随机多曲线的期限结构建模

Schmidt根据（4.2）和（4.5），我们可以计算^Lpt，T，δqP pt，T `δqXt˙“P pt'，T `δqXt'¨dLpt，T，δq ` Lpt'，T，δqdMtpT'，0q'd“Lp¨，T，δq，MpT'δ，0q‰T˙，“P pt'，T `δqXt'MtpT，δq'jtpT，δqdt'dJp1qtpT，δq˙，（4.6）其中，MpT，δq“pMtpT，δqq0dTd是由MtpT给出的局部鞅，δq：“ztLps'，T，δqdMspT'，0q'tbLps，T，δqdWs'TzEgLps，x，T，δq'upds，dxq'νpds，dxq'，jpT，δq“pjtpT，δqq0dtd是由jtpt给出的一个自适应实值过程，δq”aLpt，t，δq'bLpt，t，δqJ'Ht'bpt，t'δ，0q'bpt，Jp1qpT，δq“pjp1qtp，δq0dtd是由jp1qtp给出的纯跳变过程，δq”t'EgLps，x，t，δq'e'gps，x，t'δ，0q1'Lps，xq”\'1,upds、dxq和Jp2qpT、δq“pJp2qtpT，δqq0dtd是一个纯跳变过程，由jp2qtpt，δq”nPNtTndtu给出LpTn，T，δq1 `BTne'spTn，T'δsV pTn，u，0qηpduq\'fpTn\'，Tn，0q。如果Lp¨，T，δqP p¨，T `δq{Xis是一个局部鞅，对于每个δP D和T P Tδ，则（4.6）意味着过程Jp1qpT，δq和Jp2qpT，δq是局部可积变分的。与定理3.7的证明类似，这意味着条件（4.3）和（4.4）的有效性，这是由于He等人（1992）的定理5.29. 让我们用pjpiqpt，δq表示jpiqpt的补偿器，δq，对于i P t1，2u，δP D和T P Tδ。我们有PJP1QPT，δq“z¨EgLps，x，T，δqe'gps，x，T'δ，0q1'Lps，xq'1'λspdxqds，pJp2qpT，δq“nPN'EQ'LpTn，T，δq1 `BTne'spTn，T'δsV pTn，u，0qηpduqˇFTn'efpTn'，Tn，0qrrTn，`8rr˙。Lp¨，T，δqP¨，T'δq{x与方程（4.6）一起的局部鞅性质表明，对于每个δp D和T p Tδ，可预测的有限变化过程¨jspT，δqds'pJp1qpT，δq'pJp2qpT，δq（4.7）为空（直至消失集）。

分别考虑绝对连续和不连续部分，这意味着定理陈述中条件（i）、（ii）的有效性。相反，根据定理3.7，如果条件（3.9），（3.10）以及定理3.7的条件（i）–（iv）对于δ“0和所有的T P T都满足，那么P¨，T q{Xis a Qlocal鞅，对于所有的T P T。此外，如果条件（4.3），（4.4）满足，并且定理的条件（i），（ii）成立，那么（4.7）中给出的过程为空。反过来，具有多条曲线和随机不连续性的副项结构21方程（4.6）这意味着对于每个δp D和T p Tδ，Lp¨，T，δqP¨，T'δq{Xis是一个q-局部鞅，从而证明了q是关于X的风险中性测度。备注4.2。在市场模型中，num'eraire通常被选为OIS零耦合债券，最长可用期限为T（终端债券）。此外，参考概率测度Q是相关的T正向测度，参见第12.4节inMusiela和Rutkowski（1997）。利用流程X的通用性，可以在我们的框架内轻松适应此设置。事实上，如果sTE'E gps，x，T，0q'1'gps，x，T，0q'λspdxqds'8 a.s.，推论3.6表明，只要（3.1）和（3.2）中出现的过程是特定的，x“P'，Tq{P p0，Tq就成立”\'gpt，x，T，0q\'1，BTn“e'spTn，TsV pTn，u，0qηpduq ` fpTn\'，Tn，0q'1，rt“f pt，t，0q'apt，t，0q `}bpt，t，0q'E'gpt，x，t，0q'1'gpt，x，t，0q'λtpdxq。在本规范下，直接应用定理4.1可产生Q成为风险中性度量的必要条件和充分条件到终端OIS bond asnum'eraire。4.1。鞅建模。

