基于Agent的计算经济学中程式化事实的模拟

在我们的模拟中，我们确定了两种不同类型的影响0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50lag00.51自相关基模型log（Return）| log（Return）| 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50lag00.51自相关异方差模型log（Return）| log（Return）|（a）上图：带参数的跨基模型见表3；下图：带参数的交叉异方差模型见表3，θ=2.0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50lag00.51自相关基模型log（Return）| log（Return）| 0 5 10 15 20 30 35 40 45 50lag00.51自相关异方差模型log（Return）|（b）上图：带参数的交叉基模型见表3，N=5000000；下图：交叉异方差模型，参数见表3，θ=2和N=500000除外。图4：在交叉基模型和异方差模型中，对数收益和绝对对数收益的自相关。由不同数量的代理引起。我们首先使用99个代理进行模拟，然后使用999个代理进行模拟。首先，图7所示的两个模拟的对数股票收益率qq图清楚地表明，代理数量对尾部行为有巨大影响。其次，Levy等人（Levy等人，1996年）声称，拥有最大记忆的投资者群体成为主导群体，这意味着他们拥有最大数量的财富。在我们的模拟中，不同代理群体的财富演变随着20 40 60 80 100 120 140 160 180时间步长05101520 log（价格）Sim 1Sim 2图5：噪声σγ=0.2（红色）和无噪声σγ=0（蓝色）的LLS模型的价格演变而变化。参数如表41 1.02 1.04 1.06 1.08时间步长140020000600价格图6：三种不同投资者类型的LLS模型的价格演变。参数如表5所示。不同数量的代理，如图8a和8b所示。

因此，我们可以得出这样的结论：模型的定性输出随代理数量的变化而变化，这是一个不可取的模型特征。3 2 1 0 1 2理论分位数0.80.60.40.20.00.20.40.60.8样本分位数原始返回分位数与标准正态分位数3 1 0 1 2理论分位数0.80.60.40.20.00.20.40.60.8样本分位数原始返回分位数与标准正态分位数图7：对数返回的QQ图。分别使用99个代理（左）和999个代理（右）进行模拟。参数设置如表5所示。模型行为讨论图5中的模拟显示，确定性模型的特点是投资比例恒定。最优投资比例始终位于边界γ处∈ {0.01，0.99}，通过初始化返回历史来确定。这是一个绝对合理的结果，因此原始LLS模型（Levy et al.1994）中的财富演变是线性的w（tk+1）=w（tk）+（1- γ（tk））r+γ（tk）w（tk）S（tk+1）- S（tk）+D（tk）S（tk），（1），选择的对数效用函数是单调递增的。事实上，最优解上的加性噪声会导致振荡行为。因此，投资者在完全投资股票或债券这两种可能的极端投资之间发生变化。我们指出，噪声水平对于获得这种振荡行为至关重要。图9显示了不同噪声级的模型输出。然而，图6似乎表明了混乱的价格行为。之前的模拟（见图7、8a和8b）清楚地揭示了有限的尺寸效应。在我们的模拟中，我们还得出，在噪声情况下，大约90%的投资决策（噪声前）位于边界。从数学上讲，这是一个不令人满意的结果，因为在90%的情况下，扩展优化过程是无用的。

因此，我们可以得出这样的结论：LLS模型显示出一些不需要的模型特征。3.3 Franke Westerho ff模型在本节中，我们考虑Franke Westerho ff模型，如（Franke和Westerho ff 2012）所述。早期车型变体可在中找到（Franke和Westerho ff，2009年，2011年）。该模型研究两组交易者的演变，一组采用图表策略，另一组采用基本策略。从（Trimborn et al.2019）中引入的元模型的角度来看，这种演变可以解释为两种代表性因素的演变。在每个时间步骤中，一小部分交易者根据社会经济因素通过转换过程调整其投资策略。例如，这些因素是代理人估计财富的比较或放牧机制。对数股票0.5 1 1.5 2时间步长1400246810 N=99个代理的综合财富105m=10m=141m=256（a）。0.5 1 1.5 2时间步长14051015 N=999个代理的合计财富105m=10m=141m=256（b）个结果。图8：表5所示的三个同等规模的代理人群体在不同代理人总数和参数下的总财富。然后，价格由两个群体的总超额需求驱动。作为Franke-Westerhoff模型的一个显著特征，他们采用了结构随机波动率的概念（Franke和Westerhoff，2009）。这意味着宪章主义者和原教旨主义者的需求有一个随机的组成部分，它考虑了非能动群体和不确定事件的异质性。此外，这些随机项的方差在两个投资者群体之间存在差异。0 50 100 150 200时间步长05101520 log price=0 50 100 150 200时间步长05101520 log price=0.0150 100 150 200时间步长0510151log price=0.20 50 100 150 200时间步长0510151log price=0.45图9：具有不同噪声级的基本LLS模型模拟。

