市场权重函数路径生成的交易策略

然后，我们提出，注释6.2中解释的参数p的不同选择确实显著影响投资组合的绩效。7.1数据描述和符号为了模拟完美的“封闭市场”，我们构建了一个“宇宙”，其中d=1085只股票在2000年1月1日至2017年12月31日的4528个连续交易日内连续交易。这1085只股票是从这一时期在标准普尔1500指数组成部分中至少上市一次的股票中挑选出来的，没有经历过合并、收购、破产等。备注7.1。选择1085只股票有点偏颇，因为我们在时间t=0时通过排除未来将破产的股票来展望未来。然而，这种偏颇选择的原因是保持股票数量d始终不变，这是我们“封闭”市场模型的基本假设。如果我们在开始时将d=1500只股票包括在标准普尔1500指数中，在其破产时移除一只股票，或在其新加入指数时获取一只新股票，那么随着时间的推移，我们的投资组合中的股票数量d和生成函数G将在d发生变化时不连续。解决这个问题的一个可能办法是考虑“开放市场”。我们首先确定d的价值，比如开始时d=1500，跟踪市场上所有股票的价格动态（应该由d以上的股票组成，比如d>d的d股票），按照市值的顺序对其进行排序，并使用d股票中排名前d=1500的股票构建我们的投资组合。通过这种方式，我们可以始终保持相同数量的公司，但考虑排名的市场权重总是涉及“泄漏”问题。

正如Fernholz（2002）第4.2章、第4.3章以及Karatzas和Ruf（2017）的示例6.2所述，这是指当我们不得不出售一只已从顶级d资本化指数减至较低资本化指数的股票时所产生的损失。更糟糕的是，由于我们只想在这个公开市场的d家公司中投资排名前d的公司，每当第i家公司在时间t未能被列入排名前d的公司时，我们的交易策略Д=（Д，···，Дd）应该满足方程Дi（t）=0，即i=1，··，d。然而，我们还不知道如何构建这样的交易策略。因此，建立一个完美的实证模型并不容易，我们决定以有偏的方式选择d=1085只股票，这比前面章节中描述的理论模型更好。我们从CRSP和Compustat数据集中获得了这些股票的每日收盘价和总股数。数据可在此处找到；https://wrds-web.wharton.upenn.edu/wrds/.我们使用DR和C++编程我们的投资组合。由于我们使用了4528天的每日数据，我们将时间范围离散为0=t<t<·····，<tN-1=T。对于`∈ {1，2，···，N}，我们在这里总结我们的符号；1、Si（t`）：t`日结束时，其股票的资本化（每日收盘价乘以股票总数）。2、∑（t`）：=Pdi=1Si（t`）：第t`天结束时d股的总股本。该数量还表示t日结束时市场投资组合的美元价值，初始财富∑（0）。3、ui（t`）：=Si（t`）∑（t`）：第t`天结束时的市场重量。4、πi（t`）：第t`天结束时，ithstock的累计生成投资组合权重，可使用方程式（3.16）计算。请注意，Pdi=1πi（t`）=1成立。5、W（t`）：第t`天结束时投资组合的总价值。

那么，W（t`）πi（t`）表示我们的投资组合在第t`天结束时投资于ithstock的资金量。因为第t天开始时ithstock的资本化应等于Si（t`-1） ，上一个交易日t结束时相同股票的资本化`-1，我们还推导出∑（t`-1） ，ui（t`-1） ，πi（t`-1） ，和W（t`-1） 分别表示总资本、ITH市场权重、ITH累计生成的投资组合权重和t日开始时投资组合的货币价值。我们在t日的投资组合交易或重新平衡是在t日开始时，使用市场权重ui（t`-1） 在最后一个交易日结束时。我们计算πi（t`-1） 来自ui（t`-1） 通过（3.16），重新分配生成的值W（t`-1） 根据这些权重πi（t`-1). 然后，投资组合W（t`）在第t`天结束时的货币价值可以计算为W（t`）=dXi=1W（t`-1） πi（t`-1） Si（t`）Si（t`-1).为了比较我们的投资组合与市场投资组合的绩效，我们将我们的初始财富设定为W（0）=∑（0），并比较∑（·）和W（·）的演变。一旦我们的投资组合中投资的初始金额W（0）确定，就可以通过上述方程递归获得投资组合的货币价值。然而，W（·）可以用（3.9）或（3.13）中的交易策略Дi（·）来定义；W（·）=dXi=1Si（·）~ni（·）。

