随机多曲线的期限结构建模

（2018）至一个完整的特定期限结构模型。示例5.6（简单的多曲线Vasiˇcek规范）。我们将示例5.4扩展到多曲线设置，并考虑D“tδu。为简单起见，我们选择二维高斯Ornstein-Uhlenbeck过程作为驱动变量：Dξit”κipθi'ξitqdt'σidWit，i”1，2，其中pW，WqJis是具有相关ρ的二维布朗运动。驱动过程X在（5.2）中被指定为xt“^t，ztξsds，ξt，ztξsds，ξt˙J.系数αi和βi，i”0，…，5是时间均匀的，与（5.1）中的样本5.4类似。请注意，α“0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ρσ0媫媫è。系数νpt，t，0q，…，νpt，t，0q如例5.4所示选择，而“0。我们注意到，fpt，t，0q”ξtand设置rt”fpt，t，0q。此外，我们选择了Дpt，t，δq“Дpt，t，δq”0和？Дpt，t，δq“κ'1'e'κpt'tq”。现在，选择pψδtqJ“p0，1，0，'1，0q，以便可以通过漂移条件（5）从？pt，t，δq计算出？pt，t，δq和？pt，t，δq.7）. 在这一阶段，该模型是完全特定的。我们不难验证我们是否处于Brigo和Mercurio（2001）第4.2节中详细计算的框架内，其中可以找到债券价格的明确表达式。此外，我们得到了fpt，t，命题5.2中的δq“ξt”x和条件（ii）（和（iii）都是满足的。条件（i）也成立：在这方面，请注意pψδtqJβ\'255; i”1Xitβi,，“pψδtqJXtκθ'κXtXtκθ'κxt1xit媫”“f pt，t，0q'fpt，t，δq。既然命题5.2的所有条件现在都满足了，我们可以得出结论，该模型没有套利。具有多条曲线和随机不连续性的期限结构29例5.7（具有不连续性的多曲线Vasiˇcek规范）。

我们通过考虑I型和II型（见第1.2节）的不连续性来扩展前一个示例，并对OIS和Ibor曲线产生不同的影响。如例5.6所示，我们考虑二维高斯Ornstein-Uhlenbeck过程：dξit“κipθi'ξitqdt'σidWit，i”1，2。将（5.2）中的驱动过程X放大如下：Xt“^ztηpdsq，ztξsds，ξt，ztξsds，ξt，ztJsds，Jt˙J，其中过程J定义为Jt“"yTidtie'κpt'Tiq，tě0，对于一些κ0。κ的大值对应于J中的高速均值回复，并产生尖峰行为，对应于II型不连续（回忆图3）。相反，κ的小值会产生持久的跳跃，这与I型不连续性一致。为简单起见，随机变量piqiě1为i.i.d.标准正常，与ξ和ξ无关。随机不连续集由时间点ptnqnp描述，度量ηpduq定义如（3.6）所示。系数αi和βi为时间均匀系数和β“，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，β23232323232323232323211，β“β”β“β”0，α“0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0σ0ρσ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ρσ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0媫媫媫媫媫，和αi“0 for i”1，…，7。此外，zRexu，xyνXpttu，dxq“nPNtt”Tnuexp^u˙，u P R，以便γpTn，uq“u `，u u P RandγjpTn，所有j的u Q“0“1、…、7和n P n。我们假设X和排列中的跳跃发生在随机不连续点ptnqnp处，并由ψJt指定Xt“"ynPNtt”Tnucn、 pψδtqJXt“"ynPNtt”Tnuan、 30 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G–UMBEL&T。

