离散时间不完备金融市场的描述

（163）由不等式（161）可知，超鞅{fm，fm}∞m=0是相对于正则测度集m的一个非均匀可积函数。鞅{EP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0相对于正则测度集m也是一致可积的。那么，Mm+CEP{ξ| Fm}≥ 0，m=0，∞. 因为0<EP[毫米+CEP{ξ| Fm}]=f+C<∞, 我们有EPmPi=1？gi<f+C。让我们把g∞= limm公司→∞mPi=1？gi。利用fmandmPi=1'gi的均匀性，我们可以传递到等式ep（fm+mXi=1'gi）=f，P中的极限∈ M、 （164）作为M→ ∞. 通过最后一个等式的极限，如m→ ∞, 我们获得EP（f∞+ g级∞) = f、 P∈ M、 （165）考虑一个随机值ξ=f∞+Cξ+g∞f+C≥ 0。那么，EPξ=1，P∈M、 从这里，我们得到ξ∈ a对于超鞅f={fm，fm}∞m=0表示形式Fm=fmEP{ξ| Fm}+fmEP{ξ| Fm}+fmEP{ξ| Fm}，m=0，∞, （166）有效，其中fm=-C、 fm=f+C，fm=-mPi=1？gi，m=0，∞, ξ= 1. 从上一个表示式可以看出，超鞅f={fm，fm}∞m=0属于setK。证明了定理15。推论3。设fN，N<∞, 是FN可测可积随机值，支持∈MEP | fN |<∞, 让α存在∈ R如此-αMN+fN≤ 0, ω ∈ Ohm,其中{Mm，Fm}∞m=0={EP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0，ξ∈ A、 然后，一个超鞅{fm+(R)fm}∞m=0是相对于测量值m的规则集的局部规则值，其中fm=αMm，（167）(R)fm=n0，m<N，fN- αMN，m≥ N、 （168）证明。很明显，fm-1.-“”调频≥ 0，m=0，∞. 因此，超鞅fm+(R)fm=（αMm，m<N，fN，m=N，fN- αMN＋αMm，m＞N（169）是一个局部正则测度，与测度m的正则集有关。

证明了推论3。6相对于一组完备测度的超鞅的可选分解。在这一节中，我们证明了有界超鞅是关于完备测度集的局部正则r鞅。6.1具有有限分解的可测空间。在本小节和下一小节中，我们重新表述了论文[1]的结果。让{Ohm, F} bea可测量空间。我们假设σ-alg ebra F是集合子集的某个有限代数Ohm. 我们给出了一个新的证明，证明了相对于完备测度集的超马氏体的可选分解。这个证明没有使用[17]中的拓扑参数。让Fn Fn+1 F是代数的增集，其中F={, Ohm},FN=F。表示M是可测空间上的完整度量集{Ohm, F} 。很明显，每个代数Fn都是由集Ani，i=1，Nn，Ani生成的∩ Anj=, i 6=j，Nn<∞,NnSi=1Ani=Ohm, n=1，n。很明显，这种分解是呼出的。设mn=EP{ξ| Fn}，P∈ M、 n=1，n，ξ∈ A、 然后，对于mn，表示mn=NnXi=1mniχAni（ω），n=1，n，（170）有效。引理10。设M是可测空间上的一组完备测度{Ohm, F} 带着上面的过滤器。然后，对于每个非负有界Fn可测随机值ξn=NnPi=1Cniχani，存在一个实数αnsuch thatfn（ω）=NnPi=1CniχAnisupP∈MnNnPi=1CniP（Ani）≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1） ，n=1，n.（171）证明。随机值fn（ω）满足定理9、10的所有条件。这证明了引理10。定理16。设M是可测空间上的一组完备测度{Ohm, F} 有过滤功能。然后，每个非负超鞅{fm，fm}Nm=0相对于测度集M是局部正则的。证据在不丧失一般性的情况下，我们假设fn>a>0，n=1，n。然后，随机值fnfn-1满足定理10、11的条件。因此，定理4的所有条件都满足。

