多层面安全资本要求的风险分担

除了（4.1）定义的对应关系外，考虑以下三种对应关系：oΓ：dom（λ）M，X 7→ {Z∈ M | X- Z∈ A+，λ（X）=π（Z）}，由于A+和[6，定理5.11]的多面体，它在dom（λ）上是低连续的Γ：A+Qni=1Ai，X 7→ AX∩Qni=1Ai，分别由引理4.7和4.8下半连续Γ：MQni=1Si，Z 7→ AsZ，由引理A.5下半连续。应用[3，定理17.23]，Γ：dom（λ） x7→ Γ（{X}- Γ（X））+Γ（Γ（X））也是低流态连续的。事实上，Γ=P成立。要看到这个，让X∈ dom（λ）是任意的。Γ（{X}- Γ（X））+Γ（X）） P（X）来自命题3.3的证明。相反，让风险与多维证券市场共享21X∈ P（X）是任意的。选择Zi∈ 是的，我∈ [n] ，以便Xi- Zi公司∈ a和ρi（Xi）=π（Zi），在n=1的情况下，这可以通过定理4.4实现。设Z=Z+…+zn注意π（Z）=Pni=1pi（Zi）=Pni=1ρi（Xi）=∧（X），即Z∈ Γ（X）。此外，作为X- Z∈ Γ（X- Z） Γ（{X}- Γ（X）），仅保留音调X=（X- Z） +Z∈ Γ（{X}- Γ（X））+Γ（X））。建立了集合的等式。最后，dom（∧）是可度量的，因此是仿紧的；c、 f.[33]。此外，Xnis是一个Fr'echetspace，当P:dom（λ）Qni=1xi具有非空的闭凸值时，迈克尔选择定理[3，定理17.66]存在对P的连续选择。有人可能想知道对应关系e：Qni=1XiQni=1Xi×X*将初始损失结束值W映射到其所有平衡分配，使X∈ P（W+…+Wn）和φisa∧在W++在适当的条件下，命题3.5的证明是下半连续的。然而，事实并非如此。假设X包含两个正函数φ，ψ∈ 十、*+使得ker（φ）\\ker（ψ）6=. 我们假设n=1，并考虑代理系统R=（A，S，p），使得ρR（X）=max{φ（X），ψ（X）}，X∈ 十、

让W∈ Xφ（W）=0<ψ（W）。因此，对于所有n∈ N、 nw的平衡价格为ψ，而co的任何元素（{φ，ψ}）都可以选择为0的平衡价格。在这种情况下，E不是低流态连续的。4.3. 一个例子。我们通过展示如何在示例4.2的情况下计算帕累托最优解来结束本节。注意，对于x，y∈ R、 我们有- x1A型- y1B∈ A.<==> maxa公司∈AX（a）- K（a）≤ x和m axb∈BX（b）- K（b）≤ y、 因此，ρ（X）：=ρR（X）=maxa∈AX（a）- K（a）+最大值B∈BX（b）- K（b），X∈ 十、 它只需要有限的值。一个类似的计算显示sρ（X）：=ρR（X）=maxb∈BX（b）- K（b）+最大值C∈CX（c）- K（c），X∈ 十、 也只取有限的值。有人很容易证明（R，R）是一个多面体代理系统，它的代表代理由a+=a+a={X给出∈ X | X≤~K：=K+K}，M=跨度{1A，1B，1C}，π（x1A+y1B+z1C）=x+y+z，x，y，z∈ R、 进一步moreker（π）={Nx，y：=x1A- （x+y）1B+y1C | x，y∈ R} 。我们现在的目标是计算相关的风险分担函数∧和帕累托最优分配。为此，对于X∈ X，我们引入符号ρA（X）：=maxa∈AX（a）- K（a），ρB（X）：=最大值∈BX（b）-~K（b）和ρC（X）：=maxc∈CX（c）- K（c）。利用A+的特征，在e上获得A++ker（π）={X∈ X |ρB（X）≤ -ρA（X）- ρC（X）}。22多维证券市场的风险分担A直接计算收益率∧（X）=inf{r∈ R | X- r1B∈ A++ker（π）}=ρA（X）+ρB（X）+ρC（X）。请注意，X- ∧（X）1B- NρA（X），ρC（X）∈ A+，自（十）- ρA（X））1A+KB，（X- ρB（X）- K） 1B+（X- ρC（X））1C是X的分配- ∧（X）1B- NρA（X），ρC（X），其位于A×A中。对于每个ζ∈ R、 由X（ζ）=X1A+（K）给出的分配（X（ζ），X（ζ- ρA（X）+ζ∧（X））1和X（ζ）=（X- ρB（X）- ρC（X）- K- (ζ - 1） ∧（X））1B+X1Cis帕累托最优。最后，我们注意到X的最佳支付由ρA（X）1A+（λ（X）给出-ρA（X）- ρC（X））1B+ρC（X）1C∈ M、 5。

