离散时间不完备金融市场的描述

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英文标题：
《Description of Incomplete Financial Markets for the Discrete Time
  Evolution of Risk Assets》
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作者：
N.S. Gonchar
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In the paper, the martingales and super-martingales relative to a regular set of measures are systematically studied. The notion of local regular super-martingale relative to a set of equivalent measures is introduced and the necessary and sufficient conditions of the local regularity of it in the discrete case are founded. The regular set of measures play fundamental role for the description of incomplete markets. In the partial case, the description of the regular set of measures is presented. The notion of completeness of the regular set of measures have the important significance for the simplification of the proof of the optional decomposition for super-martingales. Using this notion, the important inequalities for some random values are obtained. These inequalities give the simple proof of the optional decomposition of the majorized super-martingales. The description of all local regular super-martingales relative to the regular set of measures is presented. It is proved that every majorized super-martingale relative to the complete set of measures is a local regular one. In the case, as evolution of a risk asset is given by the discrete geometric Brownian motion, the financial market is incomplete and a new formula for the fair price of super-hedge is founded.
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中文摘要：
本文系统地研究了与正则测度集相关的鞅和超鞅。引入了局部正则超鞅相对于一组等价测度的概念，建立了离散情形下局部正则超鞅的充要条件。规则的衡量标准对于描述不完全市场起着基础性作用。在部分情况下，给出了正则测度集的描述。正则测度集的完备性概念对于简化超鞅的可选分解的证明具有重要意义。利用这个概念，得到了一些随机值的重要不等式。这些不等式给出了最优超鞅的可选分解的简单证明。给出了与正则测度集相关的所有局部正则超鞅的描述。证明了每一个相对于完备测度集的优化超鞅都是一个局部正则超鞅。在这种情况下，由于风险资产的演化是由离散几何布朗运动给出的，金融市场是不完全的，因此建立了一个新的超级套期公平价格公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Description_of_Incomplete_Financial_Markets_for_the_Discrete_Time_Evolution_of_R.pdf (401.87 KB)

2022-6-10 23:55:37 上传

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关键词：金融市场 离散时间 inequalities Applications Differential

不完全金融市场的描述，用于风险集合的离散时间演化。N、 乌克兰国家科学院S.GoncharBogolyubov理论物理研究所。本文系统地研究了与正则测度集有关的鞅和超鞅。引入了局部正则超鞅相对于一组等价测度的作用，建立了离散情形下局部正则超鞅局部正则的充要条件。规则的度量集对于描述不完全市场起着基础性的作用。在部分情况下，给出了正则测度集的描述。正则测度集的完备性概念对于简化超级马丁盖尔的可选分解的证明具有重要意义。利用这个概念，得到了一些随机值的重要不等式。这些不等式给出了最优超鞅的可选分解的简单证明。给出了与正则测度集相关的所有局部正则超级马丁大风的描述。证明了每一个相对于完备测度集的最优超鞅都是一个局部正则超鞅。在这种情况下，由于风险资产的演化是由离散几何布朗运动给出的，金融市场是不完整的，因此建立了一个新的超级对冲公平价格公式。关键词：随机过程；常规措施；可选Doob分解；当地正规超市；鞅；离散几何布朗运动。2010 MSC 60G07，60G42.1简介本论文是论文[1]的延续。

其中，发展了一种研究与正则测度集相关的鞅和超鞅的新方法。引入了相对于正则测度集的局部正则超鞅的概念，并在上述定义的超鞅是局部正则超鞅的情况下找到了必要的充分条件。最后一个事实允许我们描述局部正则超鞅。在可测空间上，引入了与过滤一致的等价度量集的概念。这样一套措施保证了一套有效的非负性超级市场的存在。下一个重要的事实是在这样一个可测空间上存在一个martinga le。此外，我们还介绍了规范度量集的重要概念。在部分情况下，我们完整地描述了一组正则测度。引入了正则测度集完备性的一个重要概念。为了证明局部正则鞅的正则测度集是一个完整的测度集，我们描述了一个给定测度的等价测度集，它满足以下条件：与该测度集的每个测度相关的给定随机值的期望值为零。这组度量值的每个度量值的表示以及σ-代数的穷举分解的注释，使我们有可能证明这项工作的等价度量值集部分得到乌克兰国家科学院的支持（项目编号0118U003196）。正则鞅是完全鞅。这一概念非常重要，因为它允许找到某类随机变量的一些重要不等式。