通常，市场模型直接从以下假设开始：每个Ibor利率Lp¨，T，δq是与数量P¨，T¨δq相关的pT¨δq-远期测度QT¨δ下的鞅。在我们的上下文中，只要后期定义明确，该假设就被推广为pT¨δq-远期测度下的局部鞅要求。更具体地说，假设P¨，T `δq{Xis为真鞅，通过dQT `δFT `δ定义pT `δq-正向测度：“pP p0，T `δqXT `δq'1dQ'FT'。根据Girsanov定理（见（Jacod and Shiryaev，2003，定理III.3.24））和方程（4.5），在测度QT'δLpt，T，δq“Lp0，T，δq'taL，T'，T，δps qds"ynPNLpTn，T，δq1tTndtuztbLps，T，δqdWT `δs ` TzEgLps，x，T，δq `upds，dxq'νT `δpds，dxq，（4.8）对于某些自适应实值过程aL，T'p¨，T，δq，其中，过程WT`δ是由WT`δ定义的QT`δ布朗运动：“W`s¨pHs` bps，T`δ，0qds和补偿器νT`δpds，QT`δ下随机测度upds的dxq，dxq由νT`δpds，dxq给出“e'”gps，x，T'δ，0q1'Lps，xqλspdxqds。在这种情况下，定理4.1得出了以下命题，它提供了远期措施下远期Ibor利率的局部鞅性质的特征。命题4.3。假设假设假设3.3适用于δ“0”和所有T P T。此外，假设P¨，T q{Xis是一个真正的Q-鞅，对于每个T P T。那么以下是等价的：（i）Q是一个风险中性度量；22 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G¨UMBEL&T.SCHMIDT（ii）Lp¨，T，δQ是QT′δ下的局部鞅，对于每个δP D和T P Tδ；（iii）对于每个δP D和T P Tδ，它认为Al，T′pt，T，δQ“0，在Ohm pQ b dtq的^r0，T s测量零，对于每个n P n和TδQ TěTn，随机变量LpTn、T、δq满足度qt `δrLpTn，T，δq | FTn’s“0 a.s.证明。

在这些假设下，Q是风险中性度量，当且仅当Lp¨，T，δqP p0，对于每个δP D和T P Tδ，T`δq{Xis是q下的局部鞅。然后，等价性piiq^opiiq遵循贝叶斯规则的条件版本（参见（Jacod和Shiryaev，2003，命题III.3.8）），而等价性piiq^opiiq是等式（4.8）和（He等人，1992，定理5.29）的直接结果。仿射规范术语结构建模中最成功的一类过程是of of ne过程。这门课结合了捕捉利率市场重要特征的灵活性和卓越的分析可操作性，如Duffee和Kan（1996），Duffee等人（2003），以及Filipovi\'c（2009）的教科书账户。在文献中，通过定义，一个过程是随机连续的，因此不允许在预定日期跳跃。鉴于我们的建模目标，我们需要对流程的概念进行适当的概括。为此，Keller-Restel等人（2018）最近通过放弃随机连续性的要求引入了一个半鞅。Gehmlich和Schmidt（2018）给出了具有随机不连续性怀疑风险的有效过程的相关结果。在本节中，我们旨在展示一类半鞅如何导致具有随机不连续性的灵活且可处理的多曲线模型。我们考虑不连续日期的可数集T“tTn:n P Nu，对于每个n P n，Tn\'1aTn，limn~n\'8Tn”`8。我们假设过滤概率空间POhm, F，F，Qq支持一个d维特殊半鞅X“pXtqtě0，进一步假设它是Keller-Restel等人意义上的一个半鞅。

