离散时间不完备金融市场的描述

然后，对于测量值Q，以下表达式Q（A）=ZOhm-ZOhm+χA（ω）α（ω，ω）ξ+（ω）ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）+ZOhm-ZOhm+χA（ω）α（ω，ω）ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω），A∈ F、 （42）对于满足条件（39）-（41）的随机值α（ω，ω）有效。由公式（42）给出的具有随机值α（ω，ω）且满足条件（39）-（41）的每个度量Q等价于度量P，且等式ξ=0。对于测度Q，正则表示Q（A）=ZOhm-ZOhm+χA（ω）α（ω，ω）ξ+（ω）ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）+ZOhm-ZOhm+χA（ω）α（ω，ω）ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω），A∈ F、 （43）有效，其中α（ω，ω）=ψ（ω）ψ（ω）[ξ-（ω） +ξ+（ω）]d，（ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+, （44）ψ（ω）=ZOhm+α(ω, ω)ξ+(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）dP（ω），ω∈ Ohm-, （45）ψ（ω）=ZOhm-α(ω, ω)ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）dP（ω），ω∈ Ohm+, （46）d=ZOhm-ξ-（ω） ψ（ω）dP（ω）=ZOhm+ξ+（ω）ψ（ω）dP（ω）。（47）证明。根据引理5条件，Q（A）=ZAψ（ω）dP，P（{ω，ψ（ω）>0}）=1，（48）ZOhmψ（ω）ξ（ω）dP（ω）=0。（49）条件（49）是指Ohm+ψ（ω）ξ+（ω）dP（ω）=ZOhm-ψ(ω)ξ-（ω） dP（ω）=d>0，（5 0），其中ψ（ω）=ψ(ω), ω ∈ Ohm-,0, ω ∈ Ohm+,(51)ψ(ω) =ψ(ω), ω ∈ Ohm+,0, ω ∈ Ohm-.（52）让我们把α（ω，ω）=ψ（ω）ψ（ω）[ξ-（ω+ξ+（ω）]d，（ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+. （53）那么，对于这样的α（ω，ω），等式（39）是真的。此外，ZOhm-ZOhm+α(ω, ω)ξ-(ω)ξ+(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）=d<∞, （54）ZOhm-ZOhm+α（ω，ω）du（ω，ω）=ZOhm-ψ（ω）dP（ω）+ZOhm+ψ（ω）dP（ω）=1，（55）等式ξ=ZOhm-ZOhm+α(ω, ω)ξ(ω)ξ+(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）+ZOhm-ZOhm+α(ω, ω)ξ(ω)ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）=0，（56），因为ξ（ω）=-ξ-(ω), ω∈ Ohm-, ξ(ω) = ξ+(ω), ω∈ Ohm+.让我们证明引理5的最后一个陈述。假设满足条件（39）-（41）的度量Q的r表示n（42）有效。考虑到方程（45）-（47），我们得到q（A）=ZOhm-χA（ω）ψ（ω）dP（ω）+ZOhm+χA（ω）ψ（ω）dP（ω），（57）0=等式ξ=ZOhm-ξ（ω）ψ（ω）dP（ω）+ZOhm+ξ（ω）ψ（ω）dP（ω）=-ZOhm-ξ-（ω） ψ（ω）dP（ω）+ZOhm+ξ+（ω）ψ（ω）dP（ω）。

（58）如果引入表示nψ（ω）=ψ(ω) , ω ∈ Ohm-,ψ(ω) , ω ∈ Ohm+,（59）然后我们得到r代表nQ（A）=ZAψ（ω）dP（ω），（60），其中P（ψ（ω）>0）=P(Ohm-), P（ψ（ω）>0）=P(Ohm+).最后一个公式证明了测度Q和P的等价性。最后，为了证明标准表示（43），可以将表达式（44）替换为α（ω，ω），将表达式（43）替换为Q（A）。我们得到了Q（A）的表达式（57）。然后，如果将ψ（ω）的表达式（45），（46），ψ（ω）替换为Q（A）的表达式（57），我们得到Q（A）的正则表示为真。这证明了艾玛5。让{Ohm, F、 P}是概率空间，G是σ-代数F的子σ-代数。引理6。关于概率空间{Ohm, F、 P}，设一个随机值ξ满足条件（36），并且是相对于测度P的可积值。