L{e}vy过程极值的几何收敛模拟

在积分（2.1）Ip+=Z[1]的L'EVY极值项的模拟中，可以表征以下结果所需的XT和XT动量的存在[Sat13，Thm 25.3]，∞)xpν（dx），Ip-=Z(-∞,-1] | x | pν（dx），p≥ 在整个过程中，我们使用标准O符号，定义见下文附录A.1。定理2。在定理1的假设下，对于任何p≥ 1.（a）不等式max{E|δSBn | p, E[δpn]}≤ Tp（1+p）-任意n的nholds∈ N、 （b）如果最小值{Ip+，Ip-} < ∞ （分别为Ip+<∞), 然后是E[(SBn）p]（分别为[pn）在O（η）上有界-np）asn→ ∞, 其中，对于任何Lévy过程X，η在区间[3/2，2]内。ηp（定义于（4.22）中）和常数O（η-np）在X的特征（σ，ν，b）中是明确的（见（4.24））。根据定理1，误差SBnis在托氏区间[0，Ln]上以Lévy过程的上确界，平均长度等于ELn=T 2-n、 下面引理2中给出的定理2证明的关键步骤包括控制X超调时间间隔的上确界期望（详情见下面的第4.3小节）。由于η=2（见（4.22）中的定义），p的定理2（b）的应用∈ {1，2}产生ESBn=零（（3/2）-n） 和ESBn公司= O（2-n） 。这两个矩用于基于SB Alg的MLMCestimator分析（见下文第2.4小节）。定理2的进一步应用产生了Lp-Wasserstein距离Wp（L（χ），L（χn））上的年龄计量界，对应随机向量的定律L（χ）和L（χn）之间（参见下文（4.25）中Wasserstein距离的定义，以及第4.3小节中推论2的证明）。推论2。假设最小值{Ip+，Ip-} < ∞ 对于一些p≥ 在定理1的假设下，我们有wp（L（χ），L（χn））=O（η-n/pp）作为n→ ∞. 如上面的定理2（b）所示，η在区间[3/2，2]中，常数在O（η）中-方程（4.26）中给出的n/pp）是明确的。2.1.1.

比较基于时间步长T/n输出的RWA算法（2.2）XT，最大值∈{1，…，n}XkT/n，Tnarg maxk∈{1，…，n}XkT/n.错误上的LboundsRWn=XT- 最大值（maxk）∈{1，…，n}XkT/n历史悠久。利用RWA误差的弱限制，Lbound ERWn=O（n-在[AGP95，BGK99]中建立了带漂移的布朗运动的1/2。当X的跳跃具有有限的活动（即ν（R）<∞ σ6=0）[DL11a]。基于斯皮策恒等式的[DL11a]方法在[Che11，Thm 5.2.1]中扩展到了不含布朗分量的情况。如果X具有有限的变化路径，则通过【BI20】中的不同方法进一步改进了这些界限。特别是，根据[BI20，Thm 4.1]，我们有：RWn=O（n-1/2）如果X有布朗分量（即σ6=0），eRWn=O（n-1） 如果X具有有限变化路径（即R(-1,1）| x |ν（dx）<∞ σ=0）和ERWn=O（nδ-1/β）否则，对于任何小δ>0和β∈ [1，2]定义见下文（4.5）。E的界限RWn公司p, 【DL11a，BI20】中分析的p>0如下。根据[BI20，Thm 4.1]，对于α∈ [0，2]如下（4.21）所示，衰变为O（n-1） 对于p>α和O（nδ-p/α）表示0<p≤ α和任何小δ>0（如果α=1和X是有限变化或α=2，我们可以取δ=0）。如果X为光谱负（即ν（（0，∞)) = 0）且具有有限变化跳跃（即R(-1,0）| x |ν（dx）<∞), 当p＞1时，衰变为O（n）级-p） （分别为（n-p/2log（n）p），如果σ=0（分别为σ6=0）[DL11a，Lem 6.5]。有趣的是，如【BI20，Rem.4.4】所述，L'EVY极值7的模拟，如果X具有两个符号的跳跃，则对于任何p>0，RWA满足极限的误差→∞氖RWn公司p> 0

