L{e}vy过程极值的几何收敛模拟

然而，在命题1、2和3的上下文中，很容易识别函数G（见下文备注7），其中假设（b）也明确成立。自|gn，N |≤ |Eg（χ）- Eg（χn）|+|gn，N- Egn，N |，我们可以为水平1的MC估计器Pni=1g（χin）/N构建一个置信区间-  ∈ （0，1）使用蕴涵：（2.6）| Eg（χ）- Eg（χn）|<r，P(|gn，N- Egn，N |<r）≥ 1.- ,)==> P(|gn，N |<r+r）≥ 1.- .在（2.6）中，可以根据g的性质，以各种方式选择rma作为SB Alg中步数n的函数（参见第2.2小节的命题1和2）。请注意，这需要常数对模型特征的明确依赖性。固定n后，通过浓度不等式（不依赖于rem 3）或定理3中的CLT，选择rin（2.6）作为的函数：（i）非渐近CI：通过切比雪夫不等式P|gn，N- Egn，N |>r≤ V[g（χn）]/（rN），我们只需要将方差V[g（χn）]绑定（例如，通过注释7中的函数g）。关于r.（ii）渐近CI的更精确选择，请参见[Che08，Thm 1]gn，N- Egn，N=（1/N）PNi=1g（χin）- 例如（χn），我们可以将CLT用于下面备注8中的fixedn（如（i）中，我们用初等方法将V[g（χn）]绑定）。在模型参数（如命题3中的障碍选项）方面，我们无法获得（2.6）中偏差界中的常数的情况下，我们将定理3中的CLT结果应用于估计量gnN，n直接获得渐近CI。关于渐近和非渐近CI的数字样本，请参见下面的第3.2小节。2.4. SB-Alg的计算复杂性和多层蒙特卡罗。假设从SB Alg中的分布F（t，·）中提取样本的预期计算成本由一个不依赖于t的常数限制∈ [0，T]。然后，根据χnvia SB Alg定律得出的单次绘制的预期计算成本有界于O（n）。

定理3中的CLT（适用于（局部）Lipschitz和barrier型函数，参见上文第2.3小节）意味着MC估计量（2.4）中误差的L-范数可以小于，即[(gn，N）]≤ ，计算成本为O（-2log）as→ 因此，基于SB Alg的蒙特卡罗估值器的成本仅与最优蒙特卡罗成本O（）相差一个对数因子-2） ，当一个人可以使用有限的预期运行时间访问exactsimulation时产生。[Hei01，Gil08]中介绍的MLMC的主要目的是在给定精度水平下降低MCalgorithm的计算成本。我们将应用一般的MLMC结果【CGST11，Thm 1】，在我们的设置中陈述L'EVY极值12的模拟，以便于参考，如下面附录a.2中的定理4所示。设P=g（χ），Pn=g（χn），n∈ N、 对于满足定理3假设的任何函数g（另请参见下面的备注7）。注意，在定理4中，单次抽取的预期计算成本允许以几何形式增长。由于在本节中，采样pn的成本为O（N），我们可以在定理4中选择非常小的速率q>0。任何MLMC方案的关键组成部分都是耦合（Pn，Pn+1）。对于SB Alg（及其符号），这包括使用相同的棒序列（λk）k∈{1，…，n}和增量（ξk）k∈{1，…，n}在连续水平上，设置n=ξn+1+n+1，参见第4.1小节的耦合。自（2.7）V【Pn+1】- Pn]≤ E[（Pn+1- Pn）]≤ 2（E[（Pn+1-P）]+E[（P- Pn）]），定理4中的假设（b）很容易从界E[（P- Pn）]=O（2-nq）对于所有感兴趣的功能G（参见上述提案1、2和3中相应的q>0）。这些观察结果意味着（A.1）中MLMC估计器的计算复杂性在O（）上有界-2） （对于上述命题中g的所有选择，takeq=q/2）。