a测度Q等于测度P，当且仅当每个B满足条件eq{ξ| G}=0（61）∈ G使得测量值Q的P（B）>0表示Q（A）=ZOhmB-ZOhmB、 +χA（ω）α（ω，ω）ζB，+（ω）ζB，-（ω） +ζB，+（ω）du（ω，ω）+ZOhmB-ZOhmB、 +χA（ω）α（ω，ω）ζB，-（ω） ζB，-（ω） +ζB，+（ω）du（ω，ω），A∈ F、 （62）为真，等式α（ω，ω）=ψ（ω）ψ（ω）[ζB，-（ω+ζB，+（ω）]dB，（63）（ω，ω）∈ OhmB-× OhmB、 +，dB=ZOhmB-ζB，-（ω） ψ（ω）dP（ω）=ZOhmB、 +ζB，+（ω）ψ（ω）dP（ω），（64）有效，其中ζB，+（ω）=ξ(ω), ω ∈ B∩ {ξ(ω) > 0},0, ω ∈ (Ohm \\ （B）∪ {ξ(ω) ≤ 0}，（65）ζB，-(ω) =-ξ(ω), ω ∈ B∩ {ξ(ω) ≤ 0},0, ω ∈ ( Ohm \\ （B）∪ {ξ(ω) > 0 },(66)ψ(ω) =ψ(ω), ω ∈ OhmB-,0, ω ∈ OhmB、 +，（67）ψ（ω）=ψ(ω), ω ∈ OhmB、 +，0，ω∈ OhmB-,(68)OhmB、 +=B∩ {ξ(ω) > 0}, OhmB-= (Ohm \\ （B）∪ {ξ(ω) ≤ 0}，（69）Q（A）=ZAψ（ω）dP（ω），A∈ F、 P（{ω，ψ（ω）>0}）=1。（70）证明。必要性。假设条件（6 1）为真。那么，对于每个B∈G、 P（B）>0，我们有ZBξ（ω）ψ（ω）dP（ω）=0，（71）或，ZB∩{ξ（ω）>0}ξ（ω）ψ（ω）dP（ω）=-ZB公司∩{ξ(ω)≤0}ξ（ω）ψ（ω）dP（ω）。

（72）从等式P（B）=P（B∩ {ξ（ω）>0}）+P（B∩ {ξ(ω) ≤ 0}）和等式（70），（72），那么P（B∩ {ξ（ω）>0}>0和P（B）∩ {ξ(ω) ≤ 0}) > 0. 因此，等式（72）可以写成0<dB=Z的形式OhmB、 +ζB，+（ω）ψ（ω）dP（ω）=ZOhmB-ζB，+（ω）ψ（ω）dP（ω）。（73）用公式（63）定义α（ω，ω），并证明公式（62）与公式（70）一致∈ F、 但是，如果要将公式（63）定义的α（ω，ω）的表达式替换为公式（62）的表达式，并考虑dB的表达式，则得到q（A）=ZOhmB-χA（ω）ψ（ω）dP（ω）+ZOhmB、 +χA（ω）ψ（ω）dP（ω）=ZA∩OhmB-ψ（ω）dP（ω）+ZA∩OhmB、 +ψ（ω）dP（ω）=ZAψ（ω）dP（ω）。（74）最后一个证明了必要性。效率。Fr从等式χBξ（ω）=ζB，+（ω）- ζB，-（ω） （75）对于由公式（62）给出的度量值Q，它遵循等式eqχBξ（ω）=0，B∈ G、 （76）最后一个表示公式{ξ（ω）| G}=0。证明了引理6。为了进一步研究，下一个定理4非常重要。定理4。非负超鞅{fm，fm}局部正则性的必要条件和充分条件∞m=0相对于一组等价度量m，存在Fm可测随机值ξm∈ A、 m=1，∞, 这样的FMFM-1.≤ ξm，EP{ξm | Fm-1} =1，P∈ M、 M=1，∞. （77）证明。必要性。在不丧失一般性的情况下，我们假设fm≥ a对于某个实数a>0。真的，如果不是这样的话，那么我们就可以考虑上鞅{fm+a，fm}∞m=0。因此，让{fm，fm}∞m=0是非负局部正则上鞅。然后，存在一个非负适应随机过程{gm}∞m=0，g=0，以便支持∈MEPgm<∞,fm公司-1.- EP{fm | fm-1} =EP{gm | Fm-1} ，P∈ M、 M=1，∞. （78）设ξm=fm+gmfm-1，m=1，∞. 然后，ξm∈ 从等式（78）我们得到ep{ξm | Fm-1} =1，P∈ M、 M=1，∞. 很明显，不等式（77）是有效的。效率。

假设定理4的条件是有效的。然后，fm≤fm公司-1+fm-1（ξm- 1). 引入表示gm=-调频+调频-1ξm.然后，gm≥ 0，支持∈MEPgm公司≤ 支持∈MEPfm+支持∈MEPfm公司-1< ∞, m=1，∞. 最后一个等式和它们的内在性质为fm=f+mXi=1fi-1（ξi- 1) -mXi=1gi，m=1，∞. （79）让我们考虑随机过程{Mm，Fm}∞m=0，其中Mm=f+mPi=1fi-1（ξi- 1).然后，EP{Mm | Fm-1} =毫米-1，P∈ M、 M=1，∞. 证明了定理4。4常规措施的完整性。在接下来的两个引理中，我们研究了引理5中由公式（42）表示的等价度量凸集的闭包，该公式在定义正则度量集的完备性方面起着重要作用。首先，我们考虑可数情形。假设Ohm包含可数的基本事件集，并设Fbe为该集所有子集的σ代数Ohm. 设Pbe是σ-代数F上的一个测度。我们假设P（ωi）=pi>0，i=1，∞. 