法律不变接受集在本节中，我们讨论法律不变接受集的风险分担问题。在整个过程中，我们确定了无原子概率的速度(Ohm, F、 P）。作者：L∞:= L∞(Ohm, F、 P）和L：=L(Ohm, F、 P）我们分别表示有界和P-可积随机变量等价类的s步。当具有通常的P-almostsure（a.s.）序及其自然范数k·k时，它们是Banach格∞: x7→ 在f{m>0 | P（| X |≤ m） =1}和k·k:X 7→ E[| X |]。随机变量之间出现的所有等式都是在a.s.意义上理解的。定义5.1。A子集C Lis P-律不变if X∈ C只要有Y∈ C在P下等于X，即两个Borel概率测度Po 十、-1和PoY-1 ON（R，B（R））同意。给定一个P-律不变s集 6=C Land s一些其他集合s 6=,a有趣的动作f:C→ 如果Po 十、-1=Po Y-1模板f（X）=f（Y）。5.1. 最优支付、帕累托最优和均衡的存在性。让我们指定设置。模型空间假设：通过本节，所有代理∈ [n] 在samemodel空间Xi=X上操作 可积随机变量等价类的估计。为清楚起见，我们将首先讨论最大情况下X=L的结果。在第5.3节中，结果将推广到一大类模型空间L∞ 十、 五十、 验收集：每个代理i∈ [n] 如果损失属于闭合P定律不变接受集Ai，则认为损失已充分资本化 l包含无风险支付，即∩ Ai6=. （5.1）由于L的对偶空间可以用L表示∞, 我们可以将各自的支持函数视为映射σAi:L∞→ (-∞, ∞], 问题7→ 苏比∈AiE【QY】；与多维证券市场的风险分担23c。f、 附录A.1。由于集合Ai的单调性，dom（σAi） L∞+持有。

读者可能会想到验收集，例如，由平均风险值（预期短缺）或失真风险度量产生的验收集。证券市场：关于证券市场，我们要求有一个线性函数π：M→ R在全局安全空间M上，使得单个定价函数由pi=π| Si，i给出∈ [n] ；代理商在（M，π）的不同子市场（Si，π| Si）上运营。特别是条件() 和（NSA）是令人满意的。此外，我们假设假设5.2。π的形状为π（Z）=pEQ[Z]，Z∈ M、 其中，p>0是固定常数，Q=QdP，Q∈ L∞+, 是一种概率度量，使得（1）Q=1，即Q=P，或（2）Q∈Tni=1dom（σAi）和d，对于所有0 6=N∈ M，使得EQ【N】=0存在sqn∈Tni=1dom（σAi），使得E[QNN]>0。我们对定价函数的假设非常灵活，如下面的示例5.14所示。假设5.2（2）意味着代理行对可接受性的观点在定价方面是风险规避的，并且具有非平凡方差和价格0的完全杠杆化证券N在所有数量上都不能被市场接受。回想一下引言，假设个人接受集具有法律不变性意味着接受与否是损失文件的一个统计特性。从数学上讲，这种直觉需要产生假设的物理度量P。例如，证券市场中的价格可以由合适的鞅度量Q决定。本节假设满足假设5.2。为了从命题3.4中推导出最优支付和帕累托最优分配的存在性，在X=L的情况下，∧的性质和A++ker（π）的封闭性必须倾斜。在第一步中，我们描述了凸律不变集C的衰退锥0+C，这也是相关的。

