投资组合优化与风险分析中解的唯一性

自从D 是指投资组合集中再投资的偏差度量x ∈ Rn可表示为最多有限个术语：（4.30）D(^RTx) = 最大值Q∈QeE[-^RTx Q].作为D 是有限的，可以列举：Qe={Q, . . . , QM′}. 定义Di= E[-^RQi], i = 1.M′. 从（4.30）中可以看出Di’sis评估能力D(^RTx) 对于投资组合x:(4.31) D(^RTx) = 最大值i=1.M′~DTix.可能会发生▄Di=~Dj对一些人来说i ≠ j; 例如，^R 在许多基本事件上可能是常数，单位为Ω。也可能发生以下情况：Di不是conv{D, . . . ,~DM′},但是一组▄Di’s形成了该集合Rockafellar（1970，定理IV.19.3）的所有极值点。为了便于将来的论证，我们只选择那些向量▄Di这些都是极限点。定义4.4。conv{D, . . . ,~DM′} 表示为Di, i = 1.M, 并称之为投资组合风险生成器。备注4.5。投资组合风险生成器是多面体集的生成器（在Rockafellar（1970，Section19）的意义上）{E[-^RQ] | Q ∈ Q}, 参见Rockafellar（1970）中定理19.3的证明。根据定义4.4和（4.31），很容易看出任何投资组合x:(4.32) D(^RTx) = 最大值i=1.MDTix.定义4.6。那些Di在（4.32）中实现最大值的被称为投资组合的主动投资组合风险生成器x.下面的引理表明，por-tfolio-risk-generators集足够丰富，可以跨越整个空间Rn.引理4.7。林(D, . . . , DM) = Rn.证据假设相反，取任何非零向量x 在lin的正交补中(D, . . . , DM). 然后D(^RTx) = 0.然而，^RTx 假设（M）为非常数，则soits偏差度量应严格为（D1）的正。矛盾。

投资组合偏差度量的表示（4.32）x 将优化问题（4.25）等效为线性规划：（4.33）最小化A,从属于：A ≥ DTix, i = 1.M,μTx ≥ Δ,(A, x) ∈ R×Rn.解决方案(A*, x*) 与（4.25）相关如下：x*是最佳投资组合A*=D(^RTx*).定理4.8。线性规划（4.33）和优化问题（4.25）具有以下特性：1。最优投资组合集合X*是R的有界多面体子集n. （4.33）的解决方案集的形式如下{A*} ×X个*对一些人来说A*> 0.2. 如果解决方案不是唯一的，则μ 是最多的线性组合n - 1投资组合风险产生者。如果解决方案是唯一的，那么主动投资组合风险生成器集将覆盖整个间隔n, i、 e.有n 线性独立的主动投资组合风险生成器。证据（4.33）是一个线性规划，因此解集是多面体的。映射x →D(^RTx) 是凸的，h也是连续的。表示为d 球面上的最小值{x ∈Rn| kx k=1}。由于假设（M）和（D1），该最小值严格为正。Employing进一步假设（D2）给出{x ∈ Rn| D(^RTx) ≤ A} 对于任何A > 0; 事实上，它包含在半径为的球中A/d. 因此，解集X′到（4.33）是一个有界多面体集。它用其极值点的凸组合表示，目标函数是最优的。在每个这样的外部eme点中，坐标A 相同，soX′={A*} ×X个*对一些人来说A*> 0; 的积极性A*遵循引理4.3。如果X′是单点，则n′是可行集的极值点。自约束之后μTx ≥ Δ是活动的（见引理4.3），（Bertsimas和Tsitsiklis，1997，定理2.2）意味着n 指数i, . . . , in因此A = DTijx, j = 1.

, M, 和矢量(Dij)nj=1是线性相关的，因此生成Rn.断言2的证明使用了问题的对偶（4.33）：（4.34）最大化qΔ，受制于：Mi=1.piDi- qμ = 0,Mi=1.pi= 1.q ≥ 0, pi≥ 0, i = 1.M.由于强大的二元性，qΔ = A*我们知道A*> 0，he n ceq > Bertsimas和Tsitiklis（1997，定理4.5）暗示与非活动约束相对应的对偶变量为零。表示为i, . . . , ik涉及投资组合风险生成器的主动约束。然后，上述对偶问题（4.34）中的第一个约束为：（4.35）μ =qkj=1.pijDij.现在假设解不是唯一的，即X′至少包含两个e X极大点，因此有一条线将它们连接起来。固定该直线的中间点(A*, x*). 自(A*, x*)不是X′的一个外点，由主动投资组合风险生成器跨越的线性空间Dij,j = 1.k, 尺寸n不大于n - 1（至少有一个投资组合风险生成器在X′外部点活跃，不属于lin{Di, . . . , Dik}). 这证明了定理的第2条。推论4.9。有一定数量的超平面（尺寸从1到n - 1） 以便：μ当且仅当（4.25）的解不是唯一的时，才属于其中之一。因此μ 投资组合优化问题有一个唯一的解决方案，它有一个完整的Lebesgue测度。证据根据定理4.8，解的非唯一性与μ 最多是n - 1投资组合风险生成器，即属于atmost跨越的线性空间n - R中的1个向量n. 这最多是一个维度的超平面n - 1，因此它有一个lebesguemeasure0。有多种方式可供选择，最多n - 1组向量中的向量M 向量，所以这种超平面的数量是有限的。Lebesguemeasure零集合的有限和具有零测度。

