市场权重函数路径生成的交易策略

为了定义路径F¨ollmer It^o积分并能够使用路径It^o微积分，我们需要一个足够光滑（通常至少为C2,1）的函数G和一个可以以导数形式表示的被积函数G）以（3.4）的方式表示该功能。因此，由于上述定义，我们始终可以将路径It^o公式（定理2.3）应用于上述定义3.3中的函数G，并获得（3.5）中所谓的“Gamma函数”G（·）的另一个表达式；即ΓG（t）=-mX`=1ZtD`GX（s），A（s）dA`（s）-dXi，k=1Zti、 千克X（s），A（s）dhXi，Xki（s）。（3.6）在此，我们回顾D\'GX（s），A（s）和i、 千克X（s），A（s）分别是G的一阶（d+`）次偏导数和二阶（i，k）次偏导数X（s），A（s）.这里的定义3.3与卡拉扎斯和联阵（2017）的定义3.1之间的差异应予以注意和强调。在Karatzas和Ruf（2017）中，被积函数不需要是正则函数G的“梯度”形式。在这里，被积函数（3.4）的特殊结构是必要的；这是“人们必须付出的代价”，因为他们能够在无概率的路径环境中工作，而不必调用粗糙路径理论。3.1取决于市场权重的交易策略从现在起，我们将自己置于一个无摩擦的股票市场中，其数字为d≥ 2家公司。我们还考虑了连续函数的向量S=（S，···，Sd）∈ C（[0，T]，[0，∞)d） ，其中Si（t）表示ithcompany在时间t的资本化∈ [0，T]。

这里我们取Si（0）>0，并允许Si（t）在某个时间t>0时消失，对于所有i=1，···，d；但我们也假设总资本化∑（t）：=S（t）+····+Sd（t）在任何时间t都不会消失∈ [0，T]。利用这些成分，我们定义了另一个连续函数向量u=（u，···，ud），该向量由公司的相对市场权重ui（t）：=Si（t）∑（t）=Si（t）S（t）+···+Sd（t），t组成∈ [0，T]，i=1，···，d.（3.7）我们还假设u的成分允许有限的二次协变量hui，uji，1≤ i、 j≤ d根据给定的固定嵌套序列（Tn）n∈[0，T]的Nof分区，以第2节开头讨论的方式。在下面的内容中，我们将只考虑G形式的正则函数u（·），A（·）它依赖于市场权重的向量u和一些附加函数A∈ CBV（[0，T]，Rm）。此类函数的示例见（4.3）、（4.4）。3.2额外生成的交易策略我们现在想引入额外生成的交易策略，从路径意义上的常规功能开始。为此，我们需要Karatzas和联阵（2017）的结果。对于对（u，A）来说是正则的任何给定函数G，其中u是市场权重的向量和CBV中的一个适当函数（[0，T]，Rm），我们考虑向量θ和分量θi（·）：=iG公司u（·），A（·）, i=1，···，d（3.8），如定义3.2中的（3.4）所示，函数向量Д=（Д，···，Дd）和分量Дi（t）：=θi（t）- Qθ（t）- C（0），i=1，···，d，0≤ t型≤ T、 （3.9）这里，Qθ（T）：=Vθ（T）- Vθ（0）-ZtdXi=1θi（s）dui（s）（3.10）是时间t的“自我融资缺陷”∈ 被积函数的[0，T]in（3.8），Vθ（T）：=Pdi=1θi（T）ui（T）时间T时策略的“值”∈ [0，T]以（3.3）和C（0）的方式：=dXi=1iG公司u（0），A（0）ui（0）- Gu（0），A（0）（3.11）对于常规函数G，t=0时的“平衡缺陷”。

通过类比Karatzas和Ruf（2017）的命题2.3，（3.9），（3.8）的向量Д=（Д，···，Дd）定义了u的交易策略。定义3.5（添加剂生成）。我们说，形式（3.9）、（3.8）的交易策略是由函数G：Rd×Rm相加生成的→ R、 假设对（X，A）是正则的。提案3.6。考虑交易策略Д，如（3.9）所示，由一个正则函数gf为该对（u，a）生成，其中u=（u，···，ud）是市场权重的向量，而∈ CBV（[0，T]，Rm）。该策略的值v（t）=Gu（t），A（t）+ ΓG（t），0≤ t型≤ T（3.12）如定义3.1和3.3所示，其组成部分可以表示为，对于i=1，···，d，形式为Дi（T）=iG公司u（t），A（t）+ ΓG（t）+Gu（t），A（t）-dXj=1uj（t）jG公司u（t），A（t）（3.13）=VД（t）+iG公司u（t），A（t）-dXj=1uj（t）jG公司u（t），A（t）.证据如果我们改变u（t）, DjG公司u（t）那里，进入Gu（t），A（t）, jG公司u（t），A（t）在我们目前的情况下。分解（3.12）表明，我们可以将（3.5）、（3.6）中的ΓG（·）视为表示（3.9）的策略Γ的“累积收益”，在“基线”G附近u（·），A（·）.备注3.7。（i） 当命题3.6中的函数G满足“平衡”条件时，Gu（t），A（t）=dXj=1uj（t）jG公司u（t），A（t）, 0≤ t型≤ T、 （3.14）（3.13）中额外生成的交易策略采用了相当简单的形式Дi（T）=iG公司u（t），A（t）+ ΓG（t），i=1，···，d。

