投资组合优化与风险分析中解的唯一性

此外，在su应用中选择什么次要目标可能还不清楚。第2节没有引入次要目标，而是建议se-tof最优解只包含一个特殊解，满足一些非常理想的性质，如Lebesgue连续性，并建议选择此解。我们进一步证明，在某些条件下，鲁棒选择器可以描述为唯一的法律不变解，这在分布是模型唯一可观察特征的应用中是很自然的。我们已经展示了我们的理论结果，如定理4.8和定理2.2，在风险分析和投资组合优化中的各种问题的应用。当考虑的应用程序在其假设中是特定的，例如允许卖空、涉及的特定措施、特定的约束结构等，理论本身是非常普遍的。定理4.8和6.3可以推广到一大类（参数化）线性规划，并解释了为什么在正、逆线性优化中没有n唯一性问题是“常见的”。定理2.2提供了一种在任何点为任何凸函数指定唯一梯度的方法，当它是凸函数不可微的结果时，它在所有情况下都重新解决了非唯一性问题。参考AASE，K.K.（2002）。风险分担的观点。斯堪的纳维亚精算杂志，2002（2）：73–128。Arrow，K.J.（1963年）。不确定性与医疗福利经济学。《美国经济评论》，53:941–973。Bauer，D.和Zanjani，G.H.（2013）。资本配置及其不满。《保险手册》第863-880页。斯普林格。Bertsimas，D.、Gupta，V.和Paschalidis，I.C.（2012）。逆优化：Black-Litterman模型的新视角。运筹学，60（6）：1389–1403。Bertsimas，D.和Tsitiklis，J.（1997年）。

线性优化简介。马萨诸塞州贝尔蒙特市雅典娜科学院。Black，F.和Litterman，R.（1992年）。全球投资组合优化。《金融分析师杂志》，48:28–43。Borch，K.（1962年）。再保险市场中的风险。《计量经济学》，30:424–444。Cherny，A.和Orlov，D.（2011年）。关于一致性风险贡献的两种方法。数学金融，21（3）：557-571。Cherny，A.S.（2006年）。加权V@R及其特性。《金融与随机》，10（3）：367–393。Clarke，F.H.，Ledyaev，Y.S.，Stern，R.J.，和Wolenski，P.R.（2008）。非光滑分析与控制理论，第178卷。施普林格科学与商业媒体。Conejo，A.J.、Carrion，M.、Morales，J.M.等人（2010年）。《不确定性不确定性市场下的决策》，第1卷。斯普林格。第3章是关于生成场景的。Dana，R.-A.（2005年）。凹Schur凹函数的一个表示结果。MathematicalFinance，15（4）：613–634。Denault，M.（2001年）。风险资本的一致分配。《风险管理杂志》，4:1–34。Dentcheva，D.（1998年）。多功能的不同选择和分类表示。数学分析与应用杂志，223（2）：371–396。Dhaene，J.、Tsanakas，A.、Valdez，E.A.和Vandu Offel，S.（2012）。最优资本配置原则。《风险与保险杂志》，79（1）：1-28。Ermoliev，Y.M.，Norkin，V.I.，和Wets，R.J.（1995）。半连续函数的最小化：molli fier次梯度。暹罗控制与优化杂志，33（1）：149–167。Evans，L.C.和Gariepy，R.F.（2015）。测量理论和函数的特性。CRC出版社。Fabozzi，F.J.、Huang，D.和Zhou，G.（2010）。稳健的投资组合：运筹学和金融的贡献。运筹学年鉴，176（1）：191–220。第3.5.2节讨论了离散分布，并解释了这是一个实际重要的例子。Filipovi'c，D.和Kupper，M。