关于衰退锥的定义，我们参考附录a.1。提案5.3。Su-ppose公司 6=C（Lis定律不变量，凸，闭。然后0+C是law不变量。如果C不符合集合{X∈ L | c-≤ E[X]≤ c+}其中-∞ ≤ c-≤ c类+≤ ∞, 然后U∈ 0+C和E[U]=0表示U=0。证据由于C是范数闭的和凸的，Hahn-Banach分离定理给出了表达式C={X∈ L | Q∈ d om（σC）：E[QX]≤ σC（Q）}，其中σ是C的支持函数。众所周知，dom（σC）是L中的一个定律不变的闭凸锥∞. dom（σC）结合引理A.1的定律不变性表明衰退锥0+C也是定律不变性的。因此，对于任何U∈ 0+C，Q∈ dom（σC）和次σ代数H F、 我们有∈ 0+C和E[Q | H]∈ dom（σC）。（5.2）24多维证券市场的风险分担假设C不等于某种类型{X∈ L | c-≤ E[X]≤ c+}。然后有一个非常数Q∈ dom（σC）。进一步假设U∈ 0+C不是常数。作为(Ohm, F、 P）isnon-atomic，表示k≥ 2足够大，有一个有限的可测量分区∏：=（a，…，Ak）Ohm 假设P（Aj）=k，j∈ [k] ，和U*= E[U |σ（∏）]=Pki=1 IAI和Q*= E[Q |σ（∏）]=Pki=1q都是非常数。对于任何置换τ：[k]→ [k] 随机变量u*τ： =Pki=1uτ（i）ai在P下的分布与U相同*, U*τ∈ 0+C以下。类似地，Q*τ： =Pki=1qτ（i）Ai∈ dom（σC）。对于我们的论证，我们将在不损失一般性的情况下，假设向量u和q满足u≤ ... ≤ 英国和q≤ ... ≤ qk。在这两条等式链中，至少有一条等式必须严格。我们估计E[Q]E[U]=E[Q*]E【U】*] =kkXi=1qi·kkXi=1ui<kkXi=1qiui=E[Q*U*] ≤ 0，其中第一个严格不等式是由于切比雪夫的um不等式[25，定理43]和U和q是非常数，最后一个不等式是由于U*∈ 0+C，Q*∈ dom（σC），andLemma A.1。

因此，E[U]=0是不可能的。为了将接受命题应用于接受集，请注意它们的形状为{X∈ L | c-≤ E[X]≤ c+}当且仅当，-∞ = c-< c+<∞. 我们还需要恒等式或共单调函数的单调划分的概念，即集合中的函数：={f=（f，…，fn）：R→ Rn | finon递减，Pni=1fi=idR}。对于γ>0，我们设置Cγ：={f∈ C | f（0）∈ [-γ、 γ]n}。很容易验证f∈ C安迪∈ [n] 坐标函数fi是Lipschitz连续的，Lips chitz常数为1。从[22，引理B.1]中，我们回顾了以下紧致性结果：引理5.4。对于每个γ>0，Cγ （Rn）Ris在逐点收敛拓扑中的序列紧性。提案5.5。在本节的假设下，A++ker（π）是L的一个闭的和适当的子集，∧是适当的和L.s.c.证明。个人接受集可用于确定P定律不变的l.s.c.基本风险度量ξibyξi（X）：=inf{m∈ R | X- m级∈ 哎}∈ (-∞, ∞], 十、∈ 五十、 By（5.1），ξi（Y）∈ R对所有有界随机变量Y都成立∈ L∞. 回想一下，我们设置lc（f）：={s∈ S | f（S）≤ c} 对于函数f:S→ [-∞, ∞] 和c级∈ R、 对于c，恒等式c（ξi）=c+Ai∈ R很容易验证。风险度量ξiadmit a dual representationξi（X）=supQ∈dom（ξ*i） E[QX]- ξ*i（Q），X∈ 五十、 （5.3）也就是说，集合是成对不相交的，可度量的，它们的并集是Ohm.与多维证券市场的风险分担25，其中现金可加性意味着dom（ξ*（一） {Q∈ （L）∞)+| E[Q]=1}和ξ*i（Q）=σAi（Q），Q∈ dom（ξ*i） 。（5.4）此外，最终卷积ξ：=ni=1ξi>-∞ 是Las-well和ξ上的P-律不变货币风险测度*=Pni=1ξ*iby引理A.4。现在，根据[22，推论2.7]，ξisl。s、 c.和每个X∈ dom（ξ）有f∈ C求ξ（X）=nXi=1ξi（fi（X））。（5.5）假设现在X∈ Lsatiesξ（X）≤ 0，设f如（5.5）所示。