（2018）并引用规范分解X“X ` BX ` Xc ` X`uX'νX，其中BXis是有限变化可预测过程，Xc是具有二次变化cx和uX'νXis的连续局部鞅X的补偿跳跃测度。LetBX，cbe是BX和νX的连续部分，ct是随机测度νX的连续部分，在某种意义上（Jacod和Shiryaev，2003，§II.1.23）. 鉴于（Keller Ressel et al.，具有多条曲线和随机不连续性的期限结构232018，定理3.2），在弱附加假设下，它认为Bx，ctpωq“zt'βpsq'd"yi”1Xis'pωqβipsq'ds，CXtpωq“zt'αpsq'd"yi”1Xis'pωqαipsq'ds，νX，cpω，dt，dxq'd"yi”1Xit'pωipt，dxq'dt，Rd'exu，xy 1νXpω，ttpωu，dxq“~exp'γpt，uq\'d"yi”1xXit'pωq，γipt，uqy'1,。（5.1）在（5.1）中，我们有βi:R'Rd和αi:R'Rd'd，对于i“0，1，…，d，γ：R'Cd~nC\'，γi:R'Cd'Cd，对于i“1，…，d.uipt，dxq是针对ALI的Rdzt0u的Borel度量“0，1，…，d，这样，对于所有的t P R`，Rdzt0up1`，x | quipt，dxqa\'8。最后，我们假设νXpttu^Rdq在随机不连续集pTnqnPN之外消失。我们使用a ffine半鞅x作为多曲线模型的驱动过程，如第3节所示。特别是，我们在这里重点建模δ-期债券价格P pt，t，δq和乘法s以这样的方式预测Sδtin，从而得出的模型在以下定义的意义上是有效的，这扩展了的方法（Keller Ressel et al.，2018，第5.3节）。定义5.1。对于所有δP D，多曲线模型称为有效的iffpt，T，δq“fp0，T，δq′Tzps，T，δqdXs，（5.2）SδT”Sδexp^TψδsdXs，对于所有δP D，（5.3）对于所有0dTa8，其中：Ohm ^R`^D~nRdandψδ：Ohm ^R`^D~nR是可预测的过程，因此，对于每个i“1。

，d和T P R\'，ψδP LpXq和zT |ψδT | | dBX，ct |a8 a.s.，对于所有δP d，以及对于所有δP和T P R\'，ρT |νip¨，u，δq |ηpduq˙1{2P LpXiq和zTzT |νpt，u，δq |ηpduq | dBX，ct |a\'8 a.s.，其中LpXq表示在半鞅意义下可积的Rd值可预测过程集，类似于LpXiq。度量η如等式（3.6）所示。对于所有0dTdTa\'8和δP D，让我们也定义？pt，T，δq：“rt，T sνpt，u，δqηpduq.24 C.FONTANA，Z.GRBAC，s.G¨UMBEL&T.Schmidt我们进一步假设sTepψδtqJxtpψδtqJxa1uνX，cpdt，dxqa\'8 a.s.，对于所有T P R\'，确保sδ是一个特殊的半鞅（参见（Jacod和Shiryaev，2003，命题II.8.26））。为了完成模型的规范，我们假设theformXt“exp'trsds'nPNψJTnXTntTndtu\'，对于所有的tě0，（5.4），其中prtqtě0是一个适应的实值过程，对于所有的t P R\'，满足st | rt | dta` 8 a.s.，对于所有的n P n，ψtn是一个d维的FTn'可测量的随机向量。我们旨在描述Q是一个有效多重曲线模型的风险中性度量时的特征。根据备注3.8，我们看到一个必要条件是RT“f pt，t，0q，对于a.e.tě0。（5.5）在目前的假设和定理3.7的精神下，下面的命题为Q提供了充分的条件，使其成为上述asne多曲线模型的风险中性度量。为了便于记法，我们让ψt：“0表示所有t P R`和S：”1，因此S：“Sexpps¨sdXsq”1、提案5.2。考虑定义5.1中的一个完整的多曲线模型，并满足（5.5）的要求。此外，对于每个δP和T P R\'，假设zTzRdzt0uˇepψδsqJx'e'νps，T，δqJx'1'''''''ps，T，δqJxˇνX，cpds，dxqa\'8 a.s.（5.6）。那么Q是（5.4）中关于Xgivenas的风险中性度量，如果以下三个条件对每个δP D都保持a.s.：（i）对于a.e。