在NI g模型下，基于势垒型函数g的SB Alg的MLMC估值器的实现在数值上证实了这一界限，见下文第3.3小节。2.4.1. 比较基于SB Alg的MC和MLMC程序的计算复杂性由O（）给出-2 | log|）和O（-2） 对于函数g（χ），它是Lipschitz，局部为Lipschitz势垒型。这使得SB Alg健壮，因为其性能不依赖于问题的结构。特别是，模型参数的微小变化不会导致计算复杂性的重大差异。我们将其与文献中现存的MC和MLMC算法进行比较。Lipschitz函数g。我们首先回顾了（XT，XT）的Lipschitz函数的结果。对于RWA，α如下面的（4.21）所示，小δ>0（如果α，δ=0∈ {1，2}），[BI20，Thm 4.1]意味着anMC估计的成本为O（）-2.-最大值{1，α+δ}）。特别是，如果σ6=0，RWA的复杂性为O（-4） （另请参见[DL11a、Che11、GX17]）。按照[GX17]的程序推导出的M LMC对应项，以及[BI20，Thm 4.1]和（2.7）中的边界，其复杂性为O（-2日志（））。此外，如果过程是光谱负的，没有布朗成分，并且是有限变化稳定过程[GX17，Prop.5.5]或有限变化过程[DL11a，Lem.6.5]，那么（XT，XT）的Lipschitz函数的MLMC估计具有最优成本O（-2). 对于WH A（见上文第1.2小节），Lipschitz函数（XT，XT）的MC（分别为MLMC）估计量的复杂性为O（-4） （分别为-3） ）如果过程变化有限且为O（-6） （分别为-4） ）否则【FCKSS14，Thm 4.6】。对于theJAGA，MC估计的复杂度是O（-2max{-最大值{1，β+}，-4β+/(4-β++对数（1/）2β+/（4-β+}）如果σ=0和O（-2.-最大值{2,4β+/（4-β+}）否则（β的定义见（4.6+∈ (0, 2]).

MLMC估计的复杂度为O（-log（1/）3·{σ6=0}）如果β+<1，O（-如果β+=1，O（），则log（1/）2+{σ6=0}）-2.-4(1-1/β++对数（1/）2-2/β+，如果β+∈ （1，4/3）和σ6=0，以及O（）-2.-8(β+-1)/(4-β+）对数（1/）4（β+-1)/(4-β+）否则。在最坏的情况下，β+=2，基于JAGA的MLMC估计的复杂性为o（-6).局部Lipschitz函数g。在局部Lipschitz函数的情况下，文献中似乎只有theRWA的MC分析可用。这种情况下的错误最多为O（-3） ，仅当Lévy过程光谱为负，具有有限变化跳跃，且Lévy极值13组分无布朗模拟（即ν（R+）=0，R(-1,0）| x |ν（dx）<∞ σ=0）和不等式Eq+<∞ 对于某些Q>1【DL11a，第6.4项】（回想上文（2.3）中对Eq+的定义）。如果X有布朗分量（即σ6=0），则成本为O（-4） 如果ν（R）<∞ 和Eq+<∞ 对于某些q>2[DL11a，第6.4款]或O（）-4log（）），如果X光谱为负，具有有限变化跳跃和Eq+<∞ 对于大于1的部分[DL11a，第5.1条]。如果σ=0且X具有有限活性，则对于任意小的δ>0，条件Eq+<∞ （对于某些q>1）意味着MC复杂性为O（-2.-2季度/（季度）-1)-δ). 在最后一种情况下，衰变可改善为O（-2.-q/（q）-1)-δ| log（）|）（分别为O（-2.-q/（q）-1)-δ） ）ifR(-1,1）| x |ν（dx）<∞（分别为R(-1,1）| x | log | x |ν（dx）<∞) [DL11a，Thm 6.2]。障碍类型函数g。据我们所知，RWA下障碍选项的文献中没有非参数M LM C结果。最近，VG、NIG和光谱负α稳定（α>1）过程下RWA的MLMC在[GX17]中显示为计算成本为O（-2.-δ） ，O（-3.-δ） 和O（-1.-α-δ） 对于δ>0的小值。我们不知道[KKPvS11]中介绍的WHA对屏障选项的任何结果。2.5. 无偏估计量。