不同的是，错误的顺序不能是o（n-1） （o的定义见下文附录A.1）。从直觉上看，RWA犯下的错误是由于骨架在长度为1/n的间隔内缺少过程的波动，在该间隔内过程达到其最大值。由于在存在跳高活动和重尾的情况下，这些波动可能很大，因此产生的误差衰减为多项式。相反，SBA的误差由定理2（b）确定，以O（η）为界-np）带ηp∈ [3/2，2]，因为它犯下了与RWA相同的错误，但超过了间隔[0，Ln]，平均长度为ofT/2n。数值结果表明，RWA和SBA分别在2n和n步上的偏差具有可比性（下图3.1）。回想一下，适用于特定参数类Lévy过程[KKPvS11]的WHA是由（XGn，XGn）给出的，其中Gni是一个独立的伽马随机变量，平均值EGn=T，方差c/n。自x+T-XSI由Xt和Xt+s随机支配-Xsd=Xt，错误的Lpnorm与这两者都有联系，即t 7的小时间行为→ （Xt，Xt）和GN与T的偏差。因此，误差的时刻取决于| Gn的时刻- T |且满足E[| XT- XGn | p]=O（n-1/q）andE[| XT- XGn | p]=O（n-1/q）用于p∈ {1，2}，其中，如果p=1，X为有限变化，q=4，否则q=2【FCKSS14，第4.5款】。这些界限基于Levy过程X的鞅分解（参见[FCKSS14，Lem.4.4]），而本文中的类似结果使用了Levy It^o分解，见下面的引理2。直观地说，WHA中的错误是由于X在长度为| Gn的随机间隔上的删失函数- T |。这类似于SBA在随机长度间隔上的误差。

然而，由于E[| Gn- T |]渐近等于Tp2/（nπ）（根据中心极限定理[Bil99，Thm 5.4]），E[Ln]=t2-n、 WHA的收敛速度为多项式，SBA的收敛速度为几何。[DH11，Der11]中分析了成本为n的JAGA误差的前两个矩，得出了界O（n-m in{1,1/β+}+n1/4-1/β+√对数n）如果X没有布朗分量（即σ=0）和o（n1/4-最小值{3/4,1/β+}√log n）否则，其中（4.6）中给出的β+略大于BlumenthalGetoor指数β∈ [0，2]英寸（4.5）。直觉上，这种错误是由于在随机网格上的连续点之间缺少xB的函数，以及用额外的布朗运动近似smalljump分量而产生的错误。2.2. SB A对某些函数的χ：几何衰减的强误差。在本文中，我们考虑了一个可测函数g:R×R+×[0，T]→ R满足E | g（χ）|<∞, 其中r+=[0，∞). 我们关注应用领域中出现的函数类，如金融数学【Sch03，CT04】、风险理论【SC10，AA10】和保险【CMDS+13】。更具体地说，我们研究了以下三类函数：（I）命题1中的Lipschitz，（II）命题2中的locallyLipschitz和（III）命题3中的屏障类型。这些结果是定理1中误差定律表示、定理2的边界和误差尾部估计（无可积性假设）的结果nin引理4。Lipschitz函数出现在应用中，例如，在指数利维模型下的事后诸葛亮（BGK99、SS03、DL11a、GX17）和永续美国（Mor02）看跌期权的定价中。事实上，对于K>0的绩效，这两个样本需要计算（K）的期望值-SeXT-XT）+和eXT-XT，L'EVY极值8的模拟，其中两个极值都有界且Lipschitz在（XT，XT）中，因为XT≥ XT。