Schmidt可通过选择ψJt“p0，0，0，0，0，0，0，cq和pψδtqJ”p0，0，0，1，0，0，aq来实现。从该规范中，可以得出由δt“Sδexp^tξsds\'aJt˙给出的扩散。根据备注3.2，参数c和a控制了随机不连续性对数量（以及因此对OIS曲线）和扩散的不同影响（因此，在Ibor曲线上）。职能部门：ipt、T、0q、，对于i“1，…、7和tdt，选择为φpt、t、0q“$”&“%\'”θκe'κpt'tq'σκpe'2κpt'tq'κpt'tq，对于t、t R t、ce'κpt'tq'κpe'2κpt'tq'κpt'e'κpt'tqq，对于t t S t，c，对于t“t”t，0，否则，选择φpt、t、0q”pt，t，δq“#e'κpt'tq，对于t，t R t，0，否则，Дpt，t，0q”#κe'κpt'tq，对于t，t R t，0，否则，Дpt，t，0q“#e'κpT'tq，对于T R T，0，否则，ДpT，T，0q”ДpT，T，δq“κpT，T，0q和ДpT，T，0q”ДpT，T，T，0q”0。对于ДpT，T，δq，选择ДpT，T，δq“$\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'σκ'''κe'κpT'tq'κe'κpT'tq'pκqe'pκQT'pκqpT'tq'，对于t，t R t，p1'aκqκ'p1'cκqe''κpT'tq'\'p1\'aκqe\'2κpT\'tq\'，对于t P t S t，pa\'cq，对于t“t P t，0，否则，φpt，t，δq”#'e'κpt'tq，对于t，t R t，0，否则，具有多条曲线和随机不连续性的项结构，对于t，t，δq”#κp1\'aκqe'κpt'tq，对于t，t R t，0，否则，φpt，t，t，δq”#p1\'aκqe'κpt'tq，对于t，0，否则，以及，δq“κνpt，t，δq。根据该规范，可以检查条件（ii）此外，可以验证fpt，t，0q“ξt\'Jt”和fpt，t，δq“ξt\'ξt\'p1\'aκqJt。因此，通过设置rt“ξt\'Jt”，可以满足命题5.2的条件（i）。

通过选择FP0、Tn、，0q“'c{2和fp0，Tn，δq”'pa'cqand计算zpTn，T sИpTn，u，0qηpduq”'cκ'e'κpT'Tnq'1'2κ'e'κpT'Tnq'1，zpTn，T sИpTn，u，0qηpduq'e'κpT'Tnq'1，zpTn，T sνpTn，u，δqηpduq“pa'cqp1'aκqκe'κpT'Tnq'1'''''p1'aκq2κe'κpT'Tnq'1'''pTn，T sДpTn，u，δqηpduq''p1 aκqκe'κpT'Tnq''1'''我们可以看到这种情况（iii）fpTn，Tn，0q“'zpTn，T szpTn，u，0qηpduq ` 'c'pTn，T szpTn，u，0qηpduq,，'fpTn'，Tn，δq“\'zpTn，T sИpTn，u，δqηpduq `▄a'c'pTn，T sИpTn，u，δqηpduq▄满足所有n P n和TěTn。我们可以得出结论，期限结构是完全特定的，并且根据命题5.2，模型是无套利的。6.多曲线金融市场的FTAP在本节中，我们描述了多曲线金融市场中无套利的特征。在目前的ge水平一般而言，这是首次对危机后固定收益市场中无风险的情况进行严格分析。如定义2.2所述，多曲线金融市场是一个包含无数证券的大型金融市场。Cuchiero、Klein和Teichmann（2016）提出了一个在经济上令人信服的大型金融市场无套利的概念，其名称为无渐进免费午餐和消失风险（NAFLVR），概括了NFLVR对有限维市场的经典要求（见Delbaenand Schachermayer（1994）和Cuchiero和Teichmann（2014））。在本节中，我们将Cuchiero、Klein和Teichmann（2016）的主要结果扩展到有限的时间范围，并将其应用到一般的多曲线金融市场。32 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G¨UMBEL&T.SCHMIDTLet pOhm, F，F，Pq是一个过滤概率空间，满足右连续性和P-完备性的通常条件，F：“Zt2830ft。

让我们回顾一下，如果存在一个过程Z“pZtqtPr0,1满足Zt”Zt{p1'tq，对于所有ta1，并且Z是关于“由FT定义的pFtqtPr0,1”的过滤的半鞅，对于ta1，F，对于t”1，参见Cherny和Shiryaev（2005）中的定义2.1. 我们用S表示实值半鞅的空间，直到完全配备了Emery拓扑，参见Stricker（1981）。对于集合CAS，我们用关于Emery拓扑的CSits闭包表示。我们用I表示：“R′D′R定义2.2中包含的表征交易资产的参数空间。我们进一步假设存在具有严格正适应价格过程X的可交易num′eraire。为了便于注释，我们通过设置∏FRApt，T，0，Kq来表示零息票债券：“P pt，T，T q，对于所有pt，T q P R′和k P R。我们还设置∏FRApt，T，δ，Kq对于所有δP D、K P R和TěTδ，我们用包含n个元素的所有子集AAI族中的表示。对于每个A“ppT，δ，Kq，…，pTn，δn，Knqq P In，我们定义了X折扣价格SA”pS，…，Snq bySi的集合：“pXq'1∏FRAp¨，Ti，δI，Kiq，for I“1，…，n。对于每个A P In，n P n，我们假设sai是P上的半鞅Ohm, F、 Pq，我们用LpSAq表示所有R | A |值的集合，可预测过程θ“pθ，…，θ| A | q，在Cherny and Shiryaev（2005）定义4.1的意义上，可积到与SA相关的完整性。我们假设交易以自我融资的方式发生，如果θ“0”和pθ¨SAqtě1 A.s.对于所有tě0，我们说过程θp LpSAq是1-可容许的交易策略。

