市场权重函数路径生成的交易策略

从（3.6）、（3.13）和（3.20）中，该熵函数的加法生成的交易策略Д和乘法生成的交易策略ψ可表示为Дi（t）=- 日志pui（t）+ ΓG（t），i=1，··，d，（6.3）ψi（t）=- 经验值ZtdΓG（s）Gu（s）日志pui（t）, i=1，··，d，（6.4），其中ΓG（t）=dXi=1Ztdhuii（s）2ui（s）（6.5）在t中是不递减的。这些交易策略的值通过（3.12）和（3.19）给出。注意，由于（6.2）中的G在G（u（·））意义上是“几乎平衡的”，因此（6.3）中的Д和（6.4）中的ψ具有相对简单的形式- 1=dXj=1uj（·）jG（u（·））持有；将该方程与（3.14）进行比较，并将（6.3）、（6.4）与（3.15）和（3.21）进行比较。然后，定理4.2中加性生成强套利的条件（4.5）为dxi=1ZT*dhuii（s）2ui（s）>-dXi=1ui（0）对数pui（0）, （6.6）而定理4.7中乘法生成强套利的条件（4.13）isdXi=1ZT*dhuii（s）2ui（s）>βlog-Pdi=1ui（0）对数pui（0）α. （6.7）这里，常数α、β是G的上下界，出现在定理4.7的有界条件（i）中。我们在下面的备注6.2中讨论了G的这些界限。备注6.2。前几节中描述的交易策略的构建不需要对参数进行任何优化或统计估计。然而，我们可以通过在生成函数G中引入一个或一组参数来改善交易策略相对于市场的相对性能。虽然原始熵函数如（6.2）所示，p=1，但我们有意在对数内插入一个常数p。

更快地实现较强的相对套利，或找到最小的此类套利*满足（6.6）或更一般（4.5），有助于使“阈值”为Gu（0），A（0）在不平等的右侧较小，同时保持ΓG（·）的“增长率”不变。正是本着这种精神，我们将参数p放入（6.2）；在日志中插入这样的常数p>1将使初始值Gu(0)与p=1的情况相比，小于log p的数量，但不会影响ΓG（·），因为从G中减去常数log p不会改变G相对于市场权重的任何导数。然而，如果p太大-Pdi=1ui（t）logui（t）<在某个时间t，然后Gu（t），A（t）具有负值。理论上，-Pdi=1ui（t）logui（t）只有当其中一个市场权重，例如u（t）等于1，并且i=2，···，d的所有其他权重ui（t）消失时，才具有最小值0，这在现实世界中不会发生。从经验来看-Pdi=1ui（t）logui（t）总是有界远离零，我们可以通过对市场权重施加弱条件，从理论上保证这一条件。例如，限制市场权重的最大值，saymaxiui（·）≤ 0.5（6.8）产生市场权重的附加条件，即：；必须有索引j∈ {1，···，d}使得uj（t）≥0.5d- 1，（6.9）对于任何t∈ [0，T]，由于标识符PDI=1ui≡ 1、那么-Pdi=1ui（t）logui（t）应大于-0.5d-1日志0.5d-1., 并且始终以0为界。在保持G的界远离0（且大于某个正常数α）的同时，寻找一个合适的p>1的值应该是统计学上的最佳做法，这取决于d，即股票数量。很简单，G由某个常数β从上方限定，如函数x 7→ -x log x的最大值为1/e。

