L{e}vy过程极值的几何收敛模拟

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英文标题：
《Geometrically Convergent Simulation of the Extrema of L\\\'{e}vy Processes》
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作者：
Jorge Ignacio Gonz\\\'alez C\\\'azares, Aleksandar Mijatovi\\\'c, Ger\\\'onimo
  Uribe Bravo
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We develop a novel approximate simulation algorithm for the joint law of the position, the running supremum and the time of the supremum of a general L\\\'evy process at an arbitrary finite time. We identify the law of the error in simple terms. We prove that the error decays geometrically in $L^p$ (for any $p\\geq 1$) as a function of the computational cost, in contrast with the polynomial decay for the approximations available in the literature. We establish a central limit theorem and construct non-asymptotic and asymptotic confidence intervals for the corresponding Monte Carlo estimator. We prove that the multilevel Monte Carlo estimator has optimal computational complexity (i.e. of order $\\epsilon^{-2}$ if the mean squared error is at most $\\epsilon^2$) for locally Lipschitz and barrier-type functionals of the triplet and develop an unbiased version of the estimator. We illustrate the performance of the algorithm with numerical examples.
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中文摘要：
我们开发了一种新的近似模拟算法，用于在任意有限时间内求解一般L趵evy过程的位置、运行上确界和上确界时间的联合规律。我们用简单的术语来确定误差定律。我们证明，与文献中可用近似的多项式衰减相比，误差在几何上以$L^p$（对于任何$p\\geq 1$）作为计算成本的函数衰减。我们建立了一个中心极限定理，并为相应的蒙特卡罗估计量构造了非渐近和渐近置信区间。我们证明了对于三元组的局部Lipschitz和势垒型泛函，多层蒙特卡罗估计具有最佳的计算复杂度（即，如果均方误差最大为$\\ε^{-2}$），并开发了该估计的无偏版本。我们用数值例子说明了算法的性能。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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PDF下载：
--> Geometrically_Convergent_Simulation_of_the_Extrema_of_Lévy_Processes.pdf (614.03 KB)

2022-6-11 00:59:23 上传

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关键词：Applications Quantitative Multivariate Differential Computation

L'EvyprocesseJorge GONZ'ALEZ C'AZARES、ALEKSANDAR MIJATOVI'C和Gernimo URIBE BRAVOAbstract极值的几何收敛模拟。我们开发了一种新的近似模拟算法，用于在任意时刻对一般Lévy过程的位置、运行上确界和上确界时间的联合规律进行模拟。我们用简单的术语来确定错误的规律。我们证明了误差在Lp中几何衰减（对于任何p≥ 1） 作为计算成本的函数，与文献中可用近似值的多项式衰减相比。我们建立了一个中心极限定理，并为相应的蒙特卡罗估计量构造了非渐近和渐近置信区间。我们证明了多层蒙特卡罗估计h是最优计算复杂度（即阶）-2如果三元组的局部Lipschitz和势垒型函数的均方误差最大，则开发无偏估计量。我们用数值例子说明了算法的性能。1、简介考虑一系列过程X=（Xt）t≥0在给定恒定时间T>0的时间间隔[0，T]内。三元组χ=（XT，XT，τT），由位置XT、区间[0，T]上X的上确界XT和X达到上确界的第一次τTat组成，在应用概率的许多领域中发挥着关键作用（例如，保险数学中的破产概率【KKM04】、数学金融中的障碍和回望期权以及技术交易【BL02，Mor02，MP12】、排队论中的规模效应【Asm03，M P15】以及预测最终上确界及其最佳停止时间【BDP11，BvS14】，等等）。然而，很难从莱维过程X的特征中提取关于XT定律（let aloneofχ）的信息【Cha13】。

