L{e}vy过程极值的几何收敛模拟

C面长度和高度的尺寸偏差序列满足以下法律等式【PUB12，Thm 1】：（4.1）（（dn-gn，Cdn- Cgn））n∈Nd=((ln、 YLn公司-1.- YLn））n∈N、 其中，Y是X的副本，与断棒过程无关l = (ln） n个∈基于统一定律U（0，1）的非[0，T]。我们强调，定律（4.1）中的等式在随机过程的意义上是成立的，由N表示。令人惊讶的是，由（4.1）表示，长度序列定律（dn- gn）n∈Ndoes不依赖于X。这一事实是(l, Y）和X，以便（4.1）保持a.s。下面构造的该耦合对于分析上述SB Alg中的误差至关重要，并将在本文中使用。事实上，在这种耦合下，（1.1）保持a.s.，因为X在[0，T]上的上确界的位置（对应时间）等于具有正斜率的ofC面的所有高度（对应长度）之和。（请注意，功能t 7→ CTI呈凹形，因此变化有限，形成高度序列（Cdn- Cgn）n∈N=（YLn-1.- YLn）n∈可绝对求和。）特别是，它简化了YT=XTa。s、 L'EVY极值18的模拟考虑X的凹主C的可数面集。每个面由一对（X，y）组成，其中X>0是长度，y∈ R是面部高度。由于面长度为正且可与和T求和，因此可以基于函数φ：（x，y）7对面进行尺寸偏差采样→ x、 然后生成随机枚举（（dn-gn，Cdn-Cgn））n∈Nof the facesof C.【PUB12，Thm 1】的这种列举满足了分配平等性（4.1）。此外，在这种情况下，尺寸偏差取样具有如下图4.1所示的几何解释，其中（gn）n∈Nand（dn）n∈分别是第n个面的左端点和右端点。请注意，假设2和（4.1）意味着没有水平的C面。

因此，达到最高点的时间是独一无二的。CUGCGDCDTCUGCGDCDTCUGCGDCDT图4.1。选择凹面主要部分的前三个面：横坐标上蓝色粗段的总长度等于棒尺寸T，T- （d）- g） andT公司-（d）-g）-（d）-g） ，分别为。独立随机变量U，U，U分别在集合[0，T]，[0，T]\\（g，d），[0，T]\\Si=1（gi，di）上均匀分布。请注意，n个采样后未采样面的剩余长度为Ln。现在我们来解释如何结合(l, Y）以这样的方式使用X，即（4.1）（因此（1.1））通过回顾（4.1）中的dn- gn，Cdn- Cgn公司n∈Nd公司=l′n、 Y′L′n-1.- Y′L′nn∈N、 其中，Y′是X的拷贝，与断棒过程无关l′= (l′n） n个∈基于uniformlaw U（0，1）和L′n的非[0，T]-1=P∞k=nl′k、 现在回想一下，具有左手极限的[0，T]上的右连续函数的Skorokhod空间D[0，T]（见[Bil99，p.109]）是波兰空间[Bil99，p.112]，因此是aBorel空间[Kal02，Thm A1.2]。通过可能扩展原始概率空间，[Kal02，Thm 6.10]断言D[0，T]中存在随机元素Y，从而（4.2）（dn- gn）n∈NCdn公司- Cgn公司n∈N、 Y型d=(l′n） n个∈NY′L′n-1.- Y′L′nn∈N、 Y′.因此，过程Y具有与Y′d=X相同的规律。如果我们定义序列l = (ln） n个∈n穿过ln=dn-gnand Ln公司-1=P∞k=nlK每个n∈ N、 那么（4.2）意味着Y独立于l. 同样地，通过（4.2），Y在间隔[Ln，Ln]上的增量-1] 等于YLn-1.-YLn=Cdn-Cgna。s、 因此(l, Y）和X是所需的，因为（4.1）保持a.s.耦合（X，l, Y）也可以在没有抽象结果[Kal02，Thm 6.10]的情况下，使用来自[PUB12]的\'3214\'变换获得，这在X的轨迹中是明确的。

