L{e}vy过程极值的几何收敛模拟

描述主导力量（ast↓ 0）在前面的结果中，定义α∈ [β，2]和α+∈ [β+，2]乘以（4.21）α=2·{σ6=0}+{σ=0}1，I<∞ b6=0β，否则，α+=α+（β+-β) ·{α=β}.注意，指数α与[BI20，等式（2.5）]中的指数一致，且α+>0，因为根据假设2，Xis不是泊松与漂移的复合物。定义（4.22）ηp=1+{p>α}+pα+·{p≤α}∈ （1，2），对于任何p>0，注意ηp≥ p为3/2≥ 1、备注3。（i） 在定理2和命题1、2和3中，我们假设p≥ 1为清楚起见。这不是一个必要的假设，对于任何p>0的情况，都可以用较小的修改进行证明。然而，由于ηp→ 1作为p→ 0时，收敛速度可能会变得任意缓慢，如p→ 0（自xp以来应为→ 1作为p→ 0表示任何x>0）。（ii）上述引理2中的常数Cp，2和Cp，3满足以下条件：（a）如果α<2，则σ=0，因此Cp，2=0；（b） 如果α<1，则I<∞ b=0，因此Cp，3=0。L'EVY极值模拟25推论3。选取p>0，让{Cp，i}i=1be，如引理2所示，并定义常数Cp（X）和C*p（X）如下：Cp（X）（p-1)+=Cp，1Tpβ+-pα++Cp，2+Cp，3Tp-pα++Cp，4Tmin{1，pβ+}-pα+，p≤ α、 Cp，1Tpβ+-1+Cp，2Tp-1+Cp，3Tp-1+Cp，4，p>α，C*p（X）=Cp（X）·{Ip+<∞}+ Cp公司(-十） ·{Ip+=∞}.（4.23）然后，如果Ip+<∞ （分别为最小值{Ip+，Ip-} < ∞), 不平等≤ Cp（X）tηp-1（分别为E[（Xt- X+t）p]≤ C*p（X）tηp-1).适用于所有t∈ [0，T]。证据自下一页起- X+t=最小值{Xt，Xt- Xt}由Xtand随机支配(-十） 然后证明下一个结果。（从C的定义可以看出，这一点很关键*p（X）在（4.23）中，α的定义与X和-十、 ）自tq+r≤ t的TQTR∈ [0，T]和r≥ 0，则表明（4.12）的每项中t的指数至少为ηp- 根据备注3（ii），当p≤ α ≤ α+≤ 2、回想一下，α+与α任意接近（或等于）。

因此，在p>α的情况下，我们可以假设p>α+≥ β+并使用备注3（ii）获得结果并总结证明。备注4。如果X是光谱负的（即ν（R+）=0），那么Cp，4=0，因此e[Xpt]=O（tp/max{1，α+}）为t0，这意味着[DL11a，Lem.6.5]中的速率，这是迄今为止文献中光谱负情况下的最佳速率。在某些特定情况下，引理2意味着比推论3中所述的速率更好。例如，如果β<1（因此β+<1），σ=0，Ip+<∞ 自然裂缝满足b<0（因此α=1），那么通过引理2，我们得到E[Xpt]=O（tp/β+），如果p≤ β、 它比推论3所暗示的界E[Xpt]=O（tp）更精确。类似的改进可以表述为- X+t，当（Ip+<∞ & b<0）或（Ip-< ∞ & b> 0）。为了便于演示，在本文中，我们使用推论3中的边界。引理3。设X为满足2的Lévy过程nandSBnbe如定理1所示。如果E【Xpt】≤ Ctq（分别为E[（Xt- X+t）p]≤ Ctq）对于某些C、q、p>0和所有t∈ [0，T]，然后pn编号≤ CTq（1+q）-n（分别为ESBn公司p≤ CTq（1+q）-n） 适用于所有n∈ N、 证明。根据定理1中的假设和（1.4），我们得到了E[pn | Ln]=E[YpLn | Ln]≤ CLqnand thusE公司[pn]≤ E【CLqn】=CTq（1+q）-n、 的结果SBnis经类似证明。定理2的证明。（a） 根据定理1，误差δnand |δSBn |均以Ln为界。由于E[Lpn]=Tp（1+p）n，因此权利要求如下。（b） 通过推论3，我们可以应用引理3来获得定理的（b）部分。的确，（4.24）E[pn]≤ Cp（X）Tηp-1η-np公司响应。ESBn公司p≤ C*p（X）Tηp-1η-np公司,其中Cp（X）（分别为C*p（X））与推论3中的（4.23）相同。对于p≥ 1，设k·kp表示Rd上的p-范数。

