离散时间不完备金融市场的描述

每个Qn∈ mn等价于Pn，其中Pn是σ-代数Fn上测度P的收缩。对于每个Qn∈ 我们有- 明尼苏达州-1] = 0. 因此，对于测量Qn∈ mn表示qn（A）=ZOhm-n×Ohm+nχA（ω）αn（ω，ω）[mn- 明尼苏达州-1] +（ω）[锰- 明尼苏达州-1]-（ω） +[锰- 明尼苏达州-1] +（ω）dun（ω，ω）+ZOhm-n×Ohm+nχA（ω）αn（ω，ω）[mn- 明尼苏达州-1]-（ω） [mn- 明尼苏达州-1]-（ω） +[锰- 明尼苏达州-1] +（ω）dun（ω，ω），A∈ Fn，（115）Ohm-n={ω∈ Ohm, [mn- 明尼苏达州-1](ω) ≤ 0},Ohm+n={ω∈ Ohm, [mn- 明尼苏达州-1] （ω）>0}，为真，其中，在可测空间上{Ohm-n×Ohm+n、 F级-n×F+n}，随机值αn（ω，ω）满足条件un（{（ω，ω））∈ Ohm-n×Ohm+n、 αn（ω，ω）>0}）=Pn(Ohm+)Pn编号(Ohm-), （116）ZOhm-新西兰Ohm+nαn（ω，ω）[锰- 明尼苏达州-1]-（ω） [mn- 明尼苏达州-1] +（ω）[锰- 明尼苏达州-1]-（ω） +[锰- 明尼苏达州-1] +（ω）dun（ω，ω）<∞, （117）ZOhm-新西兰Ohm+nαn（ω，ω）dun（ω，ω）=1。（118）此处，测量值un=Pn-x Pn+在可测空间上给出{Ohm-n×Ohm+n、 F级-n×F+n}，它是测度Pn的直接乘积-和Pn+，其中测度Pn+是σ-代数F+n=Ohm+n∩Fn和Pn-是σ-代数F上测度的收缩-n=Ohm-n∩ Fn。定义6。如果everyn=1，我们说正则测度集M是完备的，∞ 测度集qn包含CnχA（ω，ω）+Cnχ类随机值αn（ω，ω）的（115）类测度sOhm-n×Ohm+n\\A（ω，ω），作为A运行σ-alg e bra F的所有集合-n×F+n，其中Cnun（A）+Cnun(Ohm-n×Ohm+n\\A）=1，Cn≥ 0，中国大陆≥ 很明显，正则测度集M是一个凸测度集。关于概率空间{Ohm, F、 P}通过过滤fn，让我们考虑相对于正则测度集M的所有可积非负随机值ζ的集合ao，满足条件sepζ=1，P∈ M、 （119）很明显，集合Ais是非空的，因为它包含随机值ζ=1。更有趣的情况是，一个元素包含多个元素。

因此，我们进一步考虑度量M的正则集与集A，其中包含多个元素。集合Acan包含两个以上的元素。然后，对于每个元素η∈ AEQ{η| Fn}，Q∈ M、 形成局部正则鞅。在下一个引理9中，使用引理5，我们构建了一组与过滤一致的度量。关于概率空间{Ohm, F、 P}，让我们考虑一个非负r andomvalueξ，满足条件s0<P（{ω∈ Ohm, η（ω）<0}）<1,0<P（{ω∈ Ohm, η（ω）>0}，（120），其中我们引入了表示η（ω）=ξ（ω）- 1.emma 5中描述了度量的一组等价度量，使得EQη（ω）=0，我们用M表示。让我们构造可测空间的有限直积{Ohmi、 Fi}，i=1，∞,哪里Ohmi=Ohm, Fi=F。表示Ohm =∞Qi=1Ohmi、 在空间上Ohm, 在σ-代数下，我们理解由集合生成的最小σ-代数∞Qi=1Gi，Gi∈ Fi，其中最后一个乘积仅为Gido的有限集，不等于Ohmi、 关于可测空间{Ohm, F} ，在filtratio n fn下，我们理解由集合生成的最小σ-代数∞Qi=1Gi，Gi∈ Fi，其中Gi=Ohm如果i>n，我们考虑概率空间{Ohm, F、 P}，其中P=∞Qi=1Pi，Pi=P，i=1，∞.关于可测空间{Ohm, F} ，我们引入了度量集M，其中Q属于t到M，如果Q=∞Qi=1 Qi，Qi∈ M、 我们用这些测度Q的集合M的MQa子集表示=∞Qi=1 Qi，Qi∈ M、 只有有限的QI集合与度量值Q不一致∈ M、 引理9。关于可测空间{Ohm, F} 如果过滤fn不存在，则存在与过滤fn相关的一组度量值和非负随机变量ξ，使得公式ξ=1，Q∈ M、 如果满足条件（120）的随机值ξ有界。证据

