Markowitz随机优势的跨越检验

明显，（λ，zl）∈ Γ，对于任何λ∈ 五十、 见里约m 7.3理论（2013）。由于混合条件和supλ的存在，上述协方差核以及GF得到了很好的定义∈LR公司+∞-∞pG（u，λ，F）（1- G（u，λ，F））du由假设2暗示（见Arvanitis和Topaloglou（2017）中的备注1）。基于次抽样的检验程序：极限理论和组合考虑由于ξ的分布，我们不能直接使用命题2中的结果来构造渐近决策规则∞依赖于GF的未知协方差核。通过使用重采样过程，我们可以建立一个可行的决策规则。我们考虑二次抽样，如Linton et al.（2014）-另见Linton et al。(200 5). 这种重采样是非参数性质的，因为我们不想为多变量回报动态指定参数条件分布。算法。测试程序包括以下步骤：1。计算ξTat原始样本值。2、对于0<bT≤ T，g根据原始观测值（Yi）i=T，…生成子样本值，。。。t+bT-1对于所有t=1，2，T- 英国电信+1.3。评估每个子样本值的检验统计量，获得ξT，bT，tf或所有T=1，2，T- 英国电信+1.4。ξTbysT渐近分布的近似cdf，b（y）=T-bT+1吨-bT+1t=11（ξT，bT，T≤ y） 并评估其1-α分位数qT，bT（1- α).拒绝Hi FFFξT>qT，bT（1- α).我们通过命题2和子抽样理论的相关结果推导出一阶极限理论。我们首先在子抽样方法中做出以下标准假设。假设3。

假设（bT），可能取决于（Yt）t=1，。。。，T、 满意度（lT≤ 英国电信≤ uT）→ 1，其中（lT）和（uT）是重实序列，使得1≤ 书信电报≤ UT所有T、lT→ ∞ 安杜特→ 0作为T→ ∞.该假设没有提供关于固定T的子抽样率的实际选择的太多信息。它旨在处理渐进性、精确性和一致性等问题。在下一节中，随着ξT的数值实现，我们根据Arvanitis et al.（2018）的精神，讨论了上述算法的固定T校正方法，该方法涉及使用几个子采样率。渐近精确性可由Politis，Romanoand Wolf（1999）中的定理3.5.1导出。后者要求极限cdf在与显著水平α相对应的数量上的连续性。即使ξ的分布∞如果是非退化的，则可能有一个cdf在零处具有唯一的不连续性（请参见附录中的L emma2）。如果存在下限f或ξ∞, 推论1提供了cdf跳跃大小为零的估计值。然后，通过适当限制α，可以使用上述定理。这就是第2节的新概率结果在我们的上下文中变得有用的地方。事实证明（见附录中引理2的证明），我们可以以非负随机变量的形式获得这样一个结果，定义为线性高斯过程中L和K上的上偏差。因此，我们得到了跳跃大小的必要估计，作为后一个随机变量取值为零的可能性。为了评估这一点，我们基本上使用了一些组合概念，这些概念允许估计线性函数的比例，对于线性函数，其在L上的唯一最大化子是两个参数空间的共同极值点。定义3。

假设M，N是S和M中的单复数 N、 N w.r.t.M iseM（N）的有效极端点集：=λ是N的极值点： s的极值点s:kλ- sk公司≤ infκ∈Mkκ- sk公司.此外，如果λ∈ eM（N）则S isc（λ）的λ极值点的伴随集：=s是s的一个极值点：kλ- sk公司≤ infκ∈Mkκ- sk公司.考虑到M，N的非线性单纯形复形，有效极值点的概念本质上选择了N t的极值点，这些极值点可以限制为S上定义的线性实函数的最大值。给定任何这样的极值点，它的伴随集基本上选取了合并单纯形的极值点，这些极值点比M定义4的任何其他极值点都更接近它。λ的M-特征∈ eM（N）w.r.t.s∈ c（λ）ischM（s，λ）：=#{κ∈ eM（N）：kλ- sk=kκ- sk}。此外，N ischM（N）的M-特征：=Xλ∈eM（N）Xs∈c（λ）（n- chM（s，λ））！n（4） 比率（n-chM（s，λ））！n计算s上唯一最大化子s和受限M上唯一最大化子λ的线性实函数的比例。因此，chM（N）计算M上最大化子是N的极值点的此类函数的比例。现在假设Z遵循非退化、零均值、N维正态分布。N的M-字符的特征（4）允许从上面（见附录中引理2的证明）对事件supλ的概率进行界定∈Mλ′Z=supλ∈Nλ′Z由chM（N）得到，这与ξ的cdf的潜在跳跃尺寸不连续性的估计直接相关∞在零位。因此，如果我们假设L a和K是简单复合物，并且如果chL（K）很容易评估，那么之前的定义将极大地促进我们的测试的渐近精确性的推导，并且是关键。假设4。