此外，XT定律的已知特性在特征中通常不明确【CM16】，这使得其精确模拟具有挑战性（例如，最近开发了稳定过程上确界的第一个精确模拟算法【GCMUB19】）。χ在应用概率中的核心重要性，加上X不符合泊松分布和漂移时的难处理性，导致了在本世纪最后25年对其近似值的大量研究【AGP95、BGK97、BGK99、DL11a、DL11b、Che11、DH 11、Der11、KKPvS11、FCKSS14、GX17、Iva18、BI20】。这些方法自然会产生χ的蒙特卡罗（MC）和多层蒙特卡罗（MLMC）算法。这些算法的误差在计算量上无一例外地实现了多项式衰减。出现以下自然问题：是否存在误差在成本中呈几何衰减的算法？简单而通用的算法SB Alg下面肯定地回答了这个问题。第1.1小节直观地介绍了该算法并描述了其主要特性，而第1.2小节将SB Alg与现有文献cited2020数学学科分类进行了比较。一回路：60G51、65C05。关键词和短语。上确界，Lévy过程，模拟，蒙特卡罗估计，几何收敛，多级蒙特卡罗。本段开头的L'EVY极值模拟。（另请参见YouTube演示文稿[GCMUB21]，了解论文概述。）1.1. 捐款本论文有两个主要贡献：（I）方程（1.2）中给出的χ的新断棒近似（SBA），并通过下面的算法SB Alg进行采样，以及其误差规律的明确表征（见下面的定理1）；（二） 应用概率中感兴趣函数的模拟退火算法分析。

贡献（II）如下文第2节所述，包括强误差的几何衰减和基于SB Alg的THEM C估计的中心极限定理，用于应用中产生的各类χ函数（如locallyLipschitz和barrier类型）。此外，第2节发展了MLMC和theSBA的无偏扩展，两者都具有最佳的计算复杂度。在本小节中，我们描述了贡献（I）。SBA基于三重态χ的断棒表示，源自【PUB12】中给出的Lévy过程凹主律的描述。更准确地说，χ的断棒表示表示表示以下a.s.等式保持（1.1）χ=（XT，XT，τT）=∞Xk=1YLk公司-1.- YLk，（YLk-1.- YLk）+，lk·{YLk-1.-YLk>0},其中，Lévy过程Y与X具有相同的定律，且与断棒过程无关，l = (ln） n个∈非[0，T]，基于统一定律U（0，1），即L=T，ln=VnLn-1和Ln=Ln-1.-l为n∈ N其中（Vn）N∈Nis a U（0，1）-iid序列，见图1.1。（在（1.1）和整篇文章中，对于任何x，我们表示x+=max{x，0}）∈ R、 ）联轴器（X，l, Y）满足以下第4.1小节中几乎确定的等式（1.1）。请注意，它特别满足YT=XTa。s、 L=TLLLLllll图1.1：。图中显示了断棒过程中的前n=4根棒。（1.1）中Y的增量在间隔【Lk，Lk】上取值-1] 长度lk

重要的是，定理1（1.4）中向量（YLn，YLn，τLn（Y））中的时间Ln在n中是指数小的，与Y无关。鉴于（1.1）中的表示，SBA定义如下：χn=nXk=1YLk公司-1.- YLk，（YLk-1.- YLk）+，lk·{YLk-1.-YLk>0}+YLn，Y+Ln，Ln·{YLn>0}.（1.2）由于残余集水坑∞k=n+1YLk公司-1.- YLk公司对于任意n等于yl∈ N、 χN的第一个分量包括χ的第一个分量，而我们将在下面的定理1 b中看到，Y+Ln和Ln·{YLn>0}减少了（1.2）中相应部分和的误差。联轴器（X，l, Y）可以比较χ和非同一概率空间的χ，并分析强误差χ- χn.用F（t，x）=P（Xt）表示x的分布≤ x） ，其中x∈ R和t>0。然后，根据SBAχnis定律给出了一个精确模拟的算法，如下所示：L'EVY极值3SB AlgRequire的模拟：n∈ N、 固定时间范围T>01：设置∧=T，X=（0，0，0）2：对于k=1，n do3：样品νk~ U（0，1）和putλk=Дk∧k-1和∧k=∧k-1.- λk4：样本ξk~ F（λk，·）并将Xk=Xk-1+（ξk，ξ+k，λk·{ξk>0}）5：结束6：样品n~ F（λn，·）和返回Xn+（n，+n，λn·{n>0}）SB Alg使用总共n+1个采样步骤，清楚地输出了一个与χnin（1.2）具有相同规律的随机向量。定理1和下面的第2节表明，随着n的增长，χnin（1.2）是一个越来越精确的近似值。这是因为（4.1）中定义的χn之和与按尺寸偏差顺序（见下文第4.1小节）取的第一项相一致，使得剩余项非常小。从定理1可以清楚地看出，SB Alg中的最后一步进一步减小了误差。如果我们可以在恒定时间内对X的任何增量进行采样，则该算法的计算成本与n成正比。Westerss强调SB Alg不是随机游走近似的一个版本（见等式（2）。