关于概率空间{Ohm, F、 P}，让我们考虑一个负随机值ξ，满足条件s0<P（{ω∈ Ohm, η（ω）<0}）<1，0<P（{ω∈ Ohm, η（ω）>0}，EP |η（ω）|<∞, （80）其中我们引入了表示η（ω）=ξ（ω）-1、关于可测空间{Ohm, F} ，让我们考虑一组度量M，它等价于由公式q（A）=Xω给出的度量Pand∈Ohm-Xω∈Ohm+χA（ω）α（ω，ω）η+（ω）η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω）+Xω∈Ohm-Xω∈Ohm+χA（ω）α（ω，ω）η-(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω），A∈ F、 （81）式中η（ω）=η+（ω）- η-(ω) , Ohm+= {ω, η(ω) > 0}, Ohm-= {ω, η(ω) ≤ 0}. 介绍F+=Ohm+∩ F、 F级-= Ohm-∩ F、 让P-是σ-代数F上测度的收缩-设P+是σ-代数f+上测度的收缩。关于概率空间{Ohm-× Ohm+, F-×F+，P-×P+}，随机值α（ω，ω）的集合满足条件sp×P（{（ω，ω））∈ Ohm-× Ohm+, α（ω，ω）>0}）=P(Ohm+)P(Ohm-), （82）Xω∈Ohm-Xω∈Ohm+α(ω, ω)η-(ω)η+(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω）<∞, （83）Xω∈Ohm-Xω∈Ohm+α（ω，ω）P（ω）P（ω）=1。

（84）关于概率空间{Ohm-× Ohm+, F-×F+，P-×P+}，所有有界随机值α（ω，ω）满足上述条件。在上引入所有措施{Ohm, F} 度量ρ（Q，Q）=∞Xi=1 | Q（ωi）- Q（ωi）|。（85）引理7。最小度量集（85）的闭包包含度量集suω，ω（A）=χA（ω）η+（ω）η-（ω） +η+（ω）+χA（ω）η-(ω)η-（ω） +η+（ω）（86）表示ω∈ Ohm-, ω∈ Ohm+, A.∈ F、 对于任意有界随机值F（ω），点集EQf，Q的闭包∈ M、 度量ρ（x，y）=x- y |，x，y∈ R、 包含点seuω，ωf，（ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+.证据L让我们选择由αε（ω，ω）定义的等效度量Qε集，0<ε<1，并由定律给出：αε（ω，ω）=1- εP（ω）P（ω），ω∈ Ohm-, ω∈ Ohm+,αε（ω，ω）=εαε（ω，ω），αε（ω，ω）=Pω6=ωPω=ωP（ω）P（ω），（ω，ω）6=（ω，ω），ω∈ Ohm-, ω∈ Ohm+.很明显，αε（ω，ω）>0，（ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+, 对于每1>ε>0，a满足质量x（ω，ω）∈Ohm-×Ohm+αε（ω，ω）P（ω）P（ω）=1。（87）那么，Qε（ω）=Xω∈Ohm+αε(ω, ω)η+(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω），（88）Qε（ω）=Xω∈Ohm-αε(ω, ω)η-(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω）。（89）Qε（ω）=（1）- ε)η+(ω)η-（ω） +η+（ω）+εXω∈Ohm+,ω6=ωαε(ω, ω)η+(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω），（90）Qε（ω）=（1- ε)η+(ω)η-（ω） +η+（ω）+εXω∈Ohm-,ω6=ωαε(ω, ω)η-(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω）。（91）如果ω6=ω，ω6=ω，则qε（ω）=εXω∈Ohm+αε(ω, ω)η+(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω），（92）Qε（ω）=εXω∈Ohm-αε(ω, ω)η-(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω）。（93）测量值Qε和uω，ω之间的距离由公式ρ（Qε，uω，ω）=ε+εXω给出∈Ohm+,ω6=ωαε(ω, ω)η+(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω）+εXω∈Ohm-,ω6=ωαε(ω, ω)η-(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω）+εXω∈Ohm-,ω6=ωXω∈Ohm+αε(ω, ω)η+(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω）+εXω∈Ohm+,ω6=ωXω∈Ohm-αε(ω, ω)η-(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω）。