Markowitz随机优势的跨越检验

有鉴于此，下面将建立的结果首先允许用鞍型泛函定义手头的t herandom变量，其次允许用结果cdf的不连续性。因此，它推广了关于随机过程上确界分布的绝对连续性的已知结果。关于这些问题的出色处理，请参见Nualart（2006）的命题2.1.7和2.1.10，关于fibering方法及其概率应用的中断相关文献，请参见Lifshits（1983）。假设1。对于进程X，假设：1。E[sup∧（Xλ）]<+∞.2、对于所有λ∈ ∧，X（λ）∈ D1,2，a和H值过程DX具有连续性和E[sup∧kDXλk]<+∞.3、对于一些可数T R、 P（{ξ=τ}∩ Ohmτ) ≥ 0成立当且仅当τ∈ T，其中Ohmτ表示{ω∈ Ohm : 对于某些λ，DXλ（ω）=0，使得τ=Xλ（ω）}。这里使用的术语“鞍型”有点滥用，因为连续优化操作之间的可交换性通常不成立。在通常情况下，X是零均值高斯分布，我们可以通过强有力的结果来建立FirstCondition，这意味着sup∧Xλ分布的次指数性，如van der Vaart和Wellner（1996）的命题A.2.7。它的有效性遵循许多条件，这些条件限制了∧×R的堆积数，这些堆积数通过使用X的协方差函数被度量为一个总边界度量空间，以多项式有界，如果所有i的∧iare欧氏空间子集很容易建立，那么第二个条件也很容易建立为innulart（20 06）（见第110页）。更具体地说，如果K（λ，λ）是上述的方差函数，那么H是{Hλ（·）=K（λ，·），λ的闭区间∈ ∧}，内积hhλ，hλiH=K（λ，λ），其中DXλ=K（λ，λ）。

在这种情况下，前一种以及支配收敛意味着E[sup∧kDXλk]的存在。第三个条件是最难确定的。在我们想到的情况下，我们可以通过类似的，以及更容易建立的，由ξ随机支配的随机变量的性质，导出T的“外部近似”，参见下面的推论。我们现在能够统计并证明主要的概率结果。定理1。在假设1下，ξ定律具有连接的支撑，例如supp（ξ），其中包含T。Ifτ∈ T，在τ处计算的定律的cdf最大有一个跳跃不连续的大小P(Ohmτ). 如果τ，τ是T的连续元素，则被限制到（τ，τ）的la w res是绝对连续的w.r.T。Lebesgue测度。如果T i的界限低于m，则法律限制为(-∞, inf T）是绝对连续的w.r.T.lebsg ue度量。双重地，如果T从上方有界，则la w限制为（sup T+∞) 绝对连续的w.r.t.Lebesgue测度。定理1包含了上述文献中的标准绝对连续性结果，当oper是suprema（或对偶in fima）的组成时，参数空间∧不依赖，且P(Ohmτ） =0，对于llτ∈ T此外，即使在T为单态的特殊情况下，其结果也是Lifshits（1983）第2项的推广，因为它考虑了非高斯性、优化算子域之间的依赖性以及鞍型优化。下面的推论关注于这种特殊情况，并通过假设存在一个由ξ随机支配的辅助随机变量来估计潜在跳跃不连续的大小。推论1。假设假设1满足。此外，假设t={c}，ξ≥ η、 P a.s.，且SUP（η）=[c+∞).

