市场权重函数路径生成的交易策略

此外，对于任何连续函数g，通过设置g（·）=f（·），并且对于任何Borel，通过指示器function（·）设置A∈ B（R）可以用连续函数近似，我们也有“占领密度公式”ZtAX（s）d[X]（s）=ZALt（X）dx。我们现在陈述经典田中迈耶公式的路径版本，作为定理5.5的推论。推论5.6。对于函数X∈ Lc（T），路径田中迈耶公式lt（a）=（Xt- （a）+- （十）- （a）+-Zt（a，∞)（Xs）dXs，（5.8）Lt（a）=（Xt- （a）-- （十）- （a）-+Zt公司(-∞,a） （Xs）dXs（5.9）和2LT（a）=Xt- a |- |十、- a |-Ztsign（Xs- a） dXs（5.10）全部保持（t，a）∈ [0，T]×R，带符号（x）=（1，如果x>0，-1，如果x≤ 这里，积分项表示点方向极限，如（5.6）所示。5.2额外生成交易策略的构建我们回顾了第3节中的一对（u，A），其中向量u=（u，···ud）表示（3.7）中定义的市场权重，而A=（A，···，Ad）是CBV中的一个辅助函数（[0，T]，Rd））。我们假设u和A具有相同的维数d。此外，在本节中，我们假设每个分量uii是一个连续函数，在定义5.1的意义上具有有限的二次变化huii，并且属于C（T），即每i=1，···，d允许一个连续的本地时间。然后，我们设置xi：=ui- Ai，i=1，···，d，（5.11），并假设每个xi也在Lc（T）中。对于满足定理5.5中条件的任何函数fi，i=1，···，d，我们定义了对（u，A）asG的生成函数Gu（t），A（t）:=dXi=1fi（Xi（t））=dXi=1fiui（t）- Ai（t）, 0≤ t型≤ T、 （5.12）我们只能考虑（5.12）形式的生成函数G，因为没有可以直接应用于G的“多维田中公式”。

然而，我们可以将定理5.5应用于每个分量fi（Xi（t）），并求和得到u（t），A（t）=dXi=1fi（Xi（0））+ZtfiXi（s）dXi（s）+ZRLXit（x）dfi（x）（5.13）=Gu（0），A（0）+dXi=1ZtiG公司u（s），A（s）dXi（s）+dXi=1ZRL（ui-Ai）t（x）dfi（x），其中表示θi（t）：=iG公司u（t），A（t）:= 金融机构Xi（t）, i=1，···，d，0≤ t型≤ T、 （5.14）如（3.8）所示。这里，我们回顾定理5.5，每个fi都是fi的RCLL导数，是有界变差函数。此外，通过配方（5.6）确定的（5.13）中的F¨ollmer It^o积分可分解为ZTFIXi（s）dXi（s）=limn→∞X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tfi公司Xi（tj）Xi（tj+1）- Xi（tj）（5.15）=limn→∞X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tfi公司Xi（tj）ui（tj+1）- ui（tj）(5.16)- 画→∞X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tfi公司Xi（tj）Ai（tj+1）- Ai（tj）, （5.17）因为最后一个限制（5.17）作为∈ CBV（[0，T]，Rd）。因此，限值（5.16）也存在，我们取消了两个限值（5.16）和（5.17）asRtfiXi（s）dui（s），RtfiXi（s）分别为dAi（s）。对于（5.12）中的生成函数G，我们定义了（3.5）中的伽马函数ΓGas，即ΓG（t）：=Gu（0），A（0）- Gu（t），A（t）+dXi=1Ztθi（s）dui（s）=dXi=1Ztθi（s）dAi（s）-dXi=1ZRL（ui-Ai）t（x）df（x），0≤ t型≤ T、 （5.18）最后一个方程来自（5.13），我们注意到ΓG（·）再次是有界变差。我们现在按照（3.9）-（3.11）的方式来构建额外生成的交易策略。定义5.7（添加剂生成）。我们认为交易策略Д=（Д，···，Дd）定义为Дi（t）：=θi（t）- Qθ（t）- C（0），i=1，···，d，0≤ t型≤ T、 （5.19）由（5.12）中的函数G额外生成。这里，Qθ（t）：=dXi=1θi（t）ui（t）- θi（0）ui（0）-ZtdXi=1θi（s）dui（s）（5.20）是时间t的自我融资缺陷∈ [0，T]如（3.10）所定义，和c（0）：=dXi=1θi（0）ui（0）- Gu（0），A（0）t=0时的平衡缺陷。我们还有以下结果，可以通过类比命题3.6来证明。