证明了定理16。定理17。设M是可测空间上的一组完备测度{Ohm, F} 有过滤功能。那么，相对于测度集M的每个有界超鞅{fm，fm}Nm=0都是局部正则的。证据从超鞅{fm，fm}Nm=0的有界性来看，存在常数C>0，使得3c>fm+C>C，ω∈ Ohm, m=0，N。由此可知，t超鞅{fm+C，fm}Nm=0是非负的，并且满足条件sfn+Cfn-1+C≤ 3，n=1，n.（172）这意味着满足定理16的条件。证明了定理17。6.2具有可数分解的可测空间。在这一小节中，我们将上一小节的结果推广到可测空间上{Ohm, F} 用可数分解。让Fn Fn+1 F是σ-alg ebras的某个递增集，其中F={, Ohm}.假设σ-代数fng由集合Ani生成，i=1，∞, Ani公司∩ Anj=, i 6=j，∞Si=1Ani=Ohm, n=1，∞. 我们假设F=σ(∞Wn=0Fn）。表示M是可测空间上的一组完整测度{Ohm, F} 。引入鞅mn=EP{ξ| Fn}，P∈ M、 n=1，∞, ξ∈ A、 然后，对于mn代表mn=∞Xi=1mniχAni（ω），n=1，∞, （173）有效。引理11。设M是可测空间上的一组完备测度{Ohm, F} 带着上面的过滤器。然后，对于每个非负有界Fn可测的随机值ξn=∞Pi=1CniχAni，存在实数αnsuch thatfn（ω）=∞Pi=1CniχAnisupP∈明尼苏达州∞Pi=1CniP（Ani）≤ 1+αn（mn- 明尼苏达州-1） ，n=1，∞. （174）证明。每个σ-代数Fn，n=1，∞, 具有详尽的分解。随机值fn（ω）满足定理9，1，0的所有条件。这证明了引理11。定理18。设M是可测空间上的一组完备测度{Ohm, F} 有过滤功能。然后，每个非负超鞅{fn，fn}∞n=0相对于度量集s M是局部正则度量集。证据

在不丧失一般性的情况下，我们假设fn>a>0，n=1，n。然后，随机值fnfn-1满足定理10、11的条件。因此，定理4的所有条件都满足。定理18得到证明。7主要超级马丁尼啤酒的当地特殊性。在这一部分中，我们给出了与完备测度集相关的优化超鞅是局部正则超鞅的初等证明。定理19。关于可测空间{Ohm, F} 有了过滤功能，就有了一套完整的衡量标准。然后，每个有界超鞅{fn，fn}∞n=0相对于度量集s M是局部正则度量集。证据从定理19的条件来看，存在一个常数0<C<∞ 使| fn |≤C、 n=1，∞. 考虑超鞅{fn+C，fn}∞n=0。然后，0≤ fn+C≤ 2C。根据定理18，对于超鞅{fn+C，fn}∞n=0局部规则性是正确的。所以，同样的陈述对于超鞅{fn，fn}也是有效的∞n=0。证明了定理19。下一个定理被类比地证明为定理19。定理20。关于可测空间{Ohm, F} 有了过滤功能，让M成为一套完整的衡量标准。然后，一个超鞅{fn，fn}∞n=0相对于满足条件| fn |≤ Cξ，fn+Cξ≤ C、 n=1，∞, ξ∈ A、 （175）对于某些常数0<C，C<∞, 是当地的常规产品。8离散几何布朗运动。在这一部分中，我们为风险资产的离散演化构造了一组等价鞅测度，并给出了一个新的超级套期公平价格公式。允许Ohm=R、 F=B（R），其中Ris是实轴，B（R）是R的Borelσ-代数Ohmi=Ohm, Fi=F，i=1，∞, 让我们构造可测空间的有限直积{Ohmi、 Fi}，i=1，∞. 标志Ohm =∞Qi=1Ohmi。