那么，supp（ξ）=[c+∞),其cdf在（c+∞), 在c处，其最大尺寸可能有跳跃不连续性P（η=c）。上述结果，尤其是之前的推论，有助于推导随机跨越测试的极限理论（关于基于其他参数的SSD，请参见Arvanitis et al.（2018））。对于由港口对账单分配集驱动的一对给定概率分布集，Spanning的无效假设假设假设，对于第一组中的任何一个分布，在另一组中存在一些支配它的分布。下面，这种假设由一组适当的力矩条件的函数形式sup sup inf表示，这些力矩条件由∧参数化。我们可以通过该函数的缩放经验版本获得测试统计数据。在检验统计量的零极限理论下，上述结果有助于构造基于重采样模式的渐近精确决策过程。它们通过对渐近显著性水平的限制来实现，以保证临界值收敛到全极限cdf的连续点。在这种框架中，X通常是零均值高斯分布，而ξ则被定义为∧不同区域X定义的In-ma与给定属性之间的差异（关于MSD情况下这些属性的明确推导，请参见以下章节）。我们可以在其他计量经济学应用中遇到类似的概率结构。一个例子涉及给定统计模型由矩不等式表示的一个集识别模型嵌套的零假设。更具体地说，假设给定一个随机矩阵Y，统计模型由一组概率分布（条件为Y）组成，并由一个欧几里德参数ν参数化∈ Φ.

第二个统计模型由满足条件矩不等式E[g（θ）| Y]的以Y为条件的概率分布集组成≤ 0d，对于某些θ∈ Θ，其中Θ又是一些欧几里德空间的子集，动量函数g=（g，g，…，gd）是有限维的，不等式符号是有意义的解释。我们有兴趣测试第一个模型嵌套在第二个模型中的假设，即，对于任何∈ Φ，存在一些θ∈ Θ因此EΘ[g（θ）| Y]≤ 0d，其中，Eν表示期望w.r.t。对应于Д的分布。当Φ为单态时，我们得到了与Guggenberger、Hahn和Kim（2008）中类似的特定假设。在Φ、Θ和g的性质的进一步条件下，嵌套的零假设等价于thatsupΘ∈Φsupj=1,2，。。。，dinfθ∈ΘEΘ[gj（θ）/Y]≤ 0、如果任何一种类型的样品可用∈ Φ在第一个模型中（这在与Φ的单音情况相关的规范中是微不足道的），我们可以通过函数的经验对应项来形成测试统计数据∈Φsupj=1,2，。。。，dinfθ∈ΘEΘ[gj（θ）| Y]。然后，上述结果也有助于在这种情况下构造渐近精确的决策过程。3 MSD的扩展测试我们现在为MSD关系引入随机扩展的概念。我们首先提供该概念的一些有序理论特征，并使用递归优化定义的函数导出分析表示。然后，我们构建了一个测试程序，使用该函数和子抽样的比例经验对应项。

我们主要根据Corollary1.3.1 MSD和随机跨度推导出其一阶极限理论(Ohm, F、 P），假设F表示某个概率测度在有限第一时刻的cdf。设G（z，λ，F）beRRnI{λT ru≤ z} dF（u），即线性变换Rn的cdf x个→ λT rx，其中λ假设其值在L中，其中是S={λ的闭合非空子集∈ Rn+：1T rλ=1，}。类似地，让K表示L的一些杰出的子集合。在金融计量经济学的背景下，模糊表示n个基本资产回报的联合分布，S表示可以在前一个基础上构建的线性投资组合集。参数setL表示由经济、法律和/或其他投资限制形成的可行投资组合的集合。我们用λ、κ等表示L的泛型元素。与Arvanitis et al.（2018）的SSD关系的跨越测试相比，我们不假设随机变量具有紧支撑。基本资产不限于单个证券，而是简单地定义为最大投资组合集S的极值点。为了定义MSD和随后的跨越概念，我们考虑J（z，z，λ；F）：=ZZG（u，λ，F）du。定义1。κ弱Markowitz do minate esλ，表示为κ<Mλ，i fff（z，λ，κ，F）：=J(-∞, z、 κ，F）- J(-∞, z、 λ，F）≤ 0, z∈ R-, 和（z，λ，κ，F）：=J（z+∞, κ、 F）- J（z+∞, λ、 F）≤ 0, z∈ R++。（1） 基础分布平均值的存在意味着我们可以降低上述积分限制，以假设扩展值，从而得出积分差和在（1）中定义良好。

