L{e}vy过程极值的几何收敛模拟

例如，可以将（Rn）Nn=1取为具有公共分布pn=P[R=n]>0，n的IID∈ N、 STE-andISE的计算复杂性与R定律的最佳选择有关【Vih18，第6节】。[Vih18]中分析的选择之一是均匀分层估计（USE），如下面的定理5所述。Let FR：模拟L'EVY极值32x 7→Px个n=1pn，x>0，是R的分布函数（其中我们表示x个 = sup{k∈ Z:k≤ x} ），让F-1R：u 7→ inf{k∈ N：FR（k）≥ u} ，u∈ （0，1），是其广义逆。Putpn=1-FR（n-1） forn公司∈ N并回顾上文定理4中定义的C（N）。定理5（【Vih18，Thm 19】）。对于某些固定N∈ N let（英国）k∈{1，…，N}与英国独立~U（k-1N，kN），并将Rk=F-1R（英国）代表k∈ {1，…，N}。（a） 假设∞n=1E[（Pn-Pn-1） ]/pn<∞ 定义Nj=PNk=1{Rk=j}，其平均值为ENj=N pj。那么^PST，Nin（A.3）是满足E^PST的均匀分层标准，N=EP和limN→∞NV[^PST，N]=P∞n=1V【Pn- Pn-1] /Pn带cos t NP∞n=1pnC（n）。（b） 假设∞n=1E[（P- Pn-1） ]/pn<∞ 定义Nj=PNk=1{Rk≥j} 其平均值为ENj=Npj。那么^PIS，Nin（A.3）是满足E^PIS的均匀分层ISE，N=EP和limN→∞NV【^PIS，N】=P∞n=1（V[P- Pn-1] - V[P- Pn））/Pn带cos t NP∞n=1pnC（n）。备注10。分别以Irest和Irest表示的STEand-ISE的渐近逆相对效率（定义见[Vih18，第6节，第12页]）由Irest给出=∞Xn=1V【Pn- Pn-1] 请注意！∞Xn=1pnC（n）！≥∞Xn=1pVST（n）C（n）IREIS=∞Xn=1V[P-Pn-1] - V[P- Pn]Pn！∞Xn=1pnC（n）！≥∞Xn=1pVIS（n）C（n），其中VST（n）=V[Pn- Pn-1] ，VIS（n）=V[P- Pn-1] - V[P- 请注意]。下界遵循Cauchy-Schwarz不等式，不依赖于定律（pn）n的选择∈通过取（A.4）pSTn=pVST（n）/C（n）P获得Nand∞k=1pVST（k）/C（k）和PISN=pVIS（n）/C（n）P∞k=1pVIS（k）/C（k）。因此，这些选择显然是最优的。附录B。

在本附录中，我们讨论了命题3中假设1的必要性。示例1。对于任何γ∈ （0，1）存在一个具有绝对连续Lévymeasureν的Lévy过程X，使得lim infu↓0uα-对于某些α，2σ（u）>0保持不变∈ （0，1）和假设1对γ在可数个M>0时失败。召回σ（κ）=R(-κ、 κ）xν（dx）表示κ∈ （0，1），并注意到示例1中的X具有[第13条，第28.3款]规定的平滑过渡灵敏度。证据证明的实质是将任何这样的M构造为ν密度的奇点。为了使事物明确，我们将在一个固定的M>0的情况下证明它。为此，设为α稳定过程，正参数ρ=P（S>0）∈ （0，1）满足αρ+α+ρ<γ。设Z是一个独立的Lévy过程，由νZ给出有限的Lévy测度νZ((-∞, x] \\{0}）=最小值{1，（最大值{x，M}- M） ρ}，设X=S+Z。此后，只考虑足够小的>0，即<min{（T/2）1/α，min{M，1}/2}。我们的目标是从低于概率P（XT）的范围∈ [M，M+3））。为此，我们考虑Z只跳一次的事件，S很小，S≤ 跳跃时为M，跳跃后S不会增加太多。L'EVY极值33的模拟由于Sis的密度是正的、连续的和有界的，因此从标度特性来看，存在一些常数K>0（不依赖于），因此对于所有≤ α，P（St∈ [0，），St≤ M） =P（S）∈ [0，t-1/a），S≤ t型-1/αM）≥ K、 根据[Bin73，Thm 4A]，我们还知道P（St≤ ) ≥ Kαρ对于某些常数K>0且所有T>T-α/2. 现在，ZT∈ [M，M+）具有概率e-TTρ，因为它只能发生在Z在[0，T]上有一个单跳时，其时间U是条件分布的U（0，T）。固定时间∈ （0，T），Markovproperty givesPsups公司∈[0，T-t] 不锈钢+t-St公司∈ A、 （St，St）∈ B×C= P【ST】-t型∈ A] P[（St，St）∈ B×C]，对于所有可测量的A、B、C R

H，乘以t处U的密度，积分并利用（U，Z）和S的独立性，我们得到p（XT∈ [米，米+3）≥ P（ZT∈ [米，米+），苏∈ [0，），SU≤ M、 XT公司∈ [米，米+3）≥ e-TTρZTPsups公司∈[0，T-t] 不锈钢+t- St公司≤ ，St∈ [0，），St≤ MZT公司∈ [米，米+），U=tdtT公司≥ e-TρZαP（ST-t型≤ ）P（St∈ [0，），St≤ M） dt公司≥ e-TKKαρ+α+ρ。这意味着x 7→ P（XT≤ x） 在M处不是局部γ-H"older连续的。参考文献【AA10】Soren Asmussen和Hansj"org Albrecher，《破产概率》，第二版，《统计科学与应用概率高级系列》，第14卷，世界科学出版有限公司，新泽西州哈肯萨克，2010年。2766220先生【AGP95】Soren Asmussen、Peter Glynn和Jim Pitman，《一维反射布朗运动模拟误差离散化》，Ann。应用程序。概率。5（1995），第4875–896号。1384357【Asm03】Soren Asmussen先生，《应用概率与队列》，第二版，《数学应用》（纽约），第51卷，Springer Verlag，纽约州北部，2003年，《随机建模与应用概率》。Violetta Bernyk、Robert C.Dalang和Goran Peskir先生（1978607【BDP11】Ann）预测了没有负跳的稳定Lévy过程的最终优势。概率。39（2011），第6号，2385–2423。2932671[1996年10月]Jean Bertoin先生，《Levy过程》，剑桥数学丛书，第121卷，剑桥大学出版社，剑桥，1996年。1406564先生【BG61】R.M.Blumenthal和R.K.Getoor，《具有平稳独立增量的随机过程的样本函数》，J.Math。机械。10 (1961), 493–516. 0123362先生【BGK97】马克·布罗迪（Mark Broadie）、保罗·格拉斯曼（Paul Glasserman）和史蒂文·寇（Steven Kou），离散巴利尔期权的连续性修正，数学。《金融》第7期（1997），第4325-349号。M R 1482707【BGK99】马克·布罗迪（Mark Broadie）、保罗·格拉斯曼（Paul Glasserman）和S.G.寇（S.G.Kou），《连接离散和连续路径依赖期权》，金融斯托赫。3（1999），第1期，第55-82页。MR 1805321 L'EVY极值模拟34【BGT89】N.H.Bingham，C.M。

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