投资组合优化与风险分析中解的唯一性

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英文标题：
《On the solution uniqueness in portfolio optimization and risk analysis》
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作者：
Bogdan Grechuk and Andrzej Palczewski and Jan Palczewski
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We consider the issue of solution uniqueness for portfolio optimization problem and its inverse for asset returns with a finite number of possible scenarios. The risk is assessed by deviation measures introduced by [Rockafellar et al., Mathematical Programming, Ser. B, 108 (2006), pp. 515-540] instead of variance as in the Markowitz optimization problem. We prove that in general one can expect uniqueness neither in forward nor in inverse problems. We discuss consequences of that non-uniqueness for several problems in risk analysis and portfolio optimization, including capital allocation, risk sharing, cooperative investment, and the Black-Litterman methodology. In all cases, the issue with non-uniqueness is closely related to the fact that subgradient of a convex function is non-unique at the points of non-differentiability. We suggest methodology to resolve this issue by identifying a unique \"special\" subgradient satisfying some natural axioms. This \"special\" subgradient happens to be the Stainer point of the subdifferential set.
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中文摘要：
我们考虑了在有限个可能情景下，资产组合优化问题的解唯一性及其逆问题。风险是通过【Rockafellar等人，《数学规划》，Ser.B，108（2006），第515-540页】引入的偏差度量来评估的，而不是马科维茨优化问题中引入的方差。我们证明了在一般情况下，无论是正问题还是反问题，都不能期望唯一性。我们讨论了这种非唯一性对风险分析和投资组合优化中几个问题的影响，包括资本分配、风险分担、合作投资和Black Litterman方法。在所有情况下，非唯一性问题都与凸函数的次梯度在不可微点处非唯一这一事实密切相关。我们建议通过确定满足某些自然公理的唯一“特殊”次梯度来解决这个问题。这个“特殊”次梯度恰好是次微分集的Stainer点。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_the_solution_uniqueness_in_portfolio_optimization_and_risk_analysis.pdf (427.79 KB)

2022-6-11 01:14:11 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 风险分析 唯一性 Optimization

投资组合优化与风险分析中的解唯一性*Bogdan Grechuk+Andrzej PalczewskiJan Palczewski§2020年10月9日摘要我们考虑投资组合优化问题的解唯一性问题，以及在有限数量的可能情景下资产回报的逆问题。风险是通过【Rockafellar et a l.，Mathematic Programming，Ser.B，108（2006），第515-540页】引入的偏差度量来评估的，而不是马科维茨优化问题中引入的方差。我们证明了在一般情况下，无论是正问题还是逆问题，都不能期望唯一性。我们讨论了这种非唯一性对风险分析和投资组合优化中几个问题的影响，包括资本分配、风险分担、合作投资和Black Litterman方法。在所有情况下，非唯一性问题都与凸函数的次梯度在非可微点处非唯一这一事实密切相关。我们建议通过确定满足某些自然公理的唯一“特殊”次梯度来解决这个问题。这个“特殊”次梯度恰好是次微分集的斯坦纳点。关键词：资本分配、风险分担、投资组合优化、合作投资、Black-Litterman模型、凸差异、Steiner po int1经济学和金融领域各种问题的介绍，包括资本分配（Kalkbrener，2005）、风险分担（Filipovi'c和Kupper，2008）、合作投资（Grechuk和Zabarankin，2017），逆p-Portfolio-pr问题（Bertsimas et al.，2012）和广义Black Littermanmodel（Palczewski和Palczewski，2019），确定唯一的解决方案很重要。

