随机多曲线的期限结构建模

第一对于δ“0，条件（i）要求num'eraireprocess的漂移率rtof等于OIS债券瞬时收益率f pt，t，0q的短端，再加上两个额外的项，说明Xitself的波动性。对于δ‰0，条件（i）要求在短端，FRA浮动段上的瞬时收益率αδt ` f pt，t，δq等于瞬时收益率fpt，t，0q加上风险溢价，风险溢价由num'eraire过程X和乘法利差过程Sδ之间的方差确定。其次，条件（ii）是著名的HJM漂移条件的推广。特别是，如果D“H和过程xd没有局部鞅分量，则条件（ii）将减少到Bj¨ork et al.（1997）命题5.3中针对单曲线跳跃扩散模型建立的漂移限制。最后，条件（iii）和（iv）是新的和特定于我们的设置，具有随机不连续性。总之，它们对应于排除在某个预定日期Tn，X计价资产的价格出现跳跃的可能性，其规模可以根据FTn'中包含的信息进行预测。事实上，这种可能性将违反无套利（与Fontana et al.（2019）相比）。证据在定理3.7中，回想一下P pt，T，0q“P pt，T q，0dTdTa\'8。根据定义，q是关于Xif的风险中性度量，并且仅当过程P¨，T q{x和∏FRAp¨，T，δ，Kq{x是q-局部鞅，对于每个T P R\'，δP D和K P R。根据（2.2）并使用上面介绍的符号约定，当且仅当过程SδP P，T，δq成立{Xis是一个Q-局部鞅，对于每个T P R′和δP D。

A推论A.1、推论3.6和方程式（3.1）–（3.4）的应用，δqX“SδP p0，T，δq^z¨kspT，δqds'Kp1qpT，δq''Kp2qpT，δq''MpT，δq'MpT，δq''，δq'MpT，（3.13），其中pktpT，δqq0'Td是ktpt给出的一个适应过程，δq：“αδT''rt'apt，T，δq''''''bpt，T，δq''bpt，T，δqJ'Ht''HδT''\'HJtHδT`}Ht}，pKp1qtpT，δqq0dTd是kp1qtpt给出的纯跳跃变化过程，δq：“tzE'E'gps，x，t，δq'1'gps，x，t，δq'upds，dxq'ELps，xq1'Lps，xq'Lδps，xq'E'gps，x，t，δq'1'Lps，xq'upds，dxq'ELδps，xq1'Lps，xq'E'gps，x，t，δq'1'”μpds，dxq“ztzE∧ps，x，t，δqupds，dxq，请注意，在目前的一般水平下，利率Rt并不代表无风险回报率。14 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G¨UMBEL&t.SCHMIDTand pKp2qtpT，δqq0dtd是KP2qtpt给出的纯跳跃有限变化过程，δq：“nPNtTn tu”AδTn1 `BTn“1”`BTn'e'V pTn，T，δq'f pTn，Tn，δq'1''BTn1 `BTn公司`AδTn1 `BTn'e'V pTn，T，δq'f pTn，Tn，δq'1'''''nPNtTn'tu'1 `AδTn1 `BTne'spTn，T sV pTn，u，δqηpduq\'f pTn\'，Tn，δq\'1,，其中在上一等式中，我们使用了（3.7）以及过程V的定义。（3.13）中的过程M pT，δq“pMtpT，δqq0dtdtappering是局部鞅mtpt，δq：“zt` Hδs'Hs'bps，t，δq'dWs't'E'Lδps，xq'Lps，xq'gps，x，t，δq''upds，dxq'νpds，dxq'728；。请注意Kp1qpT，δq‰0uStKp2qpT，δq‰0u对于每个T P R′和δP D是消失的，由于uptTnu^Eq“0 a.s.对于所有n P n.假设sδP¨，T，δq{Xis是q-局部鞅，对于每个T P R`和δP D.在这种情况下，（3.13）意味着有限变化过程¨kspT，δqds'Kp1qpT，δq'Kp2qpT，δq也是q-局部鞅。通过（Jacod和Shiryaev，2003，LemmaI.3.11），这意味着纯跳变过程Kp1qpT，δq ` Kp2qpT，δq是局部可积变分。

