投资组合优化与风险分析中解的唯一性

上述引理的结论可以立即从投资组合优化问题的对偶表示（4.34）中推导出来。的确，我们有μ =qMi=1.pijDij,哪里q > 0, pij≥ 0，总和为1。将两个IDE乘以xM产量q = 1/δ.利用集合的这种特征，我们可以确定逆优化问题和正优化问题的解集之间的联系。定理6.3.1。如果xM是（4.25）的唯一解决方案μ, 那么逆优化问题的所有解的集合至少有n + 1极端点。此外，所有的极值点都是δDij, 哪里δ > 0和Dij是积极的投资组合风险创造者xM.2、是否有唯一的主动投资组合风险生成器xM, 然后逆优化问题有一个唯一的解μ*（集合M由e点上的组成）。然而，Δ=Δ的优化问题（4.25）M和μ = μ*有多个解决方案：解决方案集X*是维度的多面体n - 1且至少有n 极端点5。证明上述定理需要以下简单的技术结果。引理6.4。鉴于vi∈ Rn, i = 1.k, let^n = 等级(vi, i = 1.k) = dim（lin(v, . . . , vk)).然后N = conv公司(v, . . . , vk) 至少有^n + 1个极值点，所有极值点均来自集合{v, . . . , vk}.证据从Rockafellar（1970，推论18.3.1）可以看出N 都在{v, . . . , vk}. 必须证明至少有n+1极端点。假设oppo站点：只有n′<^n+1个极端订单vi, . . . , vin′属于N. 然后N  A := 林(vi, . . . , vin′)和暗淡(A) ≤ n′+ 1、然而，A 是包含所有点的线性空间v, . . . , vk所以它也包含了lin(v, . . . , vk). latte r空间具有维数^n + 1根据假设，因此是连续的。定理6.3的证明。

从定理4.8来看，（4.25）的解的唯一性意味着主动投资组合风险生成器集Di, . . . , Dik跨越整个空间Rn, i、 例如，由这些向量生成的线性空间的维数为n. 结论来自引理6.4。现在假设存在唯一的主动投资组合风险生成器。从m公式（6.50）中可以清楚地看出逆优化问题解的唯一性。考虑正向优化问题的等效形式（4.33）。回想一下，这样一个线性问题的所有解集是一个凸边界多面体集，是由约束生成的多面体集的面。投资组合xM这是一个有两个有效约束的解决方案：一个具有唯一的投资组合风险生成器，另一个对最小预期回报进行编码。这意味着解的集合是维数多面体n - 根据引理6.4，它必须至少有n 特别的分数。5多面体的维数P 是中包含的每个独立点的最大数量P减1。推论6.5。在定理6.3的情况1中，如果μ ∈ riM(μ 则正向优化问题（4.25）具有Δ=Δ的唯一解M.证据这意味着（4.25）的解不是唯一的==> μ  riM。这直接源于定理m 4.8和Rockafellar（1970，定理6.4）的断言2。无卖空约束的反问题允许更多的解，如下面的引理所示。引理6.6。允许xM是投资组合优化问题（4.25）的一个解决方案，具有不卖空风险资产的额外约束。逆优化问题的解集由M′={给出μ ∈ Rn:  m ∈ Ms.t。μi≤ mi, 和mi{xMi≠0}= μi{xMi≠0}, i = 1.n}尤其是M M′.证据

风险资产投资组合权重具有非负约束的对偶优化问题（4.33）由（6.51）maximize给出qΔM,从属于：kj=1.pjDij- qμ ≥ 0,kj=1.pj= 1.q ≥ 0, pj≥ 0, j = 1.k,哪里Dij, j = 1.k, 是积极的政策风险识别者。由于强大的二元性，qΔM= D(^RTxM) > 0，高度q = D(^RTxM)/ΔM> 0、通过互补松弛条件，Ber tsimas和Ts itsiklis（1997，定理4.5），第一个约束上移中的不等式对于以下坐标变得相等：xM为非零。告诉我们μTxM= ΔM产生M′的形式。强烈的二元性意味着μ ∈ M′，投资组合xM是最佳的。众所周知，具有卖空约束的最优投资组合往往缺乏多样性，即有许多空的投资组合权重。然后，从集合M′的定义可以看出μ 与这些零权重相对应的是下面的u n bo undedfrom。备注6.7。如果没有沙皇的投资组合xM完全分散，即所有坐标均为严格正，则定理6.3的断言适用于风险资产无卖空约束的问题。6.2逆优化问题单一解的选择根据推论4.9，po r tfolio优化问题（4.25）的解是唯一的，除非μ 属于勒贝格测度零的集合（有限个超平面的并集）。因此，逆优化问题通常有多个解（定理6.3）。如何从逆优化问题的解集中选择唯一点？鉴于（6.49），这相当于选择一个独特的风险识别器Q*或rathera地图fD: L(Ω) → L（Ω）对于偏差测量D, 分配给随机变量X ∈ L（Ω）其风险识别者之一。

