从线性到平方根市场影响的交叉

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英文标题：
《Crossover from linear to square-Root market impact》
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作者：
Fr\\\'ed\\\'eric Bucci, Michael Benzaquen, Fabrizio Lillo, Jean-Philippe
  Bouchaud
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Using a large database of 8 million institutional trades executed in the U.S. equity market, we establish a clear crossover between a linear market impact regime and a square-root regime as a function of the volume of the order. Our empirical results are remarkably well explained by a recently proposed dynamical theory of liquidity that makes specific predictions about the scaling function describing this crossover. Allowing at least two characteristic time scales for the liquidity (`fast\' and `slow\') enables one to reach quantitative agreement with the data.
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中文摘要：
利用美国股票市场上执行的800万机构交易的大型数据库，我们建立了线性市场影响机制和平方根机制之间的明确交叉，作为订单量的函数。最近提出的流动性动力学理论对描述这种交叉的标度函数做出了具体的预测，很好地解释了我们的实证结果。允许流动性至少有两个特征时间尺度（“快”和“慢”），使人们能够与数据达成定量一致。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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PDF下载：
--> Crossover_from_linear_to_square-Root_market_impact.pdf (680.26 KB)

2022-6-11 03:30:11 上传

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关键词：平方根 Quantitative QUANTITATIV equilibrium Transitions

从线性到平方根市场影响的交叉：埃里克·布奇、迈克尔·本扎金、法布里齐奥·利洛和让·菲利普·布乔德、巴黎大学路23-25号法国资本基金管理公司巴黎塞德斯宫91128号经济系、巴黎大学路75007号，博洛尼亚大学数学系，圣多纳托港广场5号，邮编：40126，博洛尼亚帝国金融研究所，帝国学院数学系，伦敦皇后门180号，邮编：SW7 2RH（日期：2018年11月14日），使用一个包含在美国股票市场执行的800万机构交易的大型数据库，Wee根据订单量在线性市场影响机制和平方根机制之间建立明确的交叉。最近提出的流动性动力学理论很好地解释了我们的实证结果，该理论对描述这种交叉的标度函数进行了具体预测。允许流动性至少有两个特征时间尺度（“快”和“慢”），使人们能够与数据达成定量一致。金融市场释放出大量数据，这些数据现在可以用来测试科学理论，其精度与物理科学相当（最近的一个例子参见，例如[1]）。过去几十年最引人注目的实证发现之一是“平方根影响定律”，该定律量化了通常作为一系列较小交易执行的大额买卖订单对价格的平均影响程度。这样一系列的小交易，都是在同一个方向上进行的（要么买入，要么卖出），并且来自同一个市场参与者，被称为元订单。

总尺寸Q的订单对价格的影响如下~√Q与Q不成比例，正如经典经济学观点天真地预期和实际预测的那样[2]。平方根定律具有惊人的普遍性：它在很大程度上独立于资产类别、时间段、执行方式和市场场所等细节【3–14】。特别是，尽管市场微观结构发生了根本变化，但电子市场和高频交易的出现并没有改变平方根行为。这一平方根定律的普遍性，以及它对价格高频动态的不敏感性，表明其解释应该在于流动性低频、大规模动态的一些一般性质[15]。事实上，在任何给定时间公开显示的流动性通常都很小，通常在10左右-股票市场每日总交易量的20%。金融市场是买卖双方进行集体捉迷藏游戏的舞台，这导致了一种有些矛盾的局面，即市场参与者打算交易的总数量非常大（总市值的0.5%每天在股市易手），而大部分流动性仍然是隐藏的，或“潜在的”。这些观察结果导致了潜在流动性粗粒度动力学的受物理学启发的“局部线性订单书”（LLOB）模型的发展【7，15–17】，这自然解释了为什么亚订单的影响会像其大小的平方根一样在某个参数区域内增长【17】。但这个LLOB模型也表明，对于一个更大的执行时间T，非常小的Q区域应该恢复为线性行为。该模型实际上预测了线性和平方根影响之间交叉的详细形状。

文献[9]中观察到与纯平方根的偏差，其中作者用对数函数ln（a+bQ）拟合数据，对于小参数，该函数确实表现为线性。本函的目的是首次使用大型安切诺（ANcerno）[26]元指令数据库测试从线性到平方根交叉影响的详细理论预测，该数据库在美国股票市场上执行，由一组多元化的机构投资者发布。我们发现，该理论很好地描述了线性和平方根影响之间的交叉，尽管交叉点的交易量比该理论预测的交易量小得多。我们认为，这可以通过金融市场中“慢”和“快”代理人的共存来解释。快速代理贡献了总交易量，但无法抵抗执行大型元订单。因此，只有慢代理才能抑制市场影响，只有他们的贡献才与平方根定律的形成有关。我们回顾了如何扩充LLOB模型以解释多个代理的频率[18]，并在这个扩展框架内计算影响交叉函数，从而得到非常好的数据。让我们首先简要回顾一下Lob模型的基本组成部分及其主要预测。感兴趣的基本数量是时间t时价格x附近的最新订单密度Д（x，t）。通常，对于购买潜在订单（对应于x<p（t），其中p（t）是当前交易价格），可以选择一个Д为正，对于出售潜在订单（对应于x>p（t））。