由于耦合的细节在本文中并不重要，为了简洁起见，我们使用了抽象结果。L'EVY极值模拟194.2。误差定律和定理1的证明。在本小节中，我们将证明定理1。我们还陈述并证明了命题4，该命题解释了为什么SBAχ的误差δsbno通常小于δn。定理1的证明。通过第4.1小节的耦合，（1.1）中的等式保持a.s.，即我们得到χ=（XT，XT，τT）=P∞k=1（YLk-1.-YLk，（YLk-1.-YLk）+，lk·{YLk-1.-YLk>0}）。因此，从定义（1.3），我们清楚地获得（YLn，n、 δn）=∞Xk=n+1YLk公司-1.- YLk，（YLk-1.- YLk）+，lk·{YLk-1.-YLk>0}.特别地，我们有δn≤P∞k=n+1lk=ln，因此|δSBn |≤ 自然对数。我们现在应用（4.1）得出结论，上面显示的尾和具有所需的定律。首先注意，给定Ln(ln+k）k∈Nis是间隔[0，Ln]上的断棒过程。因此，由于Y和l都是独立的，顺序法则((ln+k，YLk+n-1.- YLk+n））k∈N、 给定Ln，与（4.1）右侧应用于区间[0，Ln]的定律相同。不同的是，根据（4.1），该序列与Lévy过程Y中凹主面的序列在区间[0，Ln]上的大小偏差顺序具有相同的规律。因此，恒等式（1.1）应用于区间[0，Ln]（而不是[0，T]），以及Y和l, 产生（1.4）中的第一个等式：（YLn，YLn，τLn（Y））d=∞Xk=n+1YLk公司-1.- YLk，（YLk-1.- YLk）+，lk·{YLk-1.-YLk>0}.（1.4）中的第二个分配恒等式源自(SBn，δSBn）作为（YLn，n、 δn）。对于任意n∈ N、 （1.4）中的第二个标识表示0≤ SBn。定义nin（1.3）和它们的低质量Y+Ln≤ （YLn- YLn+1）++Y+Ln+1产生以下结果：SBn+1=n+1- Y+Ln+1=n- （YLn- YLn+1）+- Y+Ln+1≤ n- Y+Ln=SBn公司≤ n、 定理的证明到此结束。提案4。

设X满足假设2。那么以下陈述成立。（a） 对于任何t>0，我们有Eτt（X）=RtP（Xs>0）ds。（b） 如果t-1RtP（Xs>0）ds- P（Xt>0）→ 0为t0，则E[δSBn/Ln]→ 0作为n→ ∞.（c） 如果P（Xt>0）→ ρ∈ [0，1]为t0，则（b）保持，E[δn/Ln]→ ρ为n→ ∞ .（d） 如果P（Xt>0）=ρ∈ [0，1]对于所有t∈ （0，T），则E[δSBn | Ln]=E[δn | Ln]- Lnρ=0 a.s.备注1。（i） 注意τT∈ [τT- δn，τT- δn+Ln]和给定Ln，SBAχn通过平均值为P（YLn>0 | Ln）的伯努利随机变量随机选择区间的端点。（ii）（d）中的假设成立，如果X是从属稳定过程或s对称Lévy过程。此外，这意味着χnis中的第三个坐标是无偏的，因为其误差的期望值消失了：E[δSBn]=0。相反，我们有E[δn]=ρT/2n。（iii）χn的第三个坐标的偏差，条件是Ln=t，等于rtp（Xs>0）ds- tP（Xt>0）乘以下面的（4.3）。该量通常表现为t→ 更具体地说，我们没有-1RtP（Xs>0）ds- P（Xt>0）→ 如果t 7，则0为t0（从而满足（b）中的假设）→ P（Xt>0）在0时缓慢变化[BGT89，第1.5.8条]。L'EVY极值20（iv）的模拟注意，（c）中的假设暗示了（b）中的假设。如果例如X在放大程序下弱收敛，则满足称为斯皮策条件的假设【Ber96，Thm VI.3.14】【BI20，第2.2节】。证据对于所有t>0，表示ρ（t）=P（Xt>0）。