请注意，下面的伽马函数ΓG（·）采用（5.18）的形式，而不是（3.6）的形式。提案5.8。由（5.12）的函数G为交易对（u，A）额外生成的交易策略（如（5.19）的值vД（t）：=dXi=1Дi（t）ui（t）=Gu（t），A（t）+ ΓG（t），0≤ t型≤ T、 （5.21）用（5.18）中定义的ΓG（·）表示，其组成部分可以用等效形式Γi（T）=θi（T）+ΓG（T）+G表示u（t），A（t）-dXj=1θj（t）uj（t）（5.22）=θi（t）+VД（t）-dXj=1θj（t）uj（t），对于i=1，··，d。第4.1节中所述的附加生成交易策略所影响的强相对套利的充分条件，可以类似于定义5.7中的策略Д的方式应用。凹函数，如x 7→ -x和x 7→ -x log x，用于生成交易策略时，在（3.5）中生成非减量伽马函数ΓGas；这是因为这些功能具有消极的酰胺结构G=(i、 kG）1≤i、 k级≤d、 在（3.6）中扮演最后一个积分的被积函数的角色。如Fernholz（2002）定义3.4.1所述，这种凹度会导致“多样性加权”投资策略。然而，这些凹函数必须在Cto中才能应用It^o\'srule。现在，我们可以使用凹函数但不可微函数，同时仍然可以借助田中公式生成PortfolioW。典型示例为x 7→ -x+：=- 最大值（x，0）和x 7→ -x个-:=- 最小值（x，0）。示例5.9（关于“尺寸效应”）。考虑一个常数α∈ （0，1）和a函数f（x）：=d- （十）- α） +，其中x+：=max{x，0}，d是市场权重向量u的维数。注意，f满足定理5.5中的条件。然后，对于具有≡ 0，我们有X≡ uin（5.11），setf=fifor i=1，···，d以获得（5.12）中的生成函数asG（u（t））=1-dXi=1ui（t）- α+, （5.23）其构造为非负。

这里，α对市场权重起着阈值的作用：我们只在生成函数中包含市场权重超过阈值水平α的股票。根据（5.14）和（5.18），θi（t）=-{ui（t）≥α} ，i=1，···，d，（5.24）和ΓG（t）=dXi=1Luit（α）。（5.25）请注意，该伽马函数是非减量函数，并且在市场权重达到阈值α时增加。作为（5.19）额外生成的交易策略可用命题5.8表示为Дi（t）=-{ui（t）≥α} +dXj=1{uj（t）≥α} uj（t）+VД（t），i=1，···，d，（5.26），值VД（t）=1-dXi=1（ui（t）- α） ++dXi=1Luit（α）。由于（5.25）中的伽马函数是非减量的，我们可以使用orem 4.2中的强套利条件：相对于市场的强相对套利在每个时间范围[0，t]内都存在*≤ t型≤ T，满足ΓG（T*) =dXi=1LuiT*（α） >G（u（0））=1-dXi=1（ui（0）- α)+.在（5.26）中的Дi（t）表达式中，sumPdj=1{uj（t）≥α} +V（t）是一个通用术语，与所有指数i=1、··、d相同。因此，对于那些市值超过阈值α的“大盘股”，将一个货币单位投资于该通用基线金额。因此，我们可以将（5.26）的策略Д解释为通过向“小盘股”投资更多资金，产生相对于市场的强大套利。这与之前随机投资组合理论的结果基本一致，即“倾斜”小盘股，而不是大盘股，可以获得更好的结果。例5.10（关于“动量效应”）。在例5.9中，我们将单个市场权重ui（t）与固定常数α进行比较，以确定是否将其包括在生成函数中。现在，我们通过将当前市场权重与过去的市场权重进行比较来扩展这一想法。