由于这两个过程Kp1qpT、δq和Kp2qpT、δq没有共同的跳跃，它认为|KpiqpT，δq |d|Kp1qpT，δq `Kp2qpT，δq |，对于i“1，2。因此，过程Kp1qpT，δq和Kp2qpT，δq都是局部可积变化。注意Kp2qpT，δq”nPNKp2qTnpT，δq1rrTn，`8rr，He et al.（1992）的定理5.29暗示随机变量Kp2qTnpT，对于每个n P n，δq相对于FTn'是sigmaintegrable。这相当于sigmaintegrability of 1 `AδTn1 `BTne'spTn，T sV pTn，u，δqηpduq\'f pTn'，Tn，δq（3.14）相对于FTn'。由于fpTn'，Tn，δq是FTn'可测量的，因此（3.14）关于FTn'的sigma可积性可以等价地表示为（3.10）关于FTn'的sigma可积性。此外，Kp1qpT，δq是局部可积变量的事实相当于积分的a.s.不确定性zTzEˇ∧ps，x，T，δqˇλspdxqds，从而证明了可积条件（3.9），（3.10）。在确定了两个过程Kp1qpT、δq和Kp2qpT、δq都是局部可积变化的情况下，我们可以采用具有多条曲线和随机不连续15个补偿器（双重可预测预测投影），参见（Jacod和Shiryaev，2003，TheoremI.3.18）。这导致δP¨，T，δqX“SδP p0，T，δq E^z¨kspT，δqds\'pKp2qpT，δq\'MpT，δq˙，，（3.15），其中MpT，δq：“MpT，δq\'Kp1qpT，δq\'Kp2qpT，δq'kspT，δq'ds\'pKp2qpT，δq（3.16）是局部鞅，P^ktpT，δqq0dT这是由^ktpT，δq“ktpT，δq` E∧pt，x，T，δqλtpdxqand根据（He et al.，1992，定理5.29），pKp2qpT，δq“rnPNpKp2qTnpT，δq1rrTn，`8rr是一个纯跳变的可预测过程pKp2qTnpT，δq“efpTn'，Tn，δqEQ<<1 `AδTn1 `BTne'spTn，T sV pTn，u，δqηpduqηFTn'''ff1，对于所有n P n。

如果SδP¨，T，δq{Xis是一个q-局部鞅，然后通过方程（3.15）过程s¨kspT，δqds'pKp2qpT，δq必须为空（直到消失集），是一个有限变化的可预测局部鞅，参见（Jacod和Shiryaev，2003，推论I.3.16）。特别是，单独分析其绝对连续和不连续部分，当且仅当^ktpT，δq成立“0在一组pQbdtq之外测量零和pKp2qTnpT，δq“0 a.s.对于每个n P n.让我们首先考虑绝对连续部分0”ktpT，δq“αδt'rt'apt，t，δq `}bpt，t，δq'f pt，t，δq'bpt，t，δqJ'Ht'Hδt'HJtHδt'Ht'E∧pt，x，t，δqλtpdxq。最后一行中出现的积分是a.s.t的定义P r0，t s作为（3.9）的结果。取t“t导致要求'αδt“f pt，t，δq'HJtHδt`}Ht'ELpt，xq1'Lpt，xq'Lpt，xq'Lδpt，xq'λtpdxq，对于a.e.t P R`，它在定理的陈述中给出了条件（i）。反过来，将最后一个条件插入方程^ktpT，δq”0直接导致条件（ii）。考虑到纯跳跃部分，条件pKp2qTnpT，δq“0 a.s.，对于所有n P n，导致q<<1 `AδTn1 `BTne'spTn，T sV pTn，u，δqηpduqˇFTn'fff“e'fpTn'，Tn，δq（3.17）a.s.对于定理陈述中的所有n P n.条件（iii），通过取“Tn”来获得，而条件（iv）之后是将条件（iii）插入（3.17）中。相反，如果可积性条件（3.9），（3.10）满足，则（3.13）中出现的有限变化过程Kp1qpT，δq和Kp2qpT，δq具有局部可积变化。因此，可以使用其补偿器并获得表示（3.15）。因此，很容易验证，如果四个条件（i）–（iv）保持不变，则（3.15）中出现的过程^kpT、δqandpKp2qpT、δq为零，直至消失集。这证明了SδP¨，T，δq{X对于每个T P R′和δP D的局部鞅性质。16 C。