2） （见下文）在随机网格上，因为它不需要计算X离散化的eit her max或arg max。相反，通过对非负枚举数求和，可以获得上确界及其时间的近似值，从而使SB Alg在数值上非常稳定。SB Alg的收敛性分析依赖于以下结果，该结果明确描述了其误差规律。在整篇论文中，将使用以下表述定理1所需的符号：对于右连续f函数：[0，∞) → 对于左手极限，我们表示byft=sup{fs:s∈ [0，t]}区间[0，t]上的上确界，由τt（f）=inf{s∈ [0，t]：fs=ft}首次达到最高FTI。定理1。假设Lévy过程X i不是带漂移和let（X，l, Y）是以下第4.1小节中建造的符合（1.1）要求的联轴器。对于任意n∈ N、 通过χ确定SBA的误差向量- χn=0, SBn，δSBn= (0, n- Y+Ln，δn- Ln·{YLn>0}），其中n=XT-nXk=1（YLk-1.- YLk）+和δn=τT-nXk=1lk·{YLk-1.-YLk>0}。（1.3）然后，根据Ln，（YLn，n、 δn）d=YLn，YLn，τLnY, 因此SBn，δSBnd=YLn公司- Y+Ln，τLnY- Ln·{YLn>0}.（1.4）此外，不等式0≤ SBn+1≤ SBn公司≤ n、 0个≤ δn≤ Lnand |δSBn |≤ Lnhold a.s.误差定律的非渐近（即固定n）明确描述，如定理1中的（1.4），在路径的上确界和相关函数的模拟算法中并不常见。由于ln和Y是独立的，所以（1.4）中的表示很容易使用，并为第2节的结果提供了基础。注意，根据定理1，s等式(SBn）n∈N(n） n个∈Nand（δn）n∈Nare几乎肯定是不递增的，并且收敛到0。此外，以下基于定理1的L'EVY极值4观测模拟激发了SB Alg的最后一步（即。

（1.2）定义中包含的最后一个总和：（I）错误的尾部SBN可能比n（asXt-X+t=最小值{Xt，Xt-Xt}和Xt-Xtd=sups∈[0，t](-Xs）对于所有t>0的情况【96年2月，第VI.3款】；（二） 对于一大类Lévy过程，δSBn自动集中在0，即[δSBn/Ln]→ 0作为n→ ∞, 而δn/Ln收敛到一个严格的正常数（详见下面的命题4）。定理1在第4.2小节中得到了验证。因为ELn=T 2-nand LN与Y无关，SB Alg的收敛是几何的（参见第2节）。事实上，错误(SBn，δSBn），满足以下弱极限。推论1。If弱收敛Xt/a（t）d→ Z（正如t0）适用于某些（必然的）α-稳定过程Z和函数a，其必然是1/α-在零处有规律地变化，然后（1.5）YLna（Ln），na（Ln），SBna（Ln），δnLn，δSBnLnd→Z、 Z，Z- Z+，τ（Z），τ（Z）-{Z>0}作为n→ ∞.推论1中的假设实质上相当于X的Lévy测度的两个尾部在指数为零时有规律地变化-1/α（见[Iva18，Thm 2]）。这是一个相当薄弱的要求，通常由基于Lévy的应用概率模型来满足，它允许任意修改Lévy度量远离零（见[Iva18，第4节]中的讨论）。此外，指数α由（4.21）给出，函数a（t）通常为形式a（t）~ 对于某些常数C>0，Ct1/α。极限（1.5）内的标度是随机的；然而，由于ELn=T 2-n、 误差的衰减率明显是几何的。第4.2小节通过将定理1应用于X.1.2的小时间弱极限来证明推论1。与现有文献的联系。在本小节中，我们简要讨论了关于χ近似值的文献，并将其与SB Alg进行了比较。随机游走近似值（RWA）（在下面的（2.2）中定义）基于（XkT/n）k∈{1，…，n}，Lévy过程X的基尔顿。