t P R `，它认为rt'f pt，t，δq“pψδtqJβptq\'d"yi”1Xit'βiptq,` pψδtqJαptq\'d"yi”1Xit'αiptq,ψδt'Rdzt0u'epψtqJx'1'pψtqJx'upt，dxq\'d"yi“1Xit'uipt，dxq,；（ii）对于每个t p R\'，a.e.t p r0，t s对于每一个i“0，1，…，d，它都会保持(R)pt，t，δqJβiptq“(R)pt，T，δqJαiptq^，νpt，T，δq'ψδT˙'Rdzt0u'epψδtqJx'e'''pt，T，δqJx'1'''''pt，T，δqJx'uipt ipt，dxq；（5.7）（iii）对于每n P n和TěTn，它认为'Tn，Tn，δfpq'γ'Tn，δTnψsДpTn，u，δqηpduq‘\'d"yi“1axin'，γi'Tn，ψδTn'ψTn'zpTn，ts k pTn，u，δqηpduq'E.证明。对于所有δpd，目前的可积性假设确保ψδ¨X和sδ是特殊的半鞅。因此，（Jacod和Shiryaev，2003，定理II.8.10）意味着具有多条曲线和随机间断的项结构25Sδ允许形式（3.3），（3.4）的随机指数表示，与αδt“pψδtqJβptq\'d"yi”1Xit'βiptq'pψδtqJαptq\'d"yi”1Xit'αiptq'ψδt'Rdzt0u'epψδtqJx'1'pψδtqJx'upt，dxq\'d"yi“1Xit'uipt，dxq''，AδTn“epψδTnqJXTn'1，对于所有n P n和Lδpt，xq“pepψδtqJx'1q1Jcptq，对于所有pt，xq P R'Rdzt0u，其中我们定义了setJc：“R'zT。由于（5.4），定理3.7的条件（i）减少为aδt”f pt，t，0q'f pt，t，δq，对于a.e.t P R'和δP D（另见备注3.8中的等式（3.12），其中条件（i）直接跟随。定义5.1中出现的可积性条件使我们能够在Protter（2004）的定理IV.65版本中应用随机Fubini定理，并且确保对于每个δp和δp R\'，φp¨，T，δq¨X是一个特殊的半鞅。

这允许获得引理3.5中的P pt，T，δq的表示，即P pt，T，δq“exp^''Tfp0，u，δqηpduq'T'νps，T，δqdBX，cs'nPN'pTn，T，δqJXTntTndtu't'νps，t，δqdXcs't'Rdzt0u'νps，t，δqJx1Jcpsq'uXpds，dxq'νXpds，dxq'tfpu，u，δqηpduq'。鉴于a ffine结构（5.1）并与（3.8）进行比较，认为“apt，T，δq“(R)pt，T，δqJ'βptq'd"yi”1Xit'βiptq'，}bpt，T，δq'φpt，T，δqJ'αptq'd"yi”1Xit'αiptq''pt，T，δbpt，T，δqJHδT'φpt，T，δqJ'αptq'd"yi”1Xit'αiptq对于所有0dTdTa\'8、δP和x P Rdzt0u，以及“gpt、x、T、δq”(R)pt、T、δqJx1Jcptq。在定理3.7的当前设置条件（ii）中，采用形式“pt、T、δqJ^βptq\'d"yi“1Xit'βiptq'pt，T，δqJ'αptq'd'i”1Xit'αiptq'd'i，T，δq'ψδT'Rdzt0u'epδtqJx'e'cfcf pt，T，δqJx'1'pt，T，δqJx'upt，dxq'd'i”1Xit（5.8）很明显，命题的条件（ii）对于（5.8）而言，对于当前设置中的每个T P R`和a.e.T P r0，T s，条件（iii），（iv）是足够的对于每个δP D，n P n和TěTn，e'fpTn'，Tn，δq“EQ<<1 `AδTn1 `BTne'spTn，T sИpTn，u，δqJXTnηpduqˇFTn'fff“EQ<<exp▄ψδTn'ψTn'pTn，T sДpTn，u，δqηpduq'JXTn,uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu181。最后，在目前的设置中，定理3.7中出现的可积条件（3.9）减少为条件（5.6）。根据定理3.7，我们可以得出结论，Q是相对于X的风险中性。备注5.3。条件（ii）仅适用于必要条件（5.8）。只有当夏尔坐标线性无关时，才需要这个条件。以下示例说明了命题5.2的条件。示例5.4（单曲线Vasiˇcek规范）。