这些不等式简化了一类多数超鞅的可选反分解的证明。正则测度集完备性的不确定性使得我们可以给出一个非负超马氏体的可选分解的新证明。这个证明没有使用无套利方程和可测选择[2]、[3]、[4]、[5]。首先，El Karoui N.和Quenez M.C.[6]开启了选择性减压的蒸馏过程——超级马丁酒。之后，Kramkov D.O.和Follmer H.[2]，[3]证明了非负有界超马氏体的可选分解。Folmer H.和Kabanov Yu。M、 [4]，[5]证明了任意上鞅的类似结果。最近，Bouchard B.和Nutz M【7】考虑了一类离散模型，并证明了可选分解有效性的必要和充分条件。超鞅的可选分解在不完全市场风险评估中起着基础性作用[2]、[3]、[6]、[8]、[9]、[10]、[11]。本文考虑的问题是数学金融中出现的关于超鞅的可选分解的相应问题的推广，该问题与不完全金融市场中超级对冲策略的构建有关。最后，当风险资产通过离散几何布朗运动演化时，我们考虑将所得结果应用于寻找超级套期公平价格的新公式。2相对于一组等价测度的局部正则超鞅。我们假设在可测空间{Ohm, F} 过滤Fm Fm+1 F、 m=0，∞,给出了F上的一组等价测度M。

此外，我们假设F={, Ohm}σ-代数F=σ(∞Wn=1Fn）是由代数生成的最小σ-代数∞Wn=1Fn。一个随机过程ψ={ψm}∞m=0被认为是相对于过滤离子{Fm}进行调整的值∞m=0，如果ψmis是fm可测量的随机值，m=0，∞.定义1。自适应随机过程f={fm}∞m=0被认为是相对于过滤Fm的超鞅，m=0，∞, 和等价测度族M，ifEP | fm |<∞, m=1，∞, P∈ M、 与不等式ep{fm | Fk}≤ fk，0≤ k≤ m、 m=1，∞, P∈ M、 （1）有效。此外，对于自适应过程f，我们使用两个表示{fm，fm}∞m=0，且方向{fm}∞m=0。定义2。一个超鞅{fm，fm}∞m=0相对于一组等效度量m是局部正则度量，如果支持∈MEP | fm |<∞, m=1，∞, 存在一个自适应非负增长随机过程{gm，Fm}∞m=0，g=0，支持∈MEP | gm |<∞, m=1，∞, 这样{fm+gm，fm}∞m=0是相对于m的每个度量的鞅。下一个基本定理1将在以后非常有用。定理1。Le t a超鞅{fm，fm}∞m=0，相对于一组等效测量值，应确保∈MEP | fm |<∞, m=1，∞. 它是局部正则过程的必要条件和充分条件是存在一个适当的非负随机过程{gm，Fm}∞m=0，支持∈MEP | gm |<∞, m=1，∞, 就这样-1.- EP{fm | fm-1} =EP{gm | Fm-1} ，m=1，∞, P∈ M、 （2）证明。必要性。如果{fm，fm}∞m=0是局部正则超鞅，则存在一个鞅{Mm，Fm}∞m=0和非递减非负随机过程{gm，Fm}∞m=0，g=0，这样Fm=(R)Mm- gm，m=1，∞. （3） 从这里，我们得到等式ep{fm-1.- fm | fm-1} ==EP{gm- 克-1 | Fm-1} =EP{gm | Fm-1} ，m=1，∞, P∈ M、 （4）我们引入了“gm=gm”的表示- 克-1.≥ 0.很明显，EP'gm≤支持∈MEPgm+支持∈MEPgm公司-1< ∞.效率。

