投资组合优化与风险分析中解的唯一性

下面的定理2.2指出，令人惊讶的是，这些自然属性对于G.方向导数φf ,Y(X) 可在表格（2.3）中表示φf ,Y(X) = 啜饮Q∈ f (Y)QTX见Rockafellar（1970年，Th eorem 23.4），其中 f (Y) 被称为f 在Y, 并被定义为所有Q ∈ Rn因此f (X) ≥ f (Y) + QT(X - Y), X ∈ Rn. 设置 f (Y) isalways非空、凸和紧，参见Rockafellar（1970，定理23.4）。允许K 是R的所有非空凸紧子集的族n.具有f= f= · · · = fm= · · · = g, 属性（G3）意味着GY( f ) = GY(g) 无论何时φf ,Y(X) = φg,Y(X) 对于所有人X ∈ Rn. 同等地，GY( f ) = GY(g) 无论何时 f (Y) = g(Y).因此GY( f ) 可表示为（2.4）GY( f ) = S( f (Y)),哪里S 是每一组的地图K ∈ K 向量S(K) ∈ Rn.特性（G1）-（G4）GY( f ) 可以等效地写入地图的属性S. Forany公司K, K Rn, 集合K+ K= {Q+ Q| Q∈ K, Q∈ K} 被称为（Minkowski）sumofK和K. Rockafellar（1970）中的定理23.8暗示(( f + g)(Y)) =  f (Y) + g(Y)对于所有人f , g ∈ F 以及所有Y ∈ Rn. 因此，特性（G1）等效于（S1）S(K+ K) = S(K) + S(K) 对于所有人K∈ K , K∈ K.属性（G4）等效于S({Q}) = Q. 将其代入（S1），我们得到S(K + Q) =S(K) + Q. 换句话说，如果K 由向量转换Q ∈ Rn, S(K) 被相同的向量转换。允许A, f , 和g 如（G2）所述。Rockafellar（1970）中的定理23.9暗示(g(Y)) = A-1. f (AY). 因此，属性（G2）等效于S(AK) = AS(K), K ∈ K . 这意味着S(AK + Q) = AS(K) + Q 对于所有人Q ∈ Rn, 或者，等效地，（S2）S(TK) = TS(K) 对于所有人K ∈ K 以及所有转换T : Rn→ Rn在表单中T(X) = AX + Q, 哪里A 是旋转矩阵，并且Q ∈ Rn.

这样的转换T 称为刚体运动。对于每个非空闭凸集K 在R中n, 其支持功能由fK(X) =sup公司{QTX, | Q ∈ K}. 尤其是，（2.3）意味着方向导数φf ,Y(X) 是次微分的支持函数 f (Y). 对于集合K, K, K, . . . 在里面K, 推论P4的组合。Salinetti和Wets（1979）中的A和推论3A表明Km支持的功能K 等于tolimm→∞h(Km, K) = 0，其中h 表示集合之间的Hausdorff距离1。这意味着对财产（G3）进行以下重新表述。引理2.1。允许S : K → Rn, 然后让GY由（2.4）给出。然后GY满意度（G3）当且仅当S满意度（S3）图S 对于Hausdor ff度量是连续的。就是limm→∞S(Km) = S(K)无论何时设置K, K, K, . . . ∈ K 是这样的limm→∞h(Km, K) = 0.证明。首先，假设（S3）ho lds，Y ∈ Rn, f ∈ F , 和fm是（G3）中的一系列函数。允许K =  f (Y), Km=  fm(Y). 然后φf ,Y(X) 和φfm,Y(X) 是的支持功能K 和Km, 分别和条件limm→∞φfm,Y(X) = φf ,Y(X) 意味着limm→∞h(Km, K) = 0。然后，通过（S3），limm→∞S(Km) = S(K), 根据（2.4）将其转换为limm→∞GY( fm) = GY( f )并证明（G3）。1豪斯道夫距离h(K, L) 在任何子集之间K 和L 共Rn定义为h(K, L) =最大{supX∈Kinf公司Y∈Ld(X, Y), 啜饮Y∈Linf公司X∈Kd(X, Y)}, 哪里d(., .) 在通常的欧几里德距离i n R中n.相反，假设（G3）保持并让K, K, K, . . . ∈ K 在lim是这样的m→∞h(Km, K) =0.L etf, f, f, . . . 是这些集合的支持功能。然后limm→∞fm= f点式。因为每个fm是正齐次的，其方向导数为Y = 0是φm(X) = lim公司ε→0+fm(0 + εX) - fm(0)ε= fm(X).因此，limm→∞φm= φ点方向，和（G3）带Y = 0表示limm→∞G( fm) =G( f ).

