市场权重函数路径生成的交易策略

因此，在这种“分离”的情况下，我们无法获得比Karatzas和Ruf（2017）定理5.1更多的结果，因为（4.10）右侧涉及H的所有项都消失了。这是因为，当我们从正则函数G中额外生成（3.9）中的交易策略（tradingstrategy）时，只有G相对于（3.8）中的市场权重的偏导数才涉及到（4.7）中的H项，这使得（4.7）中的H项在生成ν时毫无意义。因此，为了能够为强相对套利找到新的充分条件，我们需要比（4.7）更复杂的形式。从现在起，我们在本文中开发的所有G的示例都是更复杂的形式。从（3.12）中可以看出，相对于市场的附加生成的交易策略在时间t时的值VД有两个附加分量，即Gu（t），A（t）和ΓG（t）。在定理4.2中，我们从ΓG（·）的“非减损性质”导出了强套利条件，但没有理由区分G和u（t），A（t）和ΓG（t）。如果映射t 7→ Gu（t），A（t）是非减损的，则有可能产生一个强套利条件，如定理4.2，转换G的角色u（t），A（t）和ΓG（t）。然而，很难找到函数Gu（t），A（t）这在t中是单调的，因为G必须依赖于市场权重u（·），并且这些权重一直在变化。因此，我们必须从生成函数G中“提取一个非减量结构”u（·），A（·）, 并用这种非减损结构代替Gto导出一个新的强套利条件。具体操作如下。定理4.5（当Γgadmit有一个下界时，额外产生了强相对套利）。

固定正则函数G:Rd×Rm→ [0, ∞) 对于这对（u，A），其中u是市场权重的向量，A是CBV（[0，T]，Rm）中的m维函数，因此满足以下条件：（i）VД（·）=Gu（·），A（·）+ ΓG（·）≥ 0，其中过程ΓG（·）来自（3.5）或（3.6）；（ii）存在函数Fu（t），A（t）令人满意的Gu（t），A（t）≥ Fu（t），A（t）对于所有t∈ [0，T]和映射T 7→ Fu（t），A（t）是不减损的；（iii）ΓG（·）≥ -κ由某个常数κ保持。对于一些实数T*> 0，假设fu（T*), A（T*)> Gu（0），A（0）+ κ（4.11）成立。那么，定义3.5的附加生成策略Д是相对于市场的强套利，在每个时间范围内[0，t]，t*≤ t型≤ T证据上述第一个条件满足了不等式（4.1）。从（3.12）和（4.11）的最后两个条件中，我们也得到了不等式（4.2），因为Vν（t）=Gu（t），A（t）+ ΓG（t）≥Fu（t），A（t）- κ ≥ Fu（T*), A（T*)- κ>Gu（0），A（0）= VД（0），每t∈ [T*, T）]。在定理4.5中，函数Fu（·），A（·）可以看作是G的“提取的非减损结构”。该结果表明，生成函数G可以导致相对于市场的强套利，而不一定是“Lyapunov”，如Karatzas和Ruf（2017）的定理5.1所示。即使ΓG（·）是非递增的，也可能存在较强的相对套利。当Gu（·），A（·）生长速度快于ΓG（·）衰变。第6节（例6.4和例6.6）将介绍第4.5条的一些应用。4.2乘法生成的强相对套利在本小节中，为了简化参数，我们假设正则函数G只取相关值和满足度Gu（0），A（0）= 1.

这种规范化可以通过G/G替换来实现u（0），A（0）如果Gu（0），A（0）> 0，或G+1，如果Gu（0），A（0）= 0.虽然我们在后面的章节中不使用以下结果，这些结果来自Karatzas和Ruf（2017）的定理5.2，但为了完整性，我们在此声明。定理4.6（乘法生成的强相对套利）。让我们定义一个正则函数G:Rd×Rm→ [0, ∞) 对于具有市场权重u和一些m维函数的对（u，A）∈ CBV（[0，T]，Rm）。对于一些实数T*> 0，假设存在 = （T*) > 0满足ΓG（T*) > 1 + . （4.12）那么，存在一个常数c=c（T*, ) > 0使得交易策略ψ（c）=（ψ（c），···，ψ（c）d，由定义3.8中的正则函数G（c）：=G+c1+cas乘法生成，在时间范围内相对于市场具有较强的套利性[0，T*]; 以及在时间范围[0，t]上覆盖t*≤ t型≤ T，如果T 7→ ΓG（t）是不递减的。在定理4.6中，我们必须构造“移位”函数G（c），这是有用的，但也是极端的。然而，对于从下到上有界的函数G，我们有以下新的条件导致乘法生成的强套利。定理4.7（当Γ为非减损时，乘法产生强相对套利）。让我们fixa函数G:Rd×Rm→ (0, ∞) 对于具有市场权重u和一些m维函数A的配对（u，A），这是正则的∈ CBV（[0，T]，Rm），并满足以下条件：（i）G有界远离零且不完整，即存在正常数α，β，使得0<α≤ Gu（·），A（·）≤ β;（ii）不减损。对于一些实数T*> 0，假设ΓG（T*) > β对数α（4.13）保持。然后，定义3.8的乘法生成策略ψ是相对于市场的强套利，在每个时间范围内[0，t]，t*≤ t型≤ T证据