下面第4.4节中证明的下一个结果表明，SB Alg的收敛对于这些函数也是几何的。提案1。假设| g（x，y，t）- g（x，y′，t′）|≤ K（| y- y′|+| t- t′|）对于某些K>0和所有x∈ R、 y，y′∈ R+，t，t′∈ [0，T]。假设p≥ 1最低满意度{kgk∞, Ip+，Ip-} < ∞, 其中kgk∞= sup{| g（x，y，t）|：（x，y，t）∈ R×R+×[0，T]}，设ηp∈ [3/2，2]如（4.22）所示。然后，在第1项的假设下，w e haveE[| g（χ）- g（χn）| p]=O（η-np）作为n→ ∞.此外，O（η）中的常数-np），在下面的等式（4.29）中给出，i在K中是明确的，kgk∞以及Levy过程X的特征（σ，ν，b）。回望看跌期权、事后看涨期权[BGK99、DL11a、GX17]和永久美式看涨期权[Mor02]的定价涉及对χ的连续函数的期望，例如（SeXT- K） +和eXT，它们只是局部Lipschitz。根据命题2，在适当的大正跳跃假设下，对于此类函数，SB Alg的误差会几何衰减。提案2。假设| g（x，y，t）-g（x，y′，t′）|≤ K（| y-y′|+| t-t′|）eλmax{y，y′}对于某些K，λ>0和所有（x，y，y′，t，t′）∈ R×R+×[0，T]。让p≥ 1和d q>1满意度[1，∞)eλpqxν（dx）<∞ 设ηpq′∈ [3/2，2]如（4.22）所示，其中q′=（1- 1/q）-1、然后，在定理1的假设下，E[| g（χ）- g（χn）|p]=Oη-n/q′pq′号作为n→ ∞.此外，O中的常数η-n/q′pq′号, 给定下面的等式（4.32），在p、q、K、λ和Lévy过程X的特征（σ、ν、b）中是明确的。为了获得最小值η-1/q‘pq’在命题2中，需要采用假设所允许的最大可能eq（详情见下面的备注5）。因此，衰减率由Lévy测度的指数矩ν|[1，∞). 在金融数学的背景下，很自然地会假设指数利维模型中的收益具有有限的方差，即。

Ee2Xt<∞.这相当于toR[1，∞)e2xν（dx）<∞ [Sat13，Thm 25.3]，例如，表示q=2（对于λ=1和p=1），边界为O（2-不适用）。命题2的证明见第4.4小节。第3.1小节给出了一个数值示例。χ的障碍型函数在利维过程的轨迹上是不连续的，出现在或有可转换债券的定价[CMDS+13]、破产概率的评估[KKM04]和障碍期权的支付[BGK97、BGK99、SS03]中。根据定理1，误差第二个坐标X的SBnin（1.3）- SBAχnsatis fies 0的SBnof≤ SBn0 a.s.作为n→ ∞. 因此，limitP（XT- SBn公司≤ x） P（XT≤ x） 作为n→ ∞ 适用于任何固定x>0的情况。该极限的收敛速度对于控制势垒型函数的偏差至关重要，并且与分布函数x 7的右连续性的质量密切相关→ P（XT≤ x） 的XT。因此，我们需要进行以下评估。假设1。给定M，K，γ>0，不等式P（XT≤ M+x）- P（XT≤ M）≤ Kxγ适用于所有x≥ 0.L'EVY极值模拟9命题3。定义g（χ）=h（XT）{XT≤M} ，其中h:R→ R i有界且可测量，且m>0。假设1适用于M和一些K，γ>0。修正任何p，q≥ 1，让ηq∈ [3/2，2]参见（4.22）。然后，在定理1的假设下，我们有e[| g（χ）- g（χn）|p]=Oη-nγ/（γ+q）q, 作为n→ ∞ .此外，O中的常数η-nγ/（γ+q）q, 在下面的等式（4.33）中给出，在K，γ，p，q，khk中是明确的∞以及Lévy过程X的特征（σ，ν，b）。命题3的证明见下文第4.4小节。最小化η-γ/（γ+q）qas q的函数不是平凡的（关于q的最佳选择，请参见下面的备注6）。在特殊情况下，当γ=1（即。