为了证明引理9，我们需要在可测空间上构造一个非负bo unded随机值ξ{Ohm, F} 和一组等价的度量，使得eqξ=1，Q∈ M、 并证明该套措施与过滤Fn不一致。根据引理9条件，随机值η（ω）=ξ（ω）- 1也已绑定。让我们把ξ=∞Yi=1[1+ai（ω，…，ωi-1） ηi（ωi）]，（121），其中随机值ai（ω，…，ωi-1） 是否为Fi-1-可测量，i=1，∞, 它们满足条件0<ai（ω，…，ωi-1) ≤ bi<1。常数偏差如下：∞Pi=1bi<∞, 随机值ηi（ωi）在{Ohmi、 Fi，Pi}，分布为η（ω）{Ohm, F、 P}。由此可知，随机值ξ以常数为界∞Qi=1[1+Cbi]，其中C>0，且ηi（ωi）|<C，i=1，∞. 很明显，公式ξ=1，Q∈ MQ。真的，EQnYi=1[1+ai（ω，…，ωi-1） ηi（ωi）]=方程n-1n-1Yi=1[1+ai（ω，…，ωi-1） ηi（ωi）]×EQn[1+an-1（ω，…，ωn-1） ηn（ωn）]，（122），其中Q=∞Qi=1Qi，Qn-1=n-1Qi=1Qi，等式[1+an-1（ω，…，ωn-1） ηi（ωn）]=[1+an-1（ω，…，ωn-1） 方程nηn（ωn）]=1。（123）根据上一个等式，我们得到eqnyi=1[1+ai（ω，…，ωi-1） ηi（ωi）]=1。（124）因为ξ=limn→∞nQi=1[1+ai（ω，…，ωi-1） ηi（ωi）]，从等式（124）和在数学期望下达到极限的可能性，我们证明了所需的陈述。让我们证明与过滤Fn一致的度量集mc的存在性。国际单项体育联合会∈ MQ，thenEQ{ξ| Fn}=nYi=1[1+ai（ω，…，ωi-1） ηi（ωi）]，Q∈ MQ。（1 25）由于引理4，这里存在一组度量M，它与过滤和M一致 MQ，公式ξ=1，Q∈ M、 该集合是集合MQ的线性凸跨度。这意味着一组度量值与过滤不一致。证明了emma9。备注2。随机值ξ的有界性不是必要的。对于应用程序，这种情况下，如ai（ω。

，ωi-1） =0，i≥ n+1非常重要（见第8节）。在这种情况下，引理9为真，因为随机值η为可积值。随机值ξ相对于集合中的每个测度也是可积的，并且它是Fn可测的。下面，我们完整地描述了ξ=NQi=1[1+ai（ω，…，ωi）情况下的正则测度集-1） ηi（ωi）]，N<∞, 0<ai（ω，…，ωi-1) ≤ 1，i=1，N，随机值ξ是相对于测度P的N可积值。为此，我们引入了表示：Ohm-= {ω∈ Ohm, η(ω) ≤ 0}, Ohm+= {ω∈ Ohm, η（ω）>0}，P-是σ-代数F上测度的一个牵引-, P+是σ-代数f+，f上测度的压缩-= Ohm-∩ FF+=Ohm+∩ F、 表示U=Ohm-× Ohm+并引入测量u=P-σ-代数=F上的×P+-×F+。让我们引入可测空间{V，L，u}，其中V=NQi=1Ui，Ui=U，i=1，N，是空间Ui=Ohm-i×Ohm+我，Ohm-i=Ohm-, Ohm+i=Ohm+,L=NQi=1g是σ-代数Gi=G，i=1，N的直积。