就我而言∈ [n] 我们可以选择∈ ξi（fi（X）处的R这样的th- ci）=ξi（fi（X））- ci公司≤ 0和PNI=1ci=0。如果gi：=fi- ci，gi（X）∈ L（ξi）=Ai，i∈ [n] 。因此，X=Pni=1gi（X）∈Pni=1Ai=A+。我们得到了l（ξ）=A+。当ξ为l.s.c时，左侧s et（因此也是右侧集合）为范数闭合。如果假设5.2（1）成立，即π（·）=pE[·]，根据命题5.3，0+A+∩K（π）={0}或A+=Lc（E[·]）表示s ome c∈ R、 在后一种情况下，0+A+∩ker（π）=ker（π）也是一个子空间。根据Dieudonn\'e定理[39，定理1.1.8]，A++ker（π）是闭合的。假设假设假设5.2（2）成立。对于N∈ 0+A+∩ ker（π）我们的等式[N]=0。如果N 6=0，根据假设和（5.4），存在QN∈ dom（ξ*) 这样E[QNN]>0。因此，引理A.1包含0+A+∩ ker（π）={0}。同样，Dieudonn\'e定理得出了A++ker（π）的贴近度。对于∧的适当性，设X∈ Lbe任意。假设Z∈ M等于X- Z∈ A+，即ξ（X- Z）≤ 如果p>0且Q<< 根据假设5.2选择P，我们从（5.4）0推断≥ 公式[X- Z]- ξ*（Q） =等式[X]- ξ*（Q）-pπ（Z），表示π（Z）≥ p（等式【X】- ξ*（Q） ）>-∞. 适当性遵循命题3.1（2）中给出的∧表示。∧的下半连续性是命题3.4的结果。我们准备证明帕累托最优分配的存在性。定理5.6。根据本节的假设，所有X∈ dom（λ）允许一个最优payofff ZX∈ M、 特别是对于任何X∈ dom（λ），存在一个P areto最优分配x的shapeXi=Ai- Ni+λ（X）Ui，Ai：=fi（X- ∧（X）U+N）∈ 哎，我∈ [n] ，（5.6）其中Ui∈ 硅∩ L++是这样的：U：=Pni=1 Isatis fiesπ（U）=1，N∈ ker（π）是依赖于anX的零成本全局安全，N∈ AsNis任意和f∈ C与X相关。证据根据位置5.5，∧是正确的，A++ker（π）是闭合的。根据命题3.4，每X∈ d om（λ）承认了一个最优的支付函数，因此根据命题3.3，这是一个帕累托最优配置。

对于ZX的具体形状和帕累托最优配置，letU∈Qni=1如断言中所示。在命题5.5的证明中，我们可以发现f∈ C26与多维证券市场的风险分担- ZX）∈ 哎，我∈ [n] 。当π（ZX）=∧（X），N：=∧（X）U- ZX公司∈ ker（π）。Forany N公司∈ AsNwe有ZX：=∧（X）U- N∈ AsZX。根据命题3.3，f（X- ZX）+ZX=f（X- ∧（X）U+N）+∧（X）U- 具有f（X）的X的Pareto最优分配- ∧（X）U+N）∈Qni=1Ai。备注5.7。如果n=1，∧=ρRand定理5.6实际上解决了文献[6]中研究的最优支付问题。我们现在开始注意平衡的存在。命题3.5与定理5.6共同证明了定理5.8。在定理5.6的情况下，假设代理系统检查（NR）。然后每W∈ （五十） 确保W=Pni=1Wi∈ int dom（λ）有一个等式（X，φ）。在dom（λ）的内部寻找元素通常要求所涉及的风险度量具有更强的连续性，这是研究第5.3节中一般模型空间上的风险分担问题的一个重要动机，该问题以更强的拓扑thank·k结尾∈ 五十、 诀窍是找到一个合适的模型空间（X，k·k），使得∈ intk·kdom（λ| X）；例如，参见[14、28、30、35]。5.2. 帕累托最优解的上半连续性和均衡分配。作者：Lemma。5连续选择ψ：M→Qni=1Siof M Z 7→ AsZ公司。因此，对应bp:L（L）N将X映射到形状（5.6）的帕累托最优分配，另外，N的安全分配∈ kere（π）由ψ（N）给出，dom（λ）上的非空值由T heorem 5.6给出。虽然并非所有的帕累托最优分配都是X∈ dom（λ）是bP（X）的元素，bP在∧域的内部具有上半连续的优势。定理5.9。

