随机多曲线的期限结构建模

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英文标题：
《Term structure modeling for multiple curves with stochastic
  discontinuities》
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作者：
Claudio Fontana, Zorana Grbac, Sandrine G\\\"umbel, Thorsten Schmidt
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We develop a general term structure framework taking stochastic discontinuities explicitly into account. Stochastic discontinuities are a key feature in interest rate markets, as for example the jumps of the term structures in correspondence to monetary policy meetings of the ECB show. We provide a general analysis of multiple curve markets under minimal assumptions in an extended HJM framework and provide a fundamental theorem of asset pricing based on NAFLVR. The approach with stochastic discontinuities permits to embed market models directly, unifying seemingly different modeling philosophies. We also develop a tractable class of models, based on affine semimartingales, going beyond the requirement of stochastic continuity.
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中文摘要：
我们开发了一个明确考虑随机不连续性的通用期限结构框架。随机不连续性是利率市场的一个关键特征，例如，与欧洲央行货币政策会议相对应的期限结构的跳跃。我们在一个扩展的HJM框架中提供了在最小假设下的多曲线市场的一般分析，并提供了基于NAFLVR的资产定价的基本定理。具有随机不连续性的方法允许直接嵌入市场模型，统一看似不同的建模理念。我们还开发了一类基于仿射半鞅的可处理模型，超越了随机连续性的要求。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Term_structure_modeling_for_multiple_curves_with_stochastic_discontinuities.pdf (1.19 MB)

2022-6-11 00:17:36 上传

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关键词：期限结构 Mathematical Differential Philosophies Applications

具有随机不连续性的多曲线的期限结构建模Claudio FONTANA、ZORANA GRBAC、SANDRINE G¨UMBEL和THORSTEN SCHMIDTAbstract。我们开发了一个明确考虑随机不连续性的通用期限结构框架。随机不连续性是利率市场的一个关键特征，例如，欧洲央行货币政策会议的通信中显示的期限结构的跳跃。我们在一个扩展的HJM框架下，在最小假设下对多个服务市场进行了一般性分析，并提供了基于NAFLVR的资产定价基本定理。具有随机不连续性的方法允许直接嵌入市场模型，统一看似不同的建模理念。我们还开发了一类基于a ffnesemima鞅的可处理模型，超越了随机连续性的要求。1、导言这项工作旨在对危机后的利率市场进行总体分析。这些市场表现出两个关键特征。第一个是随机不连续的存在，这意味着在预定日期发生跳跃。事实上，从欧洲参考利率的历史数据来看（见图1）显示出了令人惊讶的规律性跳跃：许多跳跃发生在欧洲央行（ECB）货币政策会议的通信中，后者发生在预定日期之前。这一重要特征甚至在危机之前就存在于利率市场，但令人惊讶的是，现有的随机模型却忽视了这一特征。第二个关键特征是与不同期限相关的不同收益率曲线共存。

这种现象起源于2007-2009年的金融危机，当时不同收益率曲线之间的利差达到了超过200个基点的峰值。自那时以来，息差一直保持在不可忽视的水平上，如图2所示。伴随着利率模型的快速发展，在不同的通用性水平上处理多场曲线，并遵循不同的建模范式。当前经济环境中需要考虑的最重要曲线是不同期限的ZF指数掉期（OIS）利率和银行间同业拆借利率（缩写为Ibor，如伦敦银行间市场的Libor利率）。在欧洲市场，这些利率分别是基于Eonia的OIS利率和欧洲银行同业拆借利率。我们的目标是提出一种基于随机不连续性的多收益率曲线市场的一般处理方法，同时统一现有的多曲线建模方法。本研究的基石是OIS零息票债券和远期利率日期：2019.2010年12月23日数学科目分类。60G44、60G48、60G57、91B70、91G20、91G30。JEL分类：C02、C60、E43、G12。关键词和短语。HJM模型、半鞅、a ffine过程、NAFLVR、大型金融市场、多收益率曲线、随机不连续性、远期利率协议、市场模型、Libor利率。作者感谢两位匿名推荐人，一位副编辑和一位编辑的宝贵评论，这些评论帮助改进了论文。感谢欧洲金融研究所和DFG项目（编号：SCHM 2160/9-1）的财政支持。2 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G¨UMBEL&T.SCHMIDT01234562000 2002 2004 2006 2010 2012 2014 2016 2018 2020年利率（%）欧洲央行存款工具利率欧洲央行边际贷款工具主要利率nancing操作图1。

