Markowitz随机优势的跨越检验

对于epi收敛的producttopology，其中d=表示分布相等。请注意，z1，T，λT，κ，√T英尺z2，T，λT，κ，√T英尺d=K1，T（κ）K2，T（κ）:=1，T（κ）2，T（κ）+√T（z1，T，λT，κ，F）（z2，T，λT，κ，F）.在H下，由于前面的原因，对于任何i=1，2，κ，κT∈ K、 和κT→ κ、 限制→∞Ki，T（κT）几乎肯定等于i（κ），（zi，λ，κ，）∈ IntΓi公司+∞, （zi，λ，κ，）/∈ Γi，i（zi，λ，κ，F）>0-∞, （zi，λ，κ，F）/∈ Γi，i（zi，λ，κ，F）<0。此外，对于任何包含κ的紧Kit∈ 使得（zi，T，λT，κ，）最终属于Γiwe的边界，几乎可以肯定，lim infT→∞infκ∈KiKi，T（κ）≥ infκ∈Ki公司i（κ）+lim信息→∞infκ∈Ki公司√Ti（zi，T，λT，κ，F）≥ infκ∈Ki公司i（κ）。因此，根据提案3.2。Molchanov（2006）的（ii）-（iii）（第5章，第337页），K1，T（κ）K2，T（κ）几乎肯定w.r.t.在K上收敛到epi收敛的乘积拓扑，并且在Ai×L上连续收敛到K（κ）=K（κ）K（κ）, 含Ki（κ）=i（κ），（zi，λ，κ）∈ Γi-∞, （zi，λ，κ）/∈ Γi.由于K是紧的，Molchanov（2006）的定理3.4（第5章，第338页）几乎可以肯定地暗示，infκ∈KKi，T（κ）→infκ：（zi，λ，κ）∈Γii（κ），κ：（zi，λ，κ）∈ Γi-∞, κ：（zi，λ，κ）∈ Γi，联合i=1，2。当Γiis不为空时，根据Rockafellarand-Wetts（2009）的定理7.11，并对相关增强概率空间中定义的随机元素使用相同的假设（简化证明），序列infκ我zi，λ，κ，√T英尺它也是等上半连续的。由于下面的lemma2的证明和H的形式，我们知道上面的序列几乎是有界的，因此Molchanov（2006）的定理3.4（第5章，第338页）暗示几乎可以肯定的是，supzi，λinfκ我zi，λ，κ，√T英尺→ supzi，λinfκ∈Γii（zi，λ，κ，GF）。当Γiis为空时，限制很小-∞.

将Skorokhod表示还原为原始序列，并利用连续映射理论得到结果。定理2的证明。第一个结果之后是定理3.5.1的直接应用。iof Politis et al.（1999）根据命题2的结果，极限量子函数对于所有α都是连续的∈ (0, 1) . 通过考虑辅助引理2的结果，第二个结果也是类似的。对于第二个结果，如果Hai为真，对于某些λ∈ L- K、 和任何κ∈ K、 存在一些i，z∈ 也就是说i（z，λ，κ，F）>0。那么，我们有ξT≥ infκ∈K我z, λ, κ,√T（英尺- F）+√T infκ∈Ki（z, λ, κ、 F），并且从与命题证明2中使用的参数类似的参数来看，最后一个显示rhs中的第一项是渐近紧的，而从命题1证明中使用的参数来看，最后一个显示rhs中的第二项发散到+∞. 结果来自bT的性质。定理3的证明。结果与命题2和定理2的证明完全一致，首先注意到上述命题中的相关次表收敛概念也包含f或限制为a（t）的相关函数，如果从结果t和Painleve Kuratowski集收敛的定义来看，supλinfκi（z，λ，κ，GF）具有相同的sup w.r.t.z，其对任意稠密子集的限制有助于L和K的紧性以及Molchanov（1999）的定理3.4（第5章，p.338）。下面的辅助引理是一个辅助引理，用于推导命题2和定理2的证明。引理1。假设2下z、 λ，κ，√T（英尺- F）z、 λ，κ，√T（英尺- F）（z，λ，κ，GF）（z，λ，κ，GF）作为R值有界函数空间上的值为onL×K×R的随机元-×R++配备sup范数。