分布ux和uyon RDI之间的Lp-Wasserstein距离定义为（4.25）Wp（ux，uy）=infX~ux，Y~uyE【kX-Ykpp]1/p，模拟L'EVY极值26，其中最大值接管（X，Y）的所有耦合，使得X和Y分别遵循uX和uY定律。推论2的证明。回想一下，第4.1小节中（χ，χn）的耦合产生χ-χn=（0，SBn，δSBn）（参见上述定理1）。根据定理2（a）、方程（4.24）和不等式1+p≥ 2.≥ ηp（sincep≥ 1） ，我们有[kχ-χnkpp]=E[|SBn | p+|δSBn | p]≤ C*p（X）Tηp-1η-np+Tp（1+p）-n≤ （C）*p（X）Tηp-1+Tp）η-np。因为对于（χ，χn）的任何耦合，我们有Wp（L（χ），L（χn））≤ E[kχ- χnkpp]1/p，Lp-wassersteinstance以C′η为界-n/pp，其中常数的形式为（4.26）C′=（C*p（X）Tηp-1+Tp）1/p，结束证明。4.4. 命题1、2和3的证明。下面是关于n（在定理1中定义）是下面证明的关键。引理4。设X是满足2的Lévy过程。固定p>0和T>0。设Cp（Z）为Lévy过程Z=X的推论3的康斯坦丁（4.23）-J2,1，其中J2,1是X的Lévy It^o分解中的复合泊松过程（参见引理2证明之前的段落）。使用旋转ν（1）=ν（R \\(-1，1）），对于任何r，p>0，我们有pn≥ r≤ν（1）T 2-n+r-pCp（Z）Tηp-1η-np，（4.27）E最小值{n、 r}p≤ rpν（1）T 2-n+Cp（Z）Tηp-1η-np。（4.28）证明。自P起n≥ r= P最小值{n、 r}p≥ 卢比≤ E最小值{n、 r}p/根据马尔可夫不等式，我们只需证明（4.28）。设Y如定理1所示。选择任何t>0的。设A为J2,1在间隔[0，t]上没有泵的事件。那么P（A）=e-ν（1）t≤ 1.-ν（1）t，或相当于P（Ac）≤ ν（1）t。推论3应用于Z，我们有EZpt公司≤ Cp（Z）tηp-1、因为XT=Zta。s

关于事件A，我们得到min{Xt，r}p≤ rp·Ac+Zpt·A≤ rp·Ac+Zpt，暗示最小{Xt，r}p≤ rpν（1）t+Cp（Z）tηp-这个不等式，定理1，E[Ln]=t2-与定律中的等式Xd=Y意味着（4.28）：E最小值{n、 r}p=EE最小{YLn，r}p | Ln≤ E[rpν（1）Ln+Cp（Z）Lηp-1n]。命题1的证明。假设第一个kgk∞< ∞. 自min{a+b，c}≤ 所有a、b、c的最小值{a，c}+b≥ 0，我们有| g（x，y，t）- g（x，y′，t′）|≤ 最小{K | y- y′|，k2gk∞} + K | t- t′|。回想一下，SB Alg的输出是χn的副本。因为根据定理1，我们a.s.有0≤ SBn公司≤ nand |δSBn |≤ Ln、by（4.11）和（4.28）我们得到[| g（χ）- g（χn）| p]≤ 2（p-1)+E[Kpmin{n、 k2gk∞/K} p]+KpE【Lpn】≤ 2（p-1)+k2gkp∞ν（1）T 2-n+Kp（Cp（Z）Tηp-1η-np+Tp（1+p）-n）,模拟L'EVY极值27，其中Z=X- J2,1。