最后，设u=NQi=1uibe是测度ui=u，i=1，N的直积，设νv=NQi=1νωi，ωi，v={（ω，ω），…，（ωN，ωN）}，是测度νωi，ωi=1，N的直积，它是σ-代数fn上每v的一个可数加法函数∈ 五十、 式中，νωi，ωi（Ai）=χAi（ωi）η+i（ωi）η-i（ωi）+η+i（ωi）+χAi（ωi）η-i（ωi）η-ωi的i（ωi）+η+i（ωi）（126）∈ Ohm-i、 ωi∈ Ohm+i、 人工智能∈ 金融机构。在下一个定理8中，我们假设随机值η（ω）是一个可积函数。定理8。关于可测空间{Ohm, F} 使用过滤函数fn，对随机值ξ=NQi=1[1+ai（ω，…，ωi）的正则度量集M进行测量-1） ηi（ωi）]，N<∞, 0<ai（ω，…，ωi-1) ≤ 1，i=1，N，表示q（A）=ZVα（v）νv（A）du（v），（127），其中随机值α（v）满足条件u（{v∈ 五、 α（V）>0}）=[P(Ohm-)P(Ohm+)]N、 （128）ZVα（v）NYi=1η-i（ωi）η+i（ωi）η-i（ωi）+η+i（ωi）du（v）<∞, （129）ZVα（v）du（v）=1。（130）证明。

为了证明定理，需要证明可数加法测度νv（A）在每个固定的v∈ V是从可测空间{V，L}到可测空间{[0，1]，B（[0，1]）}的可测映射，对于每个固定的a∈ FN。对于A=NQi=1Ai，Ai∈ Fi，νv（A）是从可测空间{v，L}到可测空间{[0，1]，B（[0，1]）}的可测映射。类的集合族∈IEi，Ei=NQs=1Ais，Ais∈ Fs，其中EI∩ Ej=, 集合I是一个任意有限集，由U构成集合的alg ebra。由νv（A），νv（Si）的可数可加性∈IEi）=Pi∈Iνv（Ei）是从可测空间{v，L}到可测空间{[0，1]，B（[0，1]）}的可测映射。设T是由uf生成的最小σ-代数∑的一类集合，其中νv（E）是从可测空间{v，L}到可测空间{[0，1]，B（[0，1]）}的可测映射。让我们证明T是一个单调类。假设Ei Ei+1，i=1，∞, 工程安装∈ T、 然后，νv（Ei）≤ νv（Ei+1）。因此，它允许thatlimi→∞νv（Ei）是从可测空间{v，L}到可测空间{[0，1]，B（[0，1]）}的可测映射。但是，νv（Ei+1\\Ei）=νv（Ei+1）- νv（Ei）是从{v，L}到{[0，1]，B（[0，1]）}的可测映射。根据这个等式，可以得出集合Ei+1属于类T。自∞Si=1Ei=E∪∞Si=1【Ei+1\\Ei】，我们有LIMN→∞νv（En）=νv（E）+limn→∞nXi=1νv（Ei+1\\Ei）=νv（E）+∞Xi=1νv（Ei+1\\Ei）=νv（E∪∞[i=1[Ei+1\\Ei]=νv(∞（131）等式（131）表示∞Si=1从νv开始延伸至T(∞Si=1Ei）是{V，L}到{[0，1]，B（[0，1]）}的可测映射。假设Ei Ei+1，Ei∈ T、 i=1，∞. 然后，通过注意序列“Ei=NQi=1”，将这种情况减少到前一种情况Ohmi\\Ei，i=1，∞ 是单调递增的。由此可知，E=∞Si=1’Ei∈ T、 因此，∞Ti=1Ei=NQi=1Ohm我\\∞Si=1’Ei∈ T、 因此，T是一个单调类。但是，U T

因此，T包含由代数U生成的最小单调类，即m（U）=∑，因此∑ T、 因此，νv（E）是a的{v，L}到{[0，1]，B（[0，1]）}的可测映射∈ Σ. 实际上，随机值α（v）满足条件（128）-（130），意味着Q，g由公式（127）给出，是集合和等式ξ的可数加函数∞. 此外，公式ξ=1。很明显，等式{ξ| Fn}=nQi=1[1+ai（ω，…，ωi-1） ηi（ωi）]，Q∈ M、 由于emma 4，这证明了集M是一个正则测度集。证明了定理8。备注3。