（94）SinceXω∈Ohm+,ω6=ωαε(ω, ω)η+(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω）+Xω∈Ohm-,ω6=ωαε(ω, ω)η-(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω）≤ 1，Xω∈Ohm-,ω6=ωXω∈Ohm+αε(ω, ω)η+(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω）≤ 1，Xω∈Ohm+,ω6=ωXω∈Ohm-αε(ω, ω)η-(ω)η-（ω） +η+（ω）P（ω）P（ω）≤ 1，我们得到ρ（Qε，uω，ω）≤ 4ε.让我们证明引理7的第二部分。

很明显，等式εf- Euω，ωf |≤ 4εsupω∈Ohm|f（ω）|（95）为真。由于小ε的任意性，证明了引理7。定义4。让{Ohm, F} 成为可测量的空间。分解An，k，n，k=1，∞,空间的Ohm如果下列条件有效，我们称之为穷举：1）An，k∈ F、 安，k∩ An，s=, k 6=s，∞Sk=1An，k=Ohm, n=1，∞;2） 第（n+1）次分解是第n次分解的子分解，即对于每个j，An+1，j An，k对于某个k=k（j）；3） 包含所有An，k，n，k=1的最小σ-al g ebra，∞, 与F一致。下一条备注1对于具有排气分解的过滤的构造非常重要。备注1。假设可测空间{Ohm, F} 以及{Ohm, F} 使穷尽生态成分An，k，n，k=1，∞, Am，s，m，s=1，∞, 然后是可测空间{Ohm× Ohm, F×F}也有详尽的装饰位置Bn，ks，n=1，∞, k、 s=1，∞,Bn，ks=An，k×An，s，k，s=1，∞, n=1，∞. 真的，1）安，k×安，s∈ F×F，An，k×An，s∩ An，t×An，r=, （k，s）6=（t，r），∞Sk，s=10亿，ks=Ohm× Ohm, n=1，∞;2） 第（n+1）次分解是第n次分解的子分解，即对于everyk，s Bn+1，ks Bn，ij对于某个i=i（k），j=j（s）；3） 包含所有Bn，ks，n，k，s=1的最小σ-al g ebra，∞, 与F×F引理8一致。设一个可测量的空间{Ohm, F} 有一个详尽的decom位置，并让ξbean可积随机v与测度P相关，满足条件（36）。然后，由公式（42）给出的度量集Q的闭包相对于度量的逐点收敛包含度量集ν（ω，ω）（A）=χA（ω）ξ+（ω）ξ-（ω） +ξ+（ω）+χA（ω）ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω），A∈ F、 （ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+, （96）对于那些（ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+其全尺寸u=P-×P+。

对于相对于所有度量Q的everyintegrabl有限值随机值f（ω），度量ρ（x，x）=| x中的闭包- x |，x，x∈ R、 实数集的Ohm-ZOhm+f（ω）α（ω，ω）ξ+（ω）ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）+ZOhm-ZOhm+f（ω）α（ω，ω）ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω），（97）当α（ω，ω）在满足条件（39），（41）的所有随机变量上运行时，包含一组数字f（ω）ξ+（ω）ξ-（ω） +ξ+（ω）+f（ω）ξ-(ω)ξ-(ω) + ξ+(ω), (ω, ω) ∈ Ohm-× Ohm+. （98）证明。关于概率空间{Ohm, F、 P}，设ξ为可积随机值，满足条件（36）。如前所述，让Ohm+= {ω, ξ(ω) > 0}, Ohm-= {ω, ξ(ω) ≤ 0}和letF-, F+是σ-代数F对集合的限制Ohm-和Ohm+, 关联地假设P-P+是σ-代数F上测度P的收缩-,相应地，F+。考虑概率空间{Ohm-× Ohm+, F-×F+，P-是概率空间的直积{Ohm-, F-, P-} 以及{Ohm+, F+，P+}。由于引理8和备注1，可测空间{Ohm-× Ohm+, F-×F+}具有穷举分解Bn，ks，k，s=1，∞, n=1，∞. 