由1-容许交易策略生成的财富过程集XA根据SAI定义为：“θ–SA：θP LpSAq和θ为1-容许（AS）。由最多n个任意资产交易生成的财富过程集由Xn给出“TAPInXA。通过允许交易任意数量的资产，并让资产数量增加到整数，我们得出了广义投资组合财富过程。相应的1-容许财富过程集由X给出：“TnPNXnS，因此，多曲线金融市场中所有容许的广义投资组合财富过程最终由X给出：“dλa0λX.备注6.1.集合X可以等效地描述为所有可容许的广义投资组合财富过程的集合，这些过程可以在金融市场中构建，由以下两个资产子集组成：（i）OIS零息票债券，适用于所有到期日T P R`，（ii）FRA，对于所有期限δP D、所有结算日期T P R`和走向K，对于某些固定的任意走向KP R。这源于我们对FRA线性化的长期假设以及随机积分的关联性。具有多条曲线和随机不连续性的项结构33由于每个元素X P X是一个半鞅，直到不完整，极限X存在于路径且是有限的。因此，我们可以定义K：“tX:X P X u和C：”pK'L'qSL，有界债权的凸锥在初始资本为零的情况下超级可复制。定义6.2。我们说，多重曲线金融市场不满足无渐近线的零风险午餐（NAFLVR）ifCSL`“t0u，其中C表示集合C中的范数闭包。以下结果提供了多曲线金融市场资产定价基本定理的一般公式。定理6.3。

当且仅当存在一个等价的分离度量Q，即概率度量Q“P对P”时，多重曲线金融市场满足NAFLVROhm, F qsuch，即所有X P X的EQrXsd0。证据我们将证明分为几个步骤，目的是将我们的一般多用途金融市场减少到Cuchiero、Klein和Teichmann（2016）所考虑的情况。1） 鉴于备注6.1，对于所有期限δP D和结算日期T P R\'，必须考虑具有固定罢工K“0”的远期利率协议合同。因此，参数空间I“R^D^R可以减少为I：“R^t0，1，…，mu，可以通过IQ pT，IQTh~nI ` T{p1 ` T q P r0，m ` 1q进一步转换为R`的子集“：J.2）在不丧失一般性的情况下，我们可以假设pXq'1∏FRAp¨，T，δ，0q对于每个T P R'和δP D是一个到整数的半鞅。事实上，在（Cherny和Shiryaev，2005，定理5.5）的证明中，对于每个i”1，…，n，存在一个确定性函数Kia0，使得pKiq'1P LpSiq和Yi：“pKiq'1'SiP S.设置“pY，…，Ynq，随机积分的关联性与（Cherny和Shiryaev，2005，定理4.2）允许证明xa”φ¨YA：φP LpYAq，φ”0和Pφ¨YAqtě\'1 a.s.对于所有tě0（此后，我们将假设SAP s，对于所有a P jn和n P n.3）对于t P r0，1q和u P r0，\'8q，让αptq：“t{p1'tq和βpuq：”u{p1 ` uq。函数α和β是r0，1q和r0，` 8q之间的两个逆同构，可以扩展到r0，1s和r0，` 8s。对于P Jn，n P n，让我们定义过程SA“pSAtqtPr0,1sby SAt：”SAαptq，对于所有的t P r0，1s。由于SAP S，过程是半鞅onpOhm, F、 Pq。设θP LpSAq。我们定义了过程θ“pθtqtPr0,1sbyθt：”θαptq，对于所有ta1和θ：“0。正如在（Cherny和Shiryaev，2005，定理4.2）的证明中，它支持θp LpSAq。

