资产价格分布与有效市场

这是我们在图3-6中观察到的商品期货场景。在此类市场中，固定价格分散的波动通过定理2.5中的会计恒等式（2.18）与超额回报相关联。在资产定价的标准均衡模型中，只有当这些可预测的超额回报是对风险的补偿时，它们才可能存在。反过来，这种风险由一个内生随机贴现因子来定义，该因子与经济体的边际效用相关。然而，目前尚不清楚边际效用如何与资产价格的分散相联系。同样不清楚的是，当资产价格变得更加分散时，为什么边际效用应该更高，然而，根据我们的结果，这是任何标准资产定价模型的必要含义，其中价格分散是渐近稳定的。另一方面，随着时间的推移，资产价格的分散可能并不稳定。在这种情况下，资产价格分散持续快速上升，分解（4.1）不再预测超额回报。相反，这种分解预测了价格离散度的上升，从而抵消了（4.1）随时间的平均非负漂移分量。定理2.5的相对回报分解没有预测资产价格分散的稳定性，因此我们的理论结果没有排除这种可能性。尽管如此，值得注意的是，我们对商品期货的实证结果以及Vervuurt和Karatzas（2015）对美国股票的实证结果都与这种不稳定、无超额回报的市场结构不一致。

根据这些结果，未来研究不同资产市场中价格分散的长期特性，并试图区分这种二分法的两面——具有可预测超额收益的渐近稳定市场与没有可预测超额收益的渐近不稳定市场——可能会产生有趣的新见解。这种新颖的二分法有几个含义。首先，它从对横截面资产价格动态的约束和相对资产价格的分散性方面对市场效率进行了新的解释。要么资产价格离散度随着时间的推移持续快速上升，与此约束一致，要么存在基于分解的市场效率或风险因素（2.18）。其次，它提出了一种可能性，即众所周知的资产定价风险因素，如价值、动量和规模（Banz，1981；Fama和French，1993；Asness等人，2013），可以根据资产价格分散的动态来解释。在定理（2.5）的分解具有普遍性的情况下，这些风险因素背后的可预测超额回报可能与违反横截面资产价格动态约束和上述相对资产价格分散有关。换言之，传统的资产定价风险因素意味着资产价格随时间分散的特定行为，因此可以根据特定行为进行解释。5结论我们将资产价格表示为一般连续半鞅，并表明一大类投资组合策略相对于市场的回报可以分解为非负漂移和资产价格离散的变化。

由于对这一结果的最小假设，我们的分解只不过是一个会计恒等式，基本上与任何资产定价模型都是一致的。我们表明，我们分解的漂移成分随着时间的推移近似恒定，因此意味着资产价格离散度的变化决定了相对回报率波动。这一结论揭示了一个资产定价因素——资产价格分散的变化——这在不同的经济和金融环境中是普遍存在的。我们使用商品期货证实了我们的理论预测，并表明替代加权投资组合的等弹性和恒定弹性在1974-2018年间持续且显著优于价格加权市场投资组合。ReferencesAlquist，R.和O.Coibion（2014年3月）。商品价格联动与全球经济活动。NBER工作文件20003。Asness、C.S.、T.J.Moskowitz和L.H.Pedersen（2013年）。价值和动力无处不在。《金融杂志》68（3），929–985。Banz，R.W.（1981年3月）。普通股票的回报与市场价值之间的关系。《金融经济学杂志》9（1），3–18。Brennan，M.J.（1958年3月）。存储的供应。《美国经济评论》48（1），50–72。Bryzgalova，S.（2016年2月）。线性资产定价模型中的虚假因素。mimeo，斯塔夫诺德大学。Chinn，M.D.和O.Coibion（2014年7月）。商品期货的预测内容。《期货市场杂志》34（7），607–636。Cochrane，J.H.（2005年）。资产定价（修订版）。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社。DeBondt、W.F.M.和R.H.Thaler（1989年，冬季）。华尔街上一次卑鄙的回头路。《经济展望杂志》3（1），189–202。DeMiguel，V.、L.Garlappi和R.Uppal（2009年5月）。最优与朴素的多元化：1/n投资组合策略的效率如何？金融研究回顾22（5），1915-1953年。Fama，E.F。