在定理5.6的情况下，假设A+与level se ts{X中的一个不一致∈ L | E[X]≤ c} ，c∈ R、 然后BP在e非常连续点X上半连续∈ λ的dom（λ），更确切地说，在int dom（λ）上。证据我们从任意序列（Xk）k开始∈N 收敛到X的int dom（λ）∈ int dom（λ）。对于所有k∈ N设Xk=（Xki）i∈[n]∈bP（Xk）。根据附录A.3，足以证明存在子序列（kλ）λ∈Nand an分配X∈bP（X）使得Xkλ→ λ的X坐标→ ∞. 为此，我们不回顾Xk，k的构造∈ N： 有序列（Nk）k∈N ker（π）和（fk）k∈N C使得oAki：=fki（Xk- ∧（Xk）U+Nk）∈ 哎，我∈ [n] ；oXk=Ak+λ（Xk）U- Nk，其中Nk=ψ（Nk）。回想一下，（5.6）中的N可以任意选择。与多维证券市场的风险分担27我们将分三步建立（Nk）k∈Nand（fk）k∈Nlie在合适的相对顺序紧集中，这将允许我们选择收敛的子序列。首先，由于∧在int dom（∧）上由[16，推论2.5]连续，（Xk-∧（Xk）U）k∈Nis是一个边界序列。第二步是证明（Nk）k∈Nis也是一个范数有界序列。我们假设矛盾，我们可以选择一个子序列（kλ）λ∈确认1≤ kNkλk↑ ∞. 利用单位球面在有限维空间ker（π）中的紧性，并可能传递到另一个子序列，我们可以进一步假设kNkλkNkλ→ N*∈ ker（π）\\{0}，λ→ ∞,让Y∈ A+可以任意，并注意y+N*= limλ→∞(1 - kNkλk-1） Y+kNkλk-1.Xkλ- ∧（Xkλ）U+Nkλ∈ A+，因为后一个集合是闭的和凸的，序列Xkλ- ∧（Xkλ）Uλ∈Nis范数有界。因此，N*∈ 0+A+∩ ker（π），这在假设5.2和建议5.3中是微不足道的，导致了期望的矛盾。

（Nk）k∈Nhas有界且{Nk | k∈ N} ker（π）相对（顺序）紧致于后一个空间的有限维数。在第三步中，我们建立了{fk | k的相对序列紧性∈ N} 。为此，回顾第5.5号提案p部分中货币风险度量ξiI的定义。Weassert thatξ*i（1）<∞ 所有人都喜欢我∈ [n] 。实际上，对偶共轭ξ*iis定律不变量函数和扩张单调：对于所有Q∈ L∞每一个子σ-代数H F、 我们有ξ*i（E[Q | H]）≤ ξ*i（Q）。通过选择H：={, Ohm}, ξ*i（1）=infQ∈dom（ξ*i） ξ*（Q） =-ξi（0）∈ R继续。现在fixk∈ N，设I：={I∈ [n] | fki（0）>0}和J：=[n]\\I.如果I为空，则fki（0）=0必须对所有I保持不变∈ [n] 。现在假设我们可以选择我∈ 一、 We缩写wk：=Xk- ∧（Xk）U+Nkand估计-E[|周|]≤ -E[| fki（W）- fki（0）|]≤ E【fki（周）- fki（0）]≤ ξi（fki（Wk））+ξ*一（1）- fki（0）≤ ξ*一（1）- fki（0），其中我们使用Aki=fki（Wk）∈ 人工智能。因此我∈ I：| fki（0）|≤ ξ*i（1）+kWkk。（5.7）如果j∈ J、 我们从需求fk+…+fkn=idR | fkj（0）|=-fkj（0）≤ -xi∈肯尼迪（0）=Xi∈Ifki（0）≤xi∈[n] ξ*i（1）+nkWkk=：γk。因此，fk∈ Cγk。由于结合γk仅以Kwkk表示，Kwkk由第一步和第二步统一结合在k上，γ：=supk∈Nγk<∞ 和（fk）k∈N Cγ。在传递到子序列两次后，我们可以找到子序列（kλ）λ∈n确保oker（π） N：=limλ→∞Nkλ存在，因此ψ（Nkλ）→ ψ（N）表示λ→ ∞.28与多维证券市场的风险共担o适合f∈ Cγ它认为maxi∈[n] | fkλ- f |→ λ的逐点0→ ∞, c、 引理5.4。这有待证明fi（X- ∧（X）U+N）+∧（X）Ui+ψ（N）i我∈[n]∈bP（X），这是初始选择的帕累托最优分配子序列的极限。为此，我们设置A：=f（X- ∧（X）U+N）和g（kλ）i：=f（kλ）i- f（kλ）i（0）。