（a） 将（1.4）应用于n=1的区间[0，t]，得到τt（X）d=U t{XtU>0}+τt（1-U） （Y），其中U~ U（0，1）独立于Y，Y本身是X的副本。因此，Eτt（X）=t-1Zt（sE{Xs>0}+Eτt-s（Y））ds=t-1Zt（sρ（s）+Eτs（X））ds，其中ρ（s）=P（Xs>0）。自t 7起→ τ为右连续且不递减，SO为t 7→ Eτt.上图中的积分方程，ρ（t）在t>0时的连续性和bootstrap参数意味着t 7→ Eτt（X）与导数是绝对连续的，比如h。

换句话说，对于所有t>0的情况，我们有eτt（X）=Rth（s）ds。将显示中的相等值乘以t，并对所有t>0的部分应用integrationby parts yieldsRtsh（s）ds=Rtsρ（s）ds。因此，被积函数必须与Lebesgue测度的a.e.一致。具体而言，Eτt=Rth（s）ds=Rtρ（s）ds，如需要。（b） 根据定理1，在Ln的条件下，我们得到δSBnd=τLn（Y）- Ln·{YLn>0}。因此，by（a），（4.3）E[δSBn | Ln]=ZLnρ（s）ds- Lnρ（Ln）。自Ln0起为n→ ∞, （b）和（4.3）中的假设意味着E[δSBn | Ln]/Ln→ 0 a.s.作为n→ ∞.应用于x 7的Jensen不等式→ |x |和不等式|δSBn/Ln |≤ 定理1中的1意味着| E[δSBn | Ln]/Ln |≤ E[|δSBn |/Ln | Ln]≤ 因此，支配收敛定理[Kal02，Thm 1.21]给出了E[δSBn/Ln]=E[δSBn | Ln]/Ln]→ 0作为n→ ∞.（c） 由于这个假设意味着（b）的假设，所以（b）的结论成立。此外，根据（b），limn→∞E[δn/Ln | Ln]=limn→∞EδSBn/Ln+{YLn>0}自然对数= 画→∞ρ（Ln）=ρa.s。因此，在（b）的证明中应用的支配收敛定理给出了结果。（d） 因为ρ（t）=所有t的ρ∈ （4.3）中的右侧等于0 a.s.，如所述。类似地，我们有E[δn | Ln]=E[δSBn+Ln·{YLn>0}| Ln]=Lnρa.s。推论1的证明。我们假设在正实上存在一个函数a，使得（Xtδ/a（δ））t≥0弱收敛到某个进程（Zt）t≥0asδ0在有限维分布意义上。已知极限过程是自相似的[BGT89，Thm 8.5.2]，因此α稳定，函数a随指数1/α有规律地变化∈ [2, ∞). 此外，收敛性扩展到了Korokhod空间D[0，∞) 【JS03，Cor.VII.3.6】。（有关a和极限标准的详细说明，请参见【Iva18，Thm 2】。）注意Zδ=（Ytδ/a（δ））t∈[0,1]收敛到Z=（Zt）t∈D[0，1]中的[0,1]，且τ（Zδ）=τδ（Z）/δ。

众所周知，上确界映射x 7→ 支持∈[0,1]x和投影x 7→ X是关于Y定律的连续a.s。接下来，自稳定过程的最大时间（Zt∨Zt公司-)t型∈[0,1]是a.s.唯一的，则τ是关于Z定律的a.s.连续的（参见例如[Kal02，Lem.14.12]）。因此，当δ0时，这产生χδ=（Yδ/a（δ），Yδ/a（δ），τδ（Y）/δ）=（Zδ，Zδ，τ（Zδ））d→ （Z，Z，τ（Z））=χ。模拟L'EVY极值21根据（1.4）中给出的等式，我们得到（4.4）（YLn/a（Ln），n/a（Ln），δn/Ln）d=（YLn/a（Ln），YLn/a（Ln），τLn（Y）/Ln）。因此，如果我们证明χLnd→ χ. 回想一下，弱收敛等价于Ef（χδ）→ Ef（χ）为δ0 f或每个有界和连续f。