Levy和L evy（2002）表明，对于递增和，负部分凹，正部分凸的实数函数（称为反向S形（零）效用函数），κ的预期效用大于或等于λ的预期效用。这种效用函数代表对风险的偏好，与风险厌恶损失和风险偏好收益相关。因此，在金融经济学中，如果每个反向S型个人投资者对投资组合κ的偏好较弱，那么马科维茨优势就是这种情况。（1）中的不可数不等式系统定义了L上的一个序。如果这些等式满足等式，则该对（κ，λ）属于该序的可能非平凡等价部分。Str-ict显性κMλ对应于Theoreder的不可逆部分，并且它至少有一个先前的不等式严格适用于somez∈ R、 也就是说，一些反向S型个人投资者严格偏好投资组合κ而不是投资组合λ。最后，有可能和/或可以改变z的signas函数，这种关系通常不是完全的。在这种情况下，我们无法比较κ和λw.r.t.<M。在均值方差情况下，我们可以确定L w.r.t.<M的有效集，作为前序的最大元素集。这意味着κ位于任何λ的有效集∈ 五十、 κ<Mλ或κ与λ不可比。有效集的性质是，对于任何λ∈ 五十、 前者存在一些κ<Mλ的κ。效率集的任何超集也具有相同的属性，但效率集是最小的（如果我们忽略等价性）w.r.t.此属性。这一观察结果激发了对MSD跨度的定义。这类似于Huberman和Kandel（1987）提出的均值方差平移概念，Arvanitis等人将其推广到SSD案例。

(2018).定义2。K Markowitz跨越L（假设K<ML）i ff，对于任何λ∈ Lκ ∈ K：κ<Mλ。如果K={κ}，则称κ为Markowitz超效率。生成集总是存在的，因为通过构造L<ML。最小有效集（忽略等价项）跨越L，从这个意义上说，任何其他跨越集都必须是它的超集。因此，我们可以将L的任何生成子集视为有效集的“外近似”。由于（1）w.r.t.平均方差情况的复杂性，通常很难推导出有效集的数学性质，但幸运的是，它们可以通过收敛到它的生成集序列的性质来逼近（见下文）。此外，如果K<ML，则每个反向S形investorfunction的最佳选择必然位于K内。因此，如果K 当L和跨越发生时，我们可以将L内的最优cho ice问题简化为K内的类似问题，后者比前者更简洁。其次，如果K不跨越l，那么在增长中必然存在最优选择，从而存在投资机会- 对于一些MSD投资者。因此，我们可以通过与最佳投资组合选择相关的可跟踪性原因，或通过发现新的投资机会，激发对跨越验证的兴趣。超效率（Arvanitis和Topaloglou（2017））对应于<M的最大元素的存在，即唯一（不包括等价物）元素的存在，弱马科维茨支配L的每个元素。鉴于（1）的复杂性，最大元素通常不存在。

这意味着Spanning的概念不仅包括超效率的概念，而且也是一种更常见的有序属性。上述结果提出了以下问题：给定K，L的一个非空子集，isK<ML？下面的命题通过嵌套的选择限制提供了一个分析特征。提案1。假设K是闭合的。则K<ML i ffξ（F）：=最大值=1,2supλ∈Lsupz公司∈Aiinfκ∈Ki（z，λ，κ，F）=0，（2），其中A=R-, A=R++。跨越不会发生在Fξ（F）>0时。然后简单地得到了超效率的情况。推论2。在前面引理的范围内，κ是Markowi tz super-effi nti off maxi=1,2supλ∈Lsupz公司∈艾岛i（z，λ，κ，F）=0。我们不考虑K的选择问题。在这里，后者被认为是给定的。在某些情况下，我们可以通过经济相关信息选择K，例如，参见Arvanitis et al.（2018）中SSD的应用。我们将c和D生成集的选择问题留给未来的研究，特别是当这个选择与有效集的近似有关时。给定K，通常很难直接使用前面的命题，因为Fis通常未知和/或所涉及的优化不可行。然而，考虑到包含F的信息的样本的可用性以及类比原理，它为构建解决MSD跨越的推理过程提供了基础。3.2一致的非参数检验假设结构和检验统计我们使用Lemma1构建MSD跨越的非参数检验。如果选择k<ML作为零假设，则假设结构的形式为：H：ξ（F）=0，Ha：ξ（F）>0。为了设计决策规则，我们扩展了我们的框架，如下所示。考虑一个过程（Yt）∈Z取Rn值。yti表示Yt的ithelement。