具体而言，我们希望我们的交易策略取决于u（t）和u（t）之间的差异-δ） 对于某些固定δ>0。为了做到这一点，首先我们确定时间间隔δ>0，并将每个uIf的范围从[0，T]扩大到[-δ、 T）]。这个领域的扩展可以很容易地完成，因为即使在t=0时我们开始投资我们的交易策略之前，也必须有过去的股价和过去的市场权重。我们只需将这些过去的数据附加到时间线的左侧，以扩展其域。此外，由于u（t-δ） 与原始路径u（t）一样粗糙，我们需要以某种方式使其更平滑。因此，我们在非常小的时间间隔[t]之间取市场权重的移动平均值- δ、 t型- δ+θ]对于满足0<θ<δ的一些小θ，使用此移动平均值代替u（t- δ).因此，我们引入有限变量ai（t）：=θZt的函数-δ+θt-Δui（s）ds，0≤ t型≤ T、 （5.27）对于每个i=1，···，d；这是对ui（t）的良好估计- δ） 对于一些非常小的常数θ和t固定，也是有限变化的函数。现在，我们考虑函数f（x）：=d- x+，其中d再次是市场权重向量u的维数。然后，对于（5.27）中定义为的对（u，A），我们引入以下非负生成函数g（u（t））=1-dXi=1ui（t）- Ai（t）+.该生成函数包括当前市场权重ui（t）大于或等于其过去市场权重ui（t）估计值的股票-δ).

它也与（5.23）非常相似，不同之处在于阈值α被股票特定水平Ai（t）代替，以这种方式捕捉“动量效应”。以这种方式，我们计算（5.14），（5.18）的量为θi（t）=-{ui（t）≥Ai（t）}，i=1，···，d，ΓG（t）=-dXi=1Zt{ui（s）≥Ai（s）}dAi（s）+dXi=1L（ui-Ai）t（0），（5.28），其中我们回忆起连续的当地时间L（ui-Ai）t（0）ui- Aiat原点，如定义5.4所示。这里，在上面的积分表达式中，被积函数{ui（s）≥Ai（s）}是在时间s可观察到的量，而积分器dAi（s）表示时间间隔之间ui的移动平均值的增量- δ、 s- δ+θ]，这也是时间s的可见值。因此，即使被积函数和积分器来自不同的时间，也可以在0到T之间的任何时间计算该积分。（5.28）中的最后一项是非减量项，但积分项通常不是单调的，因为有限变量积分器dAi（s）通常会发生变化。以（5.19）的方式额外生成的交易策略可以用命题5.8表示为Дi（t）=-{ui（t）≥Ai（t）}+dXj=1{uj（t）≥Aj（t）}uj（t）+VД（t），i=1，··，d，（5.29），其值为VД（t）=1-dXi=1ui（t）- Ai（t）+-dXi=1Zt{ui（s）≥Ai（s）}dAi（s）+dXi=1L（ui-Ai）t（0）Luit（α）。由于（5.28）的伽玛函数不再是单调的，因此很难在这种情况下为强相对套利制定适当的条件。然而，我们注意到，（5.29）中的策略Д在当前市场权重大于或等于其（估计）过去价值的股票上投资的货币少了一个单位。5.3乘法生成交易策略的构建我们现在回顾前面小节中的定义（5.11）-（5.18），我们进一步假设1/Gu（·），A（·）如第3.3节所述，为局部边界。

