资产价格分布与有效市场

特别是，我们发现，正如定理所预测的那样，有限变差过程的样本方差比正二次变差过程的样本方差低几个数量级。分解（2.17）和（2.18）只不过是会计恒等式，在离散时间近似，在连续时间精确。在这些结果中，基本上没有关于资产价格基本动态及其共同运动的限制性假设，因此很难想象一个与定理2.5有意义冲突的资产定价均衡模型。尽管有这种普遍性，但这些结果背后的两个简化假设——资产不支付股息，市场关闭，因此随着时间的推移，资产不会进入或退出——值得进一步讨论。如果我们在框架中包含股息，我们将得到一个与（2.17）非常相似的相对值分解。在这种情况下，唯一的区别是在（2.17）中增加了一个额外的术语，用于衡量投资组合策略的累积股息相对于市场投资组合策略的累积股息。那么，在股息存在的情况下，相对资本收益仍然可以分解为漂移过程和价格分散的变化，如定理2.5所示。唯一复杂的是一个额外的期限，该期限衡量相对累积股息作为相对投资价值的一部分。定理2.5的结果也可以扩展到包括资产随时间的进入和退出。如第2.1节所述，封闭市场假设可以通过引入一个局部时间过程来放松，该过程测量资产进入和退出市场的影响，如Fernholz和Fernholz（2018）所述。

如果我们放松这一假设，并将资产进入和退出纳入我们的框架，我们将得到一个相对价值分解，该分解与（2.18）基本相同，再加上一个额外的期限，衡量进入和退出对投资组合策略与市场投资组合策略回报的不同影响。与股息一样，相对回报仍然可以分解为漂移过程和价格分散的变化，如定理2.5所示。唯一复杂的是一个衡量入境和出境对返回的相对影响的临时期限。2.5证明概述我们在附录A中给出了定理2.5的证明。在本小节中，我们使用函数的二阶泰勒近似提供了该证明的概述，并理解这些近似在连续时间内是由It^o引理精确的（Karatzas和Shreve，1991；Nielsen，1999）。此外，对于任何函数f，我们使用符号df（x）和df（x）分别表示f（x）- f（x）和（f（x）- f（x）），其中x-x个∈ Rn近似等于（0，…，0）。设F<0是价格离散的度量，其具有由df（θ（t））给出的二阶泰勒近似≈NXi=1Fi（θ（t））dθi（t）+NXi，j=1Fij（θ（t））dθi（t）dθj（t）。（2.19）考虑持有股票的投资组合策略s SI（t）=Vs（t）Vm（t）c（t）+Fi（θ（t））F（θ（t））, （2.20）对于每个i=1，N、 式中，c（t）可能是时变的，对于所有t，设置pni=1pi（t）si（t）=Vs（t），从而确保s是符合（2.3）的有效投资组合策略。请注意，（2.20）以与定理2.5中（2.16）相同的方式定义投资组合策略。在（2.5）之后，对于该证明草图，我们假设dvs（t）Vm（t）=NXi=1si（t）dθi（t），（2.21），我们将该方程的推导留给附录A。