作为第一个例子，我们研究了由一维GaussianOrnstein-Uhlenbeck过程驱动的无跳跃的经典单曲线（即D“H）模型。设ξ为Dξt”κpθ'ξtqdt'σdWt的解，其中W为布朗运动，κ、θ、σ为正常数。作为（5.2）中的驱动过程，我们选择三维a ffine过程xt“t，tξsds，ξt˙J，tě0。半鞅表示（5.1）中的系数是时间齐次的，即αiptq”α和βiptq“βi，i”0，…，3，由β“，”κθ“，”β“，”β“，”β“，”β“，”α“，”给出0 0 0 0 0 0 0 0 0σ和α“α”α“0。漂移条件（5.7）意味着“pt，t，0q“σ`\'(R)pt，T，0q'κθ'pt，T，0q，'νpt，T，0q”κ'pt，T，0q。我们可以自由指定Дpt，T，0q并选择'pt，T，0q“κ'1'e'κpt'tq。这反过来意味着'pt，T，0q“σκ'e'κpt'tq'e'2κpt'tq'κθe'κpt'tq，Дpt，T，0q“κe'κpt'tq，Дpt，T，0q“e'κpT'tq。可以很容易地验证这与Vasiˇcek模型相对应，请参见Filipovi'c（2009）第10.3.2.1节。注意，这也意味着fpt，t，0q”ξt。选择rt“fpt，t，0qleads to the num'eraire X“expps¨fps，s，0qdsq。因此，命题5.2具有多条曲线和随机不连续性的术语结构27中的所有条件都是满足的，并且模型没有套利。示例5.6.5（具有不连续性的单曲线Vasiˇcek规范）中给出了对多条曲线设置的扩展. 作为下一步，我们通过在时间1引入不连续性来扩展前面的示例。我们的目标是提供一个简单的示例，说明跳跃大小取决于驱动过程ξ，因此我们仍然停留在单曲线框架中。我们假设根据exppaξ`q、 其中P R和 " N p0，bq是方差为b的独立正态分布随机变量。

作为（5.2）中的驱动过程，我们考虑五维a ffine processXt“^ztηpdsq，ztξsds，ξt，1ttě1uξ，1ttě1u˙J，其中ηpdsq“ds `δpdsq。ψJt指定的Xis中的跳跃大小Xt“1tt”1PAξ`q这可以通过ψJ“p0，0，0，a，1q来实现。αi，βi，i”0，…，3的半鞅表示（5.1）中的系数如例5.4所示，在额外的行和列中有零。此外，我们还有β“β”0和α“α”0。此外，zexu，xyνXpttu，dxq“1tt”1exp^u\'uX\'ub˙，u P R。最后，我们选择tdpt，t，0q t的“$”&“%0“1dT，ae'κp1'tqfor Ta1”T，e'κpT'tq否则，可以通过漂移条件（5.7）从上一示例中的ДpT，T，T，0q p1'aq1tt“T”1u和ДpT，T，0q“0”。条件（三）是这个例子的有趣条件。该条件相当于x'b“f p1'，1，0q，（5.9），可通过选择fp0，1，0q”'b{2来满足。方程式（5.9）以及i“1，…，5的ipt，T，0q的规定确保f pt，T，0q”ξT。选择rt“fpt，t，0q我们得出，该模型没有套利，期限结构完全特定：事实上，我们为1dtdt和0dtdta1恢复了上一个示例P pt，t，0q”exp''ApT't，0q BpT't，0qXt'中的债券定价公式，而为0dta1dt，P pt，t，0q“exp''ApT'1，0q'A'1't，'BpT'1，0q'A'B'1't，'BpT'1，0q'A'Xt'B'。28 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G'UMBEL&t.Schmidt系数Apτ，uq和Bpτ，uq是Riccati方程的众所周知的解，因此等式“e'τξξsds''uξτ'”e'Apτ，uq'Bpτ，uqξ，对于τě0，参见Filipovi'C（2009）第10.3.2.1节和推论10.2详细信息和明确公式。此处给出的示例扩展了Keller-Ressel等人的示例6.15。