我们证明了许多这类问题的解可以用凸函数的asub梯度以e x plicit的方式表示f : RN→ R在某个点X ∈ RN, 并且解决方案是唯一的当且仅当f 可在以下位置进行区分：X. 因为每个凸函数f 几乎所有地方都存在差异（Rockafellar，1970，T h eorem 25.5），人们可能会认为这种解决方案在所有“实际”情况下都是独一无二的。虽然在风险的背景下这确实是真的*第一作者（BG）感谢莱斯特大学授予他进行这项研究的学术研究。第二位（AP）和第三位（JP）作者的研究得到了波兰国家科学中心的资助，资助项目为2014/13/B/HS4/00176。+英国莱斯特大学数学系（电子邮件：bg83@leicester.ac.uk)波兰华沙华沙大学数学系，巴纳查2号，02-097（电子邮件：A。Palczewski@mimuw.edu.pl)§英国利兹LS2 9JT利兹大学数学学院（电子邮件：J。Palczewski@leeds.ac.uk)分享，我们证明了这种直觉在其他情况下严重失败。为了解决这个问题，我们提出了一个公理框架，用于从次微分集中选择一个唯一的特殊次梯度，我们称之为扩展梯度 f (X) 每个凸函数的f 在任何时候X. 事实上，我们的扩展梯度与 f (X). 这使我们能够解决各种应用中解的非唯一性问题。资本分配问题是风险管理中的一个基本问题，许多论文对此进行了研究，如Denault（2001）、Kalkbrener（2005）、Dhaene等人（2012），以及其中的参考文献。问题是如何将风险资本分配给n 子公司或业务单位。

同样地（见Cherny和Orlov（2011）），问题在于确定每个子公司的风险对总（累积）风险的贡献程度。Kalkbrener（2005）建立了风险衡量的必要和充分条件，以证明资本配置具有两个高度可利用的特性：线性和多样性。不幸的是，线性多元化资本配置可能不是唯一的，在这种情况下，选择哪一种并不清楚。Cherny和Orlov（2011）提出了一个额外的“法律不变性”公理，根据该公理，资本分配对于某些特定的风险度量家族来说是唯一的，但不是一般的。Grechuk（2015）引入了所谓的“质心资本配置”，这是独特的，但缺乏公理基础。本文提出了一种基于子差异集斯坦纳点的资本配置方法，即ich总是唯一的，并遵循一些自然公理。由Bor ch（1962）、Arrow（1963）等提出的最优风险分担是一个经典问题，它要求在n 代理人。如果没有一个代理能够在不增加其他代理风险的情况下降低其风险，那么这种再分配就称为帕累托最优。如果允许代理人进行交易，他们最终会得到某种特殊的最优分配，这被称为均衡分配（Filipovi'c和Kupper，2008）。然而，如果均衡分配不是唯一的，那么应该选择哪一个？我们的斯坦纳点方法也可以应用于这个问题。在合作投资问题上，m 代理人决定，他们可以组成联盟，购买联合投资组合，并以与最优风险分担问题相同的方式分配该联合投资组合的收益，而不是单独投资，参见Xia（2004）和Grechuk et al.（2013）。

投资者的效用i 是Ui(Zi), 哪里Ui是一些效用函数和Zi代理人的随机财富i 在投资期。Grechuk和Zabarankin（2017）表明，在一些温和的条件下Ui, 与最优的个人投资策略相比，合作投资对所有代理人来说都是最有利的。在合作投资问题中，联盟的偏好可以用合作效用函数来表示U*. 联盟利用效用解决了一个优化问题U*用终端财富发现非最优投资组合X*. 这种最终财富必须在投资者之间合理分配：必须找到帕累托最优配置(Z, . . . , Zm) 诸如此类X*=mi=1.Zi. 通常有很多帕累托最优财富分配，但格雷楚克和扎巴兰金（2017）定义了一种可被视为“公平”的分配。问题是，正如我们在本文中所证明的那样，这种“公平”分配通常是非唯一的。这个问题至关重要，因为不同的分配方法可能会产生不同的代理。因为这种非唯一性是U*, 该问题通过我们的斯坦纳点方法解决，前提是U*是一个凹函数。在投资组合分析领域，我们考虑的是一个拥有无风险资产的市场n riskyassets。投资组合表示为组合xR(1)+ · · · + xnR(n), 其中vectorrandom变量R = (R(1), . . . , R(n))T表示风险资产的超额回报。目标是找到投资组合配置（我们在风险资产中投资的部分）x = (x, . . . , xn)T这解决了以下优化问题：（1.1）minxρ(RTx) 从属于μTx ≥ Δ，其中ρ 衡量投资组合风险，Δ是目标超额回报μ = (μ, . . . , μn)T= (E[R(1)], . . .