在下一节中可以找到这种p的经验估计。生成G的初始值u（0），A（0）在保持增长率为ΓG（·）的情况下，计算市场交易策略的“超额回报率”也是非常必要的。交易策略在时间t的超额回报率∈ （0，T）可定义为r（T）：=V（T）- VД（0）VД（0），（6.10）和（3.12）中，这可以表示为rД（t）=Gu（t），A（t）+ ΓG（t）- Gu（0），A（0）Gu（0），A（0）,对于额外生成的交易策略。因此，如果我们以某种方式使值Gu（0），A（0）,上述分数的分母越小，在分子中保持ΓG（t）的值的同时，我们可以为交易策略获得更大的超额回报率。在以下示例中，我们使用此技巧来减小初始值Gu（0），A（0）在可能的情况下，通过插入适当的常数来生成函数。以下两个示例用于组件A的两个“极性相反”的有限变化函数；运行最大u*i（t）：=最大值0≤s≤tui（s），（6.11）和运行最小u*i（t）：=最小0≤s≤tui（s），（6.12）的市场权重。示例6.3（最大运行熵函数）。考虑G型熵函数u（t），A（t）≡ Gu（t），u*（t）:= - 日志p-dXi=1ui（t）logu*i（t），（6.13），用向量函数A表示≡ u*= (u*, · · · , u*d） 。如前所述，p≥ 1是标记6.2中的常数，初始值Gu(0), u*(0)= - 日志p-Pdi=1ui（0）logui（0）与示例6.1中的相同。然后我们很容易得到如下导数iG公司u（t），u*（t）= - 对数u*i（t），i、 jG公司u（t），u*（t）= 0，挖掘u（t），u*（t）= -ui（t）u*i（t），用于1≤ i、 j≤ d、 从（3.6）中，我们还得到ΓG（t）=dXi=1Ztui（s）u*i（s）du*i（s）=dXi=1u*i（t）- ui（0）=dXi=1u*i（t）- 1，（6.14）其中，我们使用了增量du*只有当ui（s）=u时，i（s）才为正*i（s）。

由于（6.13）的函数G在ui（·）中是线性的，因此关于uiof G的二阶偏导数消失，而ΓG（·）的非减量结构仅来自u*i（·）。同样从（3.12）和（3.13）中，从（6.13）中的该函数额外生成的交易策略（tradingstrategy）表示为Дi（t）=- 日志pu*i（t）+dXj=1u*j（t）- 1，i=1，···，d；（6.15）且该交易策略的价值为asVД（t）=-dXi=1ui（t）对数pu*i（t）+dXi=1u*i（t）- 1、定理4.2中的强套利条件（4.5）取公式dxi=1u*i（T*) > 1.-dXi=1ui（0）对数pui（0）.另一方面，从（3.19）和（3.20）中，由（6.13）中的函数乘法生成的交易策略ψ被给出为ψi（t）=-K（t）对数pu*i（t）, i=1，···，d；（6.16）和相关值isVψ（t）=-K（t）dXi=1ui（t）logpu*i（t）,式中，k（t）：=exp-ZtdXi=1du*i（s）Pdj=1uj（s）对数pu*j（s）.定理4.7中的强套利条件（4.13）采用公式dxi=1u*i（T*) > 1+β对数-Pdi=1ui（0）对数pui（0）α.这里，α、β也是G的上下限，这些界限取决于参数p和施加在市场权重上的条件，如备注6.2所述。关于这个例子的实证结果可以在下一节中找到。代表下一示例“累积收益”的伽玛函数ΓG（·）是非递增的，但令人惊讶的是，交易策略的经验值VΓ（·）和Vψ（·）在长期内随着G值的增长而逐渐增长，如下一节的经验结果所示。因此，在这种情况下，关于强套利条件，应用定理4.5和定理4.9更合适。示例6.4（最小运行熵函数）。考虑功能Gu（t），A（t）≡ Gu（t），u*（t）:= - 日志p-dXi=1ui（t）logu*i（t），（6.17），用向量函数A表示≡ u*= (u*1, · · · , u*d） 在（6.12）中。