我们称之为这样的地图fD与偏差度量相对应的选择器D. 我们这么说fD如果它是（i）选择器和（ii）定义2.4意义上的aLebesgue连续映射，则为稳健选择器。引理6.8。对于任何有限偏差度量D 存在唯一的健壮选择器fD.证据Rockafellar等人（2006b，命题1）提出D( X) = 1.- Q(X). 因此，存在性和唯一性源自第2.3节。示例5。平均绝对偏差MAD(X) = E[|X - EX |], 唯一的鲁棒选择器由fD(X) = 1 + EZ - Z, 何处Z(ω) = 1.Z(ω) = 0，和Z(ω) = -1，用于X(ω) > E[X],X(ω) = E[X], 和X(ω) < E[X], 分别地附录中讨论了选择唯一s选民的替代方法。它基于法律不变性原则。虽然法律不变性选择器通常不是唯一的，但从财务和概率的角度来看，它是自然的，并且对于一些重要的偏差度量（如CVaR和混合CVaR）是不唯一的。6.3明确示例letΩ={ω, . . . , ωN} 带P(ωj) = wj, j = 1.N, 和^Rj=^R(ωj). 考虑一个给定的文件夹xM并表示X*=^RTxM和x*j= X*(ωj). 在不丧失一般性的情况下，我们假设{ω, . . . , ωN} 订购方式如下：x*≤ x*≤ · · · ≤ x*N. 自从E[^R] = 0，我们有E[X*] = 0和ex= · · · = xN= 0或x< 0 < xN. 前一种情况对于非零投资组合是不可能的xM因此，在假设（M）下，我们将集中讨论非零回报的非平凡后一种情况X*. 我们将研究由MAD和偏差CVaR度量的风险的逆投资组合问题。6.3.1平均绝对偏差letk 是最大索引，以便x*k< 0和m 是指x*m≤ 0。根据以上讨论，1≤ k ≤ m. 投资组合逆问题的形式解μ =ΔMMAD(X*)E[-Q*^R],哪里Q*是风险识别者X*.

回顾表格Q = 1 + E[Z] - Z MAD的风险生成器，参见示例5，以及E[^R] = 我们得到0E[-Q*^R] = E[Z^R]. 如果k = m, 有一个由给定的唯一性标识Z(ωj) = 11{j>k}- 11{j≤k}, j = 1.N. Oth erwise，r e为2(m - k)极端风险识别器对应于Z’表格的sZ(ωj) = 11{j>m}- 11{j≤k}+ z11{j=j*},j = 1.N, 对一些人来说k < j*≤ m 和z ∈ {-1, 1}. 因此，逆问题的解集由Nj=m+1.wj^Rj-kj=1.wj^Rj+mj=k+1.λjwj^Rjλk+1.λm∈ [-1, 1].ro胸围选择器对应于λ = 0（参见示例5）。示例6。允许N = 3和P(ωj) =, j = 1, 2, 3. r e是两种风险资产，收益率为R= (-1.-2)T,^R= (-1, 1)T和^R= (2, 1)T. 前向优化问题的解决方法μ = （0.4、0.6）和ΔM= 0.5 isxM= (0.5, 0.5). 然后X*=(-1.5、0、1.5）和MAD(X*) = 1、风险识别器集合X*由给出Z = (-1.z, 1） 使用任意数字z ∈ [-1，1]，即。，Q*=2 +z, 1.-z,z. 相应的解决方案μ 反问题的形式如下：μ =0.5(-1)^R+z^R+^R=0.5- z/60.5 + z/6., z ∈ [-1, 1].示例5中建议的唯一鲁棒选择器对应于z = 0，导致μ =(0.5, 0.5)T. 6.3.2偏差CVaR let的条件风险值k 是最大索引，以便x*k< -风险值α(X*) （套k = 0不存在此类索引）和m 是最大索引，以便x*m≤ -风险值α(X*). 然后是任何风险识别者Q*= (q, . . . , qN) 属于X*satis，c.f.Rockafellar等人（2006b），（6.52）0≤ qj≤ 1/α,Nj=1.wjqj= 1.q= q= · · · = qk= 1/α,qm+1= · · · = qN= 因此，（6.53）μ =ΔMCVaRΔα(X*)αkj=1.wj(-^Rj) +mj=k+1.wjqj(-^Rj),哪里qk+1.qm满足线性约束的任意数mj=k+1.wjqj= 1.-αkj=1.wj, 和0≤ qj≤ 1/α, j = k + 1.m.如果m = k + （6.52）中的风险识别器，以及μ 在（6.53）中有唯一定义。