正则测度集M的表示（127）意味着M是等价测度的凸集。由于随机值α（v）运行所有有界随机值，满足条件（128-130），因此很容易显示度量集νv（A），v∈ 五、 A∈ FN是集合M的极值点集。此外，由于在正则测度集的表示（127）中，Mα（v）运行所有有界随机值，满足条件（128-130），那么M是一个完整的测度集s。定理9。关于概率空间{Ohm, F、 P}有了过滤功能，让Mbe制定一整套措施。如果Everyσ-代数Fn，n=1，∞, 有一个排气口，然后是点集合EQfn（ω），Q的开口∈ Mn，in度量ρ（x，y）=x- y |，x，y∈ R、 包含点集Fn（ω）[mn- 明尼苏达州-1] +（ω）[锰- 明尼苏达州-1]-（ω） +[锰- 明尼苏达州-1] +（ω）+fn（ω）[锰- 明尼苏达州-1]-（ω） [mn- 明尼苏达州-1]-（ω） +[锰- 明尼苏达州-1]+(ω), (132)(ω, ω) ∈ Ohm-n×Ohm+n、 n=1，∞,对于相对于每个测度Q的每个可积∈ mn有限值Fn可测量随机值Fn（ω），其中Ohm-n={ω∈ Ohm, [mn- 明尼苏达州-1](ω) ≤ 0}, Ohm+n={ω∈ Ohm, [mn-明尼苏达州-1](ω) > 0}.证据SinceEQfn（ω）=ZOhm-n×Ohm+nfn（ω）αn（ω，ω）[mn- 明尼苏达州-1] +（ω）[锰- 明尼苏达州-1]-（ω） +[锰- 明尼苏达州-1] +（ω）dun（ω，ω）+ZOhm-n×Ohm+nfn（ω）αn（ω，ω）[mn- 明尼苏达州-1]-（ω） [mn- 明尼苏达州-1]-（ω） +[锰- 明尼苏达州-1] +（ω）dun（ω，ω）。

（133）那么，引理8的证明中使用的所有参数都可以用于引理9的证明，因为EPn | mn- 明尼苏达州-1| < ∞. 证明了定理9。定理10。关于概率空间{Ohm, F、 P}通过过滤Fn，l e t M是一组完整的度量，并让每个σ-代数Fn，n=1，∞, 有一个精疲力尽的职位。假设fn（ω）是一个非负的不可积的fn可测随机值，满足条件EQnfn（ω）≤ 1，Qn∈ 明尼苏达州。然后，存在一个常数αn，取决于fn（ω），因此fn（ω）≤ 1+αn[mn- 明尼苏达州-1](ω) , ω ∈ Ohm. （134）证明。由于测度集M的完备性，让我们用{mn，Fn}表示一个局部正则鞅∞n=0，mn=等式{ξ| Fn}，Q∈ M、 ξ∈ A、 ξ6=1。从测度集M的完备性出发，我们得到了不等式fn（ω）[mn- 明尼苏达州-1] +（ω）[锰- 明尼苏达州-1]-（ω） +[锰- 明尼苏达州-1] +（ω）+fn（ω）[锰- 明尼苏达州-1]-（ω） [mn- 明尼苏达州-1]-（ω） +[锰- 明尼苏达州-1]+(ω)≤ 1, (135)(ω, ω) ∈ Ohm-n×Ohm+n、 在哪里Ohm-n={ω∈ Ohm, [mn- 明尼苏达州-1](ω) ≤ 0}, Ohm+n={ω∈ Ohm, [mn- 明尼苏达州-1](ω) > 0}.让我们表示ξn（ω）=[mn- 明尼苏达州-1](ω) . 然后，将公式（135）写入mfn（ω）ξ+n（ω）ξ-n（ω）+ξ+n（ω）+ξ-n（ω）ξ-n（ω）+ξ+n（ω）fn（ω）≤ 1, ω∈ Ohm-n、 ω∈ Ohm+n、 （136）从不等式（136）中，我们得到不等式fn（ω）≤ 1 +1 - fn（ω）ξ-n（ω）ξ+n（ω），（137）ξ-n（ω）>0，ξ+n（ω）>0，ω∈ Ohm-n、 ω∈ Ohm+n、 （138）可能有两种情况：a）对于所有ω∈ Ohm-n、 fn（ω）≤ 1.b） 存在ω∈ Ohm-nsuch thatfn（ω）>1。