如前所述，p是常数，初始值Gu(0), u*(0)与前面的示例相同。然后，与之前一样，我们有iG公司u（t），u*（t）= - 对数u*i（t），i、 jG公司u（t），u*（t）= 0，挖掘u（t），u*（t）= -ui（t）u*i（t），用于1≤ i、 j≤ d、 同样从（3.6）中，我们得到ΓG（t）=dXi=1Ztui（s）u*i（s）du*i（s）=dXi=1Zt1 du*i（s）=dXi=1u*i（t）- 1，（6.18）这是t的非正和非递增函数。我们首先考虑由该函数额外生成的交易策略，其表示为Дi（t）=- 日志pu*i（t）+dXj=1u*j（t）- 1，i=1，··，d，（6.19）乘以（3.13）。注意，Дi（t）允许下限Дi（t）=- 日志p- 对数u*i（t）+u*i（t）+dXj=1j6=iu*j（t）- 1.≥ - 日志p- 对数ui（0）+ui（0）- 1，（6.20）因为函数x 7→ - 日志x+x在间隔x中递减∈ （0，1），因此，如果p<e，则数量Дi（t）为正- 对数ui（0）+ui（0）-1保持。根据（3.12），该交易策略的价值为asVД（t）=- 日志p-dXi=1ui（t）logu*i（t）+dXi=1u*i（t）- 1.. （6.21）而ΓG（t）=Pdi=1u*i（t）- （6.21）右侧的最后一项为非递增项，即第二项-Pdi=1ui（t）logu*i（t）随着映射t 7的增加而渐近增加→ - 对数u*i（t）是不减损的。实际上，正如我们在下一节中所看到的，这种交易策略的价值在长期内会增长。我们可以应用定理4.5，而不是定理4.2，来找到强套利条件，因为在这个例子中，ΓG（·）不是非减损的。为了应用定理4.5，我们首先需要证明VД（·）≥ 0保留。从（6.20）中，我们获得- 对数u*i（t）≥ -dXj=1u*i（t）- 对数ui（0）+ui（0）≥ -1.- 对数ui（0）+ui（0）≥ -1.- 日志maxj=1，···，duj（0）+ maxj=1，···，duj（0）适用于所有i=1，···，d。最后一个不等式源自函数x 7→ - 对数x+x在间隔x中递减∈ [0, 1].

然后，我们还获得-dXi=1ui（t）logu*i（t）≥ -1.- 日志maxj=1，···，duj（0）+ maxj=1，···，duj（0），因为-Pdi=1ui（t）logu*i（t）只是{- 对数u*i（t）}i=1，···，dwithweightsui（t），pdi=1ui（t）=1。因此，（6.21）中的VД（t）允许下限VД（t）≥ - 日志p- 2.- 日志maxjuj（0）+ 任何t的最大juj（0）∈ [0，T]和VД（·）≥ 当NP≤ e-2.-日志maxjuj（0）+maxjuj（0）（6.22）保持不变。关于定理4.5的第二个条件，我们有u（t），u*（t）= - 日志p-dXi=1ui（t）logu*i（t）≥ - 日志p-dXi=1ui（t）对数最大值=1，···，d（u*i（t））= - 日志p- 最大值=1，···，d对数u*i（t）:= Fu（t），u*（t）, （6.23）其中，我们使用factPdi=1ui（t）=1；现在映射t 7→ u*i（t）是非递增的，所以Fu（t），u*（t）最后，定理4.5的最后一个条件很容易从（6.18）得到，如ΓG（t）≥ -1 := -κ. （6.24）因此，定理4.5表明，（6.19）中的附加生成策略Д在每个时间范围[0，t]内都是相对于市场的强套利*≤ t型≤ T，满足条件dxi=1ui（0）logui（0）- 最大值=1，···，d对数u*i（T*)> 接下来，从（3.20）中，由函数（6.17）乘法生成的交易策略ψ表示为ψi（t）=-K（t）对数pu*i（t）, i=1，···，d；（6.25），Vψ（t）=-K（t）dXi=1ui（t）logpu*i（t）,式中，k（t）：=exp-ZtdXi=1du*i（s）Pdj=1uj（s）对数pu*j（s）.对于强套利条件，我们使用定理4.9。自F起u（t），u*（t）（6.23）、（6.24）中定义的k满足条件（i）、（ii）（选择适当的p使F成为正函数），强套利条件（4.14）变得很难- 最大值=1，···，d对数pu*i（T*)>-1对数p+最大值=1，···，d对数ui（0）.备注6.5。