L和K是标准单纯形S={λ内的单纯形复合物∈ Rn+：1′λ=1，}和eL（K） eL（L）。L和K的简单形式极大地概括了Arvanitiset al.（2018）的设置。在那里，这些空间被限制为凸多面体。在这里，它们不必是凸的，也可以是断开的、离散的等。当投资类别因SRI筛选、外国投资限制、可用股票类型限制等而受到限制时，这可能很有用。这种推广允许建立渐近有效性，从而使我们的测试在更复杂的场景中适用。例如，假设K=K∪ K是不相交的单纯形。如果K<ML，但K<ML，或K<ML，则这直接意味着效率集被断开。如果eL（K） eL（L）保持不变，假设4对（L，K），（L，K），（L，K）保持不变。然后，我们可以使用测试来确定每对中的跨越关系，从而确定有效集的不连通性。如果本文没有推广凸多面体的情况，则确定第一对元素之间的跨越关系是不可行的。假设4意味着eL（L）是有限的。eL（K） eL（L）pa r t implieschL（K）≤ 指示性示例如下。首先，考虑一个平凡的情况，其中K是L的内部。然后，很明显，chL（K）=0。其次，考虑L=S和eL（K）6= 假设4成立。然后，chL（K）=#eL（K）n<1。最后，假设n=3，L是t三角形内部的一条线，因此该线的每个边界y点与唯一三角形Tex的距离最小，并且两个边界y点与剩余顶点的距离相同。此外，假设K是这条线的一半。

然后，eL（L）由两条线的边界点组成，eL（K）由位于所选一半的边界点组成。如果λ是任一集合中的有效极值点，则C（λ）的基数等于2。此外，如果s更靠近λ而不是直线的另一个边界点，则chL（s，λ）等于1，而在另一种情况下，chL（s，λ）等于2。因此，chL（K）=。鉴于我们的假设和文献中以前未使用的新组合参数，我们在附录（见引理2）中证明，上述有界随机变量达到零值的概率小于或等于chL（K）。然后，通过使用Coro llary 1，我们确定，当ξ∞是非退化的，则- α分位数是连续点f，或者当α<1时，它是cdf-叶绿素（K）。因此，我们通过Politis、Romano和Wolf（1999）中的定理3.5.1，立即获得了上述二次抽样测试程序的以下一阶极限理论。定理2。假设假设2、3和4成立。对于算法3.2中描述的测试过程，我们有1。如果他的真值和ξ∞是常数，那么，limT→∞P（ξT>qT，bT（1- α)) = 0.2. 如果他是真的，ξ∞为非常数，且α<1- chL（K），然后，limT→∞P（ξT>qT，bT（1- α)) = α.如果Hai是真的那么limT→∞P（ξT>qT，bT（1- α)) = 1.当ξ的分布∞是退化的，即使限制α<1，过程也是渐近保守的-chL（K）不适用。这让人想起Linton et al.（2005）关于超效率w.r.t.测试程序的结果。几个随机优势关系。修正极限分布的非简并性不容易确定，但上文讨论的关于基础支承的情况除外。当ξ的分布∞是非退化的，如果限制条件α<1，则该过程是渐近精确的- chL（K）保持不变。

在通常应用中，对significancellevel的限制不具有约束力。例如，当L=S和K是一个整体时，即当测试应用于超效率时，最坏情况下意味着α<1/2，这通常是可以满足的。限制越接近约束，K内L=S的极值点就越多。极端情况是，当n大，K有限，且包含n- 1极端点。在这种情况下，结果倾向于逐步支持平移的无效假设的二次抽样检验。我们可以通过分解K是“较小的部分”并迭代测试过程来处理它们。例如，我们可以对包含m个点的K的任何子集应用该过程，对于m个非常小的点，以获得有意义的显著水平。如果对于某些子集，我们不能拒绝跨越，那么我们可以认为我们不能拒绝初始K的跨越，因为跨越集的超集是定义2中的跨越集。效率集的结构也可能禁止这样的K成为生成集。我们把这些问题的研究留给未来的工作。在任何情况下，测试过程都是一致的。在某些假设下，我们可以再次使用主要结果证明，基于块引导的模拟测试过程通常是渐近保守和一致的。4数值实现和偏差校正我们首先描述了一种潜在的数值实现，通过使用与第3.2小节中的测试程序渐近等效的测试程序，并通过Ai的近似值i=1、2以及混合整数和线性编程的应用获得。对于每个T，让A（T）idenote为每个i记录一个有限的ais子集。