首先，我们注意到Vψ（·）>0来自（3.19）。然后，取（3.19）两侧的对数，得到log Vψ（t）=log Gu（t），A（t）+ZtdΓG（s）Gu（s），A（s）≥ 对数α+βΓG（t）≥ 对数α+βΓG（T*)> 0=对数Gu（0），A（0）= 对数Vψ（0），对于所有T*≤ t型≤ 根据上述条件（i）、（ii）和（4.13），结果如下。HereG公司u（0），A（0）= 1，因为本小节开头对G施加了规范化。备注4.8。由于市场权重ui，i=1，···，d和连续函数A在紧区间[0，T]上有界，因此依赖于对（u，A）的正则函数G也有界。因此，定理4.7中的条件（i）只要求下界α严格大于0。此外，在（4.13）中，发现G的更紧界限α、β产生更小的T*满足套利条件（4.13）。有关特定熵函数情况下G的界限的进一步讨论，请参见备注6.2。定理4.7的条件类似于定理4.2的条件。我们还有以下公式，类似于定理4.5。定理4.9（当ΓGis非递增时，乘法生成的强相对套利）。固定正则函数G:Rd×Rm→ (0, ∞) 对于对（u，A），其中u是市场权重的向量，并且是CBV（[0，T]，Rm）中的m维函数，因此以下条件成立：（i）存在函数Fu（t），A（t）令人满意的Gu（t），A（t）≥ Fu（t），A（t）> 0表示所有t∈[0，T]和映射T 7→ Fu（t），A（t）是不减损的；（ii）ΓG（·）为非递增且ΓG（·）≥ -κ由一些正常数κ保持。对于一些实数T*> 0，假设日志Fu（T*), A（T*)>κFu（0），A（0）（4.14）持有。那么，定义3.8的乘法生成策略ψ是相对于市场的强套利，在每个时间范围内[0，t]，t*≤ t型≤ T证据

首先，注意ΓG（·）是非正的，因为条件（ii）和事实ΓG（0）=0。同样，从（3.19）中，我们得到了log Vψ（t）=log Gu（t），A（t）+ZtdΓG（s）Gu（s），A（s）≥ 日志Fu（t），A（t）- 最大值0≤s≤t型κGu（s），A（s）= 日志Fu（t），A（t）-κmin0≤s≤甘油三酯u（s），A（s）≥ 日志Fu（t），A（t）-κmin0≤s≤tF公司u（s），A（s）≥ 日志Fu（T*), A（T*)-κFu（0），A（0）> 0=对数Gu（0），A（0）= 对数Vψ（0），对于所有T*≤ t型≤ T，根据条件（i）、（ii）和（4.14）。以下示例通过在生成函数G中加入一个附加函数a，为强相对套利提供了一个条件，该条件比Karatzas和Ruf（2017）的示例5.5更为普遍。我们专门使用a=u*= (u*, · · · , u*d） ，由市场权重Sai（t）的运行最大值组成的向量≡ u*i（t）：=最大值0≤s≤tui（s），i=1，··，d。示例4.10（二次函数）。对于固定常数c∈ R和p>0，考虑以下函数g（c，p）u（t），u*（t）:= c-dXi=1ui（t）- pdXi=1ui（t）u*i（t）=c-dXi=1ui（t）- pdXi=1ui（t）最大值0≤s≤tui（s）.这与Karatzas和Ruf（2017）的示例5.5中的Q（c）相同，但最后一个术语除外。注意g（c，p）取区间内的值c- （1+p），c-d（1+p）. 在一些简单的偏导数计算之后，我们得到了Dig（c，p）u（t），u*（t）= -pui（t），iG（c，p）u（t），u*（t）= -2ui（t）- pu*i（t），i、 iG（c，p）u（t），u*（t）= -2，对于i=1，··，d，使用这些表达式以及（3.6），我们得到了ΓG（c，p）（t）=dXi=1Ztpui（s）du*i（s）+dXi=1huii（t）。作为u*i（·）为非减量，pui（·）≥ 0，积分项总是非负且非减的int，这使得ΓG（c，p）（·）非减且非负。