这是一种广泛使用的用计算成本与离散化参数n成正比的方法来逼近χ。在布朗运动的情况下，在[AGP95]中研究了误差的渐近规律。文献[BGK97，BGK99]（分别为[DL11a，DL11b]）确定了指数Lévy模型下，当X是带漂移的布朗运动（分别为跳跃扩散）时，障碍和回望期权RWA的显性误差项。基于斯皮策恒等式，[Che11]发展了一般Lévy过程中误差衰减的界，扩展了[DL11a]的结果。BI20采用了[Iva18]中的思想，以获得一般Lévy过程和任何p>0的LPA中RWA误差收敛的更精确界。这些结果对于基于RWA的MC和MLMC方案的分析非常有用，对于某些参数模型的情况，请参见[GX17]。我们将在第2节中更详细地描述这些贡献，并将其与SB Alg的类似结果进行对比。利用维纳-霍普夫分解，KKPvS11引入了（XT，XT）的维纳-霍普夫近似（WHA）。该近似值由（XGn，XGn）给出，其中gni是n个独立指数随机变量与平均T/n之和，因此EGn=T与方差T/n之和。实施wha需要能够在独立指数时间对上确界进行采样，对于一类具有指数矩和任意路径变化的特定参数Lévy过程，这只是一个近似值[KKPvS11]。WHA的计算成本与n成正比。偏差的衰减和WHA的MLMC版本稍后在【FCKS14】中进行了研究。正如L'EVY EXTREMA 5in的观测模拟[GX17，第1节]，WHA目前不能直接应用于实践中使用的各种参数模型，这些模型具有可以精确模拟的增量（例如。

方差伽马过程）。在[Der11，DH11]中引入了跳跃适应的G aussian近似（JAGA），以近似Lévy驱动的随机微分方程的上确界范数下的Elipschitz函数，该方程具有Lipschitz系数。该算法基于骨架{Xtk}nk=1的近似值，其中时间网格包括X的跳跃次数，其幅度大于某个截断水平κ，X的s malljump分量由附加的布朗运动近似。通常，JAGA的成本和偏差与n+κ成正比-β和（n-1/2+n1/4κ）√log n，其中β是Blumenthal-Getoor指数，见（4.5）。在下面的第2.4小节中，将（XT，XT）的Lipschitz函数的MLMC版本的JAGA与SB Alg的复杂度进行比较。与SBA的定理1相比，本小节中讨论的所有其他算法的误差定律都是难以解决的。SBAχnin（1.2）的误差在Lp中呈几何衰减（见下面的定理2），而其他算法则呈多项式衰减（见下面的2.1.1小节）。应用于局部Lipschitz和势垒型函数的SBA的Lpof误差在应用中也会发生几何衰减（见下面的命题2和命题3）。据我们所知，除了RWA（具有多项式衰减）之外，还没有针对其他算法分析此类错误（详情请参见第2.2.1小节）。偏差衰减率与MC和MLMC估计的计算复杂性直接相关。事实上，如果均方误差最大>0，则基于SBA的theMC算法（接近最优）复杂度为O阶（-2log）（O的定义见下文附录A.1）。

基于SB Alg的MLMC s方案具有（最优）orderO（）复杂度-2） ，通常情况下，RWA【GX17】和WHA【FCKS14】都不是这种情况（见第2.4.1小节中的详细信息）。1.3. 或八角化。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们将theSBA理论发展为蒙特卡罗算法。对于上述第1.2小节中讨论的算法，将每个结果与其模拟结果（如果存在）进行比较。在第3节中，我们提供了一个数值例子来说明SB Alg的性能。第1节和第2节的结果证明见第4.2节。SBA蒙特卡罗：理论与应用本节描述了SB Alg的几何收敛性，并分析了应用概率中感兴趣函数的蒙特卡罗估计。在第2.1小节中，我们确定了Lp中误差的几何尺寸。在第2.2小节中，我们表明，应用于上述函数的SB的Lp误差（以及由此产生的偏差）也在几何上衰减。在2.3小节中，我们通过中心极限理论研究了基于SB Alg的MC估计对这些函数的期望值的误差，并提供了相应的渐近和非渐近置信区间。第2.4小节提高了基于SB Alg的MC和MLMC估计量的计算复杂性。第2.5小节描述了无偏估计量。2.1. SBA误差Lpof中的几何衰减。在本小节中，我们研究误差的衰减(SBAχngiven in（1.3）的SBn，δSBn）。设（σ，ν，b）为x的生成三元组，与截夫函数x 7相关→{| x |<1}（见[Sat13，第2章，定义8.2]）。