（7.1）那么，（3.3）中定义的或（3.12）中表示的相对于市场的价值VД（·）有另一种表示形式，即我们投资组合的货币价值与总市值之间的比率；VД（·）=dXi=1Дi（·）ui（·）=dXi=1Дi（·）Si（·）∑（·）=W（·）∑（·），表达“相对于市场的交易策略（或投资组合）的价值”是有意义的。此外，在（6.10）中定义的投资组合的超额回报率RД（·）可以表示为RД（·）=VД（·）- VД（0）VД（0）=W（·）∑（·）- 1=W（·）- Σ(·)Σ(·)= V^1（·）- 1.,“相对于市场的超额回报率”这句话也有道理。这里，V（0）=1，因为我们设置W（0）=∑（0）。在下一小节的最后一部分，我们展示了几个投资组合的W（·）的演变，以比较它们的绩效。7.2实证结果我们首先将熵示例（示例6.1、6.3、6.4和6.6）中的函数G加总生成的交易策略的价值函数VД（·）分解为生成函数Gu（·），A（·）和相应的伽马函数ΓG（·）。为了便于比较，我们规范化了所有生成函数，以便Gu（0），A（0）= 1保持不变，并在图1中将Gamma函数上移1。图1：累加生成交易策略的价值函数分解（a）示例6.1原始熵，p=9（b）示例6.3运行最大熵，p=9（c）示例6.4运行最小熵，p=9（d）示例6.6运行最小迭代熵，p=9，r=5图1证实，随着价值V（图中的红线）逐渐增加，第6节中产生的所有交易策略的表现均优于市场。在子图（a）和（b）中，值Vа的增长来自伽马函数的增长。

相反，即使伽马函数减少，交易策略的价值也会随着子图（c）和（d）中函数G的大幅增加而增加。在子图（d）中，我们将参数r=5设置为满足方程（6.27）的最大整数；初始市场权重数据为我们提供了最大ui（0）=0.065和0.065<1/（5e）保持。我们在所有子图中选择了相同的参数p=9（见备注6.2），以进行公平比较，但这是对（a）、（b）和（c）参数p的非常草率的选择。如果我们在每个示例中仔细地使用统计图像（statisticalestimation）来选择p的值，那么投资组合的性能将得到改善，如图2所示，示例6.1中的情况。图2：示例6.1中具有不同p值的额外生成交易策略的值图2显示了示例6.1中具有不同参数p选择的额外生成投资组合的值。我们可以验证p值越大的交易策略表现越好，如备注6.2所述。根据数据，吉布斯熵-在4528天内，Pi=1ui（t）logui（t），市场权重范围为4.954至5.726。因此，p=90是参数p的安全估计，它保证了（6.2）中函数G的非负性，因为log 90<4.5<4.954成立。最后，图3显示了第6节四个示例中投资组合的“美元价值”，如（7.1）所示，以及2000年初至2017年底d=1085只股票的总市值∑（·）。通过将W（·）/W（0）替换为W（·）/W（0）来规范化美元值。在图3中，虽然市值在18年中大约翻了一番，但所有其他投资组合的美元价值增长了4.5倍以上。

在每个投资组合中使用统计估计适当选择参数。8结论Karatzas和Ruf（2017）引入了一种替代的交易功能生成“相加”方式图3：（标准化）18年战略投资组合的美元价值，并将其与E.R.Fernholz最初的“乘法”方式进行了比较。这种新方法削弱了从It^o过程到连续半鞅的资产价格假设，刻画了一类称为“Lyapunov函数”的函数，该函数生成的交易策略会导致对市场的强套利，并为强套利提供了一个非常简单的充分条件。本文对这两种函数生成方法采取了更一般化的方法。本文的研究结果可以总结如下：1。我们展示了如何生成加法和乘法交易策略，而不需要对市场模型进行任何概率假设。这是通过使用著名的pathwise It^ocalculus实现的，我们强加的唯一分析假设是，市场权重在路径意义上允许连续的协变量。在实际意义上，我们不必关心这种分析假设，因为市场权重数据是以离散时间序列的形式给出的，并且这种数据总是允许路径协变量。2、我们通过引入除市场权重外的有限变量的额外参数作为输入，扩展了生成交易策略的函数类。在生成函数中插入此参数可在投资组合构建中提供额外的灵活性，这已在其他文献中讨论过。然而，我们提出了一些新的额外论点的例子，这给了我们简单的充分条件，导致相对于市场的强套利。3.

我们还通过给出新的充分条件，扩展了产生加法和乘法强相对论的函数类。新的条件允许函数不是“李亚普诺夫”函数，或者相对于市场权重是凹函数，以便产生强大的相对套利，从而在长期内跑赢市场投资组合。我们还提供了确实优于市场的投资组合的实证结果。4、借助于路径田中公式，我们进一步将投资组合生成函数的类从二次可微扩展到Lessmoother，即绝对连续函数。使用田中公式涉及当地时间的概念，这会产生新的有趣的投资组合类型和相应的强套利条件。虽然本文从几个方面概括了投资组合的函数生成，但我们提出了一些新问题。首先，本文假设“封闭市场”，换句话说，股票数量是固定的。在这方面，它不能代表或类似于真实的市场。如备注7.1所述，“公开市场”可以更好地模拟现实世界，但似乎对如何在公开市场中构建交易策略一无所知。其次，本文中的市场权重应沿时间分割序列具有微秒变化；在Cont和Perkowski（2018）的生命周期中，关于价格动态或市场权重，p>2的第p个变量是有限的，可以说些什么吗？附录A定理2.3的证明。利用伸缩和表示，我们得到X（t），A（t）- fX（0）），A（0）=X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤肿瘤坏死因子X（tj+1），A（tj+1）- fX（tj），A（tj）o=X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤肿瘤坏死因子X（tj+1），A（tj+1）- fX（tj+1），A（tj）o（A.1）+X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤肿瘤坏死因子X（tj+1），A（tj）- fX（tj），A（tj）o。

