随机多曲线的期限结构建模

多重曲线金融市场是包含以下两组交易资产的金融市场：（i）OIS零息票债券，适用于所有到期日Tě0；（ii）FRA，对于所有期限δP D、所有结算日期Tě0和所有罢工K P R。定义2.2中包含的资产代表我们假设在金融市场中可交易的数量。我们强调，在后危机环境中，必须在OIS债券的基础上考虑FRAcontracts，因为由于银行间交易中隐含的风险，OIS债券无法完全复制FRAcontracts。我们在长期假设下工作，即FRA价格由线性估值函数确定。这一假设是利率建模中的标准假设，也与我们考虑清洁价格的事实相一致，即没有明确建模交易对手和流动性风险的价格（银行间同业拆借利率中当然存在整个银行间市场的交易对手和流动性风险，见图2）。清洁价格是利率衍生品估价的基本数量，也是计算XVA调整的基础，见Grbac和Runggaldier（2015）以及Brigo et al.（2018）第1.2.3节。回顾（2.1），时间tdt `δ时FRA固定支腿的值由δKP pt，t `δq给出。因此，我们得出∏FRApt，t，δ，Kq是具有多条曲线和随机不连续性的K项结构的一个函数7定义2.3。

对于期限δP D和到期日Ta0，T P r0，T s处的远期Ibor利率Lpt，T，δq是满足∏FRApt，T，δ，Kq“0。由于FRA价格的独特性质以及上述定义，基本表示法∏FRApt，T，δ，Kq”δ\'Lpt，T，δq'K'P pt，T'δq紧随其后，而对于T P rT，T'δs，我们当然有∏FRApt，T，δ，Kq“δpLpT，T，δq'KqP pt，T'δq。从这个表达式开始，在没有其他假设的情况下，我们可以将FRA的浮动段的值分解为乘法价差和与期限相关的贴现因子。实际上，设置'Kpδq：“1'δK，我们可以写∏FRApt，T，δ，Kq”'1'δLpt，T，δq'P pt，T'δq'KpδqP pt，T'δq'KpδqP pt，T'δq“：SδtP pt，T，δq''KpδqP pt，T'δq，（2.2），其中Sδtre表示乘法利差，P pt，T，δq表示满足P pt，T，δq”1的贴现因子，用于所有Tě0和δP D。更准确地说，它认为SδT“P pt，T'δq'1'δLpt，T，δq'“1 `δLpt，t，δq1 `δF pt，t，δq，其中F pt，t，δq表示rt，t `δs期间t日的简单复合OIS利率。因此，贴现系数P pt，t，δq由P pt，t，δq给出“P pt，T`δqP pt，T`δq1`δLpt，T，δq1`δLpt，T，δq。我们有时将P¨，T，δq称为δ-期限债券。这些债券基本上跨越了期限结构，而Sδ说明了银行间市场中的交易对手和流动性风险，这些风险不会随着T尼特而消失。备注2.4。在经典的危机前单曲线设置中，FRA价格由教科书公式∏FRApt给出，T，δ，Kq“P pt，T q'P pt，T'δq'Kpδq。通过为所有δP D和0dTdTa\'8设置Sδ“1和P pt，T，δq：”P pt，T q，可以从我们的方法中恢复单曲线设置。这也突出表明，在单曲线设置中，FRA价格完全由OIS债券价格决定。备注2.5。

代表性（2.2）允许通过外汇类比进行自然解释，遵循Bianchetti（2010）的一些想法。事实上，Ibor利率可以被视为外国经济体中的简单复合利率，货币风险扮演着交易对手的角色，银行间交易的流动性风险。从这个角度来看，P pt，T，δq表示到期日为T的外国零息债券在T日的价格（以外币为单位），而SδT表示外币和本币之间的即期汇率。（2.2）中出现的数量SδtP pt，T，δq对应于到期日T支付一单位外币的价值（以本国货币为单位）。鉴于备注2.4，危机前假设不存在货币风险，在这种情况下，SδtP pt，T，δq“P pt，T q.乘法利差的相关外汇解释已在Chiero、Fontana和Gnoatto（2016）、Macrina和Mahomed（2018）以及Nguyen和Seifried（2015）中进行了讨论。8 C.Fontana、Z.GRBAC、S.G¨UMBEL和T.Schmidt补充假设OIS和δ-期限债券价格为HJM形式，我们获得了第二个基本表示（1.2）. 在下文中，我们将表明，这种表示允许精确描述无套利多曲线市场，并通过一个半鞅得出有趣的规格。3、期限结构建模的扩展HJM方法在本节中，受Heath等人（1992）开创性工作的启发，我们提出了一个建模OIS债券和FRA合同期限结构的一般框架。我们在有限时间范围内工作（有限时间范围为Ta\'8的模型可以通过在T停止相关过程来处理）。