将（2.20）代入（2.21）yieldsdVs（t）Vm（t）=Vs（t）Vm（t）NXi=1c（t）+Fi（θ（t））F（θ（t））dθi（t）=Vs（t）Vm（t）NXi=1Fi（θ（t））F（θ（t））dθi（t），（2.22）对于所有t，最后一个等式来自以下事实，即c（t）不随差异而变化，对于所有t，pni=1θi（t）=1，因此dPNi=1θi（t）=0。如果我们将（2.15）和（2.22）替换为（2.19），那么我们得到了（Vs（t）/Vm（t））Vs（t）/Vm（t）≈ -αF（θ（t））F（θ（t））+dF（θ（t））F（θ（t）），（2.23）对于所有t.LetOhm 成为流程Ohm（θ（t））=-F（θ（t））expZt-αF（θ（s））F（θ（s））。（2.24）根据It^o的乘积法则（Karatzas和Shreve，1991），二阶泰勒近似Ohm 比亚迪提供Ohm（θ（t））≈ -dF（θ（t））表达式-αF（θ（s））F（θ（s））+αF（θ（t））expZt-αF（θ（s））F（θ（s））+d(-F（θ（t）））dexpZt公司-αF（θ（s））F（θ（s））,（2.25）对于It^o乘积规则的非正式推导，请注意，二阶泰勒近似off（x，x）=xxis由df=d（xx）给出≈ xdx+xdx+dxdx。对于所有t.如上所述，随机积分tαF（θ（s））F（θ（s））是一个有限的变化过程，因此是右侧尺寸（2.25）上的第三项，用于测量该随机积分的交叉变化，以及-F等于零。这就产生了t，dOhm（θ（t））≈ -dF（θ（t））表达式-αF（θ（s））F（θ（s））+αF（θ（t））expZt-αF（θ（s））F（θ（s））=αF（θ（t））- dF（θ（t））expZt公司-αF（θ（s））F（θ（s）），这意味着Ohm（θ（t））Ohm（θ（t））≈ -αF（θ（t））F（θ（t））+dF（θ（t））F（θ（t）），（2.26）对于所有t。由于（2.23）和（2.26）的右侧相等，因此vs（t）Vm（t）=Ohm（θ（t））=-F（θ（t））expZtαF（θ（s））F（θ（s）），（2.27）对于所有t，这建立了（2.18）和定理2.5。这个推导表明，一旦（2.21）成立，定理2.5的证明就是以一种巧妙的方式应用它的^o引理。这张证明草图还强调了我们的结果依赖于连续时间框架（2.1）的方式。

It^o引理仅适用于连续时间随机过程，因此（2.17）所达到的精度要求假设时间是连续的。在没有连续时间框架的情况下，上述证明草图中的二阶泰勒近似仅为近似值。2.6示例Theorem 2.5非常笼统，描述了一大类portfoliostrategies相对于市场的表现。我们希望将这一一般特征应用于第2.3节中引入的两个价格离散度度量，减去几何平均值，-G、 And减去CES函数，-U、 下面的两个推论是REM 2.5Corrollary 2.6的简单应用。投资组合策略g（t）=（g（t），gN（t）），其中gi（t）=Vg（t）Nθi（t）Vm（t），（2.28）对于每个i=1，N、 具有满足Vg（T）要求的价值过程Vg- 日志Vm（T）=-ZTαG（θ（t））G（θ（t））+log G（θ（t）），（2.29）对于所有t。在推论2.6中，我在时间t持有的每项资产的份额，表示为g（t）=（g（t），gN（t）），通过使用价格分散度度量从定理2.5中计算（2.16）来计算-G、 该评估结果见（2.28）。就（2.4）中定义的投资组合权重而言，股份gi意味着一个相等的加权投资组合，其中每个资产的投资金额相等，因为WGI（t）=gi（t）pi（t）Vg（t）=N，（2.30）对于i=1，N和所有t。因此，我们将投资组合策略g称为等权重投资组合策略。定理2.5和推论2.6的一个结果是，根据（2.29），相对于市场的等权重策略的回报可以分解为非负漂移α和价格分散的变化，通过减去资产价格分布的几何平均值来衡量。推论2.7。投资组合策略u（t）=（u（t）。