在备注6.2中，我们需要为满足不等式的p找到一个合适的值，例如，-Pdi=1ui（t）对数（ui（t））≥ 记录所有t的p∈ [0，T]在例6.1中，使函数G非负。该不等式通常取决于ui（t），t∈ [0，T]在时间0时不可见。因此，在制定交易策略之前，我们需要对市场权重施加一些条件，或对历史市场数据进行统计分析，以找到适当的p值。然而，在例6.4中，由于其独特的结构，我们可以在时间t=0时，在没有任何统计估计的情况下，通过分析找到合适的pw值。事实上，从（6.23）开始，我们得到了u（t），u*（t）≥ - 日志p- 最大值=1，···，d对数u*i（t）≥ - 日志p- 最大值=1，···，d对数ui（0）持有；设置P=maxi=1，···，dui（0）（6.26）保证条件Gu（t），u*（t）≥ 0表示所有t∈ [0，T]。注意，这个p可以从时间0的绝对可观测值计算出来。实际上，满足（6.22）的p也保证了G的非负性条件，因为Gu(·), u*(·)≥ VД（·）=Gu(·), u*(·)+ ΓG（·）≥ 由于ΓG（·）的非正性，0保持不变。当然，可以使用过去的市场数据对p进行统计估计，以获得更好的p值，同时满足Gu(·), u*(·)≥ 0和VД（·）≥ 下一个例子提供了定理4.5的另一个应用。示例6.6（运行最小值的迭代熵函数）。在本例中，我们首先确定一个正常数r，以便初始市场权重的以下条件成立；ui（0）≤re，i=1，··，d.（6.27），这里，e是指数常数。由于在我们构建交易策略之前，初始市场权重是可以观察到的，因此我们可以在开始投资交易策略的那一刻找到并确定r的此类值。例如，如果在时间0时，没有一支股票的总资本占比超过12%，那么我们可以设置r=3，as3e≈ 0.123.

然后，我们考虑一个函数u（t），A（t）≡ Gu（t），u*（t）:= -p-dXi=1ui（t）对数- ru*i（t）日志ru*i（t）, （6.28）用向量函数A表示≡ u*= (u*1, · · · , u*d） 。如备注6.5所示，由于一系列不等式g，我们可以预先确定常数p的值，而无需任何统计估计u（t），u*（t）≥ -p-dXi=1ui（t）loghmaxj=1，···，d- ru*j（t）对数ru*j（t）我≥ -p- loghmaxj=1，···，d- ru*j（t）对数ru*j（t）i=：Fu（t），u*（t）(6.29)≥ -p- loghmaxj=1，···，d- ruj（0）对数ruj（0）我， t型∈ [0，T]。第一个不等式使用x 7这一事实→ - logx是递减函数，第二个不等式来自等式pdi=1ui（t）=1。最后一个不等式成立，因为x 7→ -rx log（rx）在[0，re]和0之间增加≤ u*i（·）≤ ui（0）≤re，（6.30）与假设（6.27）保持一致。请注意，Fu（t），u*（t）（6.29）中定义的是与映射t 7一样的非减量映射→ u*i（t）和t 7→ -ru*i（t）日志ru*i（t）是非递增的。然后，选项≤ - loghmaxi=1，···，d- rui（0）日志rui（0）i、 （6.31）在时间0时是完全可观察的值，保证Gu(·), u*(·)始终为非负。接下来，经过一些计算，我们得到了偏导数iG公司u（t），u*（t）= - 日志- ru*i（t）日志ru*i（t）≥ 1, (6.32)i、 千克u（t），u*（t）= 0，挖掘u（t），u*（t）= -ui（t）日志ru*i（t）+ ui（t）u*i（t）日志ru*i（t）,对于1≤ i、 k级≤ d、 我们注意到iG公司u（t），u*（t）≥ 1再次保持，因为映射x 7→ -rx log（rx）在间隔[0，re]内从0增加到0。