（3.15）（ii）对于具有严格正值过程VД>0的额外生成的交易策略，相应的投资组合权重定义为πi（t）：=Дi（t）ui（t）VД（t）=Дi（t）ui（t）Pdi=1Дi（t）ui（t），i=1，··，d，或借助（3.12）和（3.13）定义为πi（t）=ui（t）1+Gu（t），A（t）+ ΓG（t）iG公司u（t），A（t）-dXj=1uj（t）jG公司u（t），A（t）!.（3.16）3.3乘法生成交易策略下一步，我们引入乘法生成交易策略的概念。我们假设函数G:Rd×Rm→ R是规则的，如定义3.3中的对（u，A），其中u是市场权重的向量，A是CBV中的一些附加函数（[0，T]，Rm），标量函数1/Gu（·），A（·）是局部有界的。例如，如果G的边界远离零，则这一点成立。我们考虑由ηi定义的向量函数η=（η，···，ηd）：=θi×expZ·dΓG（t）Gu（t），A（t））= iG公司u（·），A（·）×经验值Z·dΓG（t）Gu（t），A（t）（3.17）用（3.5）、（3.8）表示i=1，···，d。这里的积分定义得很好，为1/Gu（·），A（·）假设为局部有界。此外，我们还有η∈ L（u），自∈ L（u）来自定义3.1，指数项也是一个局部有界函数。如前所述，通过设置ψi：=ηi，我们将此η转化为交易策略ψ=（ψ，···，ψd）- Qη- C（0），i=1，···，d（3.18），以（3.9）的方式，并用Qη，C（0）定义为（3.10）和（3.11）。定义3.8（乘法生成）。（3.18），（3.17）的交易策略ψ=（ψ，····，ψd）可以通过函数G：Rd×Rm乘法生成→ R、 提案3.9。考虑交易策略ψ=（ψ，···，ψd），如（3.18）所示，由给定的函数G生成：Rd×Rm→ R为（u，A）的规则值。

该对由市场权重的向量u=（u，···ud）和适当的函数a组成∈ CBV（[0，T]，Rm），使1/Gu（·），A（·）是locallybounded。该策略产生的值由vψ（t）=G给出u（t），A（t）经验值ZtdΓG（s）Gu（s），A（s）> 0, 0 ≤ t型≤ T（3.19）表示为（3.5）。该策略ψ可以用ψi（t）=Vψ（t）的形式表示i=1，···，d1+克u（t），A（t）iG公司u（t），A（t）-dXj=1uj（t）jG公司u（t），A（t）. （3.20）证明。我们遵循Karatzas和Ruf（2017）命题4.8中的论点，使用路径It^oformula代替半鞅的标准It^o公式。带符号k（t）：=expZtdΓG（s）Gu（s），A（s）在（3.19）中，路径It^o公式（定理2.3）yieldsGu（t），A（t）K（t）=Gu（0），A（0）K（0）+ZtdXi=1iG公司u（s），A（s）K（s）dui（s）+ZtK（s）dΓG（s）+ZtmXi=0DiGu（s），A（s）K（s）dAi（s）+ZtdXi=1dXj=1i、 jG公司u（s），A（s）K（s）dhui，uji（s）=Gu（0），A（0）K（0）+ZtdXi=1iG公司u（s），A（s）K（s）dui（s）=Gu（0），A（0）K（0）+ZtdXi=1ηi（s）dui（s）=Gu（0），A（0）K（0）+ZtdXi=1ψi（s）dui（s），0≤ t型≤ T、 在这里，第二个等式使用（3.6）中的表达式，最后一个等式依赖于Karatzas和Ruf（2017）的命题2.3。由于（3.19）在时间零点保持不变，因此（3.19）在任何时间t保持不变∈ [0，T]。