假设存在一个适应的非负随机过程'g={gm}∞m=0，\'g=0，EP'gm<∞, m=1，∞, 使等式（2）保持不变。让我们考虑随机过程{Mm，Fm}∞m=0，其中'm=f，'Mm=fm+mXi=1'gm，m=1，∞. （5） 很明显，EP | Mm |<∞ andEP{毫米-1.-毫米调频-1} =EP{fm-1.- fm公司- \'gm | Fm-1} = 0. （6） 证明了定理1。引理1。任意超鞅{fm，fm}∞m=0相对于一系列度量值m，其中有等式EPfm=f，m=1，∞, P∈ M、 是一种马丁酒，与此系列指标和过滤形式有关，M=1，∞.证据引理1的证明见[12]。在下一个引理中，我们给出了相对于M引理2中的另一个度量的条件期望的计算公式。关于可测空间{Ohm, F} 有了过滤fn，让M是一个s et o F等价测度，让ξ是一个积分随机值。然后，下列公式sep{ξ| Fn}=EPξИPn | Fn, n=1，∞, （7） 有效，式中ДPn=dPdPEP公司dPdP | Fn-1，P，P∈ M、 （8）证明。引理2的证明是显而易见的。3相对于一组等价测度的局部正则超鞅与过滤一致。定义3。关于可测空间{Ohm, F} 对于每一对度量值（Q，Q），我们称之为与过滤Fn一致的一组等价度量值M∈ m度量集sRks（A）=ZAEQ{dQdQ | Fk}EQ{dQdQ | Fs}dQ，A∈ F、 k级≥ s≥ n、 n=0，∞, （9） 属于集合M，其中Mis本身是集合M的直积。引理3。关于可测空间{Ohm, F} 使用过滤fn，测量集m={Q，Q（A）=ZAα（ω）dP，A∈ F、 Q(Ohm) = 1} （10）如果P是衡量{Ohm, F} 一个随机值α（ω）在所有非负随机值上运行，满足条件P（{ω，α（ω）>0}）=1。证据假设（Q，Q）属于M。

那么，dQdQ=α（ω）α（ω），P（{ω，dQdQ>0}）=1，因为等式P（{ω，0<α（ω）<∞}) = 1，P（{ω，0<α（ω）<∞}) = 1是真的。很明显，Rks（A）=ZAEQ{dQdQ | Fk}EQ{dQdQ | Fs}dQ=ZAEQ{dQdQ | Fk}EQ{dQdQ | Fs}α（ω）dP，A∈ F、 k级≥ s≥ n、 n=0，∞. （11） 很容易看出p（{ω，EQ{dQdQ | Fk}EQ{dQdQ | Fs}α（ω）>0}）=1，k≥ s、 （12）sinceP（{ω，EQ{dQdQ | Fk}>0}）=1，k≥ s、 （13）P（{ω，0<EQ{dQdQ | Fs}<∞) = 1，s≥ n、 n=0，∞. （14） 最后一个等式来自度量值Q、qa和P的等价性。总之，这意味着度量值Rks、k的集合≥ s≥ n、 n=0，∞, 属于集合M。对（Q，Q）也是如此∈ M、 证明了引理3。定理2。关于可测空间{Ohm, F} 有了过滤Fn，让一组等效度量M与过滤Fn保持一致。然后，对于每一个非负态值ξ∈MEPξ<∞ , 随机过程{fn，fn}∞n=0是相对于度量值集M的超鞅，而fn=ess supP∈MEP{ξ| Fn}，n=0，∞.证据L和Q∈ M、 然后，由于引理2，对于每一个P∈ MEP{ξ| Fn}=等式（ξ| dPdQEQ{dPdQ | Fn}| Fn）。（15） 如果要放置度量值Rk，k而不是度量值P≥ s≥ n、 对于这对测度（Q，P），我们得到了erks{ξ| Fn}=EQξ| dRksdQEQ{dRksdQ | Fn}| Fn= 公式（ξEQ{dPdQ | Fk}EQ{dPdQ | Fs}| Fn），（16），其中我们考虑了等式EQdRksdQ | Fn= 公式（公式{dPdQ | Fk}公式{dPdQ | Fs}| Fn）=1，k≥ s≥ n、 （17）根据公式（16），它遵循等式SUP∈MEP{ξ| Fn}=ess支持∈RnEP{ξT | Fn}，（18），其中Rn是一组mart-ingales T={Tm}∞m=0相对于测量值Q，使得TM=1，m≤ n、 Tm=等式{dPdQ | Fm}等式{dPdQ | Fs}，m≥ s≥ n、 P∈ M、 不可数随机值集ess sup的定义见【14】。很明显，Tn 田纳西州-1.