在σ-代数F上Ohm,我们理解由集合生成的最小σ-代数∞Qi=1Gi，Gi∈ Fi，其中在上一个产品中，只有Gido的有限集合不相等Ohmi、 关于可测空间{Ohm, F} ，在过滤Fn下，我们理解由集合生成的最小σ-代数∞Qi=1Gi，Gi∈ Fi，其中Gi=Ohm如果i>n。假设点t=0，t，t，tn，属于R+带t=ti- ti公司-1不取决于指数i。让我们考虑概率空间{Ohm, F、 P}，其中P=∞Qi=1Pi，Pi=P，i=1，∞,P（A）=[2πt] 1/2ZAe-y2级tdy，A∈ F、 （176）定义集合t=0，t，t，tn，离散布朗运动。我们说随机过程w（ti），i=0，∞, 是离散布朗运动，如果{Ohm, F} j点分布函数由公式P（w（ti）给出∈ Ai，w（tik）∈ Aik）=DZAi×。。。×艾克-yi2ti×。×e-[耶-yik公司-1]2tikdyi。dyik，Ais∈ Fis，（177）D=[2π]k/2[ti×。× tik]1/2，tis=tis- tis公司-1、在集合t，t，t，…，上的随机过程w（ti）上定义，tn，w（0）=0时，相对于k上的位移是均匀的t、 其中k≥ 1，nd是一个自然数，具有独立的增量、零期望和相关函数EPw（ts）w（tk）=min{ts，tk}。我们假设无风险资产的演变由公式Bn=ertn，n=0给出，∞, 其中r是利率。让我们考虑一下{Ohm, F、 P}两个风险资产演化的案例，由定律“Sn=Seσw（tn），（178）Sn=Se（u-σ） tn+σw（tn）。（179）此外，我们考虑了风险资产的贴现演变SN=(R)SnBn=Seσw（tn）-rtn，（180）Sn=(R)SnBn=Se（u-σ-r） tn+σw（tn）。

（18 1）以Sn=（1+ρn）Sn的形式表示这些演化是很方便的-1，n=1，∞, （182）ρn=eσ（w（tn）-w（tn-1))-rt型- 1，ρn=e（u-σ-r）t+σ（w（tn）-w（tn-1))- 1，相应。关于概率空间{Ohm, F、 P}用过滤函数，为了进一步研究，可以方便地用等价形式表示布朗运动。我们用随机值ζn=nPi=1yi，yi的序列表示布朗运动∈ Ohmi、 n=1，∞, 使用联合分布函数sp（ζi∈ Ai，ζik∈ Aik）=DZAi×。。。×艾克-yi2it×。×e-[耶-yik公司-1] 2（ik-ik-1)tdyi。dyik，Ais∈ Fis，（183）D=[2π]ik/2[t] ik/2[i（i- i） ×。×（ik- ik-1)]1/2.然后，我们可以将风险资产的贴现演变改写为sn=Seσζn的形式-nr编号t、 （184）Sn=Se（u-σ-r） n个t+σζn.（185）可以方便地以Sn=（1+ρn（yn））Sn的形式表示这些折扣演变-1，n=1，∞, （186）ρn（yn）=eσyn-rt型- 1=ρ（yn），ρn（yn）=e（u-σ-r）t+σyn- 1=ρ（yn），对应。关于可测空间{OhmN、 FN}过滤FN，N=0，N，在其上，其中OhmN=NQi=1Ohmi、 FN=NQi=1Fi，让我们考虑一组度量值MN。度量值Q属于MN，如果Q=NQi=1Qi，其中Qi∈ 每季度的需求∈ M此处显示\'Q（A）=ZOhm-ZOhm+χA（y）α（y，y）ρ+（y）ρ-（y） +ρ+（y）du（y，y）+ZOhm-ZOhm+χA（y）α（y，y）ρ-（y） ρ-（y） +ρ+（y）du（y，y），A∈ F、 （187）Ohm-= {y∈ R、 ρ（y）≤ 0}={y∈ R、 y型≤rtσ}，Ohm+= {y∈ R、 ρ（y）>0}={y∈ R、 y>Rtσ}，有效，其中ρ（y）=ρ+（y）- ρ-（y） ，ρ（y）=eσy-rt型- 1，u=P-×P+，P-（A） =[2πt] 1/2ZAe-y2级tdy，A∈ B（Ohm-),P+（A）=[2πt] 1/2ZAe-y2级tdy，A∈ B（Ohm+).关于可测空间{Ohm-× Ohm+, B类(Ohm-) ×B(Ohm+)}, r和om值α（y，y）满足以下条件：u（{（y，y）∈ Ohm-× Ohm+, α（y，y）>0}）=P(Ohm+)P(Ohm-), （1 88）ZOhm-ZOhm+α（y，y）ρ-（y） ρ+（y）ρ-（y） +ρ+（y）du（y，y）<∞, （189）ZOhm-ZOhm+α（y，y）du（y，y）=1。