M）处X的分布函数是Lipschitz，我们有：（a）如果X有细分路径，那么η=2，最佳选择q=1给出了-编号/2; （b） 如果σ6=0，则最佳选择q=2产生界O（2-第3页）。命题3中的衰减速度基本上由xt的Kolmogorov距离的收敛速度控制-SBnto文本。一般来说，如上所述，XT-已知SBnis以toXTweakly收敛。由于Kolmogorov距离不能度量弱收敛的拓扑（参见[Pet95，Ex.1.8.32，p.43]），我们需要一个额外的假设，如1，以获得命题3中的速率。假设1适用于一类广泛的Lévy过程。根据Lebesgue微分定理[Coh13，Thm 6.3.3]，函数x 7→ P（XT≤ x） a.e.是可微分的，假设1对于γ=1和Lebesgue几乎每M都成立。如果密度x存在且以M为界，则x 7→ P（XT≤ x） 是M处的局部Lipschitz，再次满足假设1，γ=1。如果X的密度在M处是连续的，这适用于稳定过程，或者如果σ6=0[CM16]，并且更一般地，如果X在放大程序下弱收敛且α>1 in（4.21），请参见[BI20，Lem.5.7]。此外，根据【CM16，第2部分】和【Ber96，第VI.4节，第19部分】，如果X的上升阶梯高度过程具有正漂移（例如，如果X是有限变化的光谱负性）或如果X处于某种从属布朗运动中【KMR13，第4.5部分】，则X的密度在M处是连续的。然而，如果X是有界变量，没有负跳跃，并且具有原子的Lévy测度，则已知X的密度连续性失败【KKR12，Lem.2.4】。

此外，对于任何γ∈ （0，1），函数x 7→ P（XT≤ x） 即使Lévy测度没有原子，也可以在M处连续，但不是局部γ-H"older连续（见下面附录B中的示例），再次证明了命题3中假设1等条件的必要性。我们强调，即使密度在M处局部有界，似乎很难给出它在M处的值的界（基于Levy特征）。这意味着，与（局部）-Lipschitz函数g（χ）的情况不同，在障碍期权的情况下，我们无法基于命题3，参考下面的第2.3小节，给出渐近置信区间。2.2.1. 比较上文第2.1.1小节讨论的[DH11、Der11、DL11a、FCKSS14、BI20]中的结果，给出了（XT，XT）Lipschitz函数误差的Lpon屈服界限。衰变阶数与上文第2.1.1小节中报告的相应近似值的衰变阶数相同。根据定理2（a）和命题1，上确界τT的时间误差，几何收敛f或SBA，似乎没有针对其他算法进行研究。L'EVY极值10的模拟在局部Lipschitz函数的情况下，似乎只分析了RWA的LF误差衰减。定义任何q>0的积分（2.3）Eq+=Z[1，∞)方程xν（dx）。如果X具有有限活性（即ν（R）<∞), 那么偏置等于O（n-1/2）如果σ6=0且等式+<∞ 对于某些Q>2[DL11a，第5.1项]和o（n-（q）-1） /q）如果σ=0且Eq+<∞ 对于某些q>1[DL11a，第5.3节]。在σ=0且ν（R）=∞, 对于任何q>1且满足Eq+<∞ 任意小的δ>0，偏压衰减如下：O（（n/log（n））δ-（q）-1） /q）如果工艺变化有限（即(-1,1）| x |ν（dx）<∞), O（nδ-（q）-1） /q）ifR(-1,1）| x | log | x |ν（dx）<∞ 和O（nδ-（q）-1） /（2q））否则【DL11a，Thm 6.2】。如果Lévy过程X在光谱上为负值，且具有有限变化跳跃（即。