首先，让我们考虑案例a）。因为不等式（137）对每个值都有效1-fn（ω）ξ-n（ω），asξ-n（ω）>0，和fn（ω）≤ 1, ω∈ Ohm-n、 那么，如果表示αn=inf{ω，ξ-n（ω）>0}1- fn（ω）ξ-n（ω），（139）我们有0≤ αn<∞ andfn（ω）≤ 1+αnξ+n（ω），ξ+n（ω）>0，ω∈ Ohm+n、 （140）根据αn的定义，我们得到了不等式fn（ω）≤ 1.- αnξ-n（ω），ξ-n（ω）>0，ω∈ Ohm-n、 （141）现在，如果ξ-对于某些ω，n（ω）=0∈ Ohm-n、 那么在这种情况下fn（ω）≤ 所有这些不等式都给出了不等式fn（ω）≤ 1+αnξn（ω），ω∈ Ohm-n∪ Ohm+n

（142）考虑案例b）。从不等式（137）中，我们得到不等式fn（ω）≤ 1.-1.- fn（ω）-ξ-n（ω）ξ+n（ω），（143）ξ-n（ω）>0，ξ+n（ω）>0，ω∈ Ohm-n、 ω∈ Ohm+n、 （144）不等式（143）给出了不等式1- fn（ω）-ξ-n（ω）≤ inf{ω，ξ+n（ω）>0}ξ+n（ω）<∞, ξ-n（ω）>0，ω∈ Ohm-n、 （145）让我们定义αn=sup{ω，ξ-n（ω）>0}1-fn（ω）-ξ-n（ω）<∞. 然后，从（143）我们得到不等式fn（ω）≤ 1.- αnξ+n（ω），ξ+n（ω）>0，ω∈ Ohm+n、 （146）根据αn的定义，我们得到了不等式fn（ω）≤ 1+αnξ-n（ω），ξ-n（ω）>0，ω∈ Ohm-n、 （147）不等式（146），（147）给出了不等式fn（ω）≤ 1.- αnξn（ω），ω∈ Ohm-n∪ Ohm+n、 （148）证明了定理10，因为Ohm-n∪ Ohm+nhas概率为1。定理11。关于概率空间{Ohm, F、 P}通过过滤Fn，l e t M是一组完整的度量，并让每个σ-代数Fn，n=1，∞, 有一个精疲力尽的职位。然后，every非负超鞅{fn，fn}∞n=0是一个本地调节器。证据在不丧失一般性的情况下，我们假设fn≥ d> 0。从最后一个事实来看，我们获得了-1.≤ 1，Qn∈ Mn，n=1，∞. （149）不等式（149）和定理4、10证明了定理11。定理12。关于概率空间{Ohm, F} 通过过滤Fn，让M是一组完整的度量，并让每个σ-代数Fn，n=1，∞, 有一个精疲力尽的职位。然后，从下超鞅{fn，fn}的每一个有界∞n=0是本地正则表达式。证据自超鞅{fn，fn}∞n=0以下面的fr为界，则存在fn+C>0的区域数C。如果考虑超鞅{fn+C，fn}∞n=0，那么定理11的所有条件都是真的。证明了定理12。5局部正则超鞅相对于正则测度集的描述。在这一节中，我们给出了局部正则超鞅的描述。定理13。关于可测空间{Ohm, F} 有了过滤功能，让M成为一组常规的度量值。

如果{fm，fm}∞m=0是一个自适应随机过程，满足条件fm≤ fm公司-1，EPξ| fm |<∞, P∈ M M=1，∞, ξ ∈ A、 （150）然后随机过程{fmEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0，P∈ M、 （151）是相对于正则测度M证明的局部正则超鞅。根据定理3，随机过程{EP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是相对于常规度量值集m的马丁格啤酒。因此，fm-1EP{ξ| Fm-1} - EP{fmEP{ξ| Fm}| Fm-1} =EP{（fm-1.- fm）EP{ξ| fm}| fm-1} ，m=1，∞. （152）因此，如果将“gm=（fm-1.