现在假设min{Ip+，Ip-} < ∞. 然后，再次通过定理1和2以及方程（4.24），我们得到【| g（χ）- g（χn）| p]≤ 2（p-1） +Kp（E[pn+E[Lpn]）≤ 2（p-1） +Kp（C*p（X）Tηp-1η-np+Tp（1+p）-n） 。自ηp起≤ 2.≤ 1+p代表p≥ 1，这将产生结果：E[| g（χ）- g（χn）|]≤ C′η-npfor（4.29）C′=2（p-1)+k2gkp∞ν（1）T+Kp（Cp（Z）Tηp-1+Tp），千克∞< ∞,Kp（C*p（X）Tηp-1+Tp），千克∞= ∞.因此，证明是完整的。命题2的证明。回想一下，χn（resp.χ）的第二个分量等于xt-SBn（分别为XT）。回想定理1，δSBn≤ 自然对数。自0起≤ SBn公司≤ n、 gimplies的局部Lipschitz性质：| g（χ）- g（χn）|≤ K级(n+Ln）eλXT。根据q′的定义，我们得到1/q′+1/q=1。因此，霍尔德不等式给出：（4.30）E|g（χ）- g（χn）| p≤ KpE公司n+Lnpq′q′EheλpqXTiq，其中（4.30）右侧的秒期望由假设Eλpq+<∞ 以及上述第4.3小节第一段中的论点。现在，我们在（4.30）的右侧估计这两个期望值。注意Ir+<∞ 对于所有r>0as Eλpq+<∞. 到（4.11），我们有En+Lnpq′≤ 2（pq′）-1） +Epq′n+Lpq′n.

因此，定理2，（4.24）和不等式（x+y）1/q′≤ x，y为x1/q′+y1/q′≥ 0 implyEn+Lnpq′1/q′≤ 2（p-1/q′）+Cpq′（X）Tηpq′-1η-npq′+Tpq′（1+pq′）-n1/q′≤ 2（p-1/q′）+Cpq′（X）1/q′T（ηpq′）-1） /q′η-n/q′pq′+Tp（1+pq′）-n/q′号.仍然需要获得期望E[exp（λpqXT）]的显式界。通过移除所有小于-1从X得到一个三重态（σ，ν）的Lévy过程Z|[-1.∞), b） 这在Xpath方面占主导地位。设置Z*t=辅助∈[0，t]| Zs |和注释Z*T≥ZT公司≥ XT。定义函数h:x 7→ eλpqx- 1月1日。然后，对于任何c>0，根据Fubini定理，我们得到了[h（Z*T- c） ]≤ E[h（Z*T- c） {Z*T> c}]=Z∞cP（Z*T> z）h′（z- c） dz=Z∞P（Z*T> z+c）h′（z）dz≤Z∞P（| ZT |>z）P[z*T≤ c/2]h′（z）dz=E[h（| ZT）]P[z*T≤ c/2]，其中第二个不等式适用于[Sat13，第167页，等式（25.15）]。因此，我们得到（4.31）EheλpqXTi≤ EheλpqZ*Ti=eλpqcE[1+h（Z*T- c） ]≤ eλpqc1+eeλpq | ZT|- 1P[Z*T≤ c/2]！。使用Lévy Khintchine公式[Sat13，Thm 25.17]计算Lévy过程Z，我们得到[eλpq | ZT |]≤ E[EλpqZT]+E[E-λpqZT]=eTψZ（λpq）+eTψZ(-λpq），L'EVY极值28的模拟，其中ψZ（u）=bu+σu/2+R[-1.∞)（欧盟）-1.-ux{x<1}）ν（dx）表示u∈ (-∞, λpq]。马尔可夫不等式隐含P[Z*T≤ c/2]≥ 1.- （2/c）E[Z*T] 。此外，通过引理2，我们得到了e[Z*T]≤ EZT公司- infs公司∈[0，T]Zs≤ m{Z}（T）+m{-Z} （T）。