投资组合优化与风险分析中解的唯一性

(1992).3资本分配和风险分担的应用（Ω，∑，P）是一个概率s步，其中Ω表示未来状态的指定空间ω, ∑是一个σ-Ω中的集合代数，P是（Ω，∑）上的概率测度。随机变量（r.v.）是从Ω到r.Let的任何可测函数L（Ω）是Ω上所有随机变量的向量空间，且V 是的子空间L(Ω).3.1资本分配Let r.v。Y ∈ V r代表一些港口对账单的（随机）利润，包括m 子投资组合，即，Y =mi=1.Xi. Le t公司ρ : V → R是这样一个函数ρ (X) 表示与任何X ∈ V. 资本配置问题就是风险资本的分配问题ρ(Y)在子投资组合中，t h at is，分配给子投资组合i 其风险贡献ki因此mi=1.ki= ρ(Y).资本分配问题的一个解决方案是分配给每个子港口对账单i 风险贡献（3.19）ki= lim公司h→0ρ(Y + hXi) - ρ(Y)h,如果存在极限。（3.19）的右侧称为的Gateaux导数ρ在Y 在方向上Xi. 如果ρ Fréchet在Y, 那么Gateaux导数在Xi, 和mi=1.ki= lim公司h→0ρ(Y + hmi=1.Xi) - ρ(Y)h= lim公司h→0ρ(Y + hY) - ρ(Y)h.因此，我们有mi=1.ki= ρ(Y) 如果风险度量ρ 满足以下特性：(ρ1） （正同质性）：ρ(λX) = λρ(X) 对于所有人λ ≥ 0和X ∈ V.在这种情况下，（3.19）中定义的风险贡献称为欧拉贡献，相应的分配方法称为欧拉原理或梯度原理。在Bauer和Zanjani（2013）的研究中，不同的作者从不同的角度研究了资本分配问题，但如果我们忽略符号和表示上的差异，其中许多人最终会采用相同的分配方法——Euler原则。

许多作者，包括Denault（2001）、Kalkbrener（2005）和Tasche（2007）提出了一组公理分析方法应该满足，然后推断，如果存在满足公理的分配方法，它是唯一的，事实上符合Euler原理。例如，Kalkbrener（2005）假设风险贡献ki应仅依赖于Xi和Y, 但不是关于Y - Xi在众多子投资组合中。在这种情况下，资本分配是一个函数∧ρ: V × V → R使得∧ρ(Y, Y) = ρ(Y),  Y ∈ V.Kalkbrener（2005）还假设∧ρ应满足以下特性（i）X → Λρ(X , Y) 是一个线性函数；（ii）∧ρ(X , Y) ≤ ρ (X) 对于所有人X , Y ∈ V, 和（iii）∧ρ(X , Y) 在中连续Y, 在某种意义上，limε→0Λρ(X , Y + εX) = Λρ(X , Y) 对于所有人X ∈ V.条件（i）保证mi=1.ki= ρ(Y), 哪里ki= Λρ(Xi, Y). 条件（ii）称为衍生：单一资产的贡献永远不会超过总风险。条件（iii）保证Y 不能显著改变风险贡献。有关这些公理的进一步讨论和论证，请参见Kalkbrener（2005）。Kalkbrener（2005）的m 4.2理论表明，对于资本分配∧ρ为了满足（i）和（ii），风险度量ρ 必须满足(ρ1） 以及(ρ2） （次可加性）：ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y) 对于所有人X, Y ∈ V.Kalkbrener（2005）中的定理4.3保证了对于任何正齐次和次加性ρ, a资本分配∧ρ满足（i）-（iii）当且仅当ρ 可在以下位置进行区分：Y, 在这种情况下，它是唯一的，由（3.19）给出。条件(ρ1） 以及(ρ2） 共同确保ρ 是凸的，因此全局Lipschitz连续。因此，它几乎在世界各地都是不同的V.