此外，使用非减量过程u*i（·）偏离集合{s≥ 0：ui（s）=u*i（s）}，我们有ztui（s）du*i（s）=Ztu*i（s）du*一（s）=u*i（t）-u*i（0）,因此，ΓG（c，p）（t）=pdXi=1u*i（t）-u*i（0）+dXi=1huii（t）。自G（1+p，p）≥ 0，让我们从现在开始考虑c=1+p的情况。使用与定理4.2相同的参数，条件Pdxi=1u*i（T）-u*i（0）+dXi=1huii（T）>G（1+p，p）u(0), u*(0), （4.15）其中g（1+p，p）u(0), u*(0)= （1+p）n1-dXi=1ui（0）o> 0，产生一种策略，该策略相对于[0，T]上的市场具有较强的相对套利性。如果我们将条件（4.15）与条件dxi=1huii（T）>1进行比较-dXi=1ui（0）, （4.16）也就是说，（5.4）在卡拉扎斯和联阵（2017）的例子5.5中，左手和右手之间存在权衡。额外非减量项（p/2）Pdi=1的存在u*i（T）-u*i（0）在（4.15）中，保证随着T的增加，其左侧的增长速度快于（4.16）的左侧；但在（4.15）的右边还有一个更大的常数，即，（1+p）n1-dXi=1ui（0）o> 1个-dXi=1ui（0）.因此，通过明智地选择p的值，我们可以获得时间T的界限，对于时间T，相对于[0，T]市场存在较强的相对套利，优于Karatzas and Ruf（2017）中示例5.5的界限。定理4.2、4.5、4.7和4.9更有趣的应用出现在第6.5节田中构建交易策略的公式中。在前几节中，我们使用了路径It^o公式（定理2.3），而不是通常的半鞅It^o公式，以路径方式构建交易策略。在本节中，我们从另一个方向概括了随机投资组合理论（SPT）：我们在建立交易策略时，采用了经过适当定义的当地时间的路径田中公式（广义It^o公式）。

Ite^o公式要求存在二阶导数，而Tanaka公式适用于“弱可微”函数；这拓宽了生成交易策略的函数类。首先，我们发展了一些定义和符号，并介绍了路径田中公式。然后，我们构建了以加法和乘法生成的交易策略，其方式与第3节类似，但生成函数不如第3节中使用的平滑。最后，给出了相关的强相对套利条件和一些例子。5.1路径当地时间和田中公式∈间隔为[0，T]的Nof分区，其网格大小变为零为n→ 0，如第2节的介绍。我们还考虑了一个定义在紧区间[0，T]上的R值连续函数xd，此处被认为是代表随时间变化的单个资产的值。利用这些成分，我们提出了X沿T=（Tn）n的二次变化的测度理论概念∈N、 定义5.1。连续函数X∈ C（[0，T]，R）在给定的分区序列T=（Tn）n上具有有限的二次变化∈Nof【0，T】，如果网格大小| | Tn | |：=最大值【tj，tj+1】∈Tn | tj+1- tj |，（5.1）变为零，测量序列un：=X[tj，tj+1]∈πnX（tj+1）- X（tj）· δTjc模糊地收敛到一个局部有限的度量值u，没有原子作为n→ ∞, 其中δt表示t处的Diracmeasure∈ [0，T]。我们为沿T具有二次变化的所有连续函数的集合写Q（T）。