ν((0, ∞)) = 0 andR(-1,0）| x |ν（dx）<∞) 如果Eq+<∞ 对于某些q>1，误差衰减为O（n-1） （分别为（n-1/2log（n）），如果σ=0（分别为σ6=0）[DL11a，第6.4条]。[GX17]中考虑了方差gamma（VG）、正态逆高斯（NIG）和谱负α稳定（α>1）过程下的不连续支付。在所有三个模型中，假设上确界的密度都在势垒水平附近，则RWA的LPOF的误差衰减为O（nδ-1） ，O（nδ）-1/2）和O（nδ-1/α）分别适用于任意小δ>0的情况【GX17，第5.5条】。在ν（R）<∞ σ6=0，误差衰减为O（1/√n） ，请参见[DL11b，第2.2款和第2.3款]。这一结果首次在[BGK97]中针对带漂移的布朗运动建立。如【BI20，第5.3节】所述，如果X具有联合连续密度（t，X）7→xP（Xt≤ x） （t，x）远离原点（0，0）的边界（例如，如果Orey条件适用于γ>1[第13条，第28.3款]或σ>0，也可参见命题3后的段落），ν（R）=∞ 和α≥ 1（在（4.21）中定义），则障碍选项RWA的Lpof误差衰减为O（nδ-1/α）对于任何小δ>0。此外，根据【BI20，Lem.5.8】，lim infn→∞nP（XT>x≥ 最大值（maxk）∈{1，…，n}XkT/n）>0，如果X有两个符号的跳跃。换言之，一般屏障选项RWA的Lpof中的误差不能为o级（n-1). 据我们所知，世界卫生大会[KKPvS11]的此类结果目前尚不可用。2.3. 中心极限定理（CLT）和置信区间（CI）。让（χin）i∈{1，…，N}是N产生的输出∈ 使用N个步骤独立运行SB Alg。蒙特卡罗估计量pni=1g（χin）/N的Eg（χ），其中g:R×R+×[0，T]→ R是对应用可能性感兴趣的可测量函数（例如。

在上述第2.2小节中的一个类别中），有一个错误（2.4）gn，N=NNXi=1g（χin）- Eg（χ）。我们的目的是了解（2.4）中误差的收敛速度，即样本数N趋于一致。定理3（CLT）。ASSUME P[χ∈ Dg]=0，其中Dg是g的不连续集，（a）有一个可测函数g:R×R+×[0，T]→ R+使得：（i）| g（x，y，t）|≤ G（x，y，t）表示所有（x，y，t）∈ R×R+×[0，T]，（ii）对于所有x∈ R、 （y，t）7→ G（x，y，t）在两个坐标系中都是不减量的，（iii）E[G（XT，XT，t）]<∞,（b） Eg（χ）=Eg（χn）+o（η-ng）对于某些ηg>1。L'EVY极值11的模拟表示V[g（χ）]=E[（g（χ）-E[g（χ）]）]并设置nN=对数N/log（ηg） 对于每N∈ N、 其中我们表示x个 = inf{n∈ 编号：N≥ x} 对于x∈ R、 那么以下弱收敛成立（2.5）√NgnN，Nd→ N（0，V[g（χ）]），作为N→ ∞.定理3不是iid CLT，因为MC估计量的偏差迫使SB Alg采取的步数增加为样本数N→ ∞. 其证明（见下文第4.5小节）建立了Lindeberg的条件，然后将CLT应用于三角形阵列。条件P[χ∈ Dg]=如果Dg的Lebesgue度量为零，且0对于两条半直线的X是正则的，则满足0【Cha13，Thm 3】。这一假设很重要，因为它允许我们使用（2.5）中的极限为障碍期权构造渐近置信区间。假设（a）确保了V[g（χn）]与V[g（χ）]的收敛性，乍一看可能具有限制性。