对于（2.4），这将转换为limm→∞S(Km) = S(K) 并证明（S3）。总之，GY( f ) 满足性属性（G1）-（G4）如果可以用形式（2.4）表示，并且可以用地图表示S : K → Rn满足（S1）-（S3）。然而，Schneider（1971）中的T h eorem 1指出，T h在任何维度n ≥ 2、有一张独特的地图S 满足（S1）-（S3），由（2.5）给出S(K) =n|Sn-1|Sn-1.X fK(X)dX,哪里Sn-1= {X ∈ Rn| ||X || = 1}表示R中的单位球面n, |Sn-1 |是其表面积，以及fK(X) 是的支持功能K. S(K) 被称为集合的斯坦纳点K. 等效（见Den tcheva（1998）），（2.6）S(K) =|B|B fK(X)dX,哪里B= {X ∈ Rn| ||X || ≤ 1} 表示单位球， 是梯度，积分定义得很好，因为任何K ∈ K 几乎在任何地方都是不同的。如果K =  f (Y), 其支持功能是φf ,Y(X), 我们得到（2.7）GY( f ) = S( f (Y)) =|B|Bφf ,Y(X)dX.我们将在下面的定理m中总结上述讨论。定理2.2。在任何维度中n ≥ 2、延伸梯度GY( f ) 其唯一特征是性质（G1）-（G4），由（2.7）给出，其中φf ,Y(X) 定义见（2.2）。下一个定理提供了扩展梯度的另一个公式GY( f ).定理2.3。对于每个凸函数f : Rn→ R、 而且每Y ∈ Rn, 延伸梯度GY( f ) 由（2.8）给出GY( f ) = lim公司ε→0+|Bε(Y)|Bε(Y) f (X) 1{X∈D}dX,哪里Bε(Y) = {X ∈ Rn| ||X - Y|| ≤ ε} 球的中心是否在Y 带半径ε,  是（几乎在哪里定义）的梯度f , D = {X :  f (X) = { f (x)}} 并且保证存在限制。证据允许S  Sn-1be此类Z 即（a）Y + εZ ∈ D 几乎所有人ε,（b）φf ,Y(Z) 是单身汉。我们会证明S 属于σn-全尺寸，其中σn球面测量是否打开Sn-陈述（a）源于以下事实：D 有一个完整的Lebesgue measu r e。