（190）每个有界随机值α（y，y）>0，（y，y）∈ R-×R+，满足条件（1 88）-（190），如果σ<2t、 自EP |ρ（y）|<∞. 这意味着折扣演化的等价鞅测度集mn Sn=Seσζn-注册护士tof风险资产包含一个以上的单一度量。在这种情况下，金融市场是一个不完整的市场。表示MN=mnc度量集MN的凸线性跨度。关于可测空间{OhmN、 FN}过滤FN，N=0，N，与定理8一致，测度集mn是一组正则测度，随机变量ξ=NQi=1（1+ρi（yi）），因为定理8中的随机值η=ρ（y）是相对于测度Pand的整数，因此，等式ξ=1，Q∈ 明尼苏达州。定理21。在可测空间上{OhmN、 FN}对于过滤FN，N=0，N，让贴现风险资产演变由公式Sn=SeσζN给出-nr编号tσ<2t、 对于支付函数f（SN），满足条件supQ∈MNEQf（SN）<∞, 超级对冲基金的价值由公式SUPQ给出∈MNEQf（SN）=sup{yi≤-d、 易>-d、 i=1，N}Xi=1，。。。，iN=1fSNYs=1（1+ρ（yiss））！×NYs=1 | eσ（d+yis+1s）- 1 | | eσ（d+yis+1s）- eσ（d+yiss）|，（191），其中我们将d=-rtσ，ys=ys。证据Borelσ-代数B（R）是通过穷举分解生成的，因为它有一组可数的区间，区间的两端具有生成B（R）的随机数。因此，过滤离子Fn，n=1，n，由于显著1，具有彻底分解。定理11保证了超级对冲的公平价格公式[1]。由于定理8后的注释3，度量集Nqi=1u{yi，yi}，其中u{yi，yi}（A）=χA（yi）ρ+i（yi）ρ-i（yi）+ρ+i（yi）+χA（yi）ρ-i（yi）ρ-i（yi）+ρ+i（yi），（192）（yi，yi）∈ Ohm-i×Ohm+我，Ohm-i=Ohm-, Ohm+i=Ohm+, i=1，N，形成测度MN凸集的极值点。

