资产价格分布与有效市场

换句话说，随着可交易资产数量N的增加，投资组合的表现也会上升。这并不奇怪，因为更多的可交易资产通常意味着非负漂移过程αF的价值更大，正是这一过程主要决定了长期内的相对投资组合回报，如下所示。第2节的一般理论没有对portfolioreturns的大小做出任何陈述。相反，该理论指出，根据定理2.5，与市场相关的一大类投资组合策略的回报可以分解为非负漂移和资产价格分散的变化。当应用于推论2.6和2.7中的等权重和CES权重投资组合时，这意味着等权重投资组合策略的相对回报可以分解为由价格分散调整的漂移过程，-αG/G≥ 0，以及资产价格分布几何平均值的变化，如（2.29）所示。同样，CES加权投资组合策略的相对回报可以分解为由价格离散度调整的漂移过程，-αU/U≥ 0，以及适用于资产价格分布的CES函数的变化，如（2.32）所示。为了实证研究定理2.5的分解（2.17），在图3中，我们绘制了等权投资组合策略的累积异常回报率（相对于价格加权市场投资组合策略的回报率）以及由价格分散调整的漂移过程的累积价值，-αG/G，1974-2018年。此外，图4绘制了通过减去商品价格分布几何平均数（G）的对数（相对于1974-2018年的平均值进行归一化）来衡量的价格分散度。

除了与价格加权投资组合相关的等权重投资组合的一致性和实质性表现外，这些数据表明，等权重投资组合的短期相对收益率波动密切遵循商品价格离散度的波动，而这些相对收益率的长期行为密切遵循平滑调整后的漂移。事实上，图4中价格分散的高波动性与图3中调整后漂移的近零波动性之间形成了鲜明对比。这是一个重要的观察结果，是定理2.5和推论2.6的直接预测，我们将在下面进一步讨论这一点。除了价格分散和调整漂移的相对波动性外，图3和图4显示，等权投资组合策略的累积异常收益等于调整漂移过程的累积值RT-αG（θ（t））/G（θ（t）），加上商品价格分布的几何平均数log，log G（θ（t））。实际上，图3（累计异常回报）中的实心黑线等于同一图中的红色虚线（调整漂移过程的累积值）减去图4中的线（减去商品价格分布的几何平均值的对数）。这正是推论2.6中（2.29）所描述的关系。然而，我们强调，这种经验关系是非负调整漂移过程，-计算αG/G。

对于我们有数据的每一天-通过从累计异常回报率log Vg中减去商品价格分布几何平均数log G的对数值，计算截至当天的αG/G- 根据推论2.6中的标识（2.29），记录Vm。考虑到图3和图4的经验分解是为了（2.29）必须保持不变而构建的，因此很自然会想知道这种分解的有用性是什么。其中一些有用之处在于预测该分解的一部分，即调整漂移过程的累积值，-αG/G，是非递减的。图3中调整后漂移线累积值的平滑向上斜率明确证实了这一预测，并对等权重和价格权重投资组合策略的长期相对绩效产生了影响，如下所述。然而，分解（2.29）的大部分有用性在于预测调整后漂移过程的累积值是一个有限的变化过程，而另一部分，商品价格分布几何平均值的对数值log G不是。

回顾第2.1节和第2.4节的讨论，有限变化过程具有零二次变化或零瞬时变化。需要明确的是，预测调整后漂移过程的累积值是一个细分过程，并不是预测使用每月离散时间数据计算的调整后漂移过程累积值变化的样本方差将等于零，而是预测这些变化将随时间大致保持不变。换句话说，我们的结果预测，经过调整的漂移过程的累积值将以大致恒定的速率增长，随着时间的推移，变化很小。这种平稳的增长正是图3的红色虚线所示，如上所述，与图4所示的价格分散的高度波动行为形成鲜明对比。可以通过注意变量系数来量化这种对比。注意，使用离散时间数据计算的连续时间有限变量过程的样本方差永远不会完全等于零。调整后漂移过程累积值的变化系数等于3.14，而负价格离散度的变化系数等于124.64。这些结果证实了定理2.5和推论2.6的一个关键预测。调整后漂移的正值和相对恒定值，-αG/G，随着时间的推移，对于等权投资组合策略相对于价格加权市场投资组合策略的长期回报具有重要的影响。由于（2.18）和定理2.5意味着相对收益可以分解为调整后的漂移和资产价格分散的变化，因此，在长期范围内，持续的正调整漂移只能通过持续上升的资产价格分散来平衡。