, E[R(n)])T.本文研究了pr问题（1.1）解的唯一性和以下反问题的解：给定一个向量x*, 关于R计算能力ρ( RTx) 对于任何x, Δ>0找到平均回报向量μ 因此x*是问题（1.1）的解决方案μ. 请注意，我们感兴趣的反问题只有在风险度量中才有意义ρ 与分布的位置参数无关R, e、 例如，标准差、投资组合收益方差或Rockafellar e t al.（2006a）的偏差度量。几位作者研究了不同公式下的投资组合逆优化问题。Bertsimas et al.（2012）认为r s是Arobast优化框架中的逆优化，以投资组合均值为目标函数，风险考虑在约束条件中。那篇文章没有讨论唯一性问题，特别是因为在他们假设资产收益率为正态的情况下，远期问题总是有唯一的解。由于自由度的数量（在平均方差中，从最优投资组合中可以推断出平均值、方差和目标收益率Δ），因此反问题通常有许多解。Grechuk和Zabarankin（2014、2016）试图推断投资者的风险偏好：假设完全了解R 和投资组合x*, 他们寻找风险度量ρ 为此x*是（1.1）的非最优解。他们解决了两类风险度量的反问题ρ: 偏差度量和一致风险度量。分析上述for ward和Reverse optimization问题的唯一性的动机来自Black-Litterman资产配置模型，参见Black和Litterman（1992），其中建立了该模型，Litterman等人。

（2004），以获得更详细的介绍。在经典的Black-Litterman模型中，风险是由方差引导的模式。用于建立平衡分布的反向优化具有唯一的解决方案。然而，对于非高斯分布来说，方差是一个很差的风险度量。Rockafellar等人（2006a）提出了偏差度量s，该度量s植根于一致的风险度量，但与分布的位置参数（作为方差）无关。优化问题（1.1）在x, 但是，对于正演和反演问题的解的唯一性尚未进行研究。凸优化的一般理论表明，它们依赖于R 和风险度量ρ. OurSteiner点方法也可用于确定该问题的独特“特殊”解决方案。在资产管理的背景下，许多论文都假设未来超额收益的情景数量有限（但可能很大）R （例如，资产收益的历史时间序列），这就是我们在本文中研究的情况。读者可参考Krokhmal等人（2002）；Fabozzi等人（2010年）；Lim等人（2011年）；Grechuk和Zabarankin（2018）的理论和金融中心贡献以及Gaivoronski和P flug（2004）；Lim等人（2010年）；Lwin et al.（2017），数值方法；在专著Conejo e t al.（2010）和其中的参考文献中可以找到金融以外的应用。尽管最优解的存在性问题已经得到解决，但对大量场景h的唯一性问题的分析还不够仔细。

我们对任意离散场景和一类偏差度量进行了详细分析，我们称之为“完全生成的风险度量”，其中包括条件风险值（CVaR）、混合CVaR和平均绝对偏差。在我们的方法中，我们利用Rockafellar等人（2006b）介绍的风险包络来描述偏差度量。我们的贡献基于最优投资组合的唯一性之间的新联系x*（1.1）和偏差度量的风险识别者数量ρ(RTx*). 这有三个后果。首先，投资组合优化问题对于任何μ ∈ Rn不属于有限数量的超平面；因此，对于实际应用，可以安全地评估唯一性。其次，一个独特的最优投资组合对应于许多风险识别者，因此，合作投资中存在许多帕累托最优分享安排，这在实践中极为不便。同样令人惊讶的是，这种可能性只是从一般凸性理论中推断出来的，并被视为不太可能和不方便的情况，不具有首要意义，见Grechuk和Zabarankin（2017）。第三个结果与Black Litterman模型扩展到任意分布和偏差度量有关（Palczewski和Palczewski，2019）。与经典模型类似，扩展模型的第一步是解决逆投资组合问题，其中针对市场（或基准）投资组合x*一是建立均衡平均收益率μeq这就产生了x*作为最佳解决方案，参见Palczewski和Palczewski（2019年，第4节）。我们证明，如果x*是特定μ*然后反问题有多个解。因此，黑人垃圾处理方法得出的最终投资建议并非唯一。