如【7、16、17】所述，接近当前价格的潜在流动性的粗颗粒动力学可以通过以下等式很好地描述：tх=Dxx^1- νν+λ符号（y）+mδ（y），（1），其中y：=p（t）-x、 和ν描述订单取消，λ新订单沉积和Dxxlimit价格重新评估。最终的“来源”术语对应于以恒定速率m=Q/T执行的规模Q的元订单，对应于以交易价格p（T）本地化的大量订单。在没有元序（m=0）的情况下，等式（1）允许价格参考框架中的平稳解，当y很小时，它是线性的（因此命名为“LLOB”）：Дst（y）=Ly，（2），其中L=λ/√Dν是流动性的一种度量。潜在流动性接近交易价格的线性行为实际上是一个一般结果，远远超出了式（1）中定义的简单设置，同时也是平方根影响定律的起源【7，15–17】。总交易率J由订单通过原点的流量给出，即J：=Dyхst | y=0=DL。在缓慢潜在订单的限制下（即νT 1） ，在执行MetaOrder期间的价格轨迹pm（t）（作为φ（pm，t）=0的解获得）由以下自洽表达式给出【17】：pm（t）=p（t）+y（t），（3）y（t）=mLZtdsp4πD（t- s） 经验值-（y（t）- y（s））4D（t- s）, （4） 式中，p（t）是在没有从t=0开始到t=t结束的MetaOrder的情况下的价格轨迹。然后将价格影响定义为I：=y（T），并由I（Q）=rDQJF（η）开始，其中η：=QJT，（5）其中η是参与率和标度函数f（η）≈η的pη/π 1和≈√η为2 因此，对于固定T处的小Q，I（Q）在Q中是线性的，对于大Q，I（Q）与平方根相交。请注意，在平方根状态下，预计影响与执行时间T无关。

许多其他结果，如t>t的衰减影响，已在[17，18]中推导和讨论。现在我们来看看安切诺数据库的性能如何。（5） 经验支持。从2007年1月到2010年6月，我们的样品总共覆盖880个交易日，我们遵循[9]中介绍的清洁程序，以消除可能的虚假影响。样本由约800万元订单表示，这些元订单在时间和市值上统一分布[27]。数据库中的每个MetaOrder都由一个经纪人标签、一个股票符号、交易股票的总数sq、符号 = ±1（买入/卖出），执行的开始时间Ts和结束时间Te。根据上述定义，并遵循[9]，参与率由η=Q/VT给出，其中VT=V（te）- V（ts）是元订单执行期间市场交易总量。为了比较不同库存与不同日交易量，我们应以相应日交易量Vd的单位测量Q，并引入体积分数φ：=Q/Vd，在模型符号中等于Q/JTd，其中Td=1天。我们还将测量相对体积时间的执行，并将执行时间T重新定义为T:=（V（te）-V（ts））/Vd。最后，我们将重新标度的原木价格引入p（t）：=（log p（t））/σd，其中σd=（Phigh- Plow）/Popenis是根据每日高点、低点和开放价格P（t）估计的每日波动率。正如大多数先前研究中所研究的，给定执行量Q的平均价格影响I（Q）定义为：I（Q）=E[ · （pe- ps）| Q]，（6）其中ps，peare，分别是元订单开始和结束时的中间价格。如【9，13】所示，安塞诺数据证实，在体积分数10的中间区域，I（Q）接近平方根-3.φ . 10-1，但对于较小的体积分数φ，显示出近似的线性行为。10-3.

请注意，大体积分数φ和10的数据-1很难解释，因为它们容易受到强烈的条件作用。为了直接测试公式（5），我们通过将数据划分为均匀分布的常数参与率η的箱子来估计标度函数F（η），并计算（pe-ps）/√每个料仓的φ。根据LLOB模型，该期望值等于optd/σdF（η）。这里和下面，误差条被确定为标准误差。结果如图1所示，在x轴和y轴的缩放范围内，LLOB函数F（η）可以很好地解释这些结果，该函数描述了小参与率η的线性in-Q区域和T独立区域之间的交叉，√Q区域大η。虽然[9，13]中已经报告了小Q的线性状态，但在此之前从未尝试过缩放分析。事实上√Q制度主要取决于Q，但与[9，19]的结果不一致，但与分配√Q对亚序持续时间的依赖性，如参考文献所示。[3, 20, 21].【28】然而，尽管两种状态之间的交叉应发生在η？=1在原始LLOB模型中，经验数据指向更小的值η？~ 10-3、这实际上与10一致-510-410-310-210-1100η10-210-1100101E[ · （pe- ps）/√φ|η]经验数据理论yy=0.4√ηη?图1：。经验确定的标度函数F（η）与参与率η。数据（蓝色点）在√η在小参与率和无症状恒定状态下观察到的行为≈ 0.4表示大η，即η和η？含η？≈ 3.15 × 10-3.