对于m > k + 1，即：。，x*k+1= · · · = x*m= -风险值α(X*), 反问题有很多解。选挡杆对应于qk+1= · · · = qm, 也就是说，μ =ΔMCVaRΔα(X*)αkj=1.wj(-^Rj) +qmj=k+1.wj(-^Rj), 哪里q =1.-αkj=1.wj/mj=k+1.wj.示例7。LetΩ={ω, ω, ω} 具有均匀概率P的w(ωj) = 1/3. 有两个风险集合，收益集中R= (-1, 0)T,^R= (0, -1),^R= (1, 1). 修理α = 0.05. 远期投资组合优化问题的求解μ = （1/3、2/3）和ΔM= 0.5 isxM= (0.5, 0.5). 然后X*= (-0.5, -0.5, 1), -风险值α(X*) = -0.5，和k = 0, m = 2、风险识别者集合X*包括Q = (q, q, 0），其中0≤ q, q≤ 20和q+ q= 3、参数化q= q 和q= 3.- q 对于q ∈ [0，3]，我们获得μ =0.5q(-^R) +(3 - q)(-^R)=q/3(3 - q)/3., q ∈ [0, 3].鲁棒选择器由以下公式给出q = 1.5，导致μ= μ= 0.5. 7对黑人散户投资组合框架的应用在本节中，我们将第6节的发现应用于具有离散回报分布的市场上的黑人散户投资组合优化模型的扩展。在实际的金融应用中，资产回报分布通常与一定数量的情景近似，参见Krokhmal等人（2002）；Gaivoronski和P flug（2004）；Lim等人（2010年）；Lwin e t al.（2017）。我们首先简要介绍了Meucci（2005）基于市场的BlackLitterman模型对一般离散分布和偏差度量的扩展。6我们证明，逆优化问题（第4.2节）的解的非唯一性在该理论中普遍存在，这意味着回报的后验分布不是唯一的。

法律不变性原则恢复了该投资组合理论的完整性。原始Black-Litterman模型（Black和Litterman，1992）的基本假设是，市场处于平衡状态，共同基金定理成立，即所有投资者持有相同比例的风险资产。在偏差度量的一般设置中，Rockafellar et al.（2007）发展了一个类似的理论，并将风险资产的共同投资组合称为母基金。对于Δ=Δ的特定选择，可通过求解（4.25）来恢复M. 正如在最初的框架中一样，我们认为市场处于均衡状态，因此主基金对应于股票的相对市场资本化：我们将其称为市场投资组合xM. 此外，根据Black和Litterman（1992）的精神，我们假设中心均衡分布是已知的，例如，它等于资产回报的中心经验分布。唯一未知的分布参数是其位置。为了重新讨论后者，我们解决了一个反向优化问题：了解解决方案xM对于问题（4.25），我们找到了平均超额回报向量μeq对于给定的预期市场回报率Δ=ΔM. 分发μeq+^R 然后被称为平衡分布或先验分布。投资者的观点由m × n ‘拾取矩阵\'P 和一个向量v ∈ Rm. 每行P 资产的具体组合和相应的分录v 提供ForecastedAccess返回。预测中的不确定性（缺乏可信度）由azero平均随机变量表示ε 连续分布，完全支持Rm, 例如，正态分布N(0, Q).