尺寸T的样本是随机元素（Yt）T=1，。。。，T、 在我们的投资组合框架中，它代表了金融基础资产的可观测回报。我们用F表示未知的cdf，用FT表示经验cdf。我们考虑测试统计ξT：=ξ√T英尺= 最大值=1,2supλ∈Lsupz公司∈Aiinfκ∈K我z、 λ，κ，√T英尺,哪个是√ξ（F）的T标度经验模拟。我们可以等效地表达ξtas推论2，这意味着这些假设是在Arva nitisand Topaloglou（2017）所述的超效率特例中。通常的比例经验平均值：ξT=maxi=1,2supλ∈Lsupz公司∈Aiinfκ∈K√TTXt=1qi（z，λ，κ，Yt），（3），其中qi（z，λ，τ，Yt）：=K（z，λ，κ，Yt），i=1（λ′Yt）+- （κ′Yt）+- v（z，λ，κ，Y）, i=2，v（z，λ，κ，Y）：=K（z，λ，κ，Y）-K（0，λ，κ，Y）和K（z，λ，κ，Y）：=（z- κ′Y）+-（z）-λ′Y）+。这有助于第4节（3）的数值实现。当K为单态时，检验统计量与Arvanitisand Topalo glou（2017）中使用的统计量一致。零极限分布为了证明我们的检验过程是渐近有意义的，我们需要一个零假设下的ξt极限理论。我们使用以下假设得出它。假设2。对于一些0<δ，EhkYk2+δi<+∞. （Yt）t∈Zis a-混合，混合系数为O（T-a） 对于一些a>1+η，0<η<2，如T→ ∞ .此外，V=Eh（Y- EY）（Y- EY）Ti+2∞Xt=1Eh（Y- EY）（年初至今- EYt）为正定义。混合速率条件由平稳性和几何遍历性表示。对于金融计量经济学背景下使用的许多平稳模型，如ARMA、GARCH型和随机波动率模型，上述假设成立（参见Francq和Zako ian（2011）的几个例子）。矩存在条件使混合CLT有效。CLT通常受到更严格的限制。

例如，如果（Yt）t∈Zis是一个向量鞅微分过程，其元素是线性相关随机变量。从L的紧性来看，前面的结果意味着supλ∈LR公司+∞-∞pG（u，λ，F）（1- G（u，λ，F））du<+∞, 这是Horvath等人（2006）中使用的类似条件的统一版本。我们通过使用Skorokhodrepresentations的概念以及迭代考虑epi/次收敛的双重概念，建立了下面的极限理论。结果取决于接触集Γi={λ∈ 五十、 κ∈ K、 z∈ 人工智能：i（z，λ，κ，F）=0}。对于任何i，Γiis非空，因为Γ我≡ {（κ，κ，z），κ∈ K、 z∈ 哎} Γi.此外，如果F的支撑有界，对于任何λ∈ 五十、 κ∈ Kz∈ Ai：（λ，z）∈ Γi，对于alli=1，2，。因此，Γ我 Γi.在下面的内容中，我们用表示分布的收敛性。提案2。支持K是闭合的，假设2成立，并且他的真值。Thenas T公司→ ∞, ξTξ∞, 式中ξ∞:= 最大值=1,2supz∈Aisupλinfκi（z，λ，κ，GF），（λ，z，κ）∈Γi，和GF是一个中心高斯过程，协方差核由cov（GF（x），GF（y））=Pt给出∈ZCov（IY≤x、 IYt公司≤y） P几乎可以肯定是在Rn上定义的一致连续样本路径。例如，因为支持是有界的，所以我们可以用m[zl，zu]n的一些超立方体来覆盖它，在这里我们可以选择zlas负值。