黑线：预测LOB，调整交叉η？：=Js/Jfallowing证明存在两类代理（“快”和“慢”）。通过将数据点限制为具有足够大订单大小的元订单，即φ和10，来获得数据点-5.文献中报道的平方根定律的所有经验证据都与中等参与率有关（通常在10%范围内-3.- 10-1，参见。g、 [4、8、13、14]），但绝不是在超订单量大于市场其他部分的情况下，正如LLOB规范中所要求的那样。注意，在我们的示例中，70%的元序是η>η？。为了解释η？值的巨大差异？，我们将考虑我们两人最近提议的LLOBmodel扩展，以包括具有不同时间范围的代理【18】。在最简单的代理双模分布（“快”和“慢”）的情况下，LLOB形式主义可以概括为描述两种潜在的订单簿密度，对于慢流动性，为Дs（x，t），对于快流动性，为Дf（x，t）——例如由高频交易员提供的。相应的动力学方程如下：t^1o= Doxx^1o- νoφo+ λo符号（y）+mo（t） δ（y），（7），其中y=p（t）- x和o = s、 其中，ms（t）（分别为mf（t））是流动（分别为fast）交易者吸收的亚阶分数，ms（t）+mf（t）=m。通过系数D，我们允许两类代理的活动率不同o, νoλo. 我们的兴趣范围是：oJs Jfand m公司 Jf，其中Jo= λopD公司o/νo.这些不等式意味着（i）总交易率J=Js+Jf≈ JFI由快速交易者主导，并且（ii）与流动市场中执行的大多数元指令一样，与市场的总交易率相比，元指令对应的流量较小νsT 1和νfT 1.

如【18】所示，这意味着缓慢、持久的代理能够抵抗元秩序的影响，而快速代理则扮演着中介的角色，只会润滑市场的高频活动。这种双频模型可以在某些限制条件下精确求解【18】。根据执行时间T是否大于或小于某个T+：=ν，应区分两种情况-1fη？-2Ds/Df，其中η？：=Js/Jf。对于T>T+，缩放结果公式（5）简单修改为：I（Q）=rDsQJsFηη?. （8） 对于T<T+，该结果进一步乘以pt/T+，并移动交叉点η？→ η?电话+/电话。如果我们假设T+对于所有数据点都足够小（需要进行后验检查），则双频模型（公式8）的预测与标准LLOB模型的预测精确相同，直至x轴的比例为η？，和y轴的比率Dsj/DJs。图1显示，LLOB标度预测确实很好地再现了数据，这允许直接确定η？≈ Js/J公司≈ 3.15×10-3、换句话说，我们发现，正如预期的那样，大部分日常流动性是由“快速”代理提供的。我们已经检查过η的值？2007-2008年和2009-2010年期间没有显著差异。我们还研究了η？关于市值和波动性。我们发现低波动率/大盘股。股票的特点是η？高于高波动率/小盘股。这可能与直觉相反，表明低频活动在低波动率/大盘股中相对更为重要。

股票。另一方面，较大的η平台值使DSJ/DJs=0.4/√2，领先topDs/D’10-2、自√D应该接近价格波动率[17]，我们发现，与它的解释一致，“缓慢”的流动性比价格本身慢得多。这些估计反过来导致T+≈ 45 ν-1f，或~ ν为45秒-1f=1秒。由于我们样本中元订单的平均执行时间为35分钟，我们得出结论，我们样本中的大多数元订单的索引时间都长于T+。不过，交易频率的双模分布确实过于简单。相反，应该考虑频率的连续分布，如【18】中所述。关于金融市场动态的若干实证事实（参见[15，22–24]）实际上表明，这种分布是幂律分布。这种一般模型的数值解和拟合程序超出了本文的范围，但简化分析[18]表明，LLOB标度函数应近似有效，交叉值η？这是T的幂律。直觉上，临界参与率η？对于小持续时间T，应该确实更大，因为在如此短的时间尺度上可以被认为“快”的交易者更少，而在元指令的时间尺度上“慢”的交易者更多。图2-top确实证实了这一直觉，其中我们将重定标数据显示为η的函数，对于比中值执行时间更长和更短的元代码≈ 0.09.交叉参与率η？对于较小的持续时间，发现对于较大的持续时间，其值要大10倍。在图2-bottom中，我们显示了η？的T依赖性？，通过F（η/η？）使用五个包含相同数量数据点的t容器(~ 1.4×10），建议η？~ T-1/2[29].