FONTANA，Z.GRBAC，S.G–UMBEL&T.SCHMIDTRemark 3.9。备注2.5中引入的外汇类比延续了定理3.7中建立的条件。特别地，在Ht“Lpt，xq”0的特殊情况下，对于所有pt，xq P R^E，可以很容易地验证条件（i）–（ii）精确地还原为科瓦尔（2005）中建立的HJM条件在多货币HJM半鞅模型的背景下。3.1. OIS银行账户为num'eraire。在HJM模型中，数字通常为OIS银行账户expp¨rOISsdsq，ROISDE表示OIS短期利率。在这种情况下，定理3.7的应用使我们能够描述关于OIS银行账户的所有等价局部鞅测度（ELMM，见第6节）。为此，让Qbe作为p上的概率度量Ohm, F q等于q，并用Zits密度过程表示，即。，Zt“dQ | Ft{dQ | Ft，对于所有tě0，我们表示关于Qby eqa的期望，并假设z“E^'θ¨W'ψpu'νq'npnyrtn，`8rr˙，，（3.18），对于满足可积性条件θt}s}ds'8 a.s.的Rd值渐进可测过程θ“pθtqt'0对于所有ta0，a p b是可测函数ψ：Ohm 对于所有Ta0，满足可积条件TsEp |ψps，xq |^ψps，xqqλspdxqdsa8 a.s.的R^E^p'8，以及取p'8值的随机变量族pYnqnPNof，对于所有的n P n，1qsuch that Ynis FTn measured and EQrYn FTn\'s“0。表示∧ps，x，T，δq”`1'ψps，xq'p1'Lδps，xqqe'gps，x，T，δq'1'Lδps，xq'gps，x，T，δq。推论3.10。假设假设假设3.3成立。设qq为P的概率度量Ohm, F q等于q，密度过程Zgiven in（3.18）。进一步假设所有Ta0的sTsTψps，xqPr0,1suψps，xq{p1'ψps，xqqλspdxqdsa\'8 a.s。

然后，Qis关于数值表达式的anELMM当且仅当对于每个δP D，对于每个T P R，对于每个n P n和T n，随机变量\'1`AδTnespTn，T sV pTn，u，δqηpduqis sigma可在q下对FTn'积分，以下条件适用于a.s.：（i）对于a.e.t P R `，它认为roist“f pt，t，0q，αδt”f pt，t，0q′fpt，t，δq′θJtHδt′Eψpt，xqLδpt，xqλtpdxq；（ii）对于每个t P R′，对于a.E.t P r0，t s，它认为\'apt，t，δq′bpt，t，δq′bpt，t，δqJ′θt′Hδt′728；\'E′1′ψpt，xx q`1` Lδpt，xq`E''gpt，x，t，δq'1`gpt，x，t，δq'λtpdxq；（iii）对于每一个n P n，它认为AδTnˇFTn''e'fpTn'，Tn，δq'1；具有多条曲线和随机不连续性的期限结构17（iv）对于每个n P n和TěTn，它认为等式“p1 `AδTnq'e'pTn，T sV pTn，u，δqηpduq'1'FTn'305;“0.证明。借助Bayes公式，Qis an ELMM当且仅当ZSδP¨，T，δqe'''''''''''rOISsds是q下的局部鞅，对于每个T P R'和δP D。因此，通过应用定理3.7关于X：“e'''¨rOISsds{Z.通过应用引理a.1，我们得到X“e''''''''''''''''''''''''''rOISsθs}`Eψps，xq1'ψps，xqλspdxq'ds'θ–W'ψ1'ψpu'νq'nPNYn1'YnrrTn，'8rr'。请注意，由于假设sTsTψps，xq{p1'ψps，xqqλspdxqdsa\'8 a.s.，由于sTsTψps，xqPr0,1suψps，xq{p1'ψps，xqqλspdxqdsa\'8 a.s.以及基本不等式x{p1'xq'xqds| x ^ x，对于xd0.（3.1），（3.2）带RT“rOISt`}θT}zEψpt，xq1'ψpt，xqλtpdxq，H”θ，L“ψ{p1'ψq和BTn“Yn{p1'Ynq。