基于此，人们可能希望Euler原理（3.19）适用于所有实际重要的场合，而失效的（measurezero）情况只有理论意义，没有实际价值。然而，Grechuk（2015）中的示例3表明，如果初始投资组合Y 不是“武断的”，而是风险最小化政策的结果，可能会发生以下情况Y 是“强制”到精确的（测量零）设置，其中ρ 不可区分。因此，确定一个对所有人都有效的独特资本分配方案的问题Y 不仅具有理论意义，而且具有实践意义。为了至少部分地解决这个问题，Cherny和Orlov（2011）通过法律不变性的性质，即∧，重新放置了连续性属性y（iii）ρ(X , Y) 只应遵守X 和Y. 他们证明，满足（i）、（ii）的资本配置及其新公理对于一类他们称之为加权VaR的风险度量是唯一的。然而，对于这类风险度量之外的风险度量，这种资本配置可能不存在或不唯一。Grechuk（2015）提出了一种将Euler原理扩展为任意风险度量的方法(ρ1） 以及(ρ2） 和武断Xi和Y, 但该结构涉及序数和反式归纳，因此通常是不切实际的。此外，它缺乏公理化基础。现在，我们将展示如何使用第2节中开发的技术来开发一个定义独特资本分配方案的系统mof自然公理。我们假设这个空间V 为有限尺寸，并用R标识n对一些人来说n. 这一假设（至少）适用于两种重要的特殊情况。第一种情况是基本概率空间（Ω，∑，P）是有限的。在许多应用中，潜在分布是未知的，并根据历史数据的有限样本进行估计。

在这些情况下，在有限概率空间上定义的离散随机变量可能是合适的模型。如果Ω=(ω, . . . , ωn) 最后，在随机变量之间有一个明显的区别X : Ω → R和向量u = (u, . . . , un) ∈ Rn: 允许u(X) = (X(ω), . . . , X(ωn)) 是由以下所有值组成的向量X. 相反，对于u ∈ Rn标志Xu随机变量，使得Xu(ωi) = ui, i = 1.n. 风险度量ρ 然后可以作为函数处理r : Rn→ 定义人r(u) = ρ(Xu).第二种情况是概率空间（Ω，∑，P）是任意的，并且V 是所有随机变量的空间X 可在表格中陈述X =ni=1.uiXi, 哪里Xi表示子投资组合，以及u = u(X) = (u, . . . , un) 是实系数s的向量。在这种情况下，我们可以定义函数r : Rn→ R组件r(u) = ρni=1.uiXi,而规则贡献（3.19）可等效为（3.20）ki=rui（1，…，1），前提是r(u) 在（1，…，1）处可区分。包括Denault（2001）和Tasche（2007）在内的许多作者都考虑过这种设置。现在，我们建议将Kalkbrener（2005）的连续性属性（iii）放宽到较弱的版本（iv）Y → Λρ(X , Y) 上的Lebesgue连续函数V,其中，定义2.4中定义了L ebesgue连续性。然后我们得到以下结果。定理3.1。允许ρ 是一个满足（ρ1） 以及(ρ2). 然后，存在一个满足性质（i）、（ii）和（iv）的唯一资本分配方案。该方案由（3.21）∧给出*ρ(X , Y) = Gu(Y)(r) · u(X),哪里Gu(Y)(r) 是的扩展梯度r 在u(Y) 定义于（2.7）-（2.8）和·在Rn. 因此，风险贡献为（3.22）ki= Λ*ρXi,Xi= Gu(Xi)(r) · u(Xi).证据Let∧ρ(X , Y) 是满足（i）、（ii）和（iv）的资本分配方案。通过线性（i），我们得到∧ρ(X , Y) = fr(Y) · u(X),对于某些向量fr(Y) ∈ Rn这取决于r 和Y.