对于（b），函数g(Z) := φf ,Y(Z) 是凸的，正齐次的（作为 f (Y)) 和φf ,Y(Z) = g(Z). Rockafellar（1970，定理25.5），g(Z) 几乎每个人都是单身Z ∈ Rn. 因为g 是正同质的，对于σn-几乎每个Z 在…上Sn-1，这完成了以下证明：S 是全方位的。我们有（2.9）|Bε(Y)|Bε(Y)( f (X) - φf ,Y(X - Y)) 1{X-Y||X-Y||∈S}dX=Sn-1{Z∈S}nεnε( f (Y + αZ) - φf ,Y(αZ))αn-1{Y+αZ∈D}dα σn(dZ).Rockafellar（1970，推论23.5.3）指出φf ,Y(Z)) = 参数最大值Q∈ f (Y)QTZ,i、 e.这些是 f (Y) 在那里Z 是正常的。上述公式还意味着（2.10）φf ,Y(Z) = φf ,Y(λZ) 对于λ > Rockafellar（1970年，定理24.6）提出Z ∈ S 我们有Limε→0+Y+εZ∈D f (Y + εZ) = φf ,Y(Z).自设置以来X∈B(Y) f (X) 由Rockafellar（1970，定理24.7）限定，支配收敛定理暗示了limitlimε→0+nεnε( f (Y + αZ) - φf ,Y(Z))αn-1{Y+αZ∈D}dα= lim公司ε→0+nεε( f (Y + αZ) - φf ,Y(Z))αn-1.εn-1{Y+αZ∈D}dα = 使用（2.10）和支配收敛定理，这进一步意味着ε→0+Sn-1{Z∈S}nεnε( f (Y + αZ) - φf ,Y(αZ))αn-1{Y+αZ∈D}dα σn(dZ) = 0、回顾（2.9）和S 属于σn-全面衡量，这将导致GY( f ) =|Bε(Y)|Bε(Y)φf ,Y(X - Y) 1{X-Y||X-Y||∈S}dX.再次调用（2.10），上面表达式的右侧等于|B(Y)|B(Y)φf ,Y(X - Y) 1{X-Y||X-Y||∈S}dX =|B|Bφf ,Y(X)1{X||X | |∈S}dX.这就完成了（2.7）中的证明B{X||X | |∈S}dX = 0定理2.3 g对GY( f ): 平均坡度为f 在以Y 当球的半径变为0时。而定理2.2适用于量纲n ≥ 2、公式（2.7）-（2.8）定义的扩展梯度在尺寸上定义良好n = 1以及。

对于凸函数f : R→ R、 而且每y ∈ RGy( f ) 在（2.7）-（2.8）中，给出了Gy( f ) =f′+(y) + f′-(y),哪里f′+(y) 和f′-(y) 是的右导数和左导数f 在y, 分别地因为任何集合的Steiner点K ∈ K 属于K, （2.7）意味着GY( f ) ∈  f (Y),或者，换句话说，扩展梯度总是属于次微分集。特别地，GY( f ) =  f (Y), 当后者存在时。这正是扩展梯度的名称GY( f ).2.2讨论让我们从不同的角度讨论趋势梯度（2.7）-（2.8）。Be cause everyconvex函数f : Rn→ R几乎是可微分的。然而，我们的首要问题是取函数g(Y) =  f (Y), 几乎在所有地方都进行了定义，并在剩下的几点中以某种“规范的方式”进行了定义。定义函数最明显的方法g 在某一点上Y 是“通过连续性”：如果g 未定义于Y 但极限（2.11）limX→Yg(X)存在，我们可以定义g(Y) := lim公司X→Yg(X), 生成函数g 连续atY.为了明确限制（2.11），我们需要g 在某个街区的所有点（与几乎所有点相反）进行定义Y. 例如，如果g 在使用有理坐标的所有点未定义的情况下，并非所有点的极限（2.11）都定义得很好Y. 对于几乎处处定义的函数，可以使用近似连续性的概念来代替连续性。