然后，我们考虑分量为ηi（t）的向量η：=θi（t）×expZtdΓG（s）Gu（s），A（s）, i=1，···，d，0≤ t型≤ 符号（5.14）中的T（5.30），我们将其定义为定义3.8。定义5.11（乘法生成）。我们说交易策略ψ=（ψ，···，ψd）定义为ψi（t）：=ηi（t）- Qη（t）- C（0），i=1，···，d，0≤ t型≤ T、 （5.31）式中，Qη和C（0）如定义5.7所定义，由（5.12）中的函数G乘法生成。对于（5.31）中的交易策略ψ，我们对其值的公式与命题3.9中的公式相似，但这里的区别是，我们的母函数G可能比以前光滑得多；即形式（5.12）的绝对连续f。证明需要额外的注意和计算，因为没有“乘积规则”可以应用于这种不太规则的函数。提案5.12。交易策略ψ由（5.12）中的函数G（如（5.31）中的对（u，A）乘法生成，其值vψ（t）：=dXi=1ψi（t）ui（t）=Gu（t），A（t）经验值ZtdΓG（s）Gu（s），A（s）> 0, 0 ≤ t型≤ T、 （5.32）及其分量可以用ψi（T）=Vψ（T）的形式表示，对于i=1，··，d1+克u（t），A（t）θi（t）-dXj=1θj（t）uj（t）. （5.33）证明。我们表示指数alk（t）：=expZtdΓG（s）Gu（s），A（s）.我们回顾了符号（5.11），（5.12），并考虑了以下在地震序列（Tn）n上的伸缩展开∈Nof分区：Gu（t），A（t）K（t）- Gu（0），A（0）K（0）=dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tnfi（Xi（tj+1））K（tj+1）- fi（Xi（tj））K（tj）o=dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tnfi（Xi（tj+1））K（tj+1）- K（tj）o（5.34）+dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤t型金融机构Xi（tj+1）- 金融机构Xi（tj）K（tj）.

（5.35）然后，我们可以进一步扩展最后一个双和（5.35）asdXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤田纳西州fi（Xi（tj+1））- fi（Xi（tj））K（tj）o=dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tnfi（Xi（tj））K（tj）Xi（tj+1）- Xi（tj）+ZRLXtj，Xtj+1K（x）| Xtj+1- x | K（tj）dfi（x）o=dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tnfi（Xi（tj））K（tj）ui（tj+1）- ui（tj）o（5.36）-dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tnfi（Xi（tj））K（tj）Ai（tj+1）- Ai（tj）o（5.37）+dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tK（tj）ZRLXi，Tntj+1（x）- LXi，Tntj（x）dfi（x），（5.38），其中第一个方程式来自（A.7），最后一个方程式来自（5.11）和（5.5）。接下来，我们证明了（5.34）、（5.37）和（5.38）之和随n而消失→ ∞. 首先，由于网格大小变为零，为n→ ∞, 和的极限（5.34）是Lebesgue-Stieltjes积分dxi=1ZtfiXi（s）dK（s）=ZtGu（s），A（s）dK（s），因为对于每个i=1，····，d，fi（Xi（·））在紧区间[0，T]上有界。从（5.18），Lebesgue-Stieltjes积分的变量公式的变化给出了sztgu（s），A（s）dK（s）=ZtK（s）dΓG（s）=ZtK（s）dΓG（s）-ZtK（s）dΓG（s），（5.39），其中ΓG（t）：=dXi=1Ztθi（s）dAi（s），ΓG（t）：=dXi=1ZRLXit（x）dfi（x）。我们再次应用变量公式的变化，得到ztk（s）dΓG（s）=dXi=1ZtK（s）θi（s）dAi（s），这只是总和（5.37）极限的负值。另一方面，（5.39）的最后一个积分可以表示为sumZtK（s）dΓG（s）=limn的极限→∞X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tK（tj）ΓG（tj+1）- ΓG（tj）= 画→∞dXi=1X[tj，tj+1]∈Tntj公司≤tK（tj）ZRLXitj+1（x）- LXitj（x）dfi（x），与总和限值（5.38）一致。因此，证明了（5.34）、（5.37）和（5.38）之和的极限等于零的说法；鉴于，（5.34），（5.35）右侧的余项是（5.36）之和，其极限我们表示为asdXi=1Ztfi（Xi（s））K（s）dui（s）=dXi=1Ztηi（s）dui（s），来自（5.12）和（5.30）。