将前一节中MLMCestimator中每个水平的水平数和样本数随机化，得到下面的无偏估计数（A.3），参见示例【RG15，Vih18】。有许多方法可以实现这样的借记技术，通常基于对所有n都满足P[R=n]>0的整数的随机变量R∈ N、 在某种程度上，R定律的尾部与MLMC中水平方差的渐近衰减有关。虽然可以考虑[Vih18]中的其他估计量，但这里我们重点讨论单项估计量（STE）和独立和估计量（ISE）。对于这两个估计器，序列（Rj）j∈独立随机变量的{1，…，N}规定了k级样本的数量∈ N如下所示：Nk=PNj=1{Rj=k}表示STEand Nk=PNj=1{Rj≥k} 对于ISE。对于这两种估计量，我们使用序列（Ri）i的均匀分层抽样∈{1，…，N}：每个RJ独立绘制，并作为R分布，条件是在单位之间（j- 1） /N和j/N分位数。概率（P[R=n]）n∈n最大化STE和ISE的渐近逆相对效率（定义见下文附录A.3），用（pSTn）n表示∈Nand（pISn）n∈N、 通常由（A.4）中的公式给出。对于EP的无偏估计量，其中P=g（χ），最优概率的形式为：o（Lipschitz）如果g如命题1所示，我们设置PSTN=-编号/2/√nP公司∞k=1-k/2/√k、 pISn公司=-（n）-1)/2√n--编号/2√n+1.o（局部Lipschitz）如果g，q和q′=（1- 1/q）-1如提案2所示，我们设置PSTN=-n/（2q′）/√nP公司∞k=1-k/（2q′）/√k、 pISn公司=-（n）-1） /（2q′）√n--n/（2q′）√n+1.o（势垒型）如果g、γ和q如命题3所示，我们设置pstn=η-nγ/（2γ+2q）q/√nP公司∞k=1η-kγ/（2γ+2q）q/√k、 pISn=η-（n）-1） γ/（2γ+2q）q√n-η-nγ/（2γ+2q）q√n+1。有趣的是，Lipschitz（resp.locally Lipschitz）案例中的选择与Lévy过程X（resp。

仅依赖于其指数矩）。这种对L'EVY极值14不变性的模拟强化了SB Alg鲁棒性的观点。这是因为p的ηp（定义（4.22））等于2≥ 2.3. 数值示例上述SB Alg的实现可在存储库[GCMUB18]中找到，以及用于模拟VG、NIG和弱稳定过程增量的简单算法。此实现在下面的第3.1节中使用。3.1. 数值比较：SBA和RWA。设X=（Xt）t≥0be由Xt=BZt+bt给出，其中Z是具有Lévy测度νZ（dx）={x>0}γx的从属项-α-1e级-λxdx（α∈ [0，1），γ，λ>0）和漂移σZ≥ 0，B是标准布朗运动，B∈ R、 X的Lévy度量由[Sat13，Thm 30.1]等于ν（dx）/dx=γ√2π| x|-2α-1R级∞s-α-3/2e-λsx-s-1/2秒，意味着X的Blumenthal-Getoor指数为β=2α∈ [0，2），其布朗分量等于σ=σZ。此外，对于任何t>0，增量xts可以在恒定的预期计算时间内模拟。我们考虑估计量pni=1g（χin）/N，其中（χin）i∈{1，…，N}是通过在N个步骤上运行SB Alg产生的N iid样本。我们将结果与（2.2）中的RWA输出进行了比较，基于大小为T/2n的时间步长和相同数量的iid样本。函数g（χ）对应于一个alookback put或一个主动Lévy模型S=Sexp（X）下的向上和向外调用。图3.1 s表明，如上文命题2和命题3所示，两种算法的精度具有可比性（注EQ±<∞ 当且仅当q<2λ，自EeqXt= ebtE公司eqZt/2).6 8 10 12 14 16 18 201.41.51.6N回拨：g（χ）=ST- n步后带时间步长T/2nSBA的STRWA seg（χ）6 8 10 12 14 16 18 200.410.420.430.44nUp-and-out调用：g（χ）=（ST- K） +·{ST≤M} 在n阶跃SEG（χ）之后具有时间步长T/2nSBA的RWA图3.1。我们取α=0.75，γ=0.1，λ=4，σZ=0.05，b=-0.05，S=2，K=3，M=5，T=1，N=10。