(2008). 货币效用函数的均衡价格。《国际理论与应用金融杂志》，11（3）：325–343。F"ollmer，H.和Schied，A.（2011年）。随机金融：离散时间导论。Walterde Gruyter。Gaivoronski，A.A.和P flug，G.（2004年）。投资组合优化中的风险价值：属性和计算方法。《风险杂志》，7（2）：1。Grechuk，B.（2015）。凸集的中心与资本配置。欧洲运筹学杂志，243:628–636。Grechuk，B.、Molyboha，A.和Zabarankin，M.（2013）。具有一般偏差测度的合作博弈。数学金融，23（2）：339–365。Grechuk，B.和Zabarankin，M.（2014）。偏差模型下的逆投资组合问题。《欧洲运筹学杂志》，234（2）：481–490。Grechuk，B.和Zabarankin，M.（2016）。具有一致风险度量的逆投资组合问题。《欧洲运筹学杂志》，249（2）：740–750。Grechuk，B.和Zabarankin，M.（2017）。合作投资的协同效应。《运筹学杂志》，249（1-2）：409–431。Grechuk，B.和Zabarankin，M.（2018）。不确定性下基于数据的直接决策。《欧洲运筹学杂志》，267（1）：200–211。Hunt，B.R.、Sauer，T.和Yorke，J.A.（1992年）。流行：有限维空间上的平移不变性“几乎所有”。美国数学学会的布列汀，27（2）：217–238。Kalkbrener，M.（2005年）。资本分配的公理化方法。数学金融，15（3）：425–437。Krokhmal，P.、Palmquist，J.和Uryasev，S.（2002年）。具有条件风险价值目标和约束的投资组合优化。《风险杂志》，4:43–68。Lim，A.E.，Shanthikumar，J.G.，和Vahn，G.-Y.（2011）。portfoliooptimization中的条件风险价值：连贯但脆弱。运筹学快报，39（3）：163–171。Lim，C.、Sherali，H.D.和Uryasev，S。

(2010). 通过不可微优化最小化条件风险价值来优化投资组合。计算优化与应用，46（3）：391–415。Lim，T.C.（1981）。凸集的中心。《美国数学学会会刊》，81（2）：345–346。Litterman，R.等人（2004年）。现代投资管理：均衡方法。约翰·威利父子公司。Lwin，K.T.、Qu，R.和MacCarthy，B.L.（2017）。平均var投资组合优化：非参数方法。《欧洲运筹学杂志》，260（2）：751–766。全文采用离散分布。Meucci，A.（2005年）。风险和资产配置。斯普林格，纽约。Palczewski，A.（2018年）。投资组合优化的LP算法：PortfolioOptim包。《R期刊》，10（1）：308–327。Palczewski，A.和Palczewski，J.（2019年）。连续分布的Black Litterman模型。《欧洲运筹学杂志》，273:708–720。菲尔普斯，R.R.（1974）。Banach空间中的可凹性和极值点。功能分析杂志，17（1）：78–90。Rockafellar，R.T.（1970年）。凸分析。普林斯顿大学出版社。Rockafellar，R.T.，Uryasev，S.，和Zabarankin，M.（2006a）。风险分析中的广义偏差。《金融与随机》，10（1）：51–74。Rockafellar，R.T.、Uryasev，S.和Zabarankin，M.（2006b）。具有一般偏差度量的投资组合分析中的最优性条件。数学规划，Ser。B、 108:515–540。Rockafellar，R.T.，Uryasev，S.，和Zabarankin，M.（2007）。利用偏差度量的多样性与投资者达成均衡。《银行与金融杂志》，31（11）：3251–3268。Salinetti，G.和Wets，R.J.-B.（1979年）。关于有限维中凸集序列的收敛性。暹罗评论，21（1）：18–33。施耐德，R.（1971）。关于凸体的steiner点。以色列数学杂志，9（2）：241-249。Tasche，D.（2007年）。