因此，它的补语有一个完整的量度。上述定理和推论的一个实际结果是，（4.25）中存在唯一最优投资组合，除非μ 特别选择，以匹配收益分配^R 以及风险度量。在下一节中，我们将说明解决方案的唯一性，这意味着多个主动组合风险生成器，导致了最优合作投资的问题。我们还将介绍当μ正好在coro llary中提到的一个超平面上。现在考虑一个没有风险资产卖空的投资组合优化问题。这与带有附加约束的线性规划（4.33）相对应xi≥ 0, i = 1.n. 下面的引理表明，投资组合风险生成器的非唯一性在这里也成立。引理4.10。如果解决方案x*对于不存在风险资产卖空的投资组合优化问题是唯一的，那么至少有k 主动投资组合风险生成器，其中k 是的非零坐标数x*.证据在引理4.3中，我们展示了μTx*= Δ. 这一论断源于以下事实：x*是可行集的一个极值点。5合作投资5.1理论框架合作投资的一般问题可表述如下，se e Grechuk和Zabarankin（2017）。允许F  L（Ω）是一个可行集，代表在没有无风险资产的市场上可行投资机会的回报率：F =XX =ni=1.R(i)xi,ni=1.xi= 1..agent的个人投资组合优化问题i, i = 1.m, 最大值为（5.36）X∈FUi(X),哪里Ui: L(Ω) → [-∞, ∞ ) 是agent的效用函数i.

如果投资的是资本单位，则回报率X ∈ F 也可以解释为投资的货币收益。而不是单独投资，m 代理人可以投资m 购买联合投资组合的资本单位X ∈ mF := {mX |X ∈ F } 然后分发给特工i 收到股份Yi具有Yi= X. 分配Y=(Y, . . . Ym) 如果Yi∈ mF , 如果没有可行的分配Z=(Z, . . . Zm) 因此Ui(Yi) ≤ Ui(Zi) 至少有一个不等式是严格的。效用函数U 称为现金不变，如果U(X + C) = U(X) + C 对于所有人X ∈ L（Ω）和C ∈ R、 Grechuk和Zabarankin（2017）中的命题2暗示，如果所有Ui, i = 1.m, arecash不变性，Y=(Y, . . . Ym) 那么，帕累托最优吗X*=Yi解决优化问题（5.37）supX∈mFU*(X),式中（5.38）U*(X) ≡ supZ公司∈A(X)mi=1.Ui(Zi)具有A(X) =Z=(Z, . . . , Zm) :mi=1.Zi= X, Zi∈ L(Ω). 如果Y=(Y, . . . Ym)是任何帕累托最优分配，则所有帕累托最优分配由（5.39）给出(Y+ C, . . . , Ym+ Cm),哪里C, . . . Cm是常量mi=1.Ci= 因此，联盟应（i）解决投资组合优化问题（5.37），以找到最佳投资组合X*整个团队；（ii）找到任何帕累托最优方法Y=(Y, . . . Ym) 分发X 集团成员之间，并最终（iii）就常数达成一致C, . . . Cm在（5.39）中，在可用资源中选择特定的帕累托最优配置。我们考虑投资者使用以下效用函数：（5.40）Ui(X) = E[X] - Di(X),对于一些偏差测量Di, i = 1.m. 这些效用函数是现金不变的，上述理论适用。U*在（5.38）中，给出了U*(X) = E[X] - D*(X), 式中（5.41）D*(X) ≡ infZ公司∈A(X)mi=1.Di(Zi).备注5.1。通常，投资者的优化标准如下所示：Ui(X) = E[X] - γiDi(X),哪里γi> 0是投资者的风险平均值。