通过运行SB ALG（n=100步）并使用n=10个样本获得值Eg（χ）。对于相同的偏差量，RWA大约比SBA慢（2n/n）-时间，使得n>15时不可行，因为在时间间隔内至少需要60000<2步[0，1]。3.2. 渐近和非渐近CI。设X为带参数（b，κ，σ，θ）的正态逆高斯过程（NIG），即带特征函数e的Lévy过程eiuXt公司= exp（t（b+1/κ）-（t/κ）√1.- 2iuθκ+κσu），其Lévy度量由ν（dx）dx=C | x | eAxK（B | x |），其中A=θσ，B=pθ+σ/κσ，C=pθ+2σ/κ2πσκ3/2，L'Evy极值15的模拟，其中Kis是第二类修改后的贝塞尔函数，满足k（x）=x+O（1），如x→ 0，K（x）=e-xrπ2 | x |（1+O（1/| x |）），作为x→ ∞.我们通过[CT04，Alg.6.12]模拟了NIG过程的增量。图3.2显示了1级的密度间隔-=NIGmodel S=Sexp（X）下的事后看跌期权和障碍买入卖出期权价格的99%。后见之明看跌期权的非渐近CI是通过切比雪夫不等式构建的，如上文第2.3节所述。特别要注意的是，事后诸葛亮的结果是g：（x，y，t）7→ （K）-Sey）+在y中不增加，并且不依赖于x和t。因为x支配着第二个坐标系- 对于SBAχnin（1.2），我们应用Eg（χn）≥ Eg（χ）和结果0≤ Eg（χn）- Eg（χ）<r，P(|gn，N- Egn，N |<r）≥ 1.- )==> P(-r- r<gn，N<r）≥ 1.- ，其中gn，在（2.4）中定义，将CI的上界减少为误差r，误差r取决于g的上界和样本数N，但不取决于N。如上文第2.3节所述，如果在模型参数中，偏差的上界中没有明确的常数，如向上和向外看涨期权的情况（见上文命题3及其后的备注），我们求助于上述定理3中的CLT。

图3.2右侧的曲线图显示了作为logN函数的向上和向外调用的渐近CI，其中N是用于估计Eg（χ）的样本数，定理3（2.5）中的渐近方差是使用样本估计的。2 4 6 8 10 12 14-g（χ）=（K）的0.20.20.4nNon-渐近CI-ST）+gn，N+Eg（χ）上界下限Eg（χ）5 10 15 200.5lognasymmotic CI for g（χ）=（ST-K） +·{ST≤M}gnN，N+Eg（χ）上限下限Eg（χ）图3.2。图中显示了NIG模型下hinsight put（左）和up和out call（右）的点估计和CI。N IG参数：σ=1，θ=0.1，κ=0.1，b=-0.05. 选项参数：S=2、K=3、M=8和T=1。左侧等式上绘图中的样本数N=10。1的置信水平- =99%适用于两个地块。3.3. MLMC，用于NIG下的b arrier Payoff。我们将MLMC算法应用于[GX17，第6.3节]中的SBA向上和向外看涨期权（Payoff g（χ）=（ST- K） +·{ST≤M} ，其中，在NIG模型下，st=Sexp（XT））。图3.3中的左上（右）图显示了两个连续水平差异的L'EVY极值16估计和理论预测平均值（方差）（作为n的函数）的模拟。MLMC的常见做法是首先估计偏差和水平方差（而不是使用定理4中的理论界限），然后计算样本数（Nk）k∈通过解决一个简单的优化问题，在每个级别上{1，…，n}。这通常会提高算法的整体性能，但需要初始计算投资。（Nk）k∈{1，…，n}是基于估计的，这会导致它们的行为发生一些振荡，从而导致计算成本的振荡。然而，正如（A.2）所预期的那样，图3.3中的左下方曲线图显示（Nk）k∈{1，…，n}构成各种精度水平的近似直线f。