业务单位和su b投资组合的资本分配：欧拉原则。arXiv预印本arXiv:0708.2542。Vitale，R.A.（1985）。有限维中的斯坦纳点。以色列数学杂志，52（3）：245–250。夏，J.（2004）。不完全市场中的多主体投资。《金融与随机》，8（2）：241-259。附录A法律不变量选择器第6.2节介绍了一种选择反向投资组合优化问题唯一解决方案的方法。该方法基于鲁棒性原则。它的优点是健壮的选择器总是唯一确定的。在这里，我们讨论一种基于法律不变性原则的替代方法。对于某些偏差度量，法律不变性选择器可能不是唯一的，在这种情况下，法律不变性无法解决逆优化问题的非唯一性。然而，它在财务上和概率上都是自然的，并且适用于一些重要的特殊情况。定义A。1、选择器fD: L(Ω) → L（Ω）称为定律不变量，如果E[YfD(X)] =E[YfD(X)] 每对r.v.s(Y, X), (Y, X) ∈ L(Ω) × L（Ω）具有相同的联合法则。偏差度量D 如果D(X) = D(Y) 当r.v.sX 和Y具有相同的分布。例如，CVaRΔα（CVaR偏差）对于α ∈ (0, 1). 注意，并不是每个偏差度量都是定律不变的：一个非定律不变偏差度量的简单示例可以在Ω={ω, ω}, 带P[ω] =P[ω] = 0.5和（A.54）D(X) := 最大值X(ω) - X(ω), 2( X(ω) - X(ω)).在非形概率空间的框架下，我们证明了一个律不变选择器的存在性，但不是唯一性。定理A.2。如果Ω是一致的，则存在一个定律不变选择器fD对于每个定律不变量偏差度量D.证据它很容易从下面的引理A.3、A.4和A.5得到。

对于非均匀有限概率空间，上述定义的定律不变性概念对于定义唯一选择器几乎没有用处，因为例如，onΩ={ω, ω} withP公司[ω] ≠ 0.5，r.v.sX 和Y 具有相同的分布当且仅当X = Y, 而且，根据定义，每个偏差度量，包括（A.54），都是法律不变性的。出于类似的原因，每个选择器fD在这样的概率空间上是定律不变的。下面的结果将法律不变性的概念适当扩展到非均匀概率空间。r.v。X 主导r.v。Y 在二阶随机优势中，表示为X Y, 如果t-∞FX(x)dx ≤t-∞FY(x)dx, t ∈ R、 R.v。X 主导r.v。Y 在con cave顺序中，表示为X cY, 如果E[X] = E[Y] 和X Y.偏差度量D 与凹阶一致，如果D(X) ≤ D(Y) wh enever公司X cY.引理A.3。如果偏差测量D 与凹阶一致，它是定律不变的。如果Ω是一致的，则相反的说法也成立。证据第一种说法微不足道，第二种说法众所周知，但证明通常针对无原子概率空间，见Dana（2005，定理4.1）。对于离散形式Ω，设r.v.sX 和Y 获取值x≤ · · · ≤ xN和y≤ · · · ≤ yN, 分别地然后X cY 相当于（A.55）ki=1.xi≥ki=1.yi, k = 1.N,具有相等的k = N. 让我们证明在这种情况下Y 可从以下地址获得X 按操作顺序（a.56）(z, z, . . . , zN) → (z, . . . , zi-1.zi- d, zi+1.zj-1.zj+ d, zj+1.zN),d > 0, 1 ≤ i < j ≤ N.这句话对于N = 2和案例N > 2可通过归纳法进行验证。如果ki=1.xi=ki=1.yi对一些人来说k < N, 我们可以将归纳假设应用于一对r.v.sX= (x, . . . , xk)和Y= (y, . . . , yk), 单独配对X= (xk+1.xN) 和Y= (yk+1.

, yN), 得出结论，存在一系列操作（a.56）转换X到Y和X到Y, 因此X 到Y. 否则，将操作（A.56）应用于X 具有i = 1.j = N, 和d =最小值kki=1(xi-yi) > 0，获取X = (x, x, . . . , xN) → (x-d, x, . . . , xN+d) = (z, . . . , zN) = Z.则条件（A.55）适用于z, z, . . . , zN代替x, x, . . . , xN, 有些人是平等的k < N, 因此Z 可以转换为Y 根据上述论点。因为运算（A.56）只能增加定律不变的偏差量D, D(X) ≤D(Y) 跟随。引理A.4。如果适用于任何r.v。X ∈ L（Ω）选择器fD满足条件（A.57）Q(ωi) = Q(ωj) 无论何时X(ωi) = X(ωj),哪里Q = fD(X), 那么它就是定律不变的。如果Ω是一致的，则相反的说法也成立。证据条件（A.57）意味着Q = g(X) 对于某些功能g : R→ R、 那么E[YQ] =E[Yg(X)] = E[Yg(X)] = E[YQ] 无论何时成对的r.v.s(Y, X) 以及(Y, X) 具有相同的联合法则。相反，设Ω为u形，且X(ωi) = X(ωj). 然后是成对的r.v.s(Ii, X) 以及(Ij, X)具有相同的共同法律，其中Ii和Ij是指示器功能ωi和ωj, 分别地如果fD这意味着法律是不变的Q( ωi) = N · E[IiQ] = N · E[IjQ] = Q(ωj), 哪里N = |Ω|，和（A.57）如下。引理A.3和A.4意味着凹序的一致性和（A.57）分别是偏差测度和选择器的非均匀概率空间的定律不变性概念的适当扩展。引理A.5。对于每个偏差测量D, 与凹面排序一致，存在选择器fD令人满意（A.57）。证据安装r.v。X, 选择任何风险识别器Q 对于X, 然后让fD(X) := E[ Q |X].