（A.2）泰勒展开式，应用于和（A.1）中函数A的分量，给出x【tj，tj+1】∈Tntj公司≤肿瘤坏死因子X（tj+1），A（tj+1）- fX（tj+1），A（tj）o（A.3）=X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tmX`=1D`fX（tj+1），A（tj）A`（tj+1）- A`（tj）+X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tmX`=1rA`（tj+1）- A`（tj）,其中，最后一个余数项以r为界A`（tj+1）- A`（tj）≤ φmaxtj公司A`（tj+1）- A`（tj）A`（tj+1）- A`（tj）对于性质为limx的函数φ→0φ（x）=0。由于A是连续的且有界变化，因此（A.3）右侧的最后一个双和将变为零，即n→ ∞ 和（A.1）收敛到Lebesgue-Stieltjes积分mx`=1ZtD`fX（s），A（s）dA`（s），作为n→ ∞. 另一方面，通过对和（A.2）中函数x的分量进行泰勒展开，我们得到x[tj，tj+1]∈Tntj公司≤肿瘤坏死因子X（tj+1），A（tj）- fX（tj），A（tj）o=X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tdXi=1如果X（tj），A（tj）Xi（tj+1）- Xi（tj）（A.4）+X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tdXi，k=1i、 kf公司X（tj），A（tj）Xi（tj+1）- Xi（tj）Xk（tj+1）- Xk（tj）（A.5）+X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tdXi，k=1rXi，k（tj+1）- Xi，k（tj）, （A.6）其中最后一个余数项（A.6）以Xi，k（tj+1）-Xi，k（tj）≤ ψmaxtj，i，kXi，k（tj+1）-Xi，k（tj）Xi（tj+1）-Xi（tj）Xk（tj+1）-Xk（tj）,对于性质为limx的函数ψ→0ψ（x）=0。同样，通过X的连续性和X在（2.1）意义上承认路径二次协变量的事实，双和（A.6）接近于n→ ∞. 求和（A.5）收敛到Lebesgue-Stieltjes积分dxi，k=1Zti、 kf公司X（s），A（s）dhXi，Xki（s），再次通过X的路径二次协变量的存在。当所有其他项收敛时，剩余的和（A.4）应收敛到某个极限，我们称之为“F¨ollmer It^o integral”，如（2.5）所示。定理5.5的证明。

对于任意两个实数a和b，通过应用带符号（5.4）的分部积分公式，我们得到了方程F（b）- f（a）=Zbaf（x）dx=Rbaf（x）（b）- x） dx=-f（x）（b）- x）bx=a+R（a，b）（b- x） df（x），如果a≤ b-Rabf（x）（b）- x） dx=f（x）（b- x）ax=b-R（b，a）（b- x） df（x），如果b<a=f（x）（b）- a） +R（a，b）（b- x） df（x），如果a≤ bf（x）（b）- （a）-R（b，a）（b- x） df（x），如果b<a=f（x）（b- a） +ZRLa，黑色（x）| b- x | df（x）。（A.7）因此，使用伸缩集水坑（Xt）- f（X）=X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤t型f（Xtj+1）- f（Xtj）对于分区序列T=（Tn）n∈Nof[0，T]，上述等式变为f（Xt）- f（X）-X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tf（Xtj）（Xtj+1- Xtj）（A.8）=X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tZRLXtj，Xtj+1K（x）| Xtj+1- 由于定义（5.5），x | df（x）=ZRLX，Tnt（x）df（x）。（A.8）右侧的最后一个积分收敛到（5.7）的最后一个积分，因为LX，tnt一致收敛到Lt，结果如下。参考Cont，R.（2016）。泛函It^o演算和泛函Kolmogorov方程。在随机部分积分和函数It^o演算中，第115–201页。巴塞罗纳客户关系管理公司（CRM Barcelona，Birkhauser Basel）。Cont，R.和Perkowski，N.（2018年）。具有任意正则性的连续路径的路径积分和变量公式的变换。预印本，arXiv:1803.09269v2，将出现在AMS交易中。Davis，M.，Obl'oj，J.，和Siorpaes，P.（2018）。具有局部时间的路径随机演算。安。H.Poincar\'e Probab研究所。统计员。，54(1):1–21.Fernholz，E.R.（2002年）。随机投资组合理论，《数学应用》（纽约）第48卷。Springer Verlag，纽约。随机建模和应用概率。Fernholz，E.R.，Karatzas，I.，和Ruf，J.（2018）。波动性和套利。安。应用程序。概率。，28(1):378–417.Fernholz，R.（1999年）。投资组合生成函数。《金融市场定量分析》编辑Avellaneda，M。世界科学基金会Fernholz，R.和Karatzas，I.（2009）。

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