1999年1月至2019年6月的Eonia利率、欧洲央行存款利率、欧洲央行边际贷款利率和欧洲央行主要融资操作利率的历史系列。资料来源：欧洲中央银行。协议（FRA），构成多曲线金融市场的基本交易资产。虽然OIS债券是从报价OIS利率中提取的债券，但FRA是另一种反衍生品，包括基于浮动利率的付款与基于固定利率的付款的交换。FRA可被视为Ibor利率上所有利率衍生品的基本组成部分。本论文的主要贡献可概括如下：“由Heath等人（1992）的开创性Heath Jarrow Morton（HJM）方法提出的FRA和OIS债券价格期限结构的一般远期利率设置，适当扩展以考虑随机不连续性。我们推导了一组必要且充分的条件，这些条件描述了关于一般num'eraire过程的风险中性度量（定理3.7）。该框架统一并概括了文献中现有的方法我们一般研究市场模型，并在最小假设的基础上，推导出存在随机不连续的必要和有效漂移条件（定理4.1）。这种方法涵盖了作为特例的正向测量下的建模。此外，我们的远期利率公式具有随机不连续性，这使我们能够直接嵌入市场模型。”我们提出了一类新的模型规范，基于Keller Ressel et al.（2018）最近引入的半鞅，超越了随机连续性的经典要求。

我们通过一些简单的例子说明了实际应用的潜力。具有多条曲线和随机不连续性的期限结构30.00.51.01.52.02.52005 2006 2007 2009 2010 2012 2013 2015 2017 2018 2019欧元银行同业拆借利率-Eonia OIS价差（%）价差12m9m6m3m1图2。2005年1月至2018年9月，欧洲银行同业拆借利率-不同到期日（1个月至12个月）的Eonia OIS利差。来源：Bloombergand欧洲中央银行最后，我们提供了多曲线金融市场破坏性假设的一般描述和无套利的特征。我们证明了无渐近零风险免费午餐（NAFLVR）的概念与等价分离测度的存在性之间的等价性（定理6.3）。为此，我们依据大型金融市场理论，将Cuchiero、Klein和Teichmann（2016）的主要结果扩展到多条曲线和有限的时间范围。据我们所知，这是在多曲线金融市场背景下首次严格制定FTAP。1.1. 建模框架。我们简明扼要地说明了建模框架的组成部分，有关完整细节，请参阅后续章节。首先，远期利率协议（FRA）以远期利率报价。更准确地说，在时间TdT，期限δ和结算日期T的远期利率Lpt，T，δq是固定利率的唯一值，该固定利率在开始T时为零。这导致FRA价格的基本表示∏FRApt，T，δ，Kq“δ` Lpt，T，δq'K'P pt，T'δq，（1.1）其中P pt，T'δq是到期日为T'δ且K为固定利率的OIS零息票债券在T时的价格。公式（1.1）隐含地定义了不同期限δ的收益率曲线T'Lpt，T，δq，从而解释了术语多重收益率曲线。

在下文中，我们将简单地将关联市场称为多曲线金融市场（与下面的定义2.2进行比较）。4 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G¨UMBEL&T.Schmidt远期利率公式对收益率曲线进行了一些额外的假设。更具体地说，它假设（1.1）的右侧允许表示∏FRApt，T，δ，Kq“Sδte'spt，T sfpt，u，δqηpduq'e'spt，T'δsfpt，uqηpduqp1'δKq。（1.2）这里，f pt，T q表示OIS转发率，因此P pt，T q“e'spt，T sfpt，uqηpduq，whilefpt，T，δq是δ-期限远期利率，Sδ是乘法利差。我们通过考虑一个包含原子的度量η来扩展usualHJM公式，该度量η通过无套利将与远期利率和乘法利差动态中的随机不连续集精确相关。表示（1.1）和（1.2）构成多重曲线建模的两个看似不同的起点：市场模型和HJM模型。在下文中，我们将推导出这两类产品的无套利漂移限制。此外，我们将表明，这两个类别可以在统一的环境中进行分析（见附录B）。1.2. 利率市场的随机不连续性。我们的方法的一个主要创新之处在于存在随机不连续性，表示在宣布日期发生的事件，但可能包含意外的信息内容。在金融文献中，在预定时间跳跃的重要性得到了广泛认可，例如Merton（1974）、Piazzesi（2001、2005、2010）、Kim和Wright（2014）、Du ffe和Lando（2001）（另请参见Keller-Ressel et al.（2018）的介绍部分）。然而，据我们所知，在利率期限结构的随机模型中，从未明确考虑到随机不连续性。

这一特点与金融市场极为相关。例如，欧洲中央银行（ECB）的治理委员会（GoverningCouncil，GC）在预定日期定期举行货币政策会议，这一日期大约在两年前公开。在这些日期，GC作出货币政策决定，并确定欧洲央行的主要利率是否会改变。反过来，这些关键利率是Eonia利率的主要决定因素，如图1所示。仔细检查图1，可以发现Eonia比率中存在两种不同类型的随机不连续性。一方面，与货币政策决策相对应的是结构性跳跃。Eonia利率的astep式跳跃与ECB贷款利率的新水平相对应，证明了这种不连续性（见图3，右图）。另一方面，在银行存款维持期结束时，会出现与货币政策无关的急剧跳跃。事实上，在欧元体系中，银行必须在固定的维护期内在其国家中央银行的账户上持有存款。在此期间未能保持充足准备金的银行需要在维护期结束前在银行间市场借贷，从而在银行间借贷中产生暂时的流动性压力，从而导致Eonia利率大幅上升（参见Beirne（2012）和Hernandisand Torr\'o（2013））。第二类随机不连续性由图3左面板中的峰值证明。