让我们考虑一下∈MEP{ξ| Fn}| Fn-1} =等式{ess supT∈RnEP{ξT | Fn}| Fn-1} =等式{supi≥1EP{ξTi | Fn}| Fn-1} =等式{limk→∞最大值1≤我≤kEP{ξTi | Fn}| Fn-1} =limk→∞公式{max1≤我≤kEP{ξTi | Fn}| Fn-1} =limk→∞EP{ξTτk | Fn-1} ≤ess支持∈RnEQ{ξT | Fn-1} ≤ ess支持∈注册护士-1EQ{ξT | Fn-1} =ess支持∈MEQ{ξ| Fn-1} ，（19）式中，τ=1，（20）τi=τi-1，EP{ξTτi-1 | Fn}>EP{ξTi | Fn}，i，EP{ξTτi-1 | Fn}≤ 证明了EP{ξTi | Fn}，i=2，k.（21）引理2。定理3。关于可测空间{Ohm, F} ，F=σ(∞Wi=1Fi），设M为一组与过滤Fn一致的等式uiva l entmeasures。如果存在非负随机值ξ6=1，则EPξ=1，P∈ M、 然后EP{ξ| Fn}，P∈ M、 是一个局部正则鞅。证据由于引理2，随机过程{fn，fn}∞n=0，其中fn=ess supP∈MEP{ξ| Fn}，n=0，∞, 是相对于度量集M的超鞅，即EQ{ess supP∈MEP{ξ| Fn}| Fn-1} ≤ ess支持∈MEP{ξ| Fn-1} ，Q∈ M、 n=0，∞. （22）根据不等式（22），它遵循不等式eqess supP∈MEP{ξ| Fn}≤ 1，n=0，∞. （23）自EQess supP∈MEP{ξ| Fn}≥ EQEQ{ξ| Fn}=1，我们有eqess supP∈MEP{ξ| Fn}=1，Q∈ M、 n=0，∞. （24）不等式（22）和等式（24）给出了等式eq{ess supP∈MEP{ξ| Fn}| Fn-1} =ess支持∈MEP{ξ| Fn-1} ，Q∈ M、 n=1，∞, （25）概率为1时为真。最后一个意思是{fn，fn}∞n=0是相对于度量集M的鞅，其中fn=ess supP∈MEP{ξ| Fn}，n=0，∞. 可能性为1，limn→∞ess支持∈MEP{ξ| Fn}=f∞, 其中随机值f∞是F可测量的。从不等式（23）和Fatou引理[13]，[14]，我们得到了EPF∞≤ 1，P∈ M、 （26）证明f∞= ξ. 走向不平等支持的极限∈MEP{ξ| Fn}≥ EP{ξ| Fn}，（27）作为n→ ∞, 我们得到了不等式f∞≥ ξ. （28）从不等式（26）和不等式（28）中，我们得到不等式1≥ EPf公司∞≥EPξ=1。或EPf∞= 1.