由此产生的贝叶斯模型isprior：R ~ μeq+^R,观察结果：V |[R = r] ~ Pr + ε.未来回报的海报ior分布R 鉴于V = v 集中在与先验分布相同的点上，但概率不同。它可以用Ω上的新概率度量Q来描述，即资产超额收益的后验分布是μeq+^R 在Q7下。按照Bayes公式，我们设置后分布的非标准化“密度”：X(ω) = fεv - Pμeq- P^R(ω),哪里fε是的密度ε. 然后Q(ω)/P(ω) = X(ω)/EP[X]. 资产回报的后验分布随后被输入到优化问题中（4.25）。6读者可参考Palczewski和Palczewski（2019）对连续分布的并行扩展进行详细讨论。7后验分布的位置向量很少等于μeq由于Q中p概率相对于PAssume的重新加权，现在偏差度量D 完全生成。根据推论4.9，可以预期市场组合是（4.25）的唯一解决方案。因此，确定均衡分布的逆优化问题有许多解决方案（定理6.3和示例7），导致大量后验分布，并最终导致大量的黑人同窝狗最优投资组合。这在金融领域显然是不可接受的。这种非唯一性ss是由于存在许多主动风险生成器（偏差度量的主动风险标识符），引理6.1。选择法律不变主动风险识别器（见第6.2节和示例7）可恢复逆优化问题解的唯一性，进而恢复整个投资组合优化工作的唯一性。在实践中，投资者通常根据资产的市值推断市场投资组合。

这种投资组合不太可能有一个以上的主动投资组合风险生成器，因为至少有两个主动投资组合风险生成器的最优投资组合位于Rn（他们的勒贝格测度为零）。因此，marketportfolio解决了一个不太可能的投资组合优化问题，该问题的解决方案集具有维度n - 1，见定理6.3。然而，逆优化问题有一个唯一的解决方案。例8。考虑示例7的设置。CVaRΔ5%的极端风险识别值为Qe= {Perm（3，0，0）}。投资组合风险生成器集由3个可变因素组成：D= (1, 0)T, D= (0, 1)T, D= (-1.-1)T.确定市场投资组合xM= (0.2, 0.8)T及其返回值ΔM= 0.4. 投资组合风险生成器xM是D. 根据引理6.1，逆优化问题有唯一的解μ*= (0, 0.5). 现在考虑预期超额回报Δ的正向优化问题M和平均超额收益μ*:最小值x,x最大值x; x; -x- x, 受制于：0.5x≥ 0.4.解决方案集为X*=(x, 0.8) : x∈ [-1.6, 0.8]. X中的每个解决方案*CVaRΔ5%等于0。8和预期超额收益ΔM. 8结论我们深入分析了当资产收益率遵循一定数量的情景且偏差度量已生成时的正向和反向投资组合优化问题（包括常用的偏差度量：CVaR、混合CVaR和MAD）。我们发现，这两个问题的解的唯一性都存在偏差：正问题和逆问题不能同时唯一解决（对于相同的数据）。然而，非唯一性所适用的参数集的测度为零。虽然看起来唯一性问题实际上可以忽略不计，但我们已经证明，在许多应用中，如资本分配、合作投资和广义Black-Litterman模型，这都是不正确的。

在合作投资中，非唯一性影响了在参与投资者之间分配联合投资收益的“公平”方式：对于偏好由从完全生成的偏差度量衍生的ut函数描述的投资者，当联盟的正向优化问题具有唯一解时（这发生在完全度量的模型参数集上），最佳财富有许多风险识别者，这阻碍了投资者之间对财富进行独特的“公平”分配。对于广义Black-Litterman模型，逆优化问题具有多个解，导致多个后验分布和最优投资组合。这一结果与经典的Black-Litterman模型形成对比，后者对于正向和反向问题都具有唯一性。上述非唯一性问题已被证明与以下事实有关：凸函数（此处为风险或偏差度量）可能不是所有可微函数，并且在非可微点上具有非唯一的次梯度。通过引入公理集解决了这个问题，这样，对于任何凸函数，在每个点上，都有一个满足这些公理的唯一次梯度。该次梯度与次微分集的斯坦纳点重合。在正向优化问题中，如果解不是唯一的，我们可以根据次要目标在这些解之间进行优化。例如，如果有许多最优投资组合，我们可以选择与当前投资组合“最接近”的一个，以最小化平衡，c.f.Palczewski（2018）。在逆优化中，我们试图确定参数值，以便给定的特定解决方案是最优的。如果这可以通过几种方式来实现，那么很明显，上述多目标原则如何有助于确定唯一的解决方案。