由于zTzEψps，xq1′ψps，xqλspdxqdsa8a。s、 ，对于所有Ta0，可以很容易地检查条件（3.19）是否等效于（3.9）。然后从定理3.7得出推论，注意到对于任何FTn可测量的随机变量ξ，其在关于FTn'的Q下是sigma可积的，它认为Eqrξ'FTn's“EQrZTnξ'FTn'sZTn'EQ”p1'Ynqξ'FTn'EQ'ξ1 `BTnFTn',其中，我们使用了ZTn“ZTn'p1'Ynq，对于每个n P n。备注3.11。推论3.10的证明允许获得多曲线金融市场的所有等价局部鞅定义的特征，即形式为（3.18）的所有严格正Q-局部鞅Z，使得ZSδP¨，T，δqe'''¨rOISsdsis aQ局部鞅，对于每个T P R'和δP D。备注3.12。Cuchiero、Fontana和Gnoatto（2016）的HJM框架可以作为没有随机不连续性的特例加以涵盖，在（3.6）中设置ηpduq“du，将OIS银行账户作为num'eraire，并通过给定的It^osemima鞅生成跳跃度量u。Cuchiero、Fontana和Gnoatto（2016）表明大多数现有的多曲线模型都被其框架覆盖，这更进一步意味着它们可以很容易地嵌入到我们的框架中。4、一般市场模型在本节中，我们考虑了市场模型，并开发了一个无套利的一般框架来模拟Ibor利率。如附录B所示，根据Brace等人（1997）的精神，市场模型可以嵌入第3节中考虑的扩展HJM框架中。这是可能的，因为术语结构18 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G¨UMBEL&T.SCHMIDTequation（3.5）中的度量ηpduq可能包含原子。然而，直接研究市场模型更简单，如下所示。根据市场模型的精神，与定义2.2不同的是，在本节中，我们假设只交易了很多资产。

对于每个δP D，让Tδ“tTδ，…，TδNδu为与期限δ相关的交易远期利率协议合同的结算日期集，Tδ“TandTδNδ”T，为0dTaT8。我们考虑等距期限结构，即Tδi'Tδi'1“δ，对于所有i”1，…，Nδ和δP D。我们还可以定义：“δPDTδ，对应于所有交易的FRA集合。我们方法的起点是表示法（1.1），∏FRApt，T，δ，Kq”δ` Lpt，T，δq'K'P pt，T'δq，（4.1）对于δP D，T P Tδ，T P r0，T s和K P R。金融市场包含所有到期的OIS零耦合债券T P T：“T'tT'δi:i“1、…、mu以及所有δP D、T P Tδ和K P R的FRA合同。让POhm, F，F，Qq是一个过滤概率空间，支持d维布朗运动W和随机测度u，如第3节所述。我们假设，对于everytenorδP D和到期日T P Tδ，远期Ibor利率Lp¨，T，δq“pLpt，T，δqq0dTdTsatis fieslpt，T，δq”Lp0，T，δqztaLps，T，δqds"ynPNLpTn，T，δq1tTndtuztbLps，T，δqdWszTzEgLps，x，T，δq'upds，dxq'νpds，dxq。（4.2）在上述等式中，aLp¨，T，δq“paLpt，T，δqq0dTd是一个实值适应过程，满足sT | aLps，T，δq | dsa8 a.s.，bLp¨，T，δq”pbLpt，T，δqq0dTd是一个渐进可测量的Rd值过程，满足可积条件sT}bLps，T，δq}dsa8 a.s.，pLpTn，T，δqqnp是一组随机变量，如LpTn，T，δq是ftn可测量的，对于每个n P n，和gLp¨，¨，T，δq：Ohm ^r0，T s^E~nR是一个P b BE可测量函数，满足zTzE''''''gLps，x，T，δq''^ ^'gLps，x，T，δq'''''λspdxqds''8 a.s。ptnqnp的日期表示市场中发生的随机不连续性。