等式EPf∞= 1，EPξ=1，不等式（28）给出等式f∞= ξ，概率为1。证明了引理3。引理4。关于可测空间{Ohm, F} 有了过滤功能，就有了等效的测量值P，Pk，k>1，非负随机值ξ6=1，例如EPi{ξ| Fn}=EP{ξ| Fn}，EPiξ=1，i=2，k，n=0，∞. （29）然后，存在一组与过滤Fn一致的等效度量M，满足条件EPξ=1，P∈ M、 证明。让我们考虑等价测度M的集合，满足条件EP{ξ| Fn}=EP{ξ| Fn}，n=0，∞, P∈ M、 （30）这样一套措施是非空的。假设Q，Q∈ M、 等式{ξ| Fn}=等式{ξ| Fn}，n=0，∞. （31）让我们证明公式EQ（ξEQ{dQdQ | Fk}EQ{dQdQ | Fs}| Fn）=EQ{ξ| Fn}，n≤ s≤ k、 n=0，∞, （32）有效。让我们≥ n、 然后，从等式（3 1）中，我们得到了EQ{EQ{ξ| Fs}| Fn}=EQ{ξ| Fn}。让k≥ s、 然后，EQ{EQ{ξ| Fs}| Fn}=EQ{EQ{ξ| Fk}| Fs}| Fn}=EQ{EQ{EQ{ξ| Fk}dQdQEQ{dQdQ | Fs}| Fn}=EQ{EQ{EQ{ξFk}dqdqdqeq{qdq | Fs}| Fn}=EQ{EQ{ξ| Fk}dQdQEQ{dQdQ | Fs}| Fn}=EQ{EQ{ξ| Fk}EQ{dQdQ | Fs}| Fn}=EQ{ξEQ{dqdqdq | Fk}EQ}{dQdQ | Fs}| Fn}。这证明了公式（32）的正确性。为了完成引理4的证明，需要证明度量集sks（A）=ZAEQ{dQdQ | Fk}EQ{dQdQ | Fs}dQ，A∈ F、 k级≥ s≥ n、 n=0，∞, （33）属于集合M。真的，ERks{ξ| Fn}=等式ξ| dRksdQEQ{dRksdQ | Fn}| Fn=EQ（ξEQ{dQdQ | Fk}EQ{dQdQ | Fs}| Fn）=EQ{ξ| Fn}，（34），其中我们考虑了等式EQdRksdQ | Fn= 公式（公式{dQdQ | Fk}公式{dQdQ | Fs}| Fn）=1，k≥ s≥ n、 （35）由此可知，度量值集Rks∈ M、 这证明了与测度集过滤的一致性。证明了引理4。关于概率空间{Ohm, F、 P}，设ξ为随机值，满足条件0<P（{ω，ξ>0}）<1，0<P（{ω，ξ<0}）。

（36）表示Ohm+= {ω, ξ(ω) > 0}, Ohm-= {ω, ξ(ω) ≤ 0}，设F-, F+是σ-代数F对集合的限制Ohm-和Ohm+, 关联地假设P-和P+是σ-代数F上测度P的收缩-, 相应地，F+。考虑测量的可测量空间{Ohm-× Ohm+, F-×F+，u}，这是可测空间与测度的直接乘积{Ohm-, F-, P-} 以及{Ohm+, F+，P+}，其中u=P-×P+。引入表示ξ+（ω）=ξ(ω), ω ∈ {ξ(ω) > 0},0, ω ∈ {ξ(ω) ≤ 0},(37)ξ-(ω) =-ξ(ω), ω ∈ { ξ(ω) ≤ 0},0, ω ∈ {ξ(ω) > 0}.（38）那么，ξ（ω）=ξ+（ω）- ξ-(ω) .关于可测空间{Ohm-× Ohm+, F-×F+，P-×P+}，我们假设在非负可测函数集α（ω，ω），满足条件u（{（ω，ω））∈ Ohm-× Ohm+, α（ω，ω）>0}）=P(Ohm+)P(Ohm-), （39）ZOhm-ZOhm+α(ω, ω)ξ-(ω)ξ+(ω)ξ-（ω） +ξ+（ω）du（ω，ω）<∞, （40）ZOhm-ZOhm+α（ω，ω）du（ω，ω）=1，（41）是一个非空集。例如，如果随机值ξ是相对于度量P引理5的可积值，则对于有界随机值α（ω，ω）的非空集，此类假设为真f。关于概率空间{Ohm, F、 P}，设一个随机值ξ满足条件（36），并设一个测度Q等价于测度P，使得EQξ=0。