，uN（t）），其中ui（t）=Vu（t）θγ-1i（t）Vm（t）Uγ（θ（t）），（2.31）对于每个i=1，N、 具有满足Vu（T）要求的价值流程Vu- 日志Vm（T）=-ZTαU（θ（t））U（θ（t））+对数U（θ（t）），（2.32）对于所有t。与推论2.6一样，在推论2.7的时间t，我持有的每项资产的份额，用u（t）=（u（t），uN（t）），通过使用价格离散度的度量来评估（2.16）来计算-U和本次评估的结果由（2.31）给出。策略u的投资组合权重由wui（t）=ui（t）pi（t）Vu（t）=pi（t）θγ给出-1i（t）Vm（t）Uγ（θ（t））=θγi（t）Uγ（θ（t））=θγi（t）PNj=1θγj（t），（2.33）对于i=1，N和所有t。我们将此投资组合策略称为CES加权投资组合策略。与等权重策略一样，定理2.5和推论2.7暗示，CES加权策略相对于市场的回报可以分解为非负漂移αu和价格分散变化，如（2.32）所示，通过减去应用于资产价格分布的CES函数来衡量。非负CES参数γ的每个不同值都意味着不同的CES函数，因此也意味着不同的投资组合策略u。请注意，当γ趋于零时，CES加权投资组合策略会收敛到等权策略，因为权重（2.33）趋于1/N。对于γ的正（负）值，CES加权投资组合策略比同等加权投资组合更多（更少）投资于价格较高的资产。

最后，如果γ等于toone，那么CES加权投资组合等于市场投资组合，因为在这种情况下，对于所有t，ui（t）=Vu（t）Vm（t）U（θ（t））=Vu（t）Vm（t），（2.34），任何购买每种资产同等数量股份的投资组合策略都等于市场投资组合。3实证结果在第2节中描述了相对收益和资产价格分布之间的关系，我们现在进行实证分析。我们希望利用实际资产价格数据研究定理2.5中分解的准确性。特别是，我们在本节中表明，推论2.6和2.7中描述的分解为理论预测的等弹性替代（CES）加权投资组合策略和常数弹性替代（CES）加权投资组合策略提供了实际相对回报的准确描述。3.1数据我们使用1969-2018年间30种不同商品期货的价格数据来检验我们的理论预测。选择关注大宗商品期货的动机有两个主要因素。首先，我们在理论框架上强加的两个最重要的假设——资产不支付股息，市场关闭，随着时间的推移，没有资产进入或退出——与商品期货市场相当接近。这些资产不支付股息，回报完全由资本收益驱动。大宗商品期货也很少退出市场，这一点值得注意，因为这种退出会对同等和CES加权投资组合策略的相对回报率产生重大影响。事实上，我们所知的商品期货合约在1969-2018年间都不会从市场上消失，因此在我们所考虑的时间段内，这一潜在问题无关紧要。

虽然新的商品期货合约将在1969年至2018年期间进入我们的数据集，但这种输入不会影响我们的实证结果，并且很容易纳入我们的框架，我们将在下文详细解释。其次，之前的研究已经检验了相对于使用股票的市场而言，等权重和CES权重投资组合策略的回报率，因此我们对商品期货的选择为真正新颖的实证结果提供了一个环境。例如，Vervuurt和Karatzas（2015）构建了一个CES加权股票投资组合，类似于下面我们构建的商品期货投资组合。这些作者表明，正如定理2.5所预测的那样，1990-2014年间，CES加权股票组合的表现明显优于市场，尽管股息以及以IPO和破产形式进入和退出股票市场是股票市场的重要因素。表1列出了19692018年数据集中30种商品期货的开始日期和交易市场。这些商品包括四个初级商品领域（能源、金属、农业和畜牧业），跨越许多牛市和熊市。该表还报告了各期货合约存续期间每日原木价格变化的年化平均值和标准差。这些数据是从Pinnacle data Corp.获得的，并在交易发生的每一天报告每种商品的两个月前期货价格，每个月滚动合约。（2.9）中θi定义的相对资产价格对我们的理论框架和结果至关重要。然而，在商品价格的背景下，这一概念基本上是没有意义的，因为不同的商品是用桶、蒲式耳和盎司等不同的单位来衡量的。