自l Y是独立的，Ln→ 0 a.s.，以序列（Ln）n为条件∈Nwe得到E[f（χLn）| Ln]→ Ef（χ）。随机变量序列（E[f（χLn）| Ln]）n∈Nis有界（因为f是）并收敛到Ef（χ）a.s。因此，根据支配收敛定理，它在L中收敛，这意味着χLnd→ χ. 因此，（4.4）左侧的弱极限成立，从而得出推论1。4.3. lpa的收敛性及定理2的证明。回想一下，（σ，ν，b）是与cuto ff函数X 7相关的X的生成三元组→{| x |<1}（见[Sat13，第2章，定义8.2]）。对于任何t>0的情况，Lévy测度νat单位的力矩与X+和X的力矩相关联，如下所示。通过控制X路径，使Lévy过程Z等于X及其跳跃(-∞, -1] 删除并将[Sat13，Thm 25.3]应用于Z，我们发现，对于任何p>0，条件Ip+<∞ 和Ep+<∞（定义见（2.1）和（2.3））暗示E（X+t）p< ∞ 和E exp（pX+t）<∞, 分别适用于所有t>0的情况。

类似地，通过将[Sat13，Thm 25.18]应用于Z，我们得到Ip+<∞ 和Ep+<∞ implyE[Xpt]<∞ 和E exp（pXt）<∞, 分别地设β为Blumenthal-Getoor指数[BG61]，定义为（4.5）β=inf{p>0:Ip<∞}, 其中Ip=Z(-1,1）| x | pν（dx），对于任何p≥ 0，注意β∈ [0，2]自I<∞. 此外，我<∞ 如果且仅当X的跳跃具有细分，在这种情况下，我们可以确定自然漂移b=b-R(-1,1）xν（dx）。请注意，Ip<∞ 对于任何p>β，但Iβ可以是有限的，也可以是有限的。如果Iβ=∞ 我们必须使β<2，因此可以选择δ∈ (0, 2 - β） ，当β<1时满足β+δ<1，定义（4.6）β+=β+δ·{Iβ=∞}∈ [β, 2].请注意，β+要么等于β，要么任意接近它。无论哪种情况，我们都有Iβ+<∞.本小节的主要目的是证明定理2和命题1、2和3。考虑到这一点，我们首先建立了三个引理和一个推论。引理1。X的Lévy度量ν满足以下所有κ∈ （0，1）]：（4.7）ν（κ）=ν（R\\(-κ, κ)) ≤ κ-β+Iβ++ν（1），σ（κ）=Z(-κ、 κ）xν（dx）≤ κ2-β+Ⅰβ+。此外，以下不等式成立：Z(-1.-κ]∪[κ，1）| x | pν（dx）≤ κ-(β+-p） +Iβ+，用于p∈ R、 （4.8）Z(-κ、 κ）| x | pν（dx）≤ κp-β+Iβ+，用于p≥ β+.（4.9）证明。将被积函数乘以（I）（| x |/κ）β+，（II）（κ/| x |）2-β+，（III）（| x |/κ）β+-pif p≤ β+或| x |β+-potherwise和（IV）（κ/| x |）p-β+，并将积分扩展到(-1，1）屈服于边界。L'EVY EXTREMA 22的模拟回顾（2.1）中Ip+和Ip的定义-对于p≥ 0、表示x个 = inf{m∈ Z:m≥ x} 对于anyx∈ R、 回想一下第二类斯特林数mk公司出现在泊松随机变量H的动量公式中，平均值为u≥ 0：对于任意m∈ N我们有（4.10）E【Hm】=mXk=1mk公司uk，其中mk公司=kkXi=0(-1） 我ki公司（k）- i） m.特别是m级= 所有m为0∈ N、 在整个过程中，我们将使用以下不等式（4.11）mXk=1xi！p≤ m（p-1） +mXk=1xpi，其中m∈ N、 x。