在没有这种上升离散度的情况下，正漂移保证了相对于市场的跑赢大市。因此，图4所示的商品价格分散度相对较小的增长，以及图3所示的调整后漂移的正值，确保了在1974-2018年期间，等权重投资组合的表现优于市场投资组合。以与图3类似的方式，图5绘制了CES加权投资组合策略的累积异常回报以及由价格分散调整的漂移过程的累积值，-αU/U，1974-2018年同期。图6绘出了通过减去应用于资产价格分布的CES函数的对数来测量的价格分散度，U，相对于该时间段内的平均值进行归一化。与等权投资组合一样，图5中调整后漂移过程的累积值使用推论2.7中的等式（2.32）计算。图5和图6中CES加权投资组合的结果与图3和图4中同等加权投资组合的结果紧密一致。事实上，图5和图6显示，CES加权投资组合策略的短期相对回报率波动密切遵循商品价格分散的波动，通过减去CES函数来衡量，而这些相对回报的长期行为密切遵循平稳累积的调整漂移。

与图3非常相似，图5显示了调整后漂移的累积值，根据定理2.5，这是一个有限的变化过程，随着时间的推移，其以大致恒定的速度增长，这与图6所示的稳定增长和价格分散的快速波动形成了鲜明对比。如上所述，调整后的漂移，-αU/U近似为常数，与其累积值是一个有限变化过程的预测一致，从而证实了定理2.5和推论2.7中的一个关键结果。最后，图5证实了CES加权投资组合相对于价格加权市场投资组合的一致性和实质性表现，如表2和表3所示。与等权重投资组合一样，（2.17）和定理2.5预测了这种长期表现，与图5.4讨论中观察到的调整漂移累积值的大幅增加相比，图6中观察到的价格分散变化相对较小。图3-6中显示的经验结果证实了定理2.5和推论2.6和2.7的预测，即分解（2.18）几乎是常数。因此，这种分解及其直观版本（1.1）可以理解为相对回报=常数- 资产价格分散的变化。

（4.1）此外，图3和图5的结果清楚地表明，在商品期货的等权重和CES权重组合中，这种非负恒常裂谷实际上是正的。4.1价格分散资产定价因素综上所述，我们的理论和实证结果表明，资产价格分散的变化是相对于市场的一大类投资组合回报的关键决定因素。因此，相对资产价格的分布（通过这些价格的离散度来衡量）必然是一个资产定价因素。这一事实从（4.1）中可以明显看出，该模型的建立方式与经验资产定价因子回归模型相同（Fama和French，1993）。然而，至关重要的是，建立直观版本（4.1）的定理2.5的理论结果是在基本上与任何资产定价模型一致的最小假设下实现的，这意味着该价格分散系数在不同的经济和金融环境中是普遍存在的。我们在图3-6中的实证结果有助于证实这种普遍性，尤其是当与先前记录美国股市定理2.5分解准确性的研究结合在一起时（Vervourt和Karatzas，2015）。我们结果的普遍性为最近提出的许多关于经验资产定价文献的批评提供了一种新的解决方法。特别是，这篇文献所确定的因素和异常数量之高令人难以置信，且不断增加，遭到了许多指责。例如，Harvey等人（2016年）研究了数百种不同的资产定价因素和异常情况，这些因素和异常情况是使用标准的实证方法发现的，并得出结论，大多数可能无效。他们还为未来的实证分析提出了更高的统计重要性标准。