根据（3.6）和增量du*仅当ui（s）=u时，i（s）才为正*i（s），我们得到ΓG（t）=dXi=1Zt1+日志ru*一（s）du*i（s）（6.33）是t的非递增函数，因为0≤ 1+日志ru*i（·）≤ 1通过方程式（6.30）保持。此函数允许下限ΓG（t）=dXi=1Zt1 du*i（s）+dXi=1Ztlogru*一（s）du*i（s）=dXi=1u*i（t）-dXi=1u*i（0）+dXi=1lir（u*i（t））-dXi=1lir（ui（0）），≥ -1.-dXi=1IR（ui（0））=：-κ、 （6.34）带符号LIR（x）：=Zxdulog（ru）=rZrxdvlog v=rli（rx）。这里，li（x）=Rxdulog Ure表示对数积分函数。请注意，函数lir（x）具有负值，并且从0减小到-∞ 在间隔x中∈ [0，r）。由于不等式u，最后一个不等式成立*i（·）+lir（u*i（·））≥ 0（6.35）满足所有u*i（·）条件（6.30）。我们还注意到（6.34）中定义的κ-1+Pdi=1ui（0）=0≤ κ<1来自相同的不等式（6.35）。另一方面，根据（3.13），从该函数中额外生成的交易策略（tradingstrategy）表示为Дi（t）=-p- 日志- ru*i（t）日志ru*i（t）+dXi=1Zt1+日志ru*一（s）du*i（s）。（6.36）最后，在（3.12）中，该交易策略的价值为asVД（t）=-p-dXi=1ui（t）对数- ru*i（t）日志ru*i（t）+dXi=1Zt1+日志ru*一（s）du*i（s），（6.37），预计asVД（t）≥ -p- loghmaxi=1，···，d- rui（0）日志rui（0）我- κ、 来自（6.29）和（6.34）。因此，选项P=- loghmaxi=1，···，d- rui（0）日志rui（0）我- κ（6.38）担保VД（·）≥ 0和满意度（6.31）。我们在此再次强调，（6.38）中定义的p仅取决于初始市场权重ui（0），因此无需对p进行统计估计。使用与（6.29）中相同的技术，（6.36）中的φi（t）大于或等于-p- 对数最大值- rui（0）日志rui（0）我- κ、 0乘以（6.38）。

因此，这种交易策略是“只做多头”，即Дi（·）≥ 对于所有i=1，··，d，均为0。如上所示，定理4.5的所有条件均已满足，在（6.36）中的加法生成策略Д是相对于市场的强套利，在每个时间范围内[0，t]，t*≤ t型≤ T，满足条件- loghmaxi=1，···，d- rui（T*) 日志rui（T*)i>-dXi=1ui（0）对数- rui（0）日志rui（0）+ κ、 κin（6.34）。我们继续讨论这个函数（6.28）乘法生成的交易策略ψ。从（3.20）、（3.19）以及（6.32）和（6.33）中，我们得到ψi（t）=-K（t）hp+日志- ru*i（t）日志ru*i（t）i、 i=1，···，d；（6.39）具有值函数vψ（t）=-K（t）hp+dXi=1ui（t）对数- ru*i（t）日志ru*i（t）i、 式中，k（t）：=exp-dXi=1Zt1+对数ru*一（s）p+Pdj=1uj（t）对数- ru*j（t）对数ru*j（t）du*一（s）.由于（6.33）中的ΓGis非递增，我们再次使用定理4.9。我们已经有F了u（t），u*（t）以及（6.29）和（6.34）中定义的满足条件（i）、（ii）的κ。因此，强套利条件（4.14）变成slog（A）>1+Pdi=1Lr（ui（0））B，其中：=-p- loghmaxj=1，···，d- ru*j（T*) 日志ru*j（T*)i、 andB：=-p- loghmaxj=1，···，d- ruj（0）对数ruj（0）i、 7实证结果我们使用历史市场数据，在第6节中给出了一些关于额外生成的投资组合行为的实证结果。我们首先用生成函数G和相应的伽马函数ΓGin（3.12）分解这些投资组合相对于市场的价值函数VΓ（·）。特别是，我们证明了第6节中投资组合的所有价值函数都优于市场投资组合。