随机多曲线的期限结构建模

对于tat，方程式（3.7）表示f pt，t，δq“zpt，T s^fp0，u，δq `ztaps，u，δqds ` V pt，u，δq ` tbps，u，δqdWs ` TzEgps，x，u，δq `upds，dxq'νpds，dxq'ηpduq“zTfp0，u，δqηpduq′Tztaps，u，δqdsηpduq′TV pt，u，δqηpduq′Tztbps，u，δqdWsηpduq′TzTzEgps，x，u，δq′upds，dxq′νpds，dxq′pduq′Tfp0，u，δqηpduq′Tzuaps，u，δqdsηpduq'TV pu，u，δqηpduq'Tzubps，u，δqdWsηpduq'TzuzEgps，x，u，δq'upds，dxq'νpds，dxq'ηpduq。根据假设3.3，我们可以在Veraar（2012）中关于W36 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G¨UMBEL&T.Schmidt的随机积分的定理2.2版本，以及Bj¨ork et al.（1997）中关于补偿随机测度u'ν的随机积分的命题A.2版本。因此，我们得到了pt，T，δq“zTfp0，u，δqηpduq'ztfpu，u，δqηpduq'tzrs，t saps，u，δqηpduqds'TV pt，u，δqηpduq'tzrs，t sbps，u，δqηpduqdWs'tzEzrs，t sgps，x，u，δqηpduq'upds，dxq'νpds，dxq''“zTfp0，u，δqηpduq ` t'aps，t，δqds'nPN'V pTn，t，δq1tTn'tu't'bps，t，δqdWs't'E'gps，x，t，δq'upds，dxq'νpds，dxq'tfpu，u，δqηpduq”：Gpt，t，δq.（A.1）In（A.1），s¨fpu，u，δqηpduq的完整性遵循假设3.3以及普通和随机Fubini定理的分析应用。为了完成证明，还需要为t“t P R”建立（3.8）。为此，需要证明GpT，T，δq“F pT，T，δq表示所有T P R\'，其中GpT，T，δq：“GpT，T，δq'GpT'，T，δq，以及类似的F pT，T，δq.By（Jacod和Shiryaev，2003，命题II.1.17），νptT u^Eq“0意味着，对于每个T P R”，QruptT u^Eq‰0s”0。因此，它认为QrGpT，T，δq‰0sa0仅当T“Tn时，对于某些氮磷氮。

方程式（A.1）和（3.7）共同表明GpT，T，δq“’V pT，T，δq'fpT，T，δq“'fpT'，T，δq“'F pT'，T，δq”F pT，T，δq，其中最后一个等式遵循F pT，T，δq“0的约定。通过对n的归纳，同样的推理得出GpTn，Tn，δq“F pTn，Tn，δq，对于所有n P n。最后，δ-期限债券价格pP pt，T，δqq0dTdT的半鞅性质来自（A.1）。附录B.将市场模型嵌入HJM框架第4节中考虑的一般市场模型，如等式（4.2）所述，可嵌入第3节的扩展HJM框架中。为便于演示，让我们考虑一个单一期限（即D“tδu）的市场模型，并假设未来Ibor利率Lp¨，t，δq由（4.2）给出，对于所有的t P tδ”tT，…，TNu，所有的i“1，…，N'1都是Ti'1'Ti'δ。为了简单起见，让我们假设有一个固定的数字N'1不连续日期，与一组日期t一致：“tΔTtTN'1u，with tn'1：“TN`δ。我们说，如果在R`上存在一个σ-有限度量η，一个扩展过程Sδ和一系列正向速率tfp¨，T，δq:tP Tδu，那么tLp¨，T，δq:tP Tδu可以嵌入到扩展的HJMmodel中，对于所有0dTdP Tδ，lpt，T，δq”ΔSδtP pt，T，δqP pt，T'δq'1'，（B.1）具有多条曲线和随机不连续性的项结构37，其中，对于所有0dTdT P Tδ，P pt，T，δq由（3.5）给出。换言之，根据公式（2.2），HJM模型为每个日期T P Tδ生成与原始市场模型相同的远期Ibor利率。我们注意到，由于市场模型仅涉及到期日为T“tT，…，TN\'1u的OIS债券，因此将（3.5）中的度量η作为形式为ηpduq“N\'1"yi”1δTipduq的纯原子度量并没有失去普遍性。