，xm≥ 0和p≥ 这个不等式很容易从x 7的凹度得到→ p＜1时的xp和Jensen不等式≥ 引理2。对于所有t∈ 【0，T】和p>0，条件Ip+<∞ 暗示（4.12）E【Xpt】≤ mpX（t）=4（p-1)+Cp，1tp/β++Cp，2tp/2+Cp，3tp+Cp，4tmin{1，p/β+},其中常数{Cp，i}i=1由Cp给出，1=2（p-1） +Tp-p/β+Iβ+p+T-p/β+pTp/2Iβ+p/2·{p≤2} +2（p/（p- 1） ）pexpT Iβ+- p·{p>2},Cp，2=|σ| pΓp+1p/2√π、 Cp，3=2（p-1)+b+·{I=∞}+ b+·{I<∞}p、 Cp，4=T（1-p/β+）+Ip++I′pXk=1pkTk公司-1.I′+ν（[1，∞))k-1，（4.13），其中I′=R（0,1）xβ+ν（dx）和Γ（·）是伽马函数。此外，如果I+<∞, 然后（4.14）E【Xt】≤ |σ| rπ√t+（b++I++t+2pI）√t、 β+=2，（b++I++t+2T-1/β+qT Iβ++T Iβ+t1/β+，β+∈ (1, 2),b++R（0，∞)xν（dx）t、 β+≤ 1、备注2。（i） （4.14）中的公式基本上遵循了[Che11，Lem.5.2.2&Eq.（5.2）]中关于β的公式+∈（1、2）和f（来自[DL11a，3.4号提案]）的β+≤ 下面给出的（4.14）的一个新证明基于（4.12）中用于建立更一般不等式的方法。此外，在p=1的情况下，两个边界（4.12）和（4.14）中的优势幂oft与（4.14）中稍好的常数一致。（4.12）中的估计值适用于所有p>0的情况，并且是为了以下证明中应用的清晰性，即使在p=1的情况下也是如此。（ii）注意，如果σ=0，则Cp为2=0，如果X为光谱负，则Cp为4=0。（iii）即使假设Ip+<∞ 故障。由于Cp，4=∞.回想一下，Lévy过程X的Lévy It^o分解[Sat13，Thms 19.2&19.3]，在κ级生成三重态（σ，ν，b）∈ （0，1）由Xt=bκt+σBt+J1，κt+J2，κt表示所有t≥ 0，其中bκ=b-R(-1,1)\\(-κ、 κ）xν（dx）和J1，κ=（J1，κt）t≥0（分别为J2，κ=（J2，κt）t≥0）是Lévy与Lévy极值23（0，ν）的三重模拟|(-κ、 κ），0）（分别为。

（0，ν| R\\(-κ、 κ），b-bκ）-回想一下，我们使用的是cuto ff函数x 7→{| x|≤1} ）和B=（Bt）t≥0是标准布朗运动。此外，过程B、J1、κ、J2、κ是独立的，J1、κ是一个L有界鞅，跳跃幅度最大为κ和J2，κ是一个强度为ν（κ）（见上文（4.7））且无漂移的复合泊松过程。证据通过以上讨论，我们得到了≤ b+κt+|σ| Bt+J1，κt+J2，κt。然后（4.11）表示（4.15）EXpt公司≤ 4（p-1)+（b+κ）ptp+|σ| pEBpt公司+ EJ1，κtp+ EJ2，κtp),其中BTD=| Bt |等E英国电信= tp/2Γp+1p/2/√π[Kal02，第13.13号提案]，在所有情况下都是Cp。通过引理1，我们有b+κ≤b++R(-κ、 κ）| x |ν（dx）≤ b++κ1-β+Iβ+，I<∞ （即β+≤ 1） b++κ1-β+Iβ+，I=∞ （即β+>1）。因此，通过（4.11），我们得到（b+κ）p≤κ1-β+Iβ+{I=∞}b++{I<∞}b类+p≤ 2（p-1)+κp-pβ+Iβ+p+{I=∞}（b+）p+{I<∞}（b+）p.（4.16）J2，κ由J2，κ在区间[0，t]上的正跳跃之和控制，对于iid随机变量（Rk）k，其具有相同的规律asPNtk=1rkf∈n定律ν|[κ，∞)/ν([κ, ∞)) 和一个平均值为tν（[κ，∞)). 