限制过程具有连续的采样路径。证据设θ：=（λ，κ，z，z）∈ Θ：=L×K×R-×R++，ρR的任何非零元素，并考虑 (θ, ·) := ρ（z，λ，κ，·）+ρ（z，λ，κ，·）。请注意，根据假设2，Rio（2013）的定理7.3意味着√T（英尺- F）GF。这意味着√T（英尺- F）也弱次收敛于GF（参见Knight（1999））。两者都是上半连续（usc）P a.s.，具有外聚敛拓扑的usc函数的空间可以被度量为完整且可分离的（参见againKnight（1999））。由于可分性和Skorokhod表示定理（参见Cortissoz（200 7）中的定理1），存在一个合适的概率空间和随机元素，在上述函数空间中具有值，使得F*Td公司=√T（英尺- F），F*d=GF和f*T→ f*a、 s。。让J≡ span{f*T、 f级*, T=1，2，···}，具有弱收敛的可度量拓扑。考虑 （·，·）限制为J，随机过程的线性空间中有值，分布上有收敛拓扑，有界实函数空间中的值定义在Θ上，有sup范数。根据假设2，备注？？，推论4.1和Rio（2013）的定理7.3，我们还有thatsupθ∈ΘsupTEθ,√T（英尺- F）+ supθ∈ΘE( （θ，GF））< +∞.Narici和Beckenstein（2010）中的la t er不等式以及定理6.5.2，通过有界Lipschitz度量（参见例如第73页，van der Vaart和Wellner（1996））对分布中的收敛进行度量，该度量从上述跨度有界，表示闭合w.r.t˙线性跨度的特定拓扑。通过supθE（十）- y）, 对于上述过程空间的x，y成员，意味着 （·，·）作为限制，前文是连续的。因此，CMT意味着 （θ，f*T） （θ，f*) 也就是说θ,√T（英尺- F） （θ，GF）。

这和Cramer-Wold定理暗示了所需的结果。最后的断言来自supθ∈ΘE( （θ，GF））< +∞, van der Vaartand Wellner（1996）例1.5.10中的讨论，以及E( （θ，GF））w、 r.t.θ。引理2。Ifξ∞是非常数，在假设2和4下，ξ的di s分布∞具有支持[0+∞), 其cdf在（0+∞), 它可能在零处有一个跳跃不连续，大小为t，大多数为chL（K）。证据只要满足假设1的要求，并找到合适的边界η，结果就源自推论1。对于∧=L×K×{1，2}×R-×R+，其中{1，2}被认为配备了离散度量，我们得到Xλ=1（i）（z，λ，κ，GF）+1（i）（z，λ，κ，GF），对于λ=（λ，κ，i，z，z），具有来自引理1最终断言的连续样本路径。那么请注意sup∧Xλ≤Xi=1,2Esupλ∈Lsupκ∈Ksupz公司∈艾岛i（z，λ，κ，GF）.根据所涉及过程的零平均高斯性，备注？？，λ×R的填充数以多项式w.R.t为界。Van Der Vaart和Wellner（1996）的命题a.2.7中的倒半径暗示了上述上极分布的次指数性，从而也暗示了它们的二阶矩的存在。因此，假设1的假设1成立。利用Nualart（20 06）中的讨论，在命题2.1.11（第10 9页）得到证明后，假设1的假设2也因假设2而成立。由于零均值高斯性，不包括P-可忽略事件i（z，λ，κ，GF）只有在κ=λ时才为零，最多只有在ξ∞具有退化方差。因此，T={0}，我们可以尝试获得ξ的下界∞.