- fm）EP{ξ| fm}，m=1，∞, 然后是“gm”≥ 0，为Fm可测量且EP'gm≤ EPξ（| fm-1 |+| fm |）<∞. 根据定理1，我们得到了定理13的证明。推论1。如果fm=α，m=1，∞, α ∈ R、 ξ∈ A、 然后{αEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是局部正则鞅。假设ξ=1，则{fm，fm}∞m=0是相对于正则测度集m的局部正则超鞅。表示f适应过程集f={f={fm}∞m=0，P（| fm |<∞) = 1，P∈ M、 fm公司≤ fm公司-1}. （153）对于每ξ∈ A、 让我们介绍一组自适应过程slξ={f={fmEP{ξ| Fm}}∞m=0，{fm}∞m=0∈ F、 EPξ| fm |<∞, P∈ M} ，（154）andV=[ξ∈ALξ。（155）推论2。集合K中的每个随机过程，其中K=（mXi=1Ci'fi，'fi∈ 五、 Ci公司≥ 0，i=1，m，m=1，∞), （156）是可测空间上相对于正则测度集M的局部正则超鞅{Ohm, F} 有过滤功能。证据证据很明显。定理14。关于可测空间{Ohm, F} 有了过滤功能，l e t M将成为一种常规的测量方法。假设{fm，fm}∞m=0是相对于测度集m的非负一致可积超鞅，则它是局部正则的必要条件和充分条件属于集K证明。必要性。很明显，如果{fm，fm}∞m=0属于K，则它是一个局部正则的超级标记。效率。

假设{fm，fm}∞m=0是一个非负一致可积局部正则超鞅。然后，存在一个非负适应过程{gm}∞m=1，EP“gm<∞, m=1，∞, 和一个鞅{Mm，Fm}∞m=0，因此fm=Mm-mXi=1？gi，m=0，∞. （157）那么，Mm≥ 0，m=0，∞, EPMm<∞, P∈ M、 自0<EPMm=f<∞,我们有EPmPi=1？gi<f。让我们把g∞= limm公司→∞mPi=1？gi。利用{fm，fm}的一致可积性∞m=0，我们可以传递到等式ep（fm+mXi=1'gi）=f，P中的极限∈ M、 （158）作为M→ ∞. 通过最后一个等式的极限，如m→ ∞, 我们获得EP（f∞+ g级∞) = f、 P∈ M、 （159）考虑一个随机值ξ=f∞+g级∞f、 那么，EPξ=1，P∈ M、 从这里，我们得到ξ∈ AandMm=fEP{ξ| Fm}，m=0，∞. （160）让我们把“fm=-mPi=1？gi。很容易看出，自适应随机过程f={fm，fm}∞m=0属于F。因此，对于超级智能键F={fm，fm}∞m=0表示f=\'f+\'f有效，其中\'f={fEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0属于Lξ，ξ=f∞+g级∞fand fm=f，m=0，∞. 对于ξ=1的“fw”，同样有效。这意味着f属于setK。证明了定理14。定理15。关于可测空间{Ohm, F} 有了过滤功能，就有了一套规范的衡量标准。假设超鞅{fm，fm}∞m=0相对于测量集m满足条件| fm |≤ Cξ，m=1，∞, ξ∈ A、 0<C<∞, （161）那么它是局部正则的必要条件和充分条件属于集K证明。这种必要性是显而易见的。效率。假设{fm，fm}∞m=0是局部正则超鞅。然后，存在一个非负的自适应随机过程{gm}∞m=1，EP？gm<∞, m=1，∞,还有一个马丁格尔{Mm}∞m=0，EP | Mm |<∞, m=1，∞, P∈ M、 此类t hatfm=Mm-mXi=1？gi，m=0，∞. （162）不等式fm+Cξ≥ 0，m=1，∞, 给出不等式Fm+CEP{ξ| Fm}≥ 0，m=0，∞.