然后使用我们的斯坦纳点方法选择一个独特的建议。论文的其余部分组织如下。第2节提出了一种在R上为每个凸函数指定唯一“扩展梯度”的St-einer点方法N在每一点上。第3节应用此方法选择资本配置和风险分担问题的唯一解决方案。第4节在偏差度量的框架内阐述了投资组合优化问题，定义了投资组合风险生成器，并从投资组合风险生成器的角度讨论了投资组合唯一性问题。第5节阐述了合作投资问题，并解决了n在其解的唯一性上的问题。第6节讨论了正向和反向优化问题解的唯一性之间的二分法。第7节考虑了非高斯分布的Black-Litterman模型的非唯一性后果。第8节总结了工作。2凸函数的扩展梯度2.1定义和公理化刻画letf : Rn→ R是任意（有限值）凸函数。已知Rockafellar（1970，定理23.1）的单侧极限（2.2）φf ,Y(X) = lim公司ε→0+f (Y + εX) - f (Y)ε存在于每个X, Y ∈ Rn. 限度φf ,Y(X) 被称为的方向导数f 在Y 关于X. 我们这么说f （G–teaux）在Y ∈ Rn如果（双面）limitlimε→0f (Y+εX)- f (Y)ε存在于每个X ∈ Rn. 在这种情况下，φf ,Y(X) 是中的线性泛函X,可以表示为φf ,Y(X) = QTX 对一些人来说Q ∈ Rn, 通常表示为Q =  f (Y) 称为梯度f 在Y.

众所周知，Rockafellar（1970，定理25.5）认为，任何有限值凸函数f 在R上n几乎在任何地方都是不同的。本节为“扩展”开发了一个公理化框架。梯度的概念是这样定义的，即每个凸函数的“扩展梯度”f : Rn→ Rat每个点Y ∈ Rn. 在下一节中，我们将证明这种“扩展梯度”在金融应用中很有用，包括资本分配、风险分担和合作投资。允许F 是所有凸函数的集合f : Rn→ R、 正式地，我们将扩展梯度定义为地图G : F ×Rn→ Rn, 分配给每个f ∈ F 和Y ∈ Rn向量GY( f ) ∈ Rn,使以下性质成立：（G1）可加性：GY( f + g) = GY( f ) + GY(g) 对于所有人f , g ∈ F 以及所有Y ∈ Rn;（G2）旋转不变性：Letf ∈ F 和g(Y) = f (AY), Y ∈ Rn, 哪里A 是一个n × n 旋转矩阵，也就是矩阵AT= A-1和det(A) = 1、Th enGY(g) = A-1.GAY( f ), Y ∈ Rn.（G3）连续性：LetY ∈ Rn, f ∈ F , 和f, f, . . . 是中函数的集合F 这样的limm→∞φfm,Y(X) = φf ,Y(X) 对于所有人X ∈ Rn. Thenlim公司m→∞GY( fm) = GY( f ).（G4）线性差异：Le tQ ∈ Rn, 然后让f (Y) = QTY, Y ∈ Rn是线性函数。然后GY( f ) = Q, Y ∈ Rn.性质（G1）-（G4）是“导数”或“梯度”概念的任何扩展所需要的性质。（G1）表示和的导数/梯度是和的导数/梯度之和，（G2）是坐标系旋转下的不变性，（G3）表示导数/梯度是函数的局部属性，并且在任何y方向上“局部看起来几乎相同”的两个函数应具有“几乎相同”的梯度。最后，（G4）指出线性函数的导数/梯度是常数。