正如导言中所提到的，拟议框架的一个关键特征是，我们允许存在随机不连续性，这些随机不连续性发生在一组可数的预定日期SPTNQNPN的对应关系中，每n P n，Tn` 1aTn，limn~n\'8Tn“`8。我们假设随机基POhm, F，F，Qq支持d维布朗运动W“pWtqtě0与整数值随机测度updt，dxq on R^E，带补偿器νpdt，dxq”λtpdxqdt，其中λtpdxq是pOhm ^R\'，Pq intopE，BEq，P表示Ohm ^R`和pE，BEq a Polishspace及其Borel sigma-field。我们参考Jacod和Shiryaev（2003），了解所有与随机微积分相关的无法解释的概念。作为第一个组成部分，我们假设存在一个一般的num'eraire过程X“pXtqtě0，由一个严格正半鞅给出，该半鞅承认代表X“E\'B\'H–W\'Lpu'νq，（3.1），其中H“pHtqtě0是一个Rd值的渐进可测过程，因此对于所有Ta0和L：Ohm ^R^E~np'1，`8q是满足所有Ta0的sTsEpLpt，xq ^ | Lpt，xq | qλtpdxqdt'8 a.s.的可测函数。注意，鉴于（Jacod和Shiryaev，2003，定理II.1.33），最后一个条件对于随机积分Lpu'νq的适定性是必要的和有效的。过程B“pBtqtě0被假设为形式B”trsds'nPN的有限变化过程BTntTndtu，对于所有tě0，（3.2），其中r“prtqtě0是一个适应的过程，满足所有t~n0的8 a.s.和Btn是一个FTn可测量的随机变量，取p'1，'8q中的值，用于每个p'N。请注意，Xe的这一规定明确允许在pTnqnPN时跳跃，即X的随机不连续点。limn~n'8Tn'8的假设确保了（3.2）中的总和对于每个tě0只涉及有限数量的项。备注3.1。

只需对Xenable进行最低限度的假设，我们就可以统一不同的建模方法。通常假设X“expps¨rOISsdsq，ROI代表OIS短期利率。在这里考虑的设置中，X还可以通过在pTnqnPN日期滚动的OIS债券序列生成，比较（Klein et al.，2016，定义5）一个精确的概念。这可以避免不必要的假设银行账户的存在。在市场模型中，Xis通常选择可用期限最长的OIS债券，见备注4.2。此外，还可以选择Q作为物理概率度量，选择XA作为增长最优投资组合。通过这一点，我们涵盖了期限结构建模的基准方法（见Bruti Liberati et al.（2010）和具有多条曲线和随机不连续的层间结构9和Heath（2006））。虽然这些例子指的是数量存在的情况，但我们不一定假设X代表交易资产或投资组合的价格过程（第6节除外）。这种普遍性产生了额外的灵活性，因为Xmay也代表了康斯坦丁尼德斯（1992）精神中的状态价格密度或定价内核，将贴现资产的选择和概率变化嵌入到单个过程中（也与备注3.11相比较）。如下所述，第3-5节的重点将是推导Q下X计价价格的本地鞅性质的必要和充分条件。参考概率测度Q被认为是多币种金融市场相对于XI的风险中性测度，如果定义2.2中包含的每个集合的X计价过程是Q本地鞅。我们的主要目标之一是为Q提供必要和充分的条件，使其成为风险中性度量。