如果r 可在以下位置进行区分：u(Y) 带渐变r(u(Y)), 然后，根据Kalkbrener（2005）中的定理4.3，∧ρ(X , Y) = lim公司h→0ρ(Y + hX) - ρ(Y)h= lim公司h→0r(u(Y) + hu(X)) - r(u(Y))h= r(u(Y)) · u(X) = Gu(Y)(r) · u(X) = Λ*ρ(X , Y).通过Lebesgue连续性（iv），等式∧ρ(X , Y) = Λ*ρ(X , Y) ex适用于所有人Y ∈ V. 在这一节的结尾，我们讲几句关于财产的话（四）。线性（i）表示∧ρ(X , Y) 在中连续X, 这意味着子订单或tfolio的变化很小Xi影响有限ki= Λρ(Xi, Y), 在总投资组合中提供Y 是固定的。还需要连续性Y （p r property（iii）），这意味着Y 对其子投资组合的风险资本也有有限的影响。然而，满足（i）、（ii）和（iii）的资本配置可能不存在。（iii）的失败意味着我们可能有∧ρ(Xi, Y + Z) 与∧显著不同ρ(Xi, Y) 即使Z 是一个很小的波动。想象一个（有点极端的）情景Z, 我们会有∧ρ(Xi, Y + Z) ≥ a > b > Λρ(Xi, Y) 对一些人来说a > b. 这种分配方案看起来奇怪且不公平：如果子投资组合的风险贡献i 至少是a 对于Y, 为什么不到b 在Y? 在这种情况下，直觉是ki= Λρ(Xi, Y) 是“不公平的比赛”。属性（iv）是连续性（iii）的自然松弛，排除了这种情况和类似情况。它保证∧ρ(X , Y) 等于∧的平均值ρ(X , Z) 什么时候Z 在具有中心的小球中获取值Y. 因此ki= Λρ(Xi, Y) 不是“不公平的小”也不是“不公平的大”，而是恰到好处的。3.2风险分担资本分配问题出现在不同的情况下，例如，在使用现金不变风险度量进行风险分担的情况下。

当然，我们对资本配置问题的解决方案也自动意味着这个问题的解决方案。我们没有回顾关于风险分担的现有文献，而是让读者阅读Surveyase（2002），然后继续问题的表述。假设有m 代理，indexedbyI = {1, 2, . . . , m}. 每个代理i ∈ I 拥有初始捐赠Yi∈ V, 以及相关的风险度量ρi: V → R、 代理人的目标是重新分配全部捐赠Y =mi=1.Yi在这些精灵中减少他们的风险。代理人i ∈ I 接收部件Xi∈ V 总捐赠的mi=1.Xi= Y; 向量X=（X, X, . . . , Xm) 被称为风险分配。如果没有风险分配Z=（）Z, Z, . . . , Zm) 具有ρi(Zi) ≤ ρi(Xi), i ∈ I, 至少有一个不等式是严格的。如果向量Y=(Y, Y, . . . , Ym)在所有初始捐赠中，不是帕累托最优的，所有代理都可以切换到帕累托最优。然而，通常有许多帕累托最优配置，那么如何在其中选择一个“公平”的呢？If风险措施ρi是现金不变的，也就是说，ρi(X + C) = ρi(X) - C 对于每个X ∈ V andevery常数C, 那么风险分配X=(X, X, . . . , Xm) 帕累托最优当且仅当其最小化总风险mi=1.ρi(Xi) 所有可能的风险分配。此外，如果所有ρi面积也是正均一和次加性的，那么函数也是正均一和次加性的（3.23）ρ*(Y) = infX：mi=1.Xi=Ymi=1.ρi(Xi),绘制捐赠总额图Y 相应的总风险。在这种情况下，如果风险分配X=(X, X, . . . , Xm) 是帕累托最优的，则所有分配X′=(X+ C, X+C, . . . , Xm+ Cm), 哪里Ci常数是这样的mi=1.Ci= 0，也是帕累托最优的。此外，很容易看出，事实上，所有帕累托最优分配，直到e q UIValue3，都可以通过这种方式获得。