最后，我们获得u（t），A（t）K（t）- Gu（0），A（0）K（0）=dXi=1Ztηi（s）dui（s）=dXi=1Ztψi（s）dui（s），其中最后一个等式来自于事实Pdi=1ui（·）≡ 1施工（5.31）。结果（5.32）来自ψ的自融性和关系vψ（0）=dXi=1ψi（0）ui（0）=dXi=1θi（0）- C（0）ui（0）=Gu（0），A（0）= Gu（0），A（0）K（0）。方程式（5.33）的调整方式与命题3.9相同。例5.13（关于“尺寸效应”，再次讨论）。回想一下示例5.9中（5.23）的生成函数G，并添加一个非常小的常数 > 0到haveGu（t）= (1 + ) -dXi=1ui（t）- α+,具有与（5.24）中相同的θ和与（5.25）中相同的伽马函数。插入常数的原因 > 0是为了确保G的正性，而不考虑α的选择∈ （0，1），因此1/G是局部有界的。交易策略ψ由定义5.11中的G乘法生成，可以用命题5.12表示为ψi（t）=-K（t）{ui（t）≥α} +dXj=1K（t）{uj（t）≥α} uj（t）+VД（t），i=1，···，d，（5.40），其值为asVψ（t）=(1 + ) -dXi=1ui（t）- α+K（t），其中K（t）：=expZtdXi=1dLuis（α）1+ -Pdj=1（uj（s）- α)+.从定理4.7可以看出，相对于市场的强相对套利在每个时间范围[0，t]上都存在，且t*≤ t型≤ T，满足ΓG（T*) =dXi=1LuiT*(α) > (1 + ) 日志1 +  -Pdi=1ui（0）- α+,因为G满足边界 ≤ Gu(·)≤ 1 + .以与例5.9相同的方式，（5.40）中的策略ψ投资的K（t）单位货币小于“通用基线金额”，即Pdj=1K（t）{uj（t）≥α} uj（t）+VД（t），对于那些在t时市场权重超过阈值α的“大资本化股票”。

由于K（·）是非递减的，随着时间的推移，策略ψ继续向那些“大盘股”投资越来越少的资金，“规模效应”逐渐增大。6熵函数的例子在这一节中，我们给出了一些由“熵函数”的变体加和乘生成的交易策略的例子，以及第4节介绍的强相对任意性的相应条件。关于这些例子的实证结果将在下一节中介绍。考虑吉布斯熵函数h（x）=-dXi=1xilog（xi），x∈ （0，1）d，（6.1）中的值为（0，log d）。该函数具有非负性、二次可微性和凹性，是随机投资组合理论中最常用的函数之一。见Fernholz（2002）；Fernholz和Karatzas（2009）；Karatzas和Ruf（2017）对其在生成投资组合中的使用，以及Ruf和Xie（2018），Schied等人（2018）对该函数生成的投资组合的一些变体。示例6.1（熵函数）。为了将原始熵函数生成的交易策略与相关函数变体生成的交易策略进行比较，我们首先推导并总结了原始熵函数以加法/乘法方式生成的交易策略。考虑“移位熵”Gu（t）:= -dXi=1ui（t）对数pui（t）= - 日志p-dXi=1ui（t）对数ui（t）, （6.2）对于某些给定的实常数p≥ 1，其中最后一个等式使用factPdi=1ui（t）=1。这个量与原始熵H一致u（t）在（6.1）中，当p=1时；插入additiveconstant的原因将在以下备注中解释。