公式（191）是通过对随机值f（SN）的被测值qi=1u{yi，yi}进行积分并对所有极值点集进行支持而得到的。这证明了定理21。现在，让我们考虑一下这种情况，ρn（yn）=e（u-σ-r）t+σyn- 1=ρ（yn）。关于可测空间{OhmN、 FN}过滤FN，N=1，N，o，其中OhmN=NQi=1Ohmi、 FN=NQi=1Fi，我们引入了一组度量MN。A如果Q=NQi=1Qi，则Q属于MN∈ M、 每季度∈ M表示法Q（A）=ZOhm-ZOhm+χA（y）α（y，y）ρ+（y）ρ-（y） +ρ+（y）du（y，y）+ZOhm-ZOhm+χA（y）α（y，y）ρ-（y） ρ-（y） +ρ+（y）du（y，y），A∈ F、 （193）Ohm-= {y∈ R、 ρ（y）≤ 0}=（y∈ R、 y型≤ -(u -σ- r）tσ），Ohm+= {y∈ R、 ρ（y）>0}=（y∈ R、 y>-(u -σ- r）tσ）有效，其中ρ（y）=ρ+（y）- ρ-（y） ，ρ（y）=e（u-σ-r）t+σy- 1，u=P-×P+，P-（A） =[2πt] 1/2ZAe-y2级tdy，A∈ B（Ohm-),P+（A）=[2πt] 1/2ZAe-y2级tdy，A∈ B（Ohm+).关于可测空间{Ohm-× Ohm+, B类(Ohm-) ×B(Ohm+)}, r和om值α（y，y）满足条件u（{（y，y））∈ Ohm-× Ohm+, α（y，y）>0}）=P(Ohm+)P(Ohm-), （1 94）ZOhm-ZOhm+α（y，y）ρ-（y） ρ+（y）ρ-（y） +ρ+（y）du（y，y）<∞, （195）ZOhm-ZOhm+如果σ<2，则α（y，y）du（y，y）=1，（196）对于每个有界α（y，y）>0t、 自EP |ρ（y）|<∞. 表示MN=mnc度量集MN的凸线性跨度。关于可测空间{OhmN、 FN}对于过滤FN，N=0，N，根据定理8，度量集mn是一组正则度量集，随机变量ξ=NQi=1（1+ρi（yi）），因为定理8中所示的随机值η=ρ（y）是相对于度量Pand的可积值，因此，等式ξ=1，Q∈ 明尼苏达州。这意味着折扣演变的等价比例度量集mn Sn=Se（u-σ-r） n个风险资产的t+σζnof包含多个鞅测度。在这种情况下，金融市场是一个完整的市场。定理22。

在可测空间上{OhmN、 FN}对于过滤FN，N=0，N，让分离风险资产演变由公式Sn=Se（u）给出-σ-r） n个t+σζnσ<2t、 对于支付函数f（SN），满足条件supQ∈MNEQf（SN）<∞,超级对冲的公平价格由公式SUPQ给出∈MNEQf（SN）=supyi≤-d、 易>-d、 i=1，NXi=1，。。。，iN=1fSNYs=1（1+ρ（yiss））！×NYs=1 | eσ（d+yis+1s）- 1 | | eσ（d+yis+1s）- eσ（d+yiss）|，（197），其中d=（u-σ-r）tσ，ys=ys。定理22的证明与定理21.9结论的证明相同。本文推广了文[1]的结果。第2节包含局部正则超鞅的定义。定理1给出了超鞅局部正则性的充要条件。尽管定理1很简单，但它对于描述局部正则超鞅似乎非常有用。第3节包含与过滤一致的一组等效度量的重要定义3。在引理3中，我们给出了一组与过滤一致的等价度量的示例。定理2包含了在可测空间上存在非负超鞅的充分条件，其测度集与过滤一致。定理3给出了保证可测空间上正则鞅存在的充分条件。引理4给出了一组与过滤一致的度量存在的充分条件。引理5描述了与给定度量相等的度量集，并满足以下条件：给定随机值相对于每个此类度量的数学期望值等于零。

在引理6中，我们得到了测度集等价于一个给定测度并满足条件的表示：给定随机值相对于每个随机值的条件期望为零。最后，定理4给出了非负超鞅局部正则性的充要条件。在第4节的引理7中，我们研究了在基本事件的可数空间中所考虑的测度集的闭包。证明了在度量（8 5）中，所考虑的度量集的闭包包含度量集（86）。进一步，我们引入了可测空间的穷举分解的概念。利用这个概念，在引理8中，我们描述了所考虑的度量集相对于度量的逐点收敛的闭包，以及期望值相对于该度量集的闭包。定理5是引理5的一个结果，包含了度量集的描述，与给定的度量相等，与之相关的期望值是相等的。定理6说明了当度量集（107）与过滤一致时的必要条件和充分条件。在定理7中，我们给出了与度量集过滤一致的必要条件和充分条件（107）。定理7说明了与度量集过滤一致的必要和充分条件（107）。使用引理5，在引理9中，我们构建了一个与过滤一致的度量集示例。