我们称hXi（t）：=u（[0，t]）表示t∈ [0，T]，X的二次变化。对于测量序列（un）n∈非[0，T]，vague收敛等价于其累积分布函数在极限函数的所有连续点处的逐点收敛。如果极限分布函数是连续的，则收敛是一致的。因此，我们得出以下结果。引理5.2。设X是C（[0，T]，R）中的函数。函数X属于Q（T）当且仅当存在连续函数hXi，使得对于每个T∈ [0，T]，X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤t | X（tj+1）- X（tj）| n→∞---→ hXi（t）。（5.2）如果该性质成立，则（5.2）中的收敛是一致的。从这个引理来看，定义5.1中X的二次变化hXi与定义2.1中X的二次变化hXi一致。然而，在（2.1）中，不同成分Xi之间存在二次“协变量”hXi，Xji（·），Xjof是d维向量X，而定义5.1中的hXi（·）是在单个函数X之间定义的。备注5.3。定义5.1中的假设（5.1）中的网格大小为零，即n→ ∞,施加在序列上（Tn）n∈Nof分区实际上比其他涉及路径本地时间的工作中关于分区顺序的通常假设更强。例如，在Perkowski and Pr¨omel（2015）、Davis et al.（2018）、Cont and Perkowski（2018）中，作者定义了函数X沿分区Tnasosc（X，Tn）的“振荡”：=max[tj，tj+1]∈Tnmaxr，s∈[tj，tj+1]| X（s）- X（r）|，（5.3）和要求osc（X，Tn）→ 0作为n→ ∞ 而不是网格大小变为零。这是因为在定义路径本地时间和推导路径田中公式时，无法使用X生成的Lebesgue分区。

由于函数X在紧致区间[0，T]上是一致连续的，因此网格大小减小到零确实意味着X的振荡也减小到零。（Tn）n上条件更强的一个原因∈这里使用的是我们最初对定义2.1中的路径二次协变量/变量的定义。另一个原因是，在生成交易策略时，我们将涉及一个额外的（向量）连续函数A，并且A的振荡也必须沿着分区序列（Tn）n收缩到零∈N、 换句话说，通过使用“网格”假设而不是“振荡”，我们可以消除分区序列（Tn）N的这种“依赖性”∈非X和A。路径当地时间的第一个定义是在未出版的文凭thesisof Wuermli（1980）中引入的。这个原始的本地时间被称为路径X沿T=（Tn）n序列的“L-本地时间”∈N、 利用当地时间的概念，Wuermli给出了f的以下方程式（5.7）∈ H（R，R），其中H（R，R）是L（R，R）中两次弱可微函数的Sobolev空间。从那时起，引入和研究了许多版本的pathwise Tanaka公式（广义It^o公式）和当地时间的不同定义；这些根据路径X的规律性、函数f和“局部时间收敛”的概念而变化。确定当地时间的较弱收敛性要求函数f具有更大的正则性，才能使田中公式（5.7）保持不变。Perkowski和Pr¨omel（2015）的第2节中对具有二次变化的连续路径阐述了其中的一些版本。Cont和Perkowski（2018）第3节给出了更粗糙路径的类似结果（p-th变化有限，p>2）。

其中，我们在这里介绍了以下版本的当地时间和田中公式，我们认为这在我们的环境中是最合适的。带符号la，bK=（（a，b），a≤ b、 （b，a），b≤ a、 （5.4）我们对连续当地时间有以下定义。定义5.4（连续当地时间）。我们说连续函数X：[0，T]→ R沿着给定的嵌套分区序列T=（Tn）n有一个连续的本地时间∈N、 如果limn→∞||Tn | |=0，“离散本地时间”x 7→ LX，Tnt（x）：=x【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tLXtj，Xtj+1K（x）Xtj+1- x个（5.5）一致收敛到连续极限x 7→ LX，Tt（x）为n→ ∞ 对于每个固定的t∈ [0，T]，以及由此产生的映射（T，x）7→ LX，Tt（x）是联合连续的。我们将此限制称为Xalong T的连续本地时间，并为所有函数X在C（[0，T]，R）中的集合写入Lc（T），该函数沿给定的嵌套分区序列T=（Tn）n具有连续的本地时间∈N、 Perkowskiand Pr–omel（2015）的定理3.5显示了典型价格路径的连续局部时间的存在性。为了简化符号，只要上下文明确，我们就写LXt（x）或简称Lt（x）。根据连续当地时间的定义，我们陈述了以下版本的pathwise Tanaka公式。附录中给出了证明。定理5.5（具有有限二次变化的路径的路径Tanaka公式）。让X∈ Lc（T）和f:R→ R是绝对连续的，具有右连续的Radon-Nikod'ym导数有限变化。然后，一维F¨ollmer It^o积分ZTFX（s）dX（s）：=limn→∞X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tf公司X（tj）X（tj+1）- X（tj）（5.6）存在，我们有变量公式f的广义变化X（t）- fX（0）=Ztf公司X（s）dX（s）+ZRLt（x）df（x），0≤ t型≤ T、 （5.7）如果f属于空间C（R，R），我们从这个ztf中得到X（s）dhXi（s）=ZRLt（x）f（x）dx，通过比较（2.4）和（5.7）的最后一项。