然后考虑ξ定义的测试统计T： =最大值=1,2supλ∈Lsupz公司∈A（T）iinfκ∈K我z、 λ，κ，√T英尺,并使用ξ修改第3.2小节的算法T在前一假设框架下ξT的位置，如果，作为T→ +∞, A（T）A（T）A（T）A（T）A（T）A（T）A）A（T）A（T）A）A（T）A）A（T）A（T）A）A（T）A）A（T）A）A（T）A）A（T）A）A（T）A）A（T）A）A。定理3。假设假设2、3和4成立。如果，作为T→ + ∞, 对于所有i=1，2，A（T）i收敛到Ain Painleve Kuratowski感觉的一些d e nse子集，定理2的结果也适用于修改程序。现在，Lebesgue-Stieljes积分的分部积分公式和suprema的交换性意味着ξT=最大值=1,2supz∈A（T）isupλ∈Linfκ∈K√TTXt=1qi（z，λ，κ，Yt），（5），其中QI定义为3。从A（T）i的完整性来看，i=1，2，涉及优化的非平凡部分涉及ni，T：=supλ∈Linfκ∈K√TPTt=1qi（z，λ，κ，Yt）。此外，n1，T=infκ∈K√TTXt=1（z-κ′Y）+- infλ∈L√TTXt=1（z- λ′Y）+，我们可以减少线性规划问题的解所涉及的每一个极小值。有一组至多T个值，比如R={R，R，…，rT}，包含变量z的最优值（参见Scaillet和paloglou（2010）的证明）。因此，我们解决了较小的问题P（r），r∈ R、 其中z固定为R。现在，上述每个最小化问题归结为一个线性问题。在不丧失一般性的情况下，第一个优化问题如下：minTXt=1Wts。t、 Wt公司≥ r- κ′Yt，t型∈ Te′κ=1，κ≥ 0，重量≥ 0, t型∈ T、 （6a）此外，通过Arvanitis和Topaloglou（2017）的第一个附录中的结果，我们得到了N2，T=supλ∈L√TTXt=1max（λ′Yt，z）- supκ∈K√TTXt=1max（κ′Yt，z）。因此，我们需要解决上述两个优化问题。我们使用sovia将其表示为MIP程序。

同样，有一组T值，sayR′={r′，r′，…，r′T}，包含变量z的最佳值（参见Arvanitisand Topaloglou（2017）的证明）。因此，我们解决较小的问题P（r），r∈ R′，其中z固定为R。在不损失一般性的情况下考虑第一个优化问题：maxλ∈L√TTXt=1（Xt- cbt）s.t.Xt=λ′Ytbt+r（1- 英国电信）t型∈ T、 （7）r- λ′Yt+Mbt>0t型∈ T、 （8）λ′1=1，（9）λ≥ 0，（10）bt∈ {0, 1} t型∈ T、 （11）因此，上述实现的计算成本包括cardAlinear编程问题、cardAmixed int-eger编程问题和三个琐碎的优化。其次，尽管上述测试具有渐近正确的大小，但可以看出分位数估计qT，bT（1-α） 可能对n和T的实际尺寸的有限样本的子样本大小有偏差和敏感。为了纠正较小的样本偏差并降低对bT cho ice的敏感性，我们遵循Arvanitiset al.（2018）。对于给定的显著水平α，我们计算分位数qT，bT（1-α） 对于子样本大小bT的一系列值，我们然后使用OLS回归分析估计以下回归线的截距和斜率：qT，bT（1- α) = γ0;T、 1个-α+ γ1;T、 1个-α（bT）-1+νT；1.-α、 bT.（12）然后我们估计校正的偏差（1-α） -分位数作为OLS预测值，rbT=T:qBCT（1- α) := ^γ0;T、 1个-α+ ^γ1;T、 1个-α（T）-1.（13）自qT起，bT（1- α） 概率收敛到q（ξ∞, 1.- α） 和（bT）-1在T时接近于零→ 0, ^γ0;T、 1个-α以概率收敛于q（ξ∞, 1.-α） ，并且不影响渐近性质。5蒙特卡罗研究我们现在设计蒙特卡罗实验，以评估我们在有限样本中测试程序的大小和能力。我们考虑到条件异方差性与以下经验应用中观察到的金融数据回报的经验结果一致。