因此，从（4.31）开始，对于任何c>（m{Z}（T）+m{-Z} （T））/2我们得到λpqXTi≤ eλpqc1+eTψZ（λpq）+eTψZ(-λpq）- 11-c（m{Z}（T）+m{-Z} （T））！。因此，使用（4.30）和不等式ηpq′≤ 2.≤ 1+pq′（作为pq′）≥ 1） ，我们得到边界|g（χ）- g（χn）| p≤ C′η-n/q′pq′，其中（4.32）C′=Cpq′（X）1/q′T（ηpq′）-1） /q′+Tp-（p-1/q′）+K-体育课-λpc1+eTψZ（λpq）+eTψZ(-λpq）- 11-c（m{Z}（T）+m{-Z} （T））1/q，常数Cpq′（X）在（4.23）和m{Z}（T）和m中定义{-Z} （T）在引理2中给出。备注5。

速率η-对于命题2中满足指数矩条件的最大q，命题2界中的1/q′pq′最小（作为q的函数）。实际上，让r=pq′，注意，sincep是固定的，将η最小化-q中的1/q′pq′相当于最大化η1/rrin r。通过（4.22），函数r 7→ η1/rris减小，因此在尽可能小的r（即最大的q）处取其最大值。命题3的证明。回想一下定理1，0≤ SBn公司≤ n、 设n=η-n/（γ+q）q和注释E|h（Xt）| pkhkp∞{XT-SBn公司≤x}-{XT≤x}p≤ P（XT- SBn公司≤ x<XT）≤ P（XT- n≤ x<XT）=P（XT- n≤ x<XT- n）+P（XT- n≤ x<XT≤ x+n）≤ P（n<n） +P（x<XT≤ x+n）。通过引理4中的（4.27），我们得到了p（n<n）≤ν（1）T 2-n+-qnCq（Z）Tηq-1η-nq=ν（1）T 2-n+Cq（Z）Tηq-1η-nγ/（γ+q）q。XTin假设1的分布函数的假定H"older连续性意味着P（x<XT≤ x+n）≤ Kγn.G在（4.23）中给出了Cq（Z）的公式，常数（4.33）C′=khkp∞（ν（1）T+Cq（Z）Tηq-1+K），明确且满足E[| g（χ）- g（χn）| p]≤ C′η-nγ/（γ+q）q。备注6。最小化速率η-γ/（γ+q）qas命题3中q的函数在某种程度上涉及。关于区间（α+，∞), 费率q 7→ η-γ/（γ+q）q=2-γ/（γ+q）严格递增，因此最优q总是位于（0，α+）。

在区间（0，α+）上，问题等价于最大化mapr 7→ ef（r）=ηγ/（γ+q）qon区间（0，1），其中r=qα+∈ （0，1）和f:x 7→ 对数（1+x）/1+α+γx.自γα起+1+α+γxddxf（x）=γα+- 11+x- （对数（1+x）- 1） ，L'EVY极值模拟29 f的临界点，通过求解s=log（1+x）获得- 1英寸ses=e-1(γα+- 1） ，由R=eW（e）给出-1(γ/α+-1))+1- 1，其中W是Lambert W函数，定义为x 7的逆函数→ xex。因为f在[0，r]上增加，在（r）上减少，∞), 然后r=min{r，1}使f |（0,1）最大化，这意味着最优q方程q=α+minn1，eW（e-1(γ/α+-1))+1- 1o。特别是，当且仅当γ/α时，选择q=α+是最优的+≥ 2日志（2）- 1 = 0.38629 . . ., 并导致绑定O（2-n/（1+α+/γ））。因此，如果γ=1，命题3中的最佳界是O（2-n/（1+α+）。4.5. 中心极限定理的证明。定理3的证明。召回nN=对数N/log（ηg） 请注意，1≥√Nη-nNg公司≥ η-1克。因此，假设（b）收益率（4.34）√氖gnN，N→ 0作为N→ ∞.