更正式地说，我们将这两种随机不连续性区分如下：第一类跳跃是向新水平的阶梯状跳跃，第二类跳跃是向上/向下跳跃，然后是快速连续衰减/上升到跳跃前水平。我们的框架考虑了I型和II型随机不连续的可能性。此外，通过放宽债券价格期限结构绝对连续的经典假设（见方程式（1.2）），我们还考虑了具有多条曲线的结构间的不连续性和随机不连续性52010 2015/2016年1月-4月-10月-1月-7月-10月-1月-4月-7月-0.4-0.20.00.20.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8利率（%）nancing操作维护期结束II型跳线I型跳线图3。2010年1月至2010年12月的Eonia和ECB利率（左图）和2015年7月至2016年6月的Eonia和ECB利率（右图）。左侧面板上的外露不连续为II型，而右侧面板上的外露不连续为I型。来源：欧洲中央银行。预定日期的到期时间。在信贷风险背景下，Gehmlich和Schmidt（2018）以及Fontana和Schmidt（2018）最近研究了具有托卡斯蒂不连续性的期限结构。最后，除了如上所述的随机不连续性外，我们还考虑到完全无法到达的跳跃，表示市场意外发生的事件，并由具有绝对连续补偿器的一般随机度量生成。已经在多个多曲线模型中考虑了这种跳跃（参见Cr'epey et al.（2012）和Cuchiero、Fontana和Gnoatto（2016））。1.3. 文献概述。关于多曲线模型的文献在过去几年中有了巨大的增长。

因此，我们仅参考Bianchetti和Morini（2013）的卷以及Henrard（2014）和Grbac和Runggaldier（2015）的专著，概述与本论文最相关的贡献，以供进一步参考和后危机利率市场指南。Henrard（2007）首次考虑了用于建模多条曲线的乘法价差。菲利波维奇（Filipovi\'c）和特罗尔（Trolle）（2013）采用短期利率法进行了深入的实证分析，表明利差可以分解为信贷和流动性组成部分。第3节中开发的扩展HJM方法概括了Cuchiero、Fontana和Gnoatto（2016）的框架，他们认为半鞅是驱动过程，因此不考虑随机不连续性（详细比较见Remark3.12）。Cr'epey et al.（2015）以L'evy过程为驱动因素，Moreni和Pallavicini（2014）在高斯框架下提出了考虑多条曲线的HJM模型。在市场模型设置中，Mercurio（2010）率先提出了对多重曲线的扩展，并在Mercurio和Xie（2012）中进一步发展。最近，Grbac等人（2015年）在正向利率设定中开发了一个有效的市场模型，Cuchiero等人（2019年）进一步推广了该模型。所有这些模型，包括HHJM和市场模型，都可以很容易地嵌入本文提出的通用框架中。6 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G¨UMBEL&T.SCHMIDT1.4。论文大纲。在第2节中，我们介绍了多曲线金融市场中的基本资产。受HJM哲学启发，开发了一般多曲线框架，并将其扩展到允许随机不连续性，第3节对其进行了充分描述。在第4节中，我们介绍并分析了多曲线的一般市场模型。

在第5节中，我们提出了一类基于半鞅的灵活模型，其设置允许随机不连续性。在第6节中，我们根据大型金融市场理论，证明了多曲线金融市场资产定价的基本定理的一个版本。最后，两个附录包含一些技术结果和将市场模型嵌入扩展HJM框架的结果。2、多曲线金融市场的一般分析在本节中，我们提供了多曲线市场破坏基本假设的一般描述。我们假设银行间同业拆借利率（Ibor）的报价期限为一组特定的期限D：“tδ，…，δmu，0aδ，…，δm。通常，市场上大约有七个百分点，从1天到12个月不等。对于期限δP D，时间间隔rT，t'δs固定在时间t的Ibor利率用LpT，t，δq表示。对于0dt't'8，我们用P pt，t q表示到期的OIS零息票债券在时间t的价格。定义2.1。远期利率期限为δ、结算日期为T、删除日期为T、名义金额为1的债务偿还协议（FRA），是一种基于国际银行同业拆借利率lpt、T、δq的付款与到期日为Tδ的固定利率K的付款进行交换的合同。日期tdt `δ的FRA合同价格由∏FRApt，t，δ，Kq表示，到期时的支付额t `δ由∏FRApt `δ，t，δ，Kq“δLpT，t，δq'δK表示。（2.1）中的两个加数通常分别称为浮动支腿和固定支腿。我们将多重曲线金融市场定义如下。定义2.2。