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让Xt表示向量x的转置∈ RN，如下所示：nxi，j=1Fij（θ（t））dhθi，θji（t）=NXk=1λkNXi，j=1ekiekjdhθi，θji（t）=NXk=1λkekd Var（θ）（t）eTk≥ 0，对于所有t，因为协方差矩阵d Var（θ）是正半定义。当然，这意味着αF≥ 也为0。现在假设秩（F）>1，对于所有t，d Var（p）（t）为正定义。注意，对于所有t，d Var（log p）（t）=p（t）d Var（p）（t）pT（t），因此如果d Var（p）为正定义，d Var（log p）为正定义。此外，Fernholz（2002）表明，如果d Var（log p）为正定义，则d Var（logθ）为正定义，由θ生成零空间。根据（A.2），NXi，j=1Fij（θ（t））dhθi，θji（t）=NXk=1λkNXi，j=1ekiekjθi（t）θj（t）dhlogθi，logθji（t）=NXk=1λkekθ（t）d Var（logθ）（t）θt（t）eTk，对于所有t，我们知道至少两个特征值λ，λNare为正，因为秩（F）>1，HFis为正半定义，所以我们假设，在不损失一般性的情况下，λ，λ>0。因此，对于所有t，j=1Fij（θ（t））dhθi，θji（t）=NXk=1λkekθ（t）d Var（logθ）（t）θt（t）eTk>0，对于所有t，k=1或k=2，sinceekθ（t）d Var（logθ）（t）θt（t）eTk>0。这意味着αF>0。定理2.5的证明。定理2.5源自Karatzas和Ruf（2017）命题4.8中更一般的结果。要了解这一点，让▄F=-F，注意，通过定义α▄F（θ（t））=-αF（θ（t）），对于所有t。根据Karatzas和Ruf（2017）的定义3.1，函数F是正则的，因为它是连续的和凹的，我们假设价格总是正的。此外，由于F是连续可区分的两倍，因此，Karatzas和Ruf（2017）的（3.2）中定义的有限变量过程F（t）=-αИF（θ（t））=αF（θ（t）），对于所有t。

命题4.8则得出定理2.5的结果（2.17）。除了这个证明，我们希望非正式地推导（2.21），它在第2.5节定理2.5的证明草图中起着重要作用。这个方程表明，对于所有的t，dvs（t）Vm（t）=NXi=1si（t）dθi（t）。为了符号的简单性，我们在这个非正式的推导中去掉所有的时间依赖关系，并简单地为f（t）写f，为f的任何函数写f。对于所有i=1，N、 由d logθi给出的logθiis的二阶泰勒近似≈dθiθi-dθiθi，（A.3），这意味着nxi=1sidθi≈NXi=1siθid logθi+dθiθi=NXi=1VsVmwsid logθi+NXi=1Vs2Vmwsidθiθi，（A.4），其中最后一个等式来自组合策略权重的定义（2.4）。根据（A.3），对于所有i，j=1，N、 dθidθjθiθj≈d对数θi+dθiθid logθj+dθjθj= d logθid logθj+dθid logθjθi+dθjd logθiθi+dθidθjθiθj≈ d logθid logθj.（A.5）以与我们在该证明草图中使用二阶泰勒近似一致的方式，底部近似（A.5）通过假设所有三阶或更高的项（即微分算子d的幂次大于或等于三的项）近似等于零。当然，在连续时间里，^o的引理保证这些高阶项实际上等于零。如果我们将（A.5）代入（A.4），那么我们有nxi=1sidθi≈NXi=1VsVmwsid logθi+NXi=1Vs2Vmwsidlogθi.（A.6）Vs/vm的二阶泰勒近似由DVSVM给出≈VsVmd日志（Vs/Vm）+d（Vs/Vm）Vs/Vm，相当于tod（Vs/Vm）Vs/Vm≈ d日志（Vs/Vm）+d日志（Vs/Vm）（Vs/Vm）。（A.7）根据（2.4）和（2.5），dVsVs≈NXi=1sidpiVs=NXi=1wsidpipi，这意味着log-Vs的二阶泰勒近似可以写成d-log-Vs≈dVsVs-dVsVs≈NXi=1wsidpipi-NXi，j=1wsiwsjdpidpjpipj≈NXi=1wsid日志pi+NXi=1wsidpipi-NXi，j=1wsiwsjdpidpjpipj，其中最后一个等式来自（A.3）。

它遵循该日志（Vs/Vm）≈NXi=1wsid logθi+NXi=1wsidpipi-NXi，j=1wsiwsjdpidpjpipj（A.8）≈NXi=1wsid logθi+NXi=1wsidlog pi-NXi，j=1wsiwsjd log pid log pj，（A.9），其中最后一个等式从（A.5）开始。由于Vm=p+···+pNby（2.7），我们得到了NXi，j=1wsiwsjd logθid logθj=NXi，j=1wsiwsj（d log pi- d log Vm（p））（d log pj- d log Vm）=NXi，j=1wsiwsjd log pid log pj- 2NXi=1wsid log pid log Vm+dlog Vm。（A.10）与上述论点类似的论点证明NXi=1wsidlogθi=NXi=1wsidlog pi- 2NXi=1wsid log pid log Vm+dlog Vm。（A.11）将（A.10）和（A.11）替换为（A.9）yieldsd log（Vs/Vm）≈NXi=1wsid logθi+NXi=1wsidlogθi-NXi，j=1wsiwsjd logθid logθj，（A.12），因为（A.10）和（A.11）的最后两项相互抵消。假设（2.21）成立。在这种情况下，我们得到了（Vs/Vm）Vs/Vm=NXi=1siVmVsdθi=NXi=1wsidθiθi，（A.13），因此也得到了（Vs/Vm）（Vs/Vm）=NXi=1wsidθiθi！NXi=1wsidθiθi=NXi，j=1wsiwsjdθidθjθiθj≈NXi，j=1wsiwsjd logθid logθj.（A.14）如果我们将（A.12）和（A.14）替换为（A.7），我们就得到了（Vs/Vm）Vs/Vm≈NXi=1wsid logθi+NXi=1wsidlogθi，（A.15），因为（A.12）右侧的最后一项取消（A.14）。当然，（A.15）等同于（A.6），这证明了（2.21）。B补充材料定理2.5中收益率的对数分解是方便且易于处理的，但不是必需的。特别是，可以将收益分解为相同的价格离散度和漂移分量，这是一种纯粹的相加方式，不依赖于对数。定理B.1。设F为价格离散度的度量。然后，组合策略s=（s，…，sN）与i（t）=NXj=1θj（t）Fj（θ（t））- Fi（θ（t））+Vs（t）/Vm（t），（B.1）对于每个i=1，N、 有一个满足Vs（T）Vm（T）=ZTαF（θ（T））的值过程Vs- F（θ（T）），（B.2）表示所有T。证据与定理2.5一样，定理B.1源自Karatzas和Ruf（2017）命题4.4中更一般的结果。