在第6节中，在num'eraire Xis可交易的附加假设下，我们将证明NAFLVR意义下无套利的基本定理，对于该定理，风险中性度量的存在是一个有效条件（见备注6.4）。从表述（2.2）来看，为多曲线金融市场建模需要指定相乘利差Sδ和δ-债券期限价格，对于δP D，对于每个δP D，乘法扩散过程Sδ“pSδtqtě0被假定为严格正半鞅。与（3.1）中的情况类似，我们假设Sδ允许表示δ“SδE`aδ\'Hδ¨W\'LδPu\'νq”（3.3），其中aδ、Hδ和Lδ分别满足（3.1）中出现的过程B、H和L的相同要求。与（3.2）一致，我们进一步假设aδt“ztαδsds`"ynPNAδTntTndtu，对于所有的tě0，（3.4），其中pαδtqtě0是一个适应的过程，对于所有的δp D和ta0，满足t |αδs | dsa\'8 A.s.，以及Aδtn是一个FTn可测量的随机变量，取p'1，'8q，foreach n p n和δp D中的值。我们让p pt，T，0q：“P pt，T q，对于所有0dTa\'8。我们假设，对于每个T P R\'和δP D：“DTt0u，δ-期限债券价格过程pP pt，T，δqq0dTd，对于所有0dTdT，（3.5）其中ηpduq“du\'nPNδpdu255; q.（3.6）注意，对于所有Ta0，ηpr0，T sqa\'8。我们采用约定的spt，T sfpt，u，δqηpduq“0，对于所有T P R`和δP D。对于每个T P R`和δP D，我们假设前向速率过程pfpt、T、δqq0dTdTsatis fiesfpt、T、δq”fp0、T、δqztaps、T、δqds ` V pt、T、δqztbps、T、δqdWszTzEgps、x、T、δq'upds、dxq'νpds、dxq、（3.7）10 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G–UMBEL&T。

Schmidt对于所有0dtdt，其中V p¨，t，δq“V pt，t，δq0dtd是一个纯跳跃适应过程，对于mv pt，t，δq”nPNV pTn，T，δq1tTndtu，对于所有0dTdT，带对于所有0dTaTa\'8，V pt，T，δq“0。此外，对于所有n P n，T P R\'和δP D，我们还假设|V pTn，u，δq | dua\'8。备注3.2。（1） 上述框架允许对I型和II型随机不连续性进行一般建模（见第1.2节），如我们在第5节中通过明确示例所示。此外，方程式（3.3）–（3.7）中对δ的依赖性允许不连续性对不同的屈服曲线产生不同的影响。这与典型的市场行为是一致的，这表明在较长的期限内，不连续性有所减弱。（2） 不连续日期PTNQNPNPN显示了两个不同但同样重要的角色。一方面，它们代表了所有相关过程动力学中的随机不连续性。另一方面，它们代表债券价格成熟度的不连续点（见方程式（3.5））。如下面的定理3.7所示，没有套利意味着这两个方面之间存在精确的关系。假设3.3。以下条件对每个δP D都适用：（i）对于所有T P R\'，初始正向曲线TTh~nfp0，T，δq为Fb B pR\'q-可测量、实值和满意度T | fp0，u，δq | du\'8；（ii）漂移过程ap¨，¨，δq：Ohm ^R'R是一个实值的、渐进可测量的过程，在这个意义上，限制p¨，¨，δq | r0，ts：Ohm ^r0，ts^R ` niris Ftb Bpr0，tsq b BpR ` q-可测量，对于每个t P R\'。此外，对于所有0dTaTa8，它满足所有Ta0的apt，T，δq“0，和zTzu | aps，u，δq | dsηpduqa8；（iii）波动过程bp¨，δq：OhmR′尼Rd是一个Rd值的渐进可测过程，在这个意义上，限制BP¨，¨，δq | r0，ts：Ohm ^r0，ts^R `尼Rdis Ftb Bpr0，tsq b BpR ` q-可测量，对于每个t P R\'。

此外，它满足所有0dTaTa8，即bpt，T，δq“0，and d"yi”1zT^u | bips，u，δqds1{2ηpduqa8，对于所有Ta0；（iv）跳跃函数gp¨，¨，¨，δq：Ohm^R′E^R′尼R是满足gpt，x，T，δq“0表示所有x P E和0dTaTa\'8。此外，它满足zTzT | gps、x、u、δq |ηpduqνpds、dxqa\'8表示所有Ta0。假设3.3意味着远期利率方程（3.7）中出现的积分对于η-a.E.T P R\'。此外，条件（ii）–（iv）中出现的可积性要求假设3.3确保我们可以在Veraar（2012）版本中应用多条曲线和随机不连续的普通和随机项结构11Fubini定理，用于布朗运动和命题。2在Bj¨ork等人（1997）中，关于补偿随机测量。如果ap¨、¨、δq和bp¨、¨、δq是可测量的，则条件（ii）–（iii）中的轻度可测量性要求适用于每个δP D，其中prog表示Ohm^R\'，见（Veraar，2012，备注2.1）。备注3.4。对于每个期限δP D，采用单一度量值η而不是不同度量值ηδ不会失去通用性。事实上，通过适当指定每个远期利率fpt，T，δq在（3.7）中，并使用一个常用的度量值η“δPDηδ”。对于所有0dta\'8，δP和x P E，我们设置“apt，t，δq：”t sapt，u，δqηpduq，”“bpt，t，δq：”t sbpt，u，δqηpduq，”“V pt，t，δq：”t sapt，t sV pt，u，δqηpduq，(R)gpt，x，T，δq：“zrt，T sgpt，x，u，δqηpduq。作为第一个结果，以下引理（其证明推迟到附录a）给出了过程P¨，T，δq的半鞅表示。引理3.5。假设假设假设3.3成立。