假设OIS债券价格为δ“0的形式（3.5），对于所有T P T，关联远期利率f pt，T，0q如（3.7）所示。本节的主要目标在于推导参考概率度量Q作为风险中性度量的必要和有效条件，以确定其相对于形式（3.1）的一般数量xo的风险中性度量对于交易FRA合同和OIS零息票债券的金融市场，FRA价格通过（4.1）和（4.2）为结算日期的离散集T建模。我们记得，bpt，Tδ，0q“zrt，T `δsbpt，u，0qηpduq，\'gpt，x，T `δ，0q”zrt，T `δsgpt，x，u，0qηpduq。注意，我们需要考虑OIS债券的延长期限集，因为结算日期为T，期限为δ的压裂合同在T `δ日期支付。具有多条曲线和随机不连续性的期限结构19定理4.1。假设假设3.3适用于δ“0，对于所有到期日，T P T。那么Q是关于Xif的风险中性度量，并且只有当δ”0和所有T P T满足第3.7条的所有条件，并且对于每个δP D，对于所有T P Tδ，以及对于每个n P n和TδQ E''gps，x，T'δ，0q1'Lps，xq'1'λspdxqds'8（4.3）a.s.时，Q才是关于Xif的风险中性度量。δQ TěTn，随机变量LpTn，T，δq1 `BTne'spTn，T'δsV pTn，u，0qηpduq（4.4）对于FTn'是sigma可积的，并且以下两个条件适用于a.s.：（i）对于所有的T P Tδ和a.e.T P r0，T s，它适用于alpt，T，δq“bLpt，T，δqJ\'Ht`”bpt，T'δ，0q'EgLpt，x，T，δq'e'gpt，x，T'δ，0q1'λtpdxq；（ii）对于所有n P n和Tδq TěTn，它认为：LpTn，T，δq1 `BTne'spTn，T'δsV pTn，u，0qηpduqˇFTn'“0.定理4.1的条件（i）是Ibor利率过程的漂移限制。

在交易到期的连续统一体中，如定理3.7所示，该条件可分为短端条件和HJM型漂移限制（见定理3.7中的条件（i）和（ii））。与定理3.7中的条件（iii）、（iv）类似，条件（ii）对应于要求，对于每个n P n，无法根据FTn'中包含的信息预测在Tnin FRA价格当日发生的跳跃大小。证据从表述（4.1）来看，Q是关于Xif的风险中性度量，且仅当P¨，T q{Xis a q-局部鞅，对于每个T P T，和Lp¨，T，δqP¨，T `δq{Xis a q-局部鞅，对于每个δP D和T P Tδ。首先考虑OIS键，定理3.7暗示，对于每个T P T，当且仅当满足定理3.7中的条件（3.9）、（3.10）以及条件（i）–（iv）时，P¨，T q{Xis a q-局部鞅“0和对于所有的T P T。在这些条件下，δ”0的方程式（3.15）给出了每个T P T的P¨，T qX“P p0，T q E'MpT，0q'，，（4.5），其中局部鞅MpT，0q由MpT，0q“Kp2qpT，0q'''''''''Hs'bps，T，0q'''''''dWs'''''''''gps，x，T，0q1'Lps给出,`upds，dxq'νpds，dxq，如下式（3.16），Kp2qpT，0q“nPNE'pTn，T sV pTn，u，0qηpduq\'fpTn\'，Tn，0q1 `BTn'1'rrTn，'8rr。20 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G–UMBEL&T。