然而γiDi是一种偏差度量Di表达式（5.40）涵盖了该示例。在这个模型中，（iii）的一个可能方法是选择常数Ci在（5.39）中，使（5.42）E[Q*(Y+ C)] = · · · = E[Q*(Ym+ Cm)]哪里Q*是投资组合优化问题（5.37）中的极端风险识别者U*(X) =E[X] - D*(X). 直觉是元素Q 风险包络线表示概率情景，Q*代表联盟的“关键”最坏情况，并且（5.42）指出投资者应在关键情况下获得相同的利益。请参见Grechuk和Zabarankin（2017年，第3节），了解无风险资产模式l中（5.42）的进一步调整。因为凹函数几乎在任何地方都是可微分的，所以人们可能会认为U*(X*) 是“典型的”独生子女，在这种情况下，极端风险识别者Q*isunique，这种方法导致了“公平”帕累托最优分配的唯一选择（5.39）。然而，下面我们表明，这种直觉可能是错误的。引理5.2。允许Dibe带有风险信封的偏差度量Qi, i = 1.m. 然后D*是风险包络的偏差度量Q*= Q∩ · · · ∩ Qm. 特别是，如果全部Di是完全生成的，那么也是D*.证据Rockafellar等人（2006a）中的命题3暗示Q, . . . , Qm是闭超平面的闭凸子集H = {Q |EQ = 1} 在中L（Ω）使得常数1在其准内部相对于H. 因为Q, . . . , QmRockafellar（1970，推论16.4.1）暗示，他们在相对内部有一个共同点D*可以用以下形式（4.26）表示：Q*= Q∩· · ·∩Qm. 因为Q*也是H 在准内部相对于H, 这意味着D*是一种偏差度量。因为多边形的相交是一个多边形，D*如果所有Di是定理5.3。

假设投资者的效用函数为Ui(X) = E[X] - Di(X) 有偏差措施Di完全生成的且无投资组合风险生成器D*i对于D*等于μ = E[R] 或(D*i- μ) 与1平行：=（1，…，1）T. 然后是任何解决方案X*= RTx*to（5.37）至少有两个极端风险识别者。证据我们遵循定理4.8的证明。表示为(D*i)Mi=1偏差度量的投资组合r ISK生成器D*让我们D*i= D*i- E[R]. 那么（5.37）等价于下面的线性问题（5.43）最小化A,从属于：A ≥ xT^D*i, i = 1.M,xT1 = 1, (A, x) ∈ R×Rn.自从x*是这个程序的一个解决方案（不一定是非唯一的），它的对偶也有一个解决方案（Bertsimas和Tsitiklis，1997，定理4.4）：（5.44）最大化q,从属于：Mk=1.pk^D*k- q1 = 0,Mk=1.pk= 1.pk≥ 0, k = 1.M, q ∈ R、 如果最优解q ≠ 0，然后中间方程加上假设D*j’s与1平行意味着必须至少有两个pk’绝对是肯定的。Bertsimas和Tsitiklis（1997，定理4.5）指出，主要p r问题中的相应约束是有效的，即他们各自的投资组合风险生成器在以下方面是有效的X*.什么时候q = 0，假设无D*j’s是零，这意味着至少有两个pk’s必须为非零。定理5.3意味着至少有两个线性独立的主动po r t folio RiskGenerator，并且合作投资问题存在多个公平的帕累托最优解。备注5.4。具有效用函数（5.40）的投资组合优化问题（5.37）可能没有解决方案，即，可以在分散的投资组合序列上渐近获得最优值。

例如，当x 因此xT1=0和μTx -D*(xTR) > 0，即μ 在1上⊥:= {y ∈ Rd: yT1=0}不包含在投资组合风险生成器预测的凸包络中(D*i)Mi=1开1⊥.备注5.5。本节（5.45）中优化问题的解不存在的问题补充x: xT1=1xTμ - D(xTR)扩展到通过一致的风险度量来度量风险的优化ρ （文献中流行的另一个标准）supx: xT1=1xTμ - γρ(xTR)风险厌恶γ > 实际上，使用ρ(X) = D(X) - E[X] 对于某些偏差测量D, 上述问题相当于上x: xT1=1xTμ - γ*D(xTR)具有γ*= γ/(1 + γ), 根据备注5.1，其形式为（5.45）。5.2明确示例Cash or nothing二进制选项O ret urns的固定金额现金C(O) 如果它在钱里过期，但没有别的。假设有两个这样的选项A 和B 如果P > C和P > C, 分别，其中P 是（相同）标的资产的（随机）价格，以及C< C是常量。假设以相同的价格提供选项p 智慧hC(A) = 2.p 和C(B) = 8.p. 每个代理可以投资一个单位的资本A和B, 正是1- t 进入A 和t 进入B, 获得利益-(1 - t) - t = -1.(1 - t) - t = 1.- 2.t; 或（1- t) + 7.t = 1 + 6t 取决于价格关系P 重新检查至C和C. 我们假设两个代理人认为这三个机会的可能性相等。对于具有的代理1U(X) = E[X] - CVaRΔ(X) = -CV aR(X), 可以从线性规划max中找到最优的个人投资a,ta, s、 t。X = (-1, 1 - 2.t, 1 + 6t), E[Q X] ≥ a,  Q ∈ Q,哪里Q=,, 0,, 0,,0,,=烫发,, 0, 产生最佳结果t = 0,X = (-1，1，1），以及最佳值u*= 0。类似地，对于具有U(X) = E[X] -MAD(X), 线性规划Maxa,ta, s、 t。