定理1中使用的第4.1小节中的耦合意味着对于所有n∈ N以下χ和SBAχnin（1.2）之间的关系保持不变：YT=XT，XT- SBn公司≤ XTandτT- δSBn≤ T假设（a）的第（i）部分和第（ii）部分暗示g（χn）和g（χn）分别由ζ=g（XT，XT，T）和ζ控制。由于ζ和ζ在假设下是可积的，支配收敛定理产生（4.35）V[g（χn）]=E[g（χn）]- [例（χn）]→ E[g（χ）]- [Eg（χ）]=V[g（χ）]作为n→ ∞.回想一下（χin）i∈{1，…，N}是SB Alg使用N个步骤进行N次独立运行所产生的输出。确定归一化中心随机变量ζi，N=g级χ客栈- 如χ客栈/pNV【g（χ）】，其中i∈ {1，…，N}。因此（4.35）意味着pni=1Eζi，N=V[g（χ）]-1（1/N）PNi=1V【g（χinN）】→ 1作为N→ ∞. 此外，wehaveNXi=1ζi，N=pN/V[g（χ）]gnN，N+o（1）为N→ ∞,其中o（1）是一个确定性序列，与（4.34）中的序列成比例。

因此，（2.5）在且仅在Ifpni=1ζi，Nd时成立→ N（0，1）为N→ ∞.为了总结证明，我们将使用Lindeberg的CLT[Kal02，Thm 5.12]，对于该CLT，仍需证明Lindeb-berg的条件成立，即PNi=1E[ζi，N{ζi，N>r}]→ 0作为N→ ∞ 对于所有r>0。通过本证明第二段的耦合，我们发现| g（χin）|≤ |ζi |对于所有i∈ {1，…，N}和N∈ N、 式中（ζi）i∈{1，…，N}是iid，其定律等于G（XT，XT，T）。关键的是，ζi不取决于SB Alg中的步骤数。此外，注意iid随机变量ξi=（|ζi |+E |ζi |）满足Eξi<∞ 和|ζi，N |≤ ξi/pNV【g（χ）】对于任何i∈ {1，…，N}。因此，我们发现[g（χ）]NXi=1E[ζi，N{ζi，N>r}]≤NXi=1NEξi{ξi>rNV（g（χ））}= Eξ{ξ>rNV（g（χ））}→ 0as N→ ∞, 这意味着林德伯格条件和我们的定理。备注7。在定理3中确定适当的G通常很简单。例如，可以在感兴趣的上下文中选择以下G。L'EVY极值30（a）的模拟设g为Lipschitz（如命题1）。那么我们可以取（i）G（x，y，t）=kgk∞, 如果kgk∞< ∞;（ii）G（x，y，t）=G（x，y，t）|+2K（y+t），如果I+<∞.（b） 设g为局部Lipschitz，Lipschitz常数以λ>0的速率指数增长（asin命题2）。那么我们可以取（i）G（x，y，t）=Keλy，如果G（x，y，t）≤ Keλyand E2λ+<∞ （回望和事后诸葛亮选项属于这一类）；（ii）G（x，y，t）=G（x，y，t）|+2K（y+t）eλyif E2λq+<∞ 对于某些q>1。（c） 如果g是屏障选项（如提案3所示），则取g（x，y，t）=kgk∞.备注8。如果我们准备集中，则可以将标准iid CLT应用于基于SB Alg的估计器。实际上，对于固定的n，假设V[Pn]<∞ 其中Pn=g（χn），经典CLT yieldspNV[Pn]NXi=1（引脚- EPn）d→ N（0，1）为N→ ∞.相反，定理3的要点是，不需要将样本置于n的函数中心，而n本身取决于s样本。附录A。