注意，由于NTI是一个非负整数，因此n（p-1） +1吨≤ Npt、 因此，（Rk）k之间的独立性∈Nand Nt，不等式（PNtk=1Rk）p≤N（p-1） +tPNtk=1Rpk（根据（4.11）得出）和（4.10）yieldEJ2，κtp≤ ENtXk=1Rkp≤ EN（p-1） +tNtXk=1Rpk= E【Rp】EN（p-1） +1吨≤ E【Rp】ENpt型=Z[κ，∞)xpν（dx）ν（[κ，∞))pXk=1pk（tν（[κ，∞)))k.表示I′=R（0,1）xβ+ν（dx）。（4.7）中的第一个不等式和引理1（4.8）中的界适用于ν|（0，∞)以及事实κ≤ 1和t≤ T yieldEJ2，κtp≤ t型Ip++Z[κ，1）xpν（dx）pXk=1pktκ-β+I′+tν（[1，∞))k-1.≤ tκ-(β+-p）+Ip++I′pXk=1pktκ-β+I′+Tν（[1，∞))k-1.（4.17）假设p≤ 2、Jensen不等式应用于函数x 7→ x2/pand Doob鞅不等式[Kal02，Prop。

7.6]应用于J1，κ屈服（4.18）EJ1，κtp≤ EJ1，κtp/2≤ 2pE（J1，κt）p/2=2p（σ（κ））ptp/2，L'EVY极值24的模拟，其中σ（κ）表示σ（κ）的正平方根。因此（4.15）对于p=1，在（4.17）中的第一个不等式和（4.18）中的估计给出了（4.19）EXt≤b+κ+Z[κ，1）xν（dx）+I+t+|σ| rπ+2σ（κ）√t、 如果β+=2，则在（4.19）中取κ=1得到（4.14）中的第一个公式。如果β+≤ 1然后I<∞.出租κ→ 0在（4.19）中，我们得到了（4.14）中的第三个公式。设置κ=（t/t）1/β+，并应用引理1得到tσ（κ）≤ t2/β+T1-2/β+Iβ+。因此tR[κ，1）xν（dx）≤ t1/β+t1-1/β+Iβ+，以及（4.16）&（4.19）在（4.14）中给出了第二个公式，完成了（4.14）的证明。证明（4.12）一般p∈ （0，2），weagain setκ=（t/t）1/β+，并使用不等式t≤ T和（4.16）–（4.18）同上。更具体地说，（I）（4.16），（II）（4.17）和（III）（4.16）&（4.18）分别确定（I）Cp，3，（II）Cp，4和（III）Cp，1的值。这就是案例p的证明≤ 2、假设p＞2。案例p的唯一界限≤ 在这种情况下不适用的是E[（J1，κt）p]上的1。Doob鞅不等式与| x | p的界≤ （p/e）pe | x |适用于所有x∈ R yieldEJ1，κtp≤聚丙烯- 1.体育课|J1，κt | p=κpp- 1.体育课(κ-1 | J1，κt |）p≤κp/ep- 1.体育课eκ-1 | J1，κt|.注释Eeκ-1 | J1，κt|≤ Eeκ-1J1，κt+e-κ-1J1，κt= etψκ（κ-1） +内皮素ψκ(-κ-1） 式中，ψκ是J1，κ的Lévy Khintchine指数，即ψκ（u）=R(-κ、 κ）（eux- 1.- ux）ν（dx）表示u∈ R、 使用基本boundex-1.-x个≤ x对于所有| x |≤ 1和（4.7），我们发现ψκ（u）≤ uσ（κ）≤ uκ2-β+Iβ+表示| u |≤ κ-1、通过设置κ=（t/t）1/β+，我们得到（4.20）EJ1，κtp≤ 2.κp/ep- 1.petκ-β+Iβ+=2tp/β+T-p/β+聚丙烯- 1.peT Iβ+-p、 如前所述，我们获得（4.12）如下：（I）（4.16），（II）（4.17）和（III）（4.16）&（4.20）分别建立（I）Cp，3，（II）Cp，4和（III）Cp，1的值，从而完成证明。回顾上文（4.5）和（4.6）中定义的β、Iandβ+。