同样，Bryzgalova（2016）表明，在linearasset定价模型中，应用于不适当风险因素的标准经验方法可能产生虚假的高显著性。Novy Marx（2014）提出了不同的批评，证明许多所谓的不同异常可能是由一个或两个共同的风险因素驱动的。所有这些研究表明，文献中提出的大量因素和异常夸大了真实数字。定理2.5确定的资产价格分散系数不是使用特定的经济模型或特定的回归框架推导出来的，而是使用一般的数学方法，将资产价格表示为与基本模型和经验规范一致的连续半鞅。因此，我们所描述的价格分散资产定价因子不受本文献的批评。4.2价格分散、价值和原始多样化定理2.5和推论2.6和2.7的结果对Asness et al.（2013）发现的商品价值异常和DeMiguel et al.（2009）描述的原始1/N多样化的惊人效果提供了新的解释。Asness et al.（2013）的商品价值异常是通过对商品期货价格与其五年前的平均价格进行排名，然后比较低等级、高价值商品组合的回报与高等级、低价值商品组合的回报来构建的。这种价格排名系统类似于我们根据1969年开始日期的商品期货价格实施的价格正常化。

由于等额加权商品期货组合比价格加权市场组合更重视标准化价格较低的商品，因此我们在表2和表3中报告的可预测超额收益与Asness等人（2013）的商品价值效应相似。然而，这些结果与我们的结果之间的一个关键差异在于，我们将等额和CES加权投资组合策略的可预测超额收益与商品价格离散度的近似稳定性联系起来，后者通过减去几何平均值和CES函数来衡量。这种联系对于理解这些超额回报背后的经济和金融机制至关重要。我们的结果表明，这种超额回报随着资产价格分散度的上升而下降，只有当资产价格分散度没有随时间大幅上升时，才能确保正超额回报。因此，任何解释表2和表3的可预测超额收益以及商品期货的相关价值异常的尝试，都必须解释图4和图6所示的商品价格分散的波动，因为这些波动推动了超额收益的波动。这一结论表明，深入理解资产价格分散波动背后的经济和金融机制非常重要。DeMiguel等人（2009年）利用几个不同的数据集考虑了许多不同的投资组合多元化策略，并表明对每个资产进行同等加权的简单策略始终优于几乎所有更复杂的策略。一种基于CAPM的价值加权市场投资组合策略优于单纯的1/N多元化策略。该策略相当于第2.2节中定义的市场组合，因为我们的价格权重相当于其价值权重。

因此，推论2.6的结果可以应用于与DeMiguel等人（2009年）发现的价值加权市场投资组合相关的等权重投资组合的超额回报。特别是，推论表明，这种超额回报是由非负升幅和资产价格分散度的变化决定的，而资产价格分散度的变化是通过减去相对价格的几何平均值来衡量的。推论2.6的分解为Demiguel et al.（2009）的结果提供了一种新的解释，即这些作者考虑的各种不同经验数据集分布的稳定性。与大宗商品的价值异常情况一样，我们的理论分解表明，随着资产价格分散度的上升，单纯的1/N多元化战略的超额收益会下降，只有当分散度没有随时间大幅上升时，才是正的。因此，我们的结果强烈表明，DeMiguel et al.（2009）考虑的各种不同资产的价值相对稳定，这与我们在图4和图6中观察到的商品期货价格类似。在没有这种稳定性的情况下，没有理由像作者所观察到的那样，期望等权投资组合的表现超过价值加权市场投资组合。这些结论再次强调了深入理解资产价格分散波动背后的经济和金融机制的重要性。4.3价格分散和有效市场定理2.5的相对收益分解揭示了一种新的市场二分法，即股息和资产进入/退出随时间的推移所起的作用很小。一方面，随着时间的推移，资产价格的分布可能大致稳定，在这种情况下（4.1）意味着一大类投资组合策略存在可预测的超额回报。