（3.20）的理由与Karatzas和Ruf（2017）中4.8号提案的理由完全相同。备注3.10。（i） （3.20）中乘法生成的交易策略ψ采用更简单的形式ψi（t）=iG公司u（t），A（t）经验值ZtdΓG（s）Gu（s），A（s）, 当命题3.9中的函数G如（3.14）中的“平衡”时，i=1，···，d（3.21）。（ii）与乘法生成的交易策略ψ对应的投资组合权重类似地定义为∏i（t）：=ψi（t）ui（t）Vψ（t）=ψi（t）ui（t）Pdi=1ψi（t）ui（t），i=1，··，d；在（3.19）和（3.20）的帮助下，取∏i（t）=ui（t）的形式1+克u（t），A（t）iG公司u（t），A（t）-dXj=1uj（t）jG公司u（t），A（t）.对于满足“平衡”条件（3.14）的函数G，最后一个表达式简化为∏i（t）=ui（t）iG公司u（t），A（t）Gu（t），A（t）, i=1，···，d.4强相对套利的充分条件我们认为市场权重的向量u=（u，···，ud），如（3.7）所示。对于给定的关于市场权重u的交易策略，让我们回顾一下定义3.1中的价值过程Vх=Pdi=1хiu。对于某些固定的T*∈ （0，T），我们认为在时间范围内，相对于市场而言，ν是强相对套利[0，T*], 如果我们有vν（t）≥ 0,  t型∈ [0，T*], （4.1）以及VД（T*) > VД（0）。（4.2）备注4.1。上述强相对套利的概念不依赖于任何概率度量，并且比现有的强相对套利定义略为严格。经典定义涉及一个潜在的过滤概率空间，并假设市场权重u，···，uD应该是该空间上连续的、自适应的随机过程。此外，还有两种类型的古典悲剧；相对套利和“强”相对套利，如Fernholz et al。

(2018).在这一古老的定义中，基本概率度量对于定义相对套利的“弱”版本至关重要。然而，如果我们假设（4.2）适用于u的“每一次”实现，而不是u的“几乎肯定”实现，则可以建立强相对套利的概念，而无需参考任何概率结构。由于我们在无概率的情况下构建了交易策略，相对套利的“强”版本在这里是一个更合适的套利概念，我们从现在开始采用上述严格定义。以函数形式生成的交易策略的价值过程，无论是加法还是乘法，都可以用（3.12）和（3.19）中的生成函数G和导出的GammafunctionΓGas来表示。这种简单的表述反过来又为市场的强相对套利提供了良好的充分条件；例如，卡拉萨斯和鲁夫（2017）的定理5.1和定理5.2。在本节中，我们发现了由常规函数G生成的交易策略的这些条件u（·），A（·）, 这不仅取决于市场权重的向量u，还取决于与u相关的额外有限变化过程A。我们还给出了新的充分条件，使得加法和乘法生成的交易策略都具有较强的相对套利，这与Karatzas和Ruf（2017）的定理5.1和定理5.2不同。到目前为止，我们还没有规定m维函数A∈ CBV（[0，T]，Rm），因此，现在是时候考虑一些可能的候选函数来实现这种有限变化。第一个合适的候选者是d维向量A=hui=hui，hui，···，hudi（4.3）市场权重的二次变化。

我们也可以考虑一个更一般的候选人；即市场权重的S+d值协变量过程。这里，S+表示对称正d×d矩阵，我们将使用双括号hh ii将此d维向量与（4.3）区分开来：即A=hhuii，（A）i，j=hui，uji 1≤ i、 j≤ d、 （4.4）选择（4.4）中的A的优点是，我们可以匹配（3.6）中两个积分的积分器，然后可以将ΓG（·）的结果表达式转换为一个积分。有限变量还有许多其他函数可以作为过程A的候选函数。我们列举了以下一些示例：1。由ui（t）定义的移动平均u：=（δRtui（s）ds+δRt-Δui（0）ds，t∈ [0，δ），δRtt-Δui（s）ds，t∈ [δ，T]，i=1，···，d.2。运行最大u*组分的市场权重u*i（t）：=最大值0≤s≤tui（s），以及运行的最小u*组分的市场权重u*i（t）：=最小0≤s≤tui（s），对于i=1，···，d.3。“路径本地时间”Lu（i）-u（k）·（0）ofu（i）- u（k）≥ 0位于原点，对于1≤ i<k≤ d、 第5节对其进行了定义。我们称这个过程为k阶的“碰撞当地时间”- i+1（碰撞中涉及的颗粒数量），对于排名市场权重u（1）：=maxjuj≥ u(2)≥ · · · ≥ u（d）=：minjuj。因为向量为u，u*, 和u*, 上述定义为d维，m=d适用于这些选择。用于选择d（d- 1） -维数向量∧，分量（λ）i，k：=Lu（i）-u（k），isn的尺寸m（n- 1). 可在Schied等人（2018）的第3节中找到使用移动平均值的经验结果。当我们处理银行市场权重函数时，会出现碰撞当地时间（λ）i，kalways，如Karatzas和Ruf（2017）的示例3.9所示。我们首先考虑导致市场相对套利较强的条件，一般A是生成函数G的第三个输入。