X = (-1, 1 - 2.t, 1 + 6t), E[Q X] ≥ a,  Q ∈ Q,哪里Q=烫发,,, 烫发,,, 退货t =, 具有最佳值u*=.合作投资对应于线性规划maxa,a,Y,Y,ta+ a, s、 t。Y+ Y= 2(-1, 1 - 2.t, 1 + 6t), E[QYj] ≥ aj,  Q ∈ Qj, j = 1、2，也就是说，我们同时在寻找最佳投资组合(t), 以及分享它的最佳方式(Y, Y) 最大化代理实用程序的总和。最优t 是t =, 具有Y+Y=-2.,最佳值为u*=> u*+u*. 单纯形met h od返回一个解Y= (,,),Y= (-,,), 具有u(Y) =和u(Y) = 0，这显然是不公平的。因为这些资产是现金不变的，所以Y′= Y+ C, Y′= Y- C 帕累托最优，问题是如何选择“公平”C.为此，我们计算联盟的效用U*(X) 同于（5.46）U*(X) = 最小值Q∈Q*E[QX],哪里Q*可以找到的顶点是Q和Q. 在我们的情况下，Q*=烫发, 1., 烫发,,. 最优投资组合X*=-2.是优化p r问题（5.47）最大值的解决方案U*(X), s、 t。X = 2(-1, 1- 2.t, 1 + 6t).现在，让我们Q*是（5.46）中的最小值X*. 根据第（5.42）节，展会C 应选择（5.48）E[Q*(Y+ C)] = E[Q*(Y- C)].直觉告诉我们，在关键情景下，投资者应该获得同样的利益Q*.问题是X*=-2., 最小值Q*in（5.46）in不唯一！的确E[QX*] =对于Q =, 1., 以及Q =,,. 正如定理5.3所示，这不是巧合。而随机变量集X 使用非唯一风险识别工具hasmeasure 0，可以保证（5.47）中的最优投资组合属于此集合。因此，在完全生成偏差措施的情况下，合作投资没有唯一的解决方案。在我们的示例中，（5.46）中的最小值集是具有端点的整个线段, 1.和,,.

通常，有很多“公平”的选择C.6逆投资组合问题继Palczewski和Palczewski（2019）之后，让我们将问题逆为（4.25），如下所示。假设我们知道一个解决方案xM= (xM, . . . , xMn) ≠ 0至（4.25），以及集中收益率^R, 偏差测量D, 和ΔM> 0投资组合预期超额收益xM. 然后我们能“恢复”吗μi, 单个工具的预期超额收益？它们是唯一确定的吗？我们将对第一个问题给出一个肯定的答案，并讨论第二个问题所面临的二分法：如果反问题的解是唯一的，那么正问题与已计算的μ 有多个解决方案，而如果向前的问题有唯一的解决方案，则有许多μ’s求解反问题。6.1使用风险生成器的显式公式假设ΔM> 0、必要时，xM≠ Rockafellar等人（2006b）中的orem 4指出xM当且仅当存在风险识别器时，才是（4.25）的解决方案Q*对于随机变量^RTxM这样（6.49）μ =ΔMD(^RTxM)E[-^RQ*] =ΔM(xM)TE[-^RQ*]E[-^RQ*].c.f.Rockafellar et al.（2006b，第518页），这是因为离散概率空间上的每个有限偏差度量都是连续的。允许Dij, j = 1.k, 成为主动投资组合风险生成器的集合xM. 那么（6.49）等于权重的存在β, . . . , βk≥ 0，因此kj=1.βj= 1和（6.50）μ =ΔMkj=1.βjDTijxMkj=1.βjDij.从上述公式中，我们立即得到向量的以下特征μ 为此xM是（4.25）的解决方案。引理6.1。逆优化问题的解集是凸的，且由点跨越δDij, 哪里Dij, j = 1.k, 是否为xM和δ = Δ/D(^RTxM):M =δkj=1.βjDijβ ∈ [0, 1]k和kj=1.βj= 1..备注6.2。