多元回归过程∈Zis是一个向量GARCH（1,1）过程，对其进行变换以适应K个给定资产的跨越（大小）和非跨越（幂）情况。这种过程允许向量过程中叠加的Random变量之间存在时间和横截面依赖关系。假设（zt），t∈ Z、 i.i.d.平均值为零，单位方差和E[| zt | 2+]<∞, 对于某些>0。我们假设ZT的cdf严格增加。此外，我们定义了i=1，…，的返回过程的组成部分。。。，K- 1 asyi，t=ui+zth1/2i，t，hi，t=ωi+aizt公司-1+βi嗨，t-1，E[aizt+βi]1+<1，对于某些>0，以及ωi，ai，βi∈ R++，ui∈ R+。对于asseti=K，我们定义yk，t=vzth1/2K-1，t++ vzth1/2K-1，t-,带v，v∈ R、 设τ=（0，0，…，1，0），τ= （0，0，0，…，1）和L：=n（λ，0，0，）T r，τ，τo、 带λ∈RK公司-2+和1T rλ=1。利用这个投资组合空间，我们得到了以下关于Markowitz生成的结果。提案3。如果ui=0表示i=1。。。，K- 1，| v |>qmax{ωi，ai，βi，i=1，…，K-1} min{ωi，ai，βi，i=1，…，K-1} 和| v |<qmin{ωi，ai，βi，i=1，…，K-1} 最大{ωi，ai，βi，i=1，…，K-1} ，然后是M≤ K-2，子集K：=n（λ，0，0）T r，τowithλ∈ RM+和1T rλ=1，Markowitz跨越L，而K \\{τ} d不是Markowitzspan L。提案3的陈述扩展了Arvanitis和Topaloglou（2017）的提案4，以允许K资产和M跨越资产的任何子集，以及s well和s nonGaussian创新。其证明遵循Arvanitis和Topaloglou（2017）中的相同论点，因此被省略。取决于τ作为马科维茨的超级能手，portfolio w.r.t.投资组合空间。对于我们的测试程序来说，在动态环境中设计蒙特卡罗实验并不容易，因为我们需要处理静态分布和不同的资产。

这些分布需要显示跨越和无跨越结果，其性质很难描述。我们在表1中给出了我们的蒙特卡罗结果。计算经验大小和功率的复制次数为1000次。我们使用另一个示例的组合，该示例是一个具有不同正均值且无序列依赖性的过程，例如yi，t=ui+zt，i=1。。，K- 1，yK，t=vuK-1zt>0+vuK-1zt<0+zt，ui>0，i=1。。。，K- 那么，如果v>max{ui，i=1，…，K- 1} 最小{ui，i=1，…，K- 1} 如果0<v<min{ui，i=1，…，K- 1} 最大{ui，i=1，…，K- 1} ，命题3中所述的跨越结果也成立。我们在未报告的模拟结果中进行了验证，结果表明，跨越测试在这样的示例中也表现良好，包括具有有限变量的学生创新案例。2项资产（M=2）加上投资组合τ和τ（对于K=4的面板A），或10个资产（M=10）加上portfo liosτ和τ的组合（对于K=12，面板B）。我们需要衡量少量和大量资产的测试性能，以适应我们调查跨越10个基础资产的实证环境。为了满足命题3的条件，我们将多元GARCH过程的参数设置为ui=0，对于i=1。。。K- 1，当我们选择（ai）=（0.4，0.45，0.5），（βi）=（0.5，0.45，0.4），（ωi）=（0.5，0.5，0.5），对于i=1，2，3（面板A），类似地，（ai）=（0.4，0.41…，0.5），（βi）=（0.5，0.49，…，0.4），（ωi）=（0.5，…，0.5），对于i=1。。，11（面板B）。我们设置v=1.5和v=0.5，以便| v |>qmax{ωi，ai，βi，i=1，…，K-1} min{ωi，ai，βi，i=1，…，K-1} 和| v |<qmin{ωi，ai，βi，i=1，…，K-1} 最大{ωi，ai，βi，i=1，…，K-1}. 我们使用5个自由度的学生分布产生的创新。我们使用三种不同的样本大小。