图3.3中右下角的曲线图显示，计算复杂度大致恒定，正如上文第2.4节中的分析所预期的那样。此外，MC和MLMC之间的复杂性差异在数值上被认为是很小的。这并不奇怪，因为正如上文第2.4节所解释的，这两种差异是由一个对数因子造成的。基于相同模型参数和选项的RWA的MLMC的类似图f如【GX17，图7】所示。5 10 15 20-15-10-5nBias衰变日志| EPn- EPn公司-1 |观察范围5 10 15 20-15-10-5N变化衰减对数- Pn-1] 观察范围2 4 6 10 12 14 18 K每个级别的级别和样本数=2-7 = 2-9 = 2-116 8 10 12计算观测成本（MLMC）预测（MLMC）观测（MC）预测（MC）的对数图3.3。图中显示了MC和MLMC实现f的电平偏差衰减、电平方差衰减、采样率电平和复杂性，以及up和out callg（χ）=e-rT（ST- K） +{ST<M}和NIG过程。NIG参数：σ=0.1836，θ=-0.1313，κ=1.2819，b=0.1571（见【GX17，第3节】及其参考文献）。选项参数：S=100、K=100、M=115、T=1和r=0.05。前两个图中的边界基于命题3（γ=q=1）和同步耦合。有关MC和MLMC的计算复杂性，请参见右下角的第2.4小节。L'EVY极值17的模拟图3.3中MLMC的计算复杂度大于MC的计算复杂度（对于>1/8000），因为前导常数的大小。总的来说，本例中MC和MLMC的性能都很好，偏差和水平方差的实际衰减率比理论界好2.4倍。证明和技术结果let X=（Xt）t≥0是一个Lévy过程，我们假设它不是带漂移的复合泊松过程。ByDoeblin的Diffuseness引理[Kal02，Lem。

13.22]，这相当于以下要求，我们在本文的其余部分都假设了这些要求。假设2。P（Xt=x）=所有x的0∈ R，对于部分（以及所有）t>0.4.1。X的con-cave m-majorant及其与(l, Y）。给定一个可数集S和一个函数φ：S→ (0, ∞) 这样的话∈Sφ（S）<∞, 基于函数φ的S的si z e偏置采样产生随机枚举（sn）n∈Nof S使用以下顺序构造：设Z= 假设我们已经在Zn中取样-1={s，…，sn-1} 对于某些n∈ N然后，conditionalon Zn-1，随机元素snin S\\Zn-1遵循P定律（sn=s | Zn-1） =φ（s）/Ps′∈硫锌-1φ（s′），s∈ 硫锌-（Xt）t路径的凹主∈[0，T]是逐点最小凹函数C:[0，T]→R满足Ct≥ XT适用于所有t∈ [0，T]。由于X不是带漂移的复合泊松分布，因此有可能得到C定律的完整描述（详情请参见[PUB12]），我们现在回想一下。请注意，T 7→ CTI是一个分段线性函数，由许多直线段组成，称为面。每个面都有一个正长度和一个高度，这是一个实数。如果面按时间顺序排列（即随着t的增加而出现），C的凹度意味着相应坡度的顺序在严格减少（见图4.1（a））。这些面的长度构成了一组正数，其有限和明显等于T。因此，我们可以使用基于长度的尺寸偏差抽样对C的面进行随机排序，见图4.1。这种随机顺序几乎肯定与按时间顺序的顺序不同，较长的面孔更可能出现在序列的开头。对于任意n∈ N={1，2，…}，设gn（resp.dn）为有大小偏差枚举中C的第n个面的左（resp.right）端点。