那么对于所有人来说Y ∈ L(Ω),E[(1 - fD(X))Y] = E[(1 - E[Q|X])Y] = E[(1 - Q)(E[Y|X])] ≤ D(E[Y|X]) ≤ D(Y),其中第一个不平等来自Q ∈ Q 和（4.26），而第二个来自D 具有凹序，并且E[Y|X] cY, 见F"ollmer和Schied（2011，推论2.61）。因此fD(X) ∈ Q 通过（4.27）。因为也E[(1 - fD(X))X] = E[(1 -E[Q|X] )X] = E[(1 - Q)X] = D(X), fD(X) 实际上是风险识别者X, 条件（A.57）基本成立。示例9。CVaR偏差D = CVaRΔα, 存在一个满足（a.57）的un-IQE选择器，它由（见Cherny（2006））（a.58）给出fD(X) = Qα=0, X > -VaRα(X),cX, X = -VaRα(X),1/α, X < -VaRα(X),其中常量cX∈ [0, 1/α] 是这样的E[Q] = 1.示例10。对于混合CVaR偏差（4.29），存在唯一的选择器（a.57），其形式如下fD(X) = Qμ=Qαμ(dα), 哪里Qα由（A.58）给出（见Cherny（2006））。示例11。平均绝对偏差MAD(X) = kX - EX k（c.f.示例2），如果P(X =EX) > 0，有很多选择者满意（A.57）。示例11表明，施加条件（A.57）可能不足以指定唯一解，在这种情况下，需要另一种方法。下面的引理证明了鲁棒和法律不变选择器概念的一致性。引理A.6。设Ω为均匀。然后，对于每个定律不变的偏差度量D, 相应的鲁棒选择器fD是定律不变的。证据允许X ∈ L（Ω）和1≤ i < j ≤ N 是这样的X(ωi) = X(ωj). 允许T : L(Ω) → L（Ω）是地图交换索引i 和j, 也就是说Y = (y, . . . , yN),T(Y) = (y, . . . , yi-1.yj, yi+1.yj-1.yi, yj+1.yN).然后T(X) = X. 允许AD RN是其上的集合D : RN→ R是可区分的。由于D.

根据法律不变性，D(T(Y)) = D(Y),  Y.因此Y ∈ AD因此T(Y) ∈ AD, 我们有T( fD(Y)) = fD(T(Y)). 等式。（2.15）意味着Y ∈ L(Ω) ≡ RN,T( fD(Y)) = Tlim公司ε→0E[ fD(Y + eε)]= lim公司ε→0E[T( fD(Y + eε))]= lim公司ε→0E[( fD(T(Y + eε))] = fD(T(Y)),哪里eε均匀分布在球上Bε(0)  RN期望运算将eε. 因为T(X) = X, 这意味着T( fD(X)) = fD(X). 因此，（A.57）成立，并且fD引理A.4表示定律不变。综上所述，本文提出了选择唯一选择器的两个原则，并在集合M有多个点时给出了逆优化问题的唯一解。一条原则指出，如果D 是法律不变的，我们应该μi= μj在（6.49）中，Whenverpairs（^）r(i),^RTxM) 和（^）r(j),^RTxM) 具有相同的共同法律。这一原则已能有效解决CVaR偏差问题，更一般地说，也能解决混合CVaR偏差问题，但通常情况下，可能无法返回唯一的解决方案。另一个原则假设，正如第2节所定义的那样，Selector的Th应该是“健壮的”，并且它的优点是它总是返回唯一的解决方案。然而，其经济解释/公正性不如法律不变性原则那么明确。