要了解这一点，让▄F=-F，注意，通过定义α▄F（θ（t））=-αF（θ（t）），对于所有t。根据Karatzas和Ruf（2017）的定义3.1，函数F是正则的，因为它是连续的和凹的，我们假设价格总是正的。此外，由于F是连续可区分的两倍，因此，Karatzas和Ruf（2017）的（3.2）中定义的有限变量过程F（t）=-αИF（θ（t））=αF（θ（t）），对于所有t。命题4.4然后得出定理B.1的结果（B.2）。与定理2.5的推论2.6和2.7相同，下一个推论直接来自定理B.1。推论B.2。投资组合策略g=（g，…，gN）和GI（t）=g（θ（t））Nθi（t）- 1.+Vg（t）Vm（t），（B.3）对于每个i=1，N、 具有满足Vg（T）Vm（T）=-ZTαG（θ（t））+G（θ（t）），（B.4）表示所有t。投资组合策略u=（u，…，uN）with ui（t）=u（θ（t））U-γ（θ（t））θγ-1i（t）- 1.+Vu（t）Vm（t），（B.5）对于每个i=1，N、 具有满足Vu（T）Vm（T）=-ZTαU（t）+U（θ（t）），（B.6）表示所有t。商品交易所起始平均值和标准差交易日原木价格变化豆粕CBOT 1/1969 0.034（0.303）豆油CBOT 1/1969 0.027（0.289）大豆CBOT 1/1969 0.027（0.261）小麦CBOT 1/1969 0.027（0.292）玉米CBOT 1/1970 0.025（0.260）生猪CME 1/1970 0.022（0.330）活牛CME 1/1971 0.028（0.201）棉花NYBOT 1/1973 0.018（0.288）橙色果汁CEC 1/1973 0.029（0.305）铂金NYMEX 1/1973 0.041（0.278）银COMEX 1/1973 0.046（0.320）Co-ffee CSC 1/1974 0.013（0.360）木材CME 1/1974 0.035（0.326）金COMEX 1/1975 0.045（0.204）燕麦CBOT 1/1975 0.009（0.345）糖CSC 1/1975-0.032（0.408）小麦，K.C.KCBT 1/1977 0.016（0.251）饲养牛CME 1/1978 0.028（0.169）加热油NYMEX 1/1980 0.024（0.328）可可CSC 1/1981 0.008（0.301）小麦，明尼苏达州。

MGE 1/1981 0.007（0.233）钯NYMEX 1/1983 0.065（0.326）原油NYMEX 1/1984 0.026（0.354）RBOB汽油NYMEX 1/1985 0.034（0.348）糙米CBOT 1/1987 0.035（0.277）铜COMEX 1/1989 0.027（0.256）天然气NYMEX 1/1991 0.014（0.515）牛奶CME 9/1997 0.016（0.277）布伦特原油ICE 8/2008-0.042（0.332）布伦特汽油ICE 2008年8月-0.047（0.287）表1：商品期货合约清单以及每种商品交易的交易所、每种商品开始交易的日期以及每种商品每日原木价格变化的年平均值和标准差（括号内）。价格加权（市场）等权CES加权投资组合投资组合1974-2018 3.58%（15.15）6.35%（13.60）7.93%（13.75）1974-1980 10.94%（20.81）11.97%（19.54）12.55%（19.52）1980-1990-2.68%（15.00）1.92%（12.62）4.62%（13.40）1990-2000 0.43%（7.76）2.61%（7.24）3.62%（7.34）2000-2010 7.79%（16.21）11.99%（14.25）14.18%（13.18 98）2010-2018年1.76%（12.97）3.81%（12.65）5.01%（13.05）表2：1974-2018年价格加权（市场）投资组合和同等和CES加权投资组合的月度回报的年化平均值和标准差（括号内）。等权CES加权投资组合组合平均值（st.dev.）夏普比率平均值（st。