可测量的函数g : E → Rm定义日期E  Rn称为近似连续Y 如果有可测量的集合F  E 密度为1的Y 并且（2.12）g(Y) = lim公司X∈F,X→Yg(X).（2.12）右侧的限制可能存在，即使g 在未定义的某些度量值0中，在Y.如果g 本质上是在Y, 然后g 大约连续Y 当且仅当Y L ebesgue po int为g, 即，（2.13）limε→0+|Bε(Y)|Bε(Y)|g(X) - g(Y)|dX = 0，见Evans和Gariepy（2015）第1.7.2节。对于任何可积函数，Lebesgue微分定理的状态g : Rn→ Rm, 几乎每个Y ∈ Rn是Lebesgue点g,见Evans和Gariepy（2015）第1.7.1节。尤其是，（2.13）意味着（2.14）g(Y) = lim公司ε→0+|Bε(Y)|Bε(Y)g(X) dX这推动了以下定义2.4。我们说这个函数g : Rn→ RmLebesgue连续Y ∈ Rn如果限值（2.15）limε→0+|Bε(Y)|Bε(Y)g(X)dX存在且等于g(Y).如果g 持续时间为Y, 那么它在Y, Y 是Lebesguepoint的g, 反过来，g Lebesgu e是否连续Y. Lebesgue连续性Y,然而，这并不意味着Y 是一个L ebesgue点。例如，t aken = m = 1和功能g( x) = s标志(x) （即，g(x) = 1.g(x) = 0和g(x) = -1用于x > 0, x = 0，和x < 分别为0）。T h eng 在0处不是连续的，不是近似连续的，并且0不是的aLebesgue点g, 因为利姆ε→0+2εε-ε|g(X) - g(0)|dX = 1.≠ 0.然而，g Lebesgue是否在0处连续，因为ε→0+2εε-εg(X)dX = 0 = g(0).勒贝格连续性也有以下概率解释。我们“测量”的数量Y 随机误差εZ, w h此处Z 在一个单位球中均匀分布。则限值（2.15）为limε→0+E[g(Y + εZ)], 哪里E[·]表示期望值。

因此g isLebesgue连续atY 当且仅当g(Y + εZ) 收敛到g(Y)当震级ε o f（旋转不变）错误εZ 转到0。这使我们能够估计g(Y) 通过计算g 在表单的各个点Y + εZ, 取平均值。定理2.3暗示g(X) =  f (X) 具有f : Rn→ R凸面，极限（2.15）全部存在Y ∈ Rn. 因此，在不存在梯度的点上，通过ebesgue连续性确定梯度是非常必要的。这正是我们所做的。实际上，扩展梯度GY( f ), 视为功能Y 对于固定f , 是来自R的唯一映射n至Rn, 其中（i）与 f (Y)当后者存在时，以及（ii）对于所有Y ∈ Rn.将（2.8）的两侧乘以ZT对于任何Z ∈ Rn, 我们得到（2.16）ZTGY( f ) = lim公司ε→0+|Bε(Y)|Bε(Y)ZT f (X)dX = lim公司ε→0+|Bε(Y)|Bε(Y)φf ,X(Z)dX,也就是说，ZTGY( f ) 是的方向导数的平均值f 在方向上Z 在一个小球周围Y. 这一事实提供了GY( f ).接下来我们比较GY( f ) 利用文献中已有的广义导数概念。实际上，次微分集 f (Y) 其本身可以被视为一种广义的阿格拉度，在可微点上与之相吻合，但对于所有凸函数都有很好的定义f 在所有点上Y. 与GY( f ) 是吗 f (Y) 通常是2事实上的错误Z 可等效为正态分布，前提是E[|g(Y + εZ)|] 对某些人来说是有限的ε > 这源于多元标准正态分布的旋转不变性。集值。对于梯度的其他推广，如Clarke的广义梯度Clarke et al.（2008）或molli fied gradient Ermoliev et al.（2008）也是如此。

（1995）：这些梯度可能存在于一些非凸甚至不连续的函数中，但它们通常是集值函数。相反GY( f ) 是R中的单个向量n对于任何固定f 和Y.对于一些不可微函数，另一种广义导数是弱导数，它的定义是由部分公式的积分推动的。如果u ∈[a, b] → R是一个不一定可微分但已知可积的函数，那么它的弱导数就是一个可积函数v ∈ [a, b] → R等于bau(t)φ′(t)dt = -bav(t)φ(t)dt适用于所有完全不同的函数φ 这样吧φ(a) = φ(b) = 定义可以推广到更高的维度。弱导数已知是唯一的，即如果v和v都是u 然后v(x) = v(x) 几乎所有人x.然而，弱导数对确定u 在任何特定点y. 例如，让u(t) = |t| 在上[-1、1]和v(t) 是这样的v(t) = -1和v(t) = 1开[-分别为1，0）和（0，1）。T h env(t) 是的弱导数u(t) 对于任何值v(0).相反，公式（2.8）允许我们唯一地确定|t| 在t = 0必须为0。另一个广义导数是与近似连续性概念相关的近似导数（2.12）。可测量的函数g : E → Rm定义在一个可测量集上E  RnLebesgue密度为1时，称为近似可微分Y ∈ E 如果有可测量的集合F  E 密度为1的Y 因此g 仅限于F在Y. 许多重要的函数类，如有界变差函数，几乎在所有点上都是可区分的，见Evans和Gariepy（2015）中的定理6.4。