为了在商品期货的背景下给出相对价格的含义，我们用1969年1月2日开始日期的数据对所有合同进行标准化，以便它们的价格彼此相等。所有随后的价格变化都是在没有修改的情况下发生的，这意味着价格动态不受我们正常化的影响。对于1969年之后进入我们数据集的商品，我们将其初始原木价格设置为等于该日期我们数据集中已有商品的平均原木价格。在这些商品以标准化价格进入数据集后，所有后续价格变化都会发生，不会进行修改。我们构建的标准化商品期货价格类似于价格指数，所有指数在初始开始日期设置为彼此相等，在此开始日期之后输入的任何指数设置为现有指数的平均值。图1绘制了1969-2018年数据集中所有30份合约的标准化原木商品期货价格与平均价格的关系。该图显示了正常化价格在初始开始日期后如何快速分散，商品期货价格不断受到不同冲击的影响。然而，在经历了一段快速分散的初始时期后，正常化商品期货价格彼此之间的相对稳定程度大致相同，大约在1980年之后，分散程度似乎略有增加。我们在下面的实证分析中对这些模式进行了量化和分析。3.2投资组合构建对于我们的实证分析，有必要构建由权重（2.11）定义的市场投资组合策略。就商品期货而言，市场投资组合不能持有每项资产的一份股份，因为期货合约只是双方之间的协议，没有持有任何基础资产。

然而，这个问题很容易解决，因为市场组合权重（2.11）在标准化商品期货的背景下得到了很好的定义。特别是，（2.11）意味着市场投资组合投资于每种商品期货合约的金额与该商品的正常价格成比例。因此，在本节的实证分析中，我们通常将市场组合策略称为价格加权市场组合策略。请注意，商品期货的市场组合不需要再平衡，因为价格变化会自动导致组合中每种商品的权重以与价格权重一致的方式变化。除了价格加权市场投资组合外，我们还构建了推论2.6和2.7中所述的商品期货的等权重和CES权重投资组合。定义这两种投资组合策略的权重由（2.30）和（2.33）给出，并使用标准化价格构建，相对价格是一个有意义的概念。对于CES加权投资组合策略，我们将γ的值设置为-0.5，这意味着该投资组合对低价商品期货的权重高于同等权重的投资组合（见第2.6节末尾的讨论）。由于与价格加权市场投资组合不同，随着时间的推移，它们的权重往往会偏离（2.30）和（2.33），因此等权重和CES权重的投资组合都需要积极的再平衡。每个投资组合每月进行一次平衡。最后，尽管我们的商品期货数据涵盖19692018年，但我们通过在1969年开始日期将价格设定为彼此相等来实现价格正常化的事实意味着，在给这些价格支付时间之前，相对价格的分布将没有多大意义。以类似于Asneset al的商品价值度量的方式。

（2013年），我们等了五年才形成等额、CES和价格加权市场投资组合，因此这些投资组合是使用1974-2018年的标准化价格构建的。3.3结果图2绘制了1974-2018年价格加权（市场）投资组合策略和等额和CES加权投资组合策略的对数累积回报。图中显示，随着时间的推移，所有三个投资组合的行为大致相似，但随着时间的推移，每月重新平衡的同等和CES加权投资组合逐渐且始终优于价格加权投资组合。表2对这些模式进行了量化，其中报告了这段时间内所有三种投资组合策略的月度回报的年化平均值和标准差。市场投资组合的月收益率与等额和CES加权投资组合的收益率分别具有0.95和0.89的相关性。与价格加权市场投资组合相比，等权重和CES加权投资组合策略的表现也在表3中很明显，表3报告了1974-2018年等权重和CES加权投资组合月度相对回报的年化平均值、标准差和夏普比率。表2和表3还报告了在我们的长样本期内每个decade的返回统计信息。表2和表3的结果表明，在1974-2018年期间，同等和CES加权投资组合的表现始终显著优于价格加权市场投资组合。如表3所示，这种跑赢大市的表现从同等和CES加权投资组合超额回报的高夏普比率中最为明显。值得注意的是，这些夏普比率在1980年之后一直上升到0.5以上，这是在我们数据集中的大多数商品期货合约都已根据表1开始交易之后。