因此，从帕累托最优分配集合中选择“公平”分配的问题简化为常数的“公平”选择Ci.现在，每个代理i 从初始捐赠开始Yi最终获得最终捐赠Xi. 因此，代理人承担的额外风险为Xi- Yi. 风险代理人同意承担的风险越多，风险回报率越高Ci她应该得到。因此，决策问题Ci这就是确定风险贡献的问题Xi- Yi到Y, 总风险度量为ρ*. 如果，与前一节类似，我们假设Ci应仅取决于Xi- Yi和Y, 写Ci= Λρ*(Xi- Yi, Y), 假设性质（i）、（ii）和（iv），然后是常数Ci由定理3.1唯一确定。具体而言，Ci= Λ*ρ*(Xi- Yi, Y), i = 1.m,其中∧*定义见（3.21）。4平均偏差投资组合优化4.1有限生成偏差度量假设概率空间Ω是有限的N = |Ω|和P(ω) > 0表示任何ω ∈ Ω. 如果P[ω] = · · · = P[ωN] =N.允许R(i), i = 1.n, 是表示金融工具回报率的随机变量。我们假设还存在一种无风险的工具，其回报率为常数R(0)=: r. 继Rockafellar等人（2006b）之后，我们还假设（M）任何港口对账单X =ni=1.xiR(i)是任何非零的非常数随机变量x = (x, . . . , xn) ∈ Rn.3分配X=(X, . . . , Xm) 和Z=(Z, . . . , Zm) 如果ρi(Xi) = ρi(Zi) 对于所有人i = 1.mRockafellar等人。

（2006b）将投资组合优化问题表述为（4.24）min(x,x,...,xn)Dni=0xiR(i), s、 t。ni=0xi= 1.ni=0xiE[R(i)] ≥ r+ Δ，其中Δ>0和D 是一般偏差度量，即函数D : L(Ω) → [0; ∞]满意：（D1）D(X) = 0表示常量X, 但是D(X) > 否则为0（非负），（D2）D(λX) = λD(X) 对于所有人X 以及所有λ > 0（正均一性），（D3）D(X + Y) ≤ D(X) + D(Y) 对于所有人X 和Y （次加性），（D4）se t{X ∈ L(Ω)D(X) ≤ C} 全部关闭C < ∞ （下半连续性）。中心收益率^R(i)= R(i)-E[R(i)], i = 1.n, 和μi= E[R(i)]-r, i = 1.n,问题（4.24）可重新表述为（4.25）minx∈ RnD(^RTx), s、 t。μTx ≥ Δ，式中^R = (^R(1), . . . ,^R(n))T, x = (x, . . . , xn)T, 和μ = (μ, . . . , μn)T. 我们选择了使用一个方向符号D 表明风险度量的这种特殊选择ρ 在（1.1）中，这将是纸张其余部分的默认设置。Rockafellar等人（2006a，定理1），每个偏差度量D 可在表格（4.26）中表示D(X) = EX + s向上Q∈QE[-XQ],哪里Q  L（Ω）称为风险包线，可从D 根据（4.27）Q =Q ∈ L(Ω)E[X(1 - Q)] ≤ D(X) X ∈ L(Ω).此外Q 在中是闭合的和凸的L(Ω). 元素Q ∈ Q （4.26）中的supr emum被称为X. 所有风险识别器的集合X 表示为Q(X).偏差度量D 是有限的，也就是说，D(X) < ∞,  X 当且仅当Q 在这种情况下，Q(X) 对于每个X ∈ L（Ω），以及，由于Q 和线性Q → E[-XQ], 每套Q(X) 必须包含至少一个Q. 前，辅助Q∈QE[-XQ] = 最大值Q∈QeE[-XQ], 哪里Qe是Q. 实际上，有界闭凸Q 是的闭凸包Qe,参见菲尔普斯（1974）4中的定理2。