根据Lebesgue-Stieljes积分的分部积分公式和假设2，我们得到ξT≥ 最大值λ∈Linfκ∈K我0, λ, κ,√T英尺≥ ηT：=√Tsupλ∈LλT r- supκ∈KκT rTXi=1（Yi- E（Y））η∞:=supλ∈LλT rZ-supκ∈KκT rZ，其中Z~ N（0n×1，V）。因此，ξ∞≥ η∞≥ 前面的不等式暗示了c=0时推论1的适用性。我们通过估计P（η）的上界来获得结果∞= 0). 根据假设2和V的非简并性，后一种概率正好等于随机向量Z的最大值出现在代表S的一个极值点的坐标处的概率，该极值点对应于土地K（w.r.t.L）的一个公共效应极值点，例如λ，在该点处，λt rZ最大。使用Sidak et al.（1999）第3章（第37页）中的定理2，通过（在其符号中）让p为n元标准正态分布的密度，q为n（0n×1，V）的密度，定义为4，我们得到：p（η∞= 0) ≤ 叶绿素（K）。MSD optimal portfolio market portfolioMean 0.01035 0.00510标准偏差0.04290 0.04420偏度-0.27730-0.52629超额峰度1.18535 1.96705VaR 5%0.06133 0.0718Sharpe Ratio 0.17495 0.04697 DownSid e Sharpe Ratio 0.12986 0.39570回报损失0.7856%机会成本（c=2.25）a=b=2 0.704%a=3 0.990%a=b=4 1.565%表2：绩效和风险措施。分录报告MSD最优投资组合和市场投资组合的绩效和风险度量，使用一个月的滚动窗口计算。我们列出了均值、波动率、偏度、超额峰度、经验平均值5%（亏损的正号）、夏普比率、下行夏普比率、收益损失和机会成本。该数据集涵盖1963年7月31日至2016年12月31日期间。MSD portfolioBase资产组合权重分配的描述性统计平均标准偏差。

偏斜度Kurto sisMarket 0.0933 0.0461-0.5990 0.0279T-Bill 0.0265 0.0678 2.1743 2.73616 FF Big LoBM 0.0282 0.0472 1.7689 2.4370 Big AvBM 0.0203 0.0529 2.24 07 3.0765 Big Hi BM 0.1515 0.06231-0.9441-0.608810动量前3 0.0539 0.0397-0.5491-1.6188前4 0.01 78 0.0329 2.0128 3.0前5 0.02 49 0.0554 1.7780 1.1651之前7 0.023 0.0099 4.0016 14.056之前8 0.00 97 0.0165 1.1428-0.6570Previor 9 0.00 27 0.0101 3.5233 10.446Hi Previor 0.0886 0.0525-0.7163-0.380010工业Telcm 0.0301 0.0464 1.2129 0.1298，0.0327 0.0680 1.8638 1.8056 UTILS 0.0124 0.0349 4.3510 18.234能量0.0984 0.0717-0.2824-1.467410尺寸ME1 0.1911 0.0156-1.1916-0.581710 beta Lo 0.0671 0.0519 0.3527-1.7449数量。20 0.0318 0.0627 1.9163 2.1448数量。30 0.0052 0.0198 3.5233 10.446数量。40 0.0025 0.0106 4.0016 14.056表3:1963年7月至2016年12月期间MSD最优组合重量分配的描述性统计数据，使用一个月滚动窗口计算。aiRM公司- RFSMB HML MOMCoef。0.508 0.948-0.03 1 0.133 0.004t-stat 1.294 1.021-2.484 9380 0.441p-值0 0 0.013 0 0.659Adj。RF统计p值0.948 2.953 0表4：Carhart四因素模型。条目报告了系数及其各自的t-统计量，以及调整后的R2、F-统计量和p-值。MSD最优投资组合的数据集范围为1963年7月至2016年12月，计算时间为一个月滚动窗口。aiRM公司- RFSMB HML RMW CMACoef。0.419 0.981-0.019 0.201 0.021-0.06t-stat 15.30 146.3-2.075 15.51 1.597-3.327p-值0 0 0 0.038 0 0.111 0.009Adj。RF统计p值0.988 5361.6表5:Fama-French五因子模型。条目报告了系数估计值、各自的t统计值以及调整后的R2、F统计值和p值。MSD o pt ima l投资组合的数据集范围为1963年7月至2016年12月，使用一个月滚动窗口计算。