资产价格分布与有效市场

鉴于我们的设置的普遍性，很难看出将瞬时跳跃引入资产价格动态（2.1）将如何有意义地改变我们的结论。尽管如此，在第3节中，我们使用月度离散时间资产价格数据确认了连续时间结果的有效性，这一点很重要，也很令人放心。然而，这并不奇怪，因为使用离散时间数据，无法将瞬时价格上涨与快速但持续的价格变化区分开来，根据（2.1）的规定，这是允许的。最后，资产价格调整的假设只意味着它们不能依赖未来。这反映了一个现实，即代理没有洞察力，无法将有关随机过程未来实现的信息传递到当前。分解（2.1）将资产价格动态分为两个不同的部分。第一种是有限变化过程gi，其瞬时方差为零（零二次方差），衡量价格随时间的累积增长。尽管变化有限，但累积增长过程GI可以根据经济和金融条件以及其他因素（包括不同资产的价格）不断变化。在第2.4节中，我们表明我们的主要相对收益分解结果也包括一个有限的变化过程。在随后的实证分析第3节中，我们使用离散时间资产价格数据构建了这一有限变化过程，并将其时间序列行为与正二次变化（瞬时方差大于零）过程的行为进行了明确对比。分解的第二部分（2.1）由平方可积局部鞅vi组成。

一般来说，该过程具有正瞬时方差（正二次方差），因此其波动比有限变量累积增长过程gi的波动更大、更快。请注意，局部鞅比鞅更一般（Karatzas和Shreve，1991），因此包含一类非常广泛的连续随机过程。直觉上，这个过程可以被认为是一个随机游走，其方差可以根据经济和金融条件以及其他因素不断变化。此外，我们考虑了不同资产价格的局部鞅分量之间的潜在时变协方差的丰富结构，这是通过交叉变异过程（2.2）测量的。我们在第3节中应用我们的理论结果的商品期货市场提供了我们理论最干净的应用之一，因为商品很少退出市场，而且它们的期货合约也不支付股息。许多研究将商品未来价格分解为风险溢价和未来现货价格预测（Fama和French，1987；Chinn和Coibion，2014）。大宗商品现货价格是未来价格的主要决定因素，反过来又与存储成本和供需波动相关（Brennan，1958；Alquist和Coibion，2014）。在本文献的背景下，从决定现货和期货商品价格的基本经济和金融力量到资产价格的一般连续半鞅表示（2.1），存在许多潜在映射。

事实上，存储成本上升、需求增加、风险溢价上升以及许多其他因素都可以表示为累积增长过程gi的增加。同样，影响大宗商品市场的所有不可预测的随机冲击都可以表示为局部鞅vi的变化。然而，关键的一点是，所有这些模型以及它们强调的不同经济和金融因素都与资产价格的简化形式表示相一致（2.1）。毕竟，任何提出商品价格增长和波动解释的模型都可以转化为我们的设置。（2.1）的优点是，我们无需承诺任何特定的资产定价模型，从而可以得出所有不同模型的一致结果。2.2投资组合策略投资组合策略s（t）=（s（t），sN（t））规定了每项资产的股份数量i=1，N将于时间t持有的股份。股份s，构成portfoliostrategy的SN必须是可测量的、可调整的和非负面的。投资组合策略的价值用Vs>0表示，对于所有t，满足度Vs（t）=NXi=1si（t）pi（t），（2.3）。有时，用权重来描述投资组合策略也很有用，用wws（t）=（ws（t），wsN（t）），用于衡量投资组合在每项资产中所占的比例。投资组合策略si所持有的每项资产的份额很容易与该投资组合策略wsi的权重相关联。特别是，投资组合策略s（t）=（s（t），对于所有i=1，…，sN（t））的权重等于towsi（t）=pi（t）si（t）Vs（t），（2.4），N和所有t，因为（2.4）等于投资组合s投资于资产i的美元价值除以投资组合s的美元价值。

使用（2.3）和（2.4）可以很容易地确定权重wsium为1。我们要求所有投资组合满足自我融资约束，这确保投资组合策略的收益或损失能够反映投资价值随时间的变化。这意味着vs（t）- Vs（0）=ZtNXi=1si（t）dpi（t），（2.5）对于所有t。此外，为了允许在公平的领域进行比较，我们设定了这样的假设：投资组合只持有每项资产的非负股份，因此不持有空头头寸，这只是为了简单。我们的理论和结果也可以推广到多空投资组合。所有投资组合的初始持有量相等。在不丧失一般性的情况下，我们将该初始值设置为经济体中所有资产的组合初始价格，因此对于所有投资组合策略s，vs（0）=NXi=1pi（0），（2.6）。在我们的许多理论和实证分析中起核心作用的投资组合策略的一个简单示例是市场投资组合策略，我们用m表示。市场投资组合m持有每项资产的一份份额，因此m（t）=（1，…，1）代表所有t。根据（2.3），我们得出市场投资组合策略的价值Vm由Vm（t）=NXi=1mi（t）pi（t）=NXi=1pi（t），（2.7）代表所有t。请注意，市场投资组合满足自我融资约束，因为ZtNXi=1mi（t）dpi（t）=ZtNXi=1pi（t）=NXi 1pi（t）-NXi=1pi（0）=Vm（t）- 所有t的Vm（0），（2.8）。它也满足初始条件（2.6），如t=0时的评估（2.7）所示。我们对投资组合战略的定义非常广泛，包括许多在现实世界中难以实施或成本高昂的战略。这种广泛性是有意的，因为它有助于展示我们理论结果的普遍性和威力。