表示fn分解Bn，ks，k，s=1生成的最小σ-代数，∞. 很明显，Fn Fn+1。此外，σ(∞Wn=1Fn）=F-×F+。关于概率空间{Ohm-×Ohm+, F-×F+，P-×P+}，对于everyintegrable有限值随机值f（ω，ω），序列Eu{f（ω，ω）| Fn}收敛到概率为1的f（ω，ω），如n→ ∞, 因为这是一个正则鞅。可以证明，对于u（Bn，ks）6=0Eu{f（ω，ω）| Fn}=RBn，ksf（ω，ω）du（Bn，ks），（ω，ω）∈ Bn，ks。（99）表示D=Sn，k，s，u（Bn，ks）=0Bn，ks。很明显，u（D）=0。对于每个（ω，ω）∈Ohm-× Ohm+\\ D、 公式（99）定义明确且不明确。设Dbe为集合的子集Ohm-× Ohm+\\ D、 公式（99）左侧的极限不存在。那么，u（D）=0。对于每个（ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+\\ （D）∪ D） ，公式（99）的右侧收敛到f（ω，ω）。

对于（ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+\\ （D）∪ D） ，表示An=An（ω，ω）那些集合Bn，ks，其中（ω，ω）∈ Bn，ks对于某个k，s.那么，对于可积有限值f（ω，ω）limn→∞RAnf（ω，ω）du（An）=f（ω，ω）。（100）让我们考虑序列αεnn（ω，ω）=（1- εn）χAn（ω，ω）u（An）+εnχOhm-×Ohm+\\An（ω，ω）u(Ohm-× Ohm+\\ An），（101），其中0<εn<1，limn→∞εn=0。这样的序列αεnn（ω，ω）满足条件（39）（41）和qεnn（a）=ZOhm-ZOhm+χA（ω）αεnn（ω，ω）ξ+（ω）ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）+ZOhm-ZOhm+χA（ω）αεnn（ω，ω）ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）=（1- εn）RAnχA（ω）ξ+（ω）ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）u（An）+（1- εn）RAnχA（ω）ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）u（An）+εnROhm-×Ohm+\\AnχA（ω）ξ+（ω）ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）u(Ohm-× Ohm+\\ An）+εnROhm-×Ohm+\\AnχA（ω）ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）u(Ohm-× Ohm+\\ An）。（102）从公式（102）中，我们得到Limn→∞Qεnn（A）=χA（ω）ξ+（ω）ξ-（ω） +ξ+（ω）+χA（ω）ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω），A∈ F、 （ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+\\ （D）∪ D） 。（103）进一步，等式εnnf（ω）=ZOhm-ZOhm+f（ω）αεnn（ω，ω）ξ+（ω）ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）+ZOhm-ZOhm+f（ω）αεnn（ω，ω）ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）=（1- εn）RAnf（ω）ξ+（ω）ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）u（An）+（1- εn）RAnf（ω）ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）u（An）+εnROhm-×Ohm+\\Anf（ω）ξ+（ω）ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）u(Ohm-× Ohm+\\ An）+εnROhm-×Ohm+\\Anf（ω）ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）u(Ohm-× Ohm+\\ An）。（104）从公式（104）中，我们得到Limn→∞公式εnnf（ω）=f（ω）ξ+（ω）ξ-（ω） +ξ+（ω）+f（ω）ξ-(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω），A∈ F、 （ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+\\ （D）∪ D） 。（105）证明了引理8。下一个定理5是引理5的结果。定理5。

