A、 因此，风险ρR（X）可以表示为ρR（X）=inf{p（Z）| Z∈ S、 X个- Z∈ A} =inf{r∈ R | N∈ ker（p）：N+rU+(-X）∈ -A} ，集合-A是扣除损失后的可接受收益集合，以及-X是与损失比例X相关的报酬。ker（p）中的要素是零成本投资机会。如果我们保守地选择验收集A=-X+，ρR（X）=inf{R∈ R | N∈ ker（p）：N+rU+(-X） 0}，即我们通过ρR（X）恢复支付的套期保值价格-X.因此，一个一般的风险度量制度导致了一个超边缘功能，涉及到超对冲N+rU的宽松概念- 十、∈ -A.