事实上，我们的主要贡献之一是表明，在几乎不需要对资产价格的基本动态进行任何假设的情况下，一大类投资组合的回报可以被简单地描述。一旦我们为一般投资组合策略建立了这种分解，我们将转向具体的例子来解释和强调我们的结果。2.3资产价格的分布在我们的框架中，资产价格的分布可以简单地描述为相对价格的函数。设θ=（θ，…，θN），其中每个θi，i=1，N、 由θi（t）=pi（t）PNi=1pi（t）给出。（2.9）由于连续半鞅在假设下均为正，因此0<θi<1，对于所有i=1，N、 通过构造，我们还得到θ+···+θN=1。Wedenote相对价格向量θ=（θ，…，θN）的范围, 因此 =（（θ，…，θN）∈ （0，1）N:NXi=1θi=1）。（2.10）请注意，市场投资组合策略m的权重等于相对价格向量θ，其定义为始终持有每个资产组的一股。这是（2.4）和（2.7）的即时序列，这意味着WMI（t）=pi（t）Vm（t）=pi（t）PNi=1pi（t）=θi（t），（2.11）对于所有i=1，N和所有t。我们描述的投资组合策略是使用资产价格分布的分散性度量构建的。我们证明了这些投资组合相对于市场投资组合的回报率在很大程度上取决于资产价格分散的变化。以下定义使资产价格分布的分散成为一个精确的概念。定义2.1。两次连续可微函数F： → R是价格离散的度量，如果它在相对资产价格θ，…，的置换下是凸的和不变的，θN.我们说，作为价格离散度的衡量指标，资产价格的离散度更大（更小）增加（减少）。

下面的引理解释了为什么定义2.1（Fernholz（2002）对多样性度量的凸分析）准确地捕捉到了资产价格分散的概念。引理2.2。设F是价格离散度的度量，θ，θ∈ . 假设max（θ）=max（θ，…，θN）>max（θ，…，θN）=max（θ），（2.12），并且对于{1，…，N}的某个子集中包含N的所有i，θi=θi- 2个要素。ThenF（θ）≥ F（θ）。此外，如果F是严格凸的，则F（θ）>F（θ）。为了了解引理2.2如何解释定义2.1的有效性，让我们考虑两个相对价格向量θ，θ∈ . 假设θ的最大相对价格大于θ，而除一个相对价格外的所有其他相对价格都相等。在这种情况下，相对价格向量θ比θ更分散，因为这两个向量相等，只是θ的最大价格高于θ。根据引理2.2，在这种情况下，θ的价格离差F的任何度量都将弱于θ，从而证明F在资产价格离差中弱递增。通过类似的逻辑，引理还确定，任何价格离散度F的严格凸度量在资产价格离散度中严格增加。我们希望考虑两种具体的价格分散措施，这两种措施在我们的实证分析中对形成投资组合起着关键作用。第一个度量基于几何平均函数G： → [0, ∞), 定义为g（θ（t））=（θ（t）··θN（t））1/N。（2.13）由于几何平均值函数是凹函数，函数-根据定义2.1，G<0是价格离散度的度量。价格分散的第二个衡量标准是基于恒定替代弹性（CES）函数U： → [0, ∞), 定义为u（θ（t））=NXi=1θγi（t）！1/γ，（2.14），其中γ为非零常数，对于所有i=1。

，N.与几何平均值函数一样，CES函数也是凹函数，因此-根据定义2.1，U<0是价格离散度的度量。我们使用价格离散度度量构建的投资组合策略具有相对收益，可以分解为资产价格离散度的变化和非负漂移过程。这种漂移过程是根据相关的价格离散度衡量标准来定义的。对于价格离散度F和i的任何度量，j=1，N、 让我们注意F相对于θi的部分导数，Fθi，让Fijdenote表示F对θi和θj的偏导数，Fθiθj，设HF=（Fij）1≤i、 j≤ndnote F的Hessian矩阵。定义2.3。对于价格离散度F的任何度量，相关漂移过程αF注意到，如果max（θ）>max（θ），那么对于至少两个指数i=1，…，θi6=θif，N为简单起见，我们排除了γ=0且U成为Cobb-Douglas函数的情况。由αF（θ（t））=NXi，j=1Fij（θ（t））dhθi，θji（t）给出。（2.15）引理2.4。对于价格离散度F的任何度量，漂移过程αF等于αF≥ 此外，如果秩（HF）>1且协方差矩阵（dhpi，pji）1≤i、 j≤所有t均为正，则αF>0。漂移过程αf的非负性非常重要。我们表明，连同价格分散的变化，这个过程通过对形式（1.1）的分解，准确地描述了一大类投资组合策略相对于市场的回报。因此，如果资产价格离散度在长时间内大致保持不变，那么许多投资组合的长期相对回报率将由漂移过程主导，因此将为非负。