然而，没有已知的规范化方法来确定所有点的eapproximate导数，即使对于简单的函数，如u(t) = |t|.根据（2.4），定义扩展梯度相当于从次微分集中选择一个点 f (Y), 它是R中的非空凸紧集n. 扩展ed梯度（2.7）-（2.8）对应于 f (Y). 有人可能会问，如果我们从 f (Y), 例如，重心（质心）。对于任何可测量集T  Rn, 其质心由（2.17）给出c(T) =RnxIT(x)dxRnIT(x)dx,哪里IT(x) 是的特征函数T. 然后，我们可以将质心基线梯度定义为（2.18）GcY( f ) = c( f (Y)).然而，众所周知，通常情况下，在固定附加项下，重心不是预先设定的：我们可能有c(T) + c(T) ≠ c(T+ T) 对于可测量集T, T Rn. 因此，基于质心的扩展梯度GcY( f ) 不是添加提示。此外，考虑一个顶点坐标为（0，1）的等腰三角形(-ε, 0），以及(ε, 0），其中ε > 0很小。该三角形的质心（0，1/3），对于任何ε > 0.H欧文，wh enε 收敛到0，三角形退化到端点（0，1）和（0，0）的中间，质心跳到（0，1/2）。现在考虑函数族fε谁的 fε(Y) 在某个时候Y 这个三角形是一个函数f谁的 f(Y) 是限制间隔。对于小型ε, 功能fε看起来几乎与相同f本地位于Y, 但基于质心的扩展梯度（2.18）fε和f在Y 完全不同。相比之下，同一三角形的Steiner点有坐标（0，1/2+h(ε)), wherelim公司ε→0h(ε) = 0，因此Steiner点收敛到（0，1/2）为ε → 0平滑，无跳跃。因此，扩展ed梯度（2.7）-（2.8）fε平滑收敛到延伸的渐变f.

属性（G3）确保这在总体上是正确的。当然，我们可以从 f (Y) 而不是ce n troid，但定理2.2表明，Steiner点是唯一的选择，相应的延伸梯度满足自然属性（G1）-（G4）。我们能在有限维Banach空间中定义凸函数的扩展梯度吗B? 根据（2.4），这相当于开发一种从次微分集中选择点的方法 f (Y), 它是B.这种方法是在Lim（1981）中发展起来的，可以用来构造凸函数的扩展梯度B 这满足了一些有用的属性，包括（G2），（G4）和（G3）的较弱版本，参见Grechuk（2015）。然而，可加性（G1）失败了，事实上，这是不可避免的：众所周知，在有限维空间中，凸体的斯坦纳点没有类似物，见Vitale（1985）。这意味着任何将扩展梯度概念扩展到有限维空间的尝试都将导致至少一个属性（G1）-（G4）失效。除了缺乏可加性和公理基础外，Lim（1981）中的构造使用了序数和反式归纳法，由此产生的e x趋势梯度通常很难计算。本文中的显式公式（2.8）不直接适用于有限维空间，因为其中的积分与Lebesguemeasure有关，并且在有限维Albanach空间上没有Lebesgue测度的有用类似物。具体而言，每一个非相同零的平移不变度量都会将有限度量赋给此类空间的所有o pen子集，参见Hunt等人。