关于概率空间{Ohm, F、 P}，对于非负随机值ξ6=1可测空间上的测度集{Ohm, F} ，等于测量值，满足条件Qξ=1，Q∈ M、 （106）当且仅当Q∈ M代表Q（A）=ZOhm-ZOhm+χA（ω）α（ω，ω）（ξ- 1)+(ω)(ξ - 1)-(ω) + (ξ - 1） +（ω）du（ω，ω）+ZOhm-ZOhm+χA（ω）α（ω，ω）（ξ- 1)-(ω)(ξ - 1)-(ω) + (ξ - 1） +（ω）du（ω，ω），A∈ F、 （107）为真，其中在可测空间上{Ohm-× Ohm+, F-×F+，P-×P+}，随机v值α（ω，ω）满足条件u（{（ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+, α（ω，ω）>0}）=P(Ohm+)P(Ohm-), （108）ZOhm-ZOhm+α(ω, ω)(ξ - 1)-(ω)(ξ - 1)+(ω)(ξ - 1)-(ω) + (ξ - 1） +（ω）du（ω，ω）<∞, （109）ZOhm-ZOhm+α（ω，ω）du（ω，ω）=1。（110）我们在上面介绍了以下含义：u=P-×P+，P-是集合上测度P的收缩Ohm-= {ω ∈ Ohm, ξ - 1.≤ 0}，P+是集合上被测集的收缩Ohm+= {ω ∈ Ohm, ξ - 1>0}，F-= Ohm-∩ F、 F+=Ohm+∩ F、 很明显，度量集Mis是非空的，因为它包含随机值α（ω，ω）有界的度量值Q，F，因为等式ξ- 1| < ∞.定理6。关于概率空间{Ohm, F、 P}对于过滤Fn，由公式（107）给出的测量集s M与过滤Fn，if和onlyif一致，如等式{ξ| Fn}，Q∈ M、 是一个局部正则鞅。证据必要性。让一组测量Mbe与过滤一致。然后，根据定理3，等式{ξ| Fn}，Q∈ M、 是一个局部正则鞅。效率。假设等式{ξ| Fn}，Q∈ M、 是一个局部正则鞅。让我们证明一下，如果Q，Q∈ M、 然后，度量值集sks（A）=ZAEQ{dQdQ | Fk}EQ{dQdQ | Fs}dQ，A∈ F、 k级≥ s≥ n、 n=0，∞, （111）属于集合M。为此，证明ERks（ξ- 1） =0，或ERksξ=1。

实际上，如果公式ξ=1，公式ξ=1，那么nerksξ=公式ξEQ{dQdQ | Fk}EQ{dQdQ | Fs}=EQEQ{ξ| Fk}dQdQEQ{dQdQ | Fs}=EQEQ{EQ{dqdqdq | Fs}Fs}=EQEQ{EQ{ξ| Fk}| Fs}=EQEQ{EQ{ξ| Fk}| Fs}=EQEQ{ξ| Fs}=EQEQ{ξ| Fs}=EQξ=1。（112）证明了定理6。定理7。关于概率空间{Ohm, F、 P}当且仅当存在不依赖于（ω，ω）时，通过公式（107）给出的测量集s M与过滤Fn一致∈ Ohm-× Ohm+随机过程{mn，Fn}∞n=0suchthatEνω，ω{ξ| Fn}=mn，n=1，∞, （113）对于那些（ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+具有全尺寸u=P的-×P+，其中νω，ω（A）=χA（ω）（ξ- 1)+(ω)(ξ - 1)-(ω) + (ξ - 1） +（ω）+χA（ω）（ξ- 1)-(ω)(ξ - 1)-(ω) + (ξ - 1） +（ω），A∈ F、 （ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+. （114）证明。必要性。假设公式（107）给出的度量值M与过滤Fn一致。根据定理6，等式{ξ| Fn}，Q∈ M、 是一个局部正则鞅。那么，等式{ξ| Fn}=mn。利用引理8，我们得到Eνω，ω{ξ| Fn}=mnforthose（ω，ω）∈ Ohm-× Ohm+具有完整度量值u的。效率。如果公式（113）为真，则等式{ξ| Fn}=mn，Q∈ M、 由此可知，等式{ξ| Fn}，Q∈ M、 是一个局部正则鞅。定理7得到了验证。定义5。关于概率空间{Ohm, F、 P}对于过滤fn，由非负随机值ξ6=1，等式ξ=1，Q生成的一组度量M的过滤fn子集的一致性∈ M、 我们称之为常规措施。让{Ohm, F、 P}b是一个概率空间。关于可测空间{Ohm, F} 有了过滤功能，让我 Mbe一组正则度量，其中该集由非负随机值ξ6=1错误生成。用{mn，Fn}表示∞n=0正则鞅，其中mn=等式{ξ| Fn}，Q∈ M、 n=1，∞. 假设mn是σ-代数Fn上正则测度集M的收缩。