然后，我们给出了一些G的示例，其中包含从上述候选函数中选择的特定变异函数A，并继续给出关于这些示例的经验结果。4.1额外产生的强相对套利我们从导致额外产生的强套利的条件开始，这类似于Karatzas和Ruf（2017）的理论5.1。定理4.2（当Γ为非减损时，额外产生强相对套利）。固定功能：Rd×Rm→ [0, ∞) 这对（u，A）来说是规则的，并且使得（3.5）或（3.6）中的函数ΓG（·）是不递减的。这里，u是市场权重的向量，A是CBV中的一些m维函数（[0，T]，Rm），如前所述。对于一些实数T*> 0，假设ΓG（T*) > Gu（0），A（0）（4.5）保持。然后，交易策略Д，由定义3.5中的常规函数G额外生成，是相对于市场的强套利，在每个时间范围内[0，t]，t*≤ t型≤ T证据由于ΓG（·）是非减量的，我们得到VΓ（t）=Gu（t），A（t）+ΓG（t）≥ ΓG（0）=0表示每个∈ [0，T*] 自（3.12）。我们也有Vν（t）=Gu（t），A（t）+ ΓG（t）≥ ΓG（T*) > Gu（0），A（0）=所有t的VД（0）∈ [T*, T）]。最后一个等式成立，因为ΓG（0）=0。备注4.3。如果我们在（4.4）中选择A=hhuii，那么从（3.6）中，函数ΓG（·）是非减量的-dXi，k=1Z·D（i，k）+i、 k级Gu（s），hhuii（s）dhui，uji（s）为非减量。这里，D（i，k）表示关于hhuii的第（i，k）项的一阶偏导数算子。此外，我们将（4.4）、（3.6）替换为（4.5），以获得更明确的形式-dXi，k=1ZT*D（i，k）+i、 k级Gu（s），hhuii（s）dhui，uji（s）>Gu（0），hhuii（0）（4.6）强相对套利条件（4.5）。

因此，与Karatzasand Ruf（2017）中定理3.7的情况不同，即使没有G inu的“凹度”，我们也可以有一个不减损的Γ和一个实现强相对套利的机会。备注4.4。让我们假设参数u和A在函数G中“相加分离”。我们的意思是，存在两个正则函数K和H，其性质是K仅依赖于u（t），H依赖于A（t），因此Gu（t），A（t）= Ku（t）+ HA（t）,  t型∈ [0，T]（4.7）保持不变。然后，我们得到i、 千克u（t），A（t）= i、 kK公司u（t）和D\'Gu（t），A（t）= D\'H公司A（t）. 将这些表达式代入（3.6），我们得到ΓG（T*) = -mX`=1ZT*D\'H公司A（s）dA`（s）-dXi，k=1ZT*i、 kK公司u（s）dhui，uki（s）（4.8）和提案3.6的（3.12），G附加生成的交易策略的相对价值过程可以表示为vν（T*) = Ku（T*)+ HA（T*)+ ΓG（T*), VД（0）=Ku(0)+ HA（0）. （4.9）在将（4.8）、（4.9）替换为（4.2）并以左侧仅包含涉及K的条款的方式重新排列条款后，强套利条件（4.2）采用形式Ku（T*)- Ku(0)-dXi，k=1ZT*i、 kK公司u（s）dhui，uki（s）>BHA（T*), （4.10）其中BHA（T*):= -HA（T*)+ HA（0）+mX`=1ZT*D\'H公司A（s）dA`（s）。当我们将定理2.3的路径It^o公式应用于函数H时hhuii（t）, 0≤ t型≤ T，上述表达式的右侧消失。因此，要求（4.10）变为u（T）*)-dXi，k=1ZT*i、 kK公司u（s）dhui，uki（s）>Ku(0)我们的情况与Karatzas和Ruf（2017）的定理5.1非常相似。更精确地说，如果K取非负值，并且是市场权重向量u的“李亚普诺夫函数”，在这个意义上，ΓK（t）：=-Pdi，k=1Rti、 kK公司u（s）dhui，uki（s）为非递减，则要求ΓK（T*) > Ku(0)确保在每个时间范围内（0，t）与t的强相对套利*≤ t型≤ T如Karatzas和Ruf（2017）定理5.1所示。