MLMC和debiasingA。1、O和O。本文中使用了以下标准符号：对于函数f，g:N→(0, ∞) 我们把f（n）=O（g（n））（分别f（n）=O（g（n）））写为n→ ∞ 如果lim supn→∞f（n）/g（n）是有限的（分别为0）。换句话说，对于某些常数C>0和所有n，f（n）=O（g（n））等价于f（n）在Cg（n）的上方有界∈ N、 特别地，f（N）=O（g（N））并不意味着f和gdecay的速率相同。我们还将f（）=O（g（））（分别f（）=O（g（）））写为↓ 0，对于函数SF，g：（0，∞) → (0, ∞ ) 如果lim sup↓0f（）/g（）是有限的（分别为0）。A、 2。ML.我们首先回顾了[CGST11，Thm 1]的一个版本。定理4。考虑一组s平方可积随机变量P，P，P。P=0。让{Dik}k，i∈Nbe独立，Dikd=Pk-主键-1对于所有k，i∈ N、 假设对于某些q≥ （q）∧q） /2>0和所有n∈ N我们有（a）| EP-EPn |≤ c-nq，（b）V[Pn+1- Pn]≤ c-nq，（c）构造（Pn，Pn）的单个样本的预期计算成本c（n）-1） 以Cnq为界，其中c，c，care正常量。那么每>0存在n，n，Nn型∈ N（见下文注释9（i）中的明确公式），使得估计量（A.1）^P=nXk=1NkNkXi=1Dikis L-在水平，E精确（^P- EP）< ，L'EVY极值31的模拟，计算复杂度为有序CML（）=O（-2） 如果q>q，O（-2log）如果q=q，O（-2.-（q）-q） /q）如果q<q，则注释9。（i） 在[CGST11]中，级别数等于n=日志(√2c-1） /q 以及k级的样本数∈ {1，…，n}是（A.2）Nk=2c-2.-（q+q）k/2/（1）- 2.-（q）-q） /2） 如果q>q，2c-2n2-qk公司 如果q=q，2c-2n（q-q） /2-（q+q）k/2/（1）- 2.-（q）-q） /2） 如果q<q。显然，水平n的数量是从假设（a）偏差的界限中获得的，而水平k的样本数量（a.2）是∈ {1，…，n}是使用方差和计算成本的界从一个简单的约束优化中获得的。

在实践中，如果无法访问作为总和（a）–（c）的边界中涉及的常数，则可以通过蒙特卡罗模拟对小n进行估计。在本文的设置中，障碍选项就是这种情况，请参见命题3及其后续段落。（ii）联轴器（Pn，Pn-1） 定理4的假设（b）和（c）中隐含的可模拟性，构成了定义MLMC估计器所需的任何MC算法的关键扩展。从（b）中可以清楚地看出，在这种情况下，不需要琐碎的独立耦合。事实上，通常情况下，最佳耦合（其中V[Pn+1-Pn]等于Pn定律之间的L-Wasserstein距离- EPnand Pn+1- EPn+1，参见上面的（4.25）是非常昂贵的（分别是不可能的）模拟，使得（c）中的界限非常大（分别是不可行的）。因此，需要“折衷”耦合。然而，本文分析的问题并非如此，因为成本仅以n为单位线性扩展。相反，假设（a）不需要特定的耦合，因为EPn- EP |仅通过P和Pn的平均值进行比较。因此，即使无法用于模拟，也可以使用最佳耦合计算qm。A、 3。借记。变量{Dkn}n，k的一种随机选择∈Nin定理4得出了EP的无偏估计量（见[McL11，RG15]）。更准确地说，在【Vih18，Thm 7】之后，确定估计器（A.3）^P=∞Xk=1ENkNkXn=1Dnk，其中非负随机整数序列（Nk）k∈N、 独立于{Dkn}N，k∈N、 所有k的满意度ENk>0∈ N和P∞k=1Nk<∞, i、 e.对于所有足够大的指数，Nk=0。序列（Nk）k∈NCA可以构造为正整数（Rj）的有限样本的确定性泛函，Nj=1as如下：（a）单项估计量（STE）：Nk=PNj=1{Rj=k}；和（b）独立和估计量（ISE）：Nk=PNj=1{Rj≥k} （见【Vih18，Thms 3和5】）。