（B.2）更具体地说，如果通过（3.6）形式的一般度量从（3.5）中定义到期OIS债券，则始终存在（B.2）中的度量η，生成相同的债券价格，直至远期利率过程的适当规范。以下命题明确说明了如何将一般市场模型嵌入HJM模型。对于t P r0，TNs，我们定义了ptq：“mintj P t1，…，N u:Tjětu，因此Tiptqis是最小的T P Tδ，因此TěT.命题B.1。假设满足定理4.1中关于（B.2）中给出的度量η的所有条件，并进一步假设Lpt，T，δqa\'1{δa.s.对于所有的t P r0、t s和t P tδ。然后，在上述假设下，市场模型TLP¨、t、δq:t P tδu可以嵌入HJM模型中，方法是选择（i）一系列远期利率tf P¨、t、δq:t P tδu，其初始值为p0、Ti、δq“fp0、Ti\'1、0q'log^1'δLp0、Ti、Ti'1、δq'N，并满足方程（3.7），其中，对于所有我“ 1, . . .

，N，波动过程bp¨，Ti，δq，跳跃函数gp¨，Ti，δq和pV pTn，Ti，δqqn“1，…，分别由bpt、Ti、δq“$&%bpt、Ti、0q ` bpt、Ti ` 1、0q `δbLpt、Ti、δq1 `δLpt'、Ti、δq、if i”iptq、bpt、Ti'1、0q'δbLpt、Ti、δq1'δLpt'、Ti'、Ti'1、δq'、if iaiptq、gpt、x、Ti、δq“$\'\'\'\'\'如果i“iptq，gpt，x，Ti\'1，0q'log'1'δgLpt，x，Ti，δq1'δLpt'，Ti，δq1'δgLpt，x，Ti\'1，δq1'δLpt'，Ti\'1，δq'，如果iaiptq，V pTn，Ti，δq“V pTn，Ti\'1，0q'log'1'δLpTn，Ti，δq1'δLpTn'，Ti，δq1'δLpTn，Ti'1，δq1'δLpTn'，对于iěn\'1，过程ap'，Ti，δq由定理3.7的条件（ii）确定；（ii）初始值为Sδ“`1`δLp0，0，δqP p0，δq且满足（3.3），（3.4）的扩展过程Sδ，其中过程αδ，Hδ，函数Lδ和随机变量spAδTnqn“1，…，Nare分别由αδt“0，Hδt”0，Lδpt，xq“0,38 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G¨UMBEL&t.SCHMIDT给出AδTn“^1`δLpTn，Tn，δq1`δLpTn'，Tn，δq'efpTn'，Tn，0q'fpTn'，Tn，δq'V pTn，Tn\'1,0q\'1。此外，得到的HJM模型满足定理3.7的所有条件。证据由于证明涉及相当长的计算，我们只提供一个草图。对于T P Tδ，根据定理4.1和假设Lpt，T，δq′1{δa.s.对于所有T P r0，T s，过程p1′δLp¨，T，δqqP¨，T′δq{Xis是一个严格正的q-局部鞅，因此对于所有T P r0，T s和T P Tδ，Lpt′，T，δq′1{δa.s.让我们定义过程pT，δq“pYtpT，δq0dTdTby YtpT，δq：“sδtP pT，T，δq{{P pT，T `δq.推论a.1与方程（3.3）的应用推论3.6给出了过程Y pTδq的随机指数表示和半鞅分解。对于（3.3）中给出的扩散过程Sδ，我们从施加Hδ“0”和Lδ“0”开始。