对于本文来说，特别重要的是这些风险度量的集合Qe定义：定义4.1。有限偏差度量D 如果集合Qe的所有极端点Q 是有限的。我们将此集合的元素称为极端风险生成器。4因为L（Ω）是一个反射B anach空间，它具有Radon-Nikodym性质，Phelps（1974）中的定理2适用。换句话说，D 当且仅当Q 是有限个点的凸包。示例1。对于标准偏差，σ(X) = ||X - E[X]||, Rockafellar等人给出了风险范围。（2006b，示例1）Q =QE[Q] = 1.σ(Q) ≤ 1.,以及，对于N > 2，有很多极端点，因此σ 未明确生成。示例2。对于平均绝对偏差，MAD(X) = E[|X - E[ X]|], 风险范围由Rockafellar等人给出。（2006b，示例2）Q =QE[Q] = 1，supQ - inf公司Q ≤ 2.,这是R中的凸多边形N具有有限数量的顶点。因此，MAD最终生成。事实上，极端点Qe可以显式编写为Qe=Q = 1 + E[Z] - ZS  {1, 2, . . . , N} : Zi= 1.i ∈ S; Zi= -1.i  S,对于Ω简单上的均匀概率Qe=x ∈ RNS  { 1, 2, . . . , N} : xi=2|S|N- 1.i ∈ S; xi=2|S|N+ 1.i  S,其中子集S 取n为空且正确。因此|Qe| = 2.N- 2.示例3。对于CVaR偏差（4.28），CVaRΔα(X) ≡ E[X] -ααqX(β) dβ,Rockafellar等人给出了风险范围。（2006b，示例4）Qα=QE[Q] = 1, 0 ≤ Q ≤ α-1..约束的线性意味着CVaRΔα完全生成。特别是，如果概率在Ω和α =kN对于某些整数1≤ k < N, 极值点Qe是Qe=x ∈ RNS  { 1, 2, . . . , N} : |S| = k, xi=Nk, i ∈ S; xi= 0, i  S.这意味着|Qe| =N!k!(N-k)!. 引理4.2。允许D, D, . . . , Dm完全生成的偏差度量。

然后泛函（a）D(X) =mi=1.λiDi(X), 具有λi> 0, i = 1.m;（b）D(X) = 最大值{D(X), . . . , Dm(X)}还包括完全生成的偏差度量。证据Rockafellar等人（2006a，Propo position 4）以及IfsetQ, Q, . . . , Qm都是有限个点的凸包，那么集合也是：λQ+ · · · + λmQm; 的凸包Q∪ · · ·∪ Qm; 以及{Q | Q = (1-λ) +λQi对一些人来说Qi∈Qi}, λ > 0, i = 1.m. 示例4。混合CVaR偏差（4.29）CVaRΔλ(X) =CVaRΔα(X) λ(dα),哪里λ 是（0，1）上的概率度量，也是完整生成的。事实上，由于概率空间是有限的，混合CVaR偏差（4.29）可以写成VaR偏差的有限混合VaRΔλ(X) =mi=1.λiCVaRΔαi(X),哪里αi∈ (0, 1), λi> 0, i = 1.m, 和mi=1.λi= 1，这是由于示例3和引理4.2（a）而产生的一个完整的偏差度量。4.2最优投资组合和主动por tfolio风险生成器我们做出以下长期假设：（A）偏差度量D 完全生成。（B） Δ>0和μ ≠ 后一种假设意味着（4.25）最优解的以下性质。引理4.3。（4.25）中的最优目标值为正，而约束约束具有约束力的最优目标值为d：μTx = Δ.证据根据Rockafellar等人（2006b）的定理1，存在一个最优解x*. 根据假设（B），x = 0不满足预期返回的约束，因此x*≠ 0、根据假设（M），我们得出如下结论：RTx*是随机的，因此D(^RTx*) > 0.对于语句的第二部分，请使用μTx*> Δ. 因此，有η < 1以便μT(ηx*) ≥ Δ我们有D(^RT(ηx*)) = ηD(^RTx*) < D(^RTx*), 矛盾。