此外可以看出，对于所有的tpr0，1s，pθ¨SAqt“pθ¨SAqαptq，（6.1）。相反，如果θp LpSAq，则θt定义的过程θ“pθtqtě0：”θβptq，对于tě0，属于LpSAq，并且对于所有的tě0，pθ¨SAqt“pθ¨SAqβptq”。此外，如果θ“0.4）考虑到第3步），我们可以考虑在过滤F中指数超过r0，1的等效金融市场。为此，对于每个A P Jn，n P n，让我们定义如下：“θ–SA：θP LpSAq，θ”θ“0和Pθ–SAqtě1 A.s.@t P r0，1s（34 C.FONTANA，Z.GRBAC，s.G–UMBEL&t.Schmidt和setsXn：“dAPInXA，X:”nPNXnS，X：“dλa0λX和K：“tX:X P X u，其中在过滤F上的半鞅拓扑中对Xis的定义中的闭包。让pXkqkPNDnPNXnbe是一个序列，在S的拓扑中收敛到X（在过滤F上）。通过定义，对于每个k P N，都存在一个AK集，使得Xk”θk¨sak对于一些1-容许策略θkP¨sakp。鉴于（6.1），它认为Xkαptq”Pθk¨SAkqt“：Xkt，对于所有的t P r0，1s。由于S的拓扑相对于时间的变化是稳定的（Stricker（1981）中的Proposition 1.3），序列pxkqpnconverge在半鞅拓扑中（在过滤F上）到X”XαP¨qP X。这意味着KDK。分析参数允许显示相反的包含，从而证明K“K.从定义6.2来看，这意味着NAFLVR适用于原始金融市场，前提是它适用于指数超过r0、1s的金融市场。5）仍需证明，对于每一个A P Jn、n P n，集合x满足要求（Cuchiero、Klein和Teichman，2016，定义2.1）. 首先，xa是凸的，根据定义，每个元素X P xa从0开始，从下到下一致有界为'1。其次，设X，XP-xa和两个有界F-可预测过程H，Hě0使得hh“0”。

根据定义，存在过程θ和θ，使得Xi“θi¨SA，for i”1，2。如果Z：“H¨X¨X¨1，thenZ”pHθ'Hθq¨SAP XA，因此所需的串联属性成立。此外，XAAXAif AAA。理论最终源自（Cuchiero、Klein和Teichman，2016，定理3.2）。备注6.4。等效局部鞅测度（ELMM）是一种概率测度“P对P”Ohm, F q使得pXq'1∏FRAp¨，T，δ，Kq是q-局部鞅，对于所有的T P R`，δP和K P R。在附加条件下（即局部有界贴现价格过程，参见（Cuchiero，Klein和Teichmann，2016，第3.3节）），可以证明NAFLVR等价于ELMM的存在。一般来说，不能用ELMM代替OREM 6.3中的分离度量，如Cuchiero、Klein和Teichmann（2016）中明确的反例所示。然而，作为Fatou引理的结果，ELMM的存在总是表示NAFLVR的一个有效条件。假设num'eraire Xis是可交易的，则ELMM对应于风险中性度量（见第3节），该度量在本文前面的章节中已经得到了精确描述。备注6.5。卡巴诺夫（Kabanov）和克拉姆科夫（Kramkov）（1998）也从第一类无渐近套利（NAA1）的意义上研究了大型金融市场中无套利的情况，这是比NAFLVR更弱的要求，参见（Cuchiero、Klein和Teichman，2016年，第4节）。与Kabanov和Kramkov（1998）不同，我们研究的是固定过滤概率空间pOhm, F，F，Pq，而不是概率空间序列上的。另一方面，我们考虑了无数交易资产（见定义2.2）。具有多条曲线和随机不连续的期限结构357。结论本文的目的是在多曲线设置中，将随机不连续引入术语结构建模。

随机不连续性是利率市场的一个关键特征，我们介绍了两种类型的跳跃分类。为此，我们在最小假设下对危机后多曲线市场进行了一般性分析。我们的工作取得了三个关键结果：首先，我们提供了在扩展的HJM环境中没有套利的特征。其次，我们为市场模型提供了类似的特征。这两个结果都依赖于多曲线金融市场的资产定价基本定理。第三，我们基于半鞅提供了一类灵活的多曲线模型，这是一种允许随机不连续性的设置。虽然我们分析的重点是对多曲线市场定价的基本处理，但值得强调的是，该框架对于风险管理等许多其他应用具有巨大潜力，需要进一步研究。特别是对于后者，正确的市场风险价格建模和考虑宏观经济变量同样重要。附录A.技术结果关于随机指数的比率和乘积的以下技术结果很容易遵循约尔公式，见（Jacod和Shiryaev，2003，§II.8.19）。推论A.1。对于任意半鞅X，Y和Z它认为，EPXQEPY qEpZq“EX'Y'Z'xXc，Ycy'xYc，Zcy'xXc，Zcy'xZc，Zcy'0's'¨Zsp'Xs'Ys`Zsq`Xs型Ys1`Zs˙,。证据引理3.5中，由于假设3.3，可以通过Minkowski的整体不等式和H¨older不等式验证，（3.8）中出现的随机积分对于每个T P R′和δP D都得到了很好的定义。设F pt，T，δq：“spt，T sfpt，u，δqηpduq，对于所有0dTa\'8。