然后继续确定描述远期利率tfp¨，T，δq的过程：T p Tδ使用化（3.7）。根据（B.1），对于每个T P Tδ，我们通过匹配Y pT的布朗部分，δq与δLp¨，T，δq的布朗部分来确定过程bp¨，T，δq，而跳跃函数gp¨，T，δq是通过匹配Y pT的完全不可访问的跳跃，δq与δLp¨，T，δq的完全不可访问的跳跃来获得的，然后，通过定理3.7的施加条件（ii）单向确定δq。作为下一步，对于每个n“1，…，n，随机变量（3.3）、（3.4）中出现的δtn通过要求YTnpTn，δq“δLpTn，Tn，δq.（B.3）然后，对于每个n“1，…，n'1和T P tTn'1，…，TNu，随机变量V pTn，T，δqis通过要求YTnpT，δq“δLpTn，T，δq，（B.4），而V pTn，T，δq：“TdTn为0。注意V pTn，TN\'1，δq“0表示δ‰0和n”1，…，n`1。在这个阶段，远期利率tfp¨，T，δq:T P Tδu是完全规定的。根据这个规定，可以验证条件（4.3）和（4.4）分别意味着定理3.7的条件（3.9）和（3.10）是满足的，使用假设3.3以及条件（3.9），（3.10）是满足δ的“0和T P T b假设。此外，可以检查，如果满足定理4.1的条件（ii），则随机变量AδTnandV pTn，T，δq，由定理3.7的（B.3）、（B.4）满足条件（iii）、（iv）得出，对于每个n P n和T P Tδ。仍需指定（3.4）中出现的过程αδ。为此，对引理3.5和推论3.6的检查表明，由于度量η是纯原子的，因此定理3.7的条件（i）和条件（3.11）中分别没有出现术语f pt、t、δq和fpt、t、0q。

由于（3.11）假设成立，αδ“0遵循定理3.7的条件（i）。因此，我们得到了两个过程\'1`δLp¨，T，δqP¨，T`δqx和δP¨，T，δqx是两个从相同初始值开始的局部鞅，具有相同的连续局部鞅部分和相同的跳跃。通过（Jacod和Shiryaev，2003，定理i.4.18和推论i.4.19），我们得出结论（B.1）适用于所有0dtdt PTδ。我们想指出的是，命题B.1中描述的规格并不是唯一的HJM模型，该模型允许嵌入给定的市场模型tLp¨，T，δq:T P Tδu。具有多条曲线和随机不连续性的长期结构39的确，bpt，Tiptq，δq和HδT可以任意规格，只要它们满足PT，Tiptq，δq'Hδt“bpt，Tiptq，0q'bpt，Tiptq'1，0q'δbLpt，Tiptq，δq1'δLpt'，Tiptq，δq，以及适当的可积性要求。存在类似的自由度，涉及函数gpt，x，Tiptq，δq和Lδpt，xq的规格。还请注意，随机变量命题B.1中给出的Aδtn可等效表示为AδTn“1 `δLpTn，Tn，δq1 `δLpTn'1，Tn'1，δqP pTn，tn1qp pTn'1，Tnq'1，对于n”1，…，n.ReferencesBeirne，J.（2012），“2007-2009年危机之前和期间的EONIA价差：流动性和信用风险的作用”，J.Int.Money Finance 31（3），534–551.Bianchetti，M.（2010），“两条曲线，一个价格”，risk Magazine（8月），74–80.Bianchetti，M.和Morini，M.，eds（2013），金融危机后的利率建模，风险账簿，伦敦。Bj¨ork，T.、Di Masi，G.B.、Kabanov，Y.和Runggaldier，W.（1997），《走向债券市场的一般理论》，金融斯托克。1(2), 141–174.Brace，A.、Gatarek，D.和Musiela，M.（1997），“利率动态的市场模型”，数学。财务7127–155。Brigo，D.，Buescu，C.，Francischello，M.，Pallavicini，A。

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