此外，在这种情况下，长期相对回报率将严格为正，如果适当选择价格离散度F的度量，使排名（HF）>1，并且资产价格的瞬时方差为正且不完全相关，那么（dhpi，pji）1≤i、 j≤Nis正定义。事实上，在第3节中，我们确认了商品期货价格分散在长期内的近似稳定性，以及这种稳定性所暗示的可预测的正相对回报。2.4一般结果在本节中，我们描述了一大类投资组合策略相对于市场的回报。我们表明，这些相对收益可以分解为前一节中定义的非负收益过程和价格分散的变化，如（1.1）所示。我们的研究结果背后的一个关键思想是，价格离散度的每一个度量fh都是一个相应的投资组合策略，其相对于市场的回报率由相关的非负漂移过程αF的值和F的变化来表征。因此，通常认为价格分散的衡量标准会“生成”相应的投资组合，从而允许这种分解（Fernholz，2002；Karatzas和Ruf，2017）。这一结果的一个含义是，价格分散度的度量与投资组合策略之间存在一对一的联系，其相对回报取决于价格分散度度量的变化。以下定理类似于Karatzas和Ruf（2017）命题4.7中更一般的结果，将这一想法形式化。定理2.5。设F是价格离散度的度量，并假设F（θ）<0表示所有θ∈ . 然后，投资组合策略s（t）=（s（t），sN（t）），其中si（t）=Vs（t）Vm（t）1+F（θ（t））Fi（θ（t））-NXj=1θj（t）Fj（θ（t））！！，（2.16）对于每个i=1。

，N，有一个值过程Vsthat satifieslog Vs（T）- 日志Vm（T）=-ZTαF（θ（t））F（θ（t））+对数(-F（θ（T）），（2.17）表示所有T。定理2.5之所以强大，是因为它将一大类投资组合策略的收益分解为非负漂移过程α的累积值和由F测量的价格离散度。至关重要的是，这些投资组合策略很容易实施，而不需要了解资产的基本原理。（2.16）特定的投资组合s是指在时间t持有的每项资产的股份数量，作为时间t时不同资产相对价格的函数，用相对价格向量θ（t）来衡量，以及在时间t时投资组合的相对价值，用Vs（t）/Vm（t）来衡量。随着时间的推移，这些数量很容易观察到，并且不需要困难的计算或昂贵的信息获取。定理2.5的分解（2.17）描述了在时间T，根据价格离散调整的相关漂移过程的累积值，相对于市场投资组合策略m的对数值，投资组合策略s的对数值，-RTαF（θ（t））F（θ（t）），以及负资产价格离散度的对数值，log(-F（θ（T）））。为了从相对投资组合价值的特征化转变为相对投资组合回报的特征化，我们采用了（2.17）两侧的差异。该产量与（t）的比值- d log Vm（t）=-αF（θ（t））F（θ（t））+d对数(-F（θ（t）），（2.18）对于所有t.根据（2.18），那么，投资组合s相对于市场的对数回报不能表示随机积分rαFis根据（2.15）针对αF中包含的交叉变化过程进行评估。在附录B中，我们表明没有必要用对数来描述（2.16）中的分解。

见定理B.1。分解为漂移过程的非负值，通过价格离散度进行调整，通过-αF/F≥ 0，以及资产价格离散度的变化，通过d log测量(-F）。相对回报特征（2.18）与导言中的直观版本（1.1）具有相同的形式。因此，定理2.5意味着，在设定价格离散度的增加（减少）会降低（提高）一大类投资组合的相对回报。它还表明，如果价格离散度不变，那么这一大类投资组合的相对回报率将为非负或正，因为根据引理2.4，（2.17）的漂移过程是非负或正的。我们使用第3节中的商品期货数据证实了这两个预测。定理2.5的另一个含义是，投资组合策略的相对价值分解的一部分是一个有限的变化过程。特别是，由价格离散调整的漂移过程的累积值，-RTαF（θ（t））F（θ（t））是一个有限的构造变量过程。要了解原因，请注意，非负连续过程的随机积分是连续且非递减的，任何非递减连续过程都是有限变分过程（Karatzas和Shreve，1991）。回顾第2.1节，一个有限的变化过程有有限的总变化超验间隔[0，T]。这意味着该过程具有零二次方差，或者等效地，零瞬时方差。在第3节中，我们使用月度商品期货数据对定理2.5所述的实际相对收益进行分解，并显示零瞬时方差过程的时间序列行为之间的明显对比-RTαF（θ（t））F（θ（t））和正瞬时方差过程日志(-F（θ（T）））。