然后，对于每个T P R′和δP D，过程pP pt，T，δqq0dTd是一个半鞅，并允许表示P pt，T，δq“exp^'Tfp0，u，δqηpduq't'aps，t，δqds'nPN'V pTn，t，δq1tTn'tu't'bps，t，δqdWs't'E'gps，x，t，δq'upds，dxq'νpds，dxq'tfpu，u，δqηpduq对于所有0dtdt.（3.8）δ-期限债券价格过程pP pt，T，δqq0dTdT将等效表示为随机指数，将在下面使用。以下推论是引理3.5和（Jacod和Shiryaev，2003，定理II.8.10）的直接结果，使用uptTnu^Eq“0 a.s.，对于所有n P n.推论3.6。假设假设假设3.3成立。然后，对于每个T P R`和δP D，过程P¨，T，δq”pP pt，T，δqq0dTd满足表示P¨，T，δq“E'''Tfp0，u，δqηpduq''''aps，T，δqds'''bps，T，δq'ds'''''bps，T，δqdWs''''E'gps，x，T，δq'upds，dxq'νpds，dxq''E''gps，x，T，δq'1''gps，x，T，δqupds，dxqz¨fpu，u，δqdu"ynPN'E'V pTn，T，δq'f pTn，Tn，δq'1rrTn，`8rr˙。12 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G'UMBEL&T.SCHMIDTWe现在可以陈述本节的中心结果，这为参考概率测度Q成为与数值X相关的风险中性测度提供了必要和充分的条件。我们回顾一下，随机变量ξonpOhm, 如果存在一系列可测集p，则Qq被认为是关于西格玛场GDF的西格玛可积OhmnqnPNDG增加至Ohm 使得ξ1OhmnP LpQq forevery n P n，参见He et al.（1992）中的定义1.15。当且仅当广义条件期望EQrξ| G s为A.s.有限时，随机变量ξ为关于G的σ-有限。为了便于记法，让αt：“0，Ht：”0，Lpt，xq：“0和ATn：“0表示所有n P n、t P R`和x P E，因此S为：“EpA\'H–W\'LPu'νqq”1。

设∧ps，x，T，δq：“1'Lδps，xq1'Lps，xqe'gps，x，T，δq'Lps，xq'Lδps，xq'gps，x，T，δq'1。定理3.7。假设假设3.3成立。那么q是关于Xif的风险中性度量，且仅当对于每个δP D，x，T，T，δq'λspdxqds'8（3.9）a.s对于每个n P n和TěTn，随机变量1 `AδTn1 `BTne'spTn，T sV pTn，u，δqηpduq（3.10）是关于FTn'的σ可积，以下四个条件适用：（i）对于a.e.t P R `，它认为rt'αδt“f pt，t，δq'HJtHδt`}Ht}ELpt，xq1'Lpt，xq'Lpt，xq'Lδpt，xq'λtpdxq；（ii）对于每个t P R'和a.e.t P r0，t s，它认为'apt，t，δq'bpt，t，δqJ'Ht'Hδt'728; e'1'Lδpt，xq1\'Lpt，xq\'e'gpt，x，t，δq'1''gpt，x，t，δq'λtpdxq；（iii）对于每个n P n，它保持等式<<1 `AδTn1 `BTnˇFTn'fff“e'fpTn'，Tn，δq；（iv）对于每个n P n和TěTn，它保持等式<<1 `AδTn1 `BTn'e'pTn，T sV pTn，u，δqηpduq'1'FTn'fff“0。备注3.8。通过单独考虑δ“0”和δP D的情况，我们可以获得定理3.7条件（i）的更明确版本，这相当于两个条件的有效性，对于每个δP D和a.e.t P R`，rt”f pt，t，0q`}Ht'ELpt，xq1'Lpt，xqλtpdxq；（3.11）δt“f pt，t，0q'fpt，t，δq'HJtHδt'ELδpt，xqLpt，xqλtpdxq。（3.12）具有多条曲线和随机不连续性的项结构13定理3.7的条件以及备注3.8允许以下解释。