参数如表4所示。Franke-Westerhoff模型的第二个显著特征是可以在两种众所周知的切换机制之间进行选择。Brock和Hommes（Brock和Hommes 1997）提出的离散选择法（DCA）或Weidlich和Haag（Weidlich和Haag 2012）和Lux（Lux 1995）提出的转移概率法（TPA）。作者在多份出版物（Franke和Westerhoff，2009、2011、2012）中表明，他们的模型非常好地描述了真实金融市场的统计特征，如波动性聚类或股票收益的厚尾。此外，他们甚至采用了模拟矩法（Franke 2009），以便将模型参数与原始财务数据相匹配。首先，我们采用离散选择方法对Franke-Westerhoff模型和行为因素羊群效应（H）、倾向性（P）和错位（M）进行了模拟。DCA-HPM可以方便地简化这种型号选择。图10显示了原始和绝对对数回报的自相关函数图。RAW返回的自相关性大约为零，这表明没有自相关性。与原始收益相比，在绝对收益的情况下，我们得到了缓慢的代数衰减。这就是所谓的波动率聚类。此外，分位数-分位数图显示了对数股票回报的厚尾。50 100 150 200 250-0.100.10.20.30.40.50.60.70.8（a）对数收益和绝对对数收益的自相关。理论分位数0.250.200.150.100.050.000.050.100.15样本分位数原始返回分位数与标准正态分位数（b）对数返回的QQ图。图10:DCA-HPM模拟的宏观统计数据。参数如表9所示。作为第二个方面，我们研究了这两种切换机制的影响。

我们模拟了DCA和TPA方法的HPM情况。图11显示，DCA法的图表平均分数略大于TPA法（见表1）。此外，图11显示，DCA案例中图表的分数更不稳定。我们在两个模拟中使用了相同的随机数种子。从定性上讲，两种切换机制的结果没有差别。正如Frankeand Westerho ff in（Franke and Westerho ff 2011）所介绍的那样，我们还举办了一场模特大赛。我们平均模拟了200多次。表1描述了超额峰度的不同值，对数收益的hill估计值和图表师的平均分数。我们没有得到一个模型，该模型在产生程式化事实方面显著支配所有其他选择。最后，我们进行了测试，以研究模型的长期行为。事实上，图12描述了从长期来看，价格的演变没有质的变化。0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000时间步长0.00.10.20.30.40.50.60.70.8图表共享图表共享0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000时间步长0.00.20.40.60.8图表共享图表共享图11:DCA-HPM（左侧）和TPA-HPM（右侧）切换机构的图表共享。参数分别如表9和表12所示。超额峰度山估计器Avarge chartist shareTPA-W 5.9512 3.344 0.2813TPA-WP 7.025 3.1957 0.2507TPA-HPM 8.614 2.5833 0.1503DCA-W 8.2023 3 3.173 0.2577DCA-WP 7.7600 3.1314 0.2285DCA-HPM 10.033 2.481 0.1674DCA-WHP 8.01 3.1192 0.2227TPA平均值7.1967 3.041 0.2274DCA平均值7.99 2.895 0.2179表1：模型竞赛，参数如表6至12所示。每次模拟运行持续7000个时间步。

对于每个重复，随机种子的选择是不同的，但对于七个模型变体，每个种子都是相同的。0 10000 20000 30000 40000 50000时间步长0.60.81.01.21.4价格图12：DCA-HPM模拟的对数价格（50000时间步长）。参数如表9所示，具有50000个时间步。4新的ABCEM模型在本节中，我们通过创建新模型并向交叉模型添加新功能来演示SABCEM模拟器的灵活性。更准确地说，我们将交叉代理与新的市场机制结合起来考虑。我们可以证明，市场机制的精确形式可以直接影响程式化事实的出现。此外，我们通过向每个代理添加财富演化来修改交叉代理，并研究财富演化的统计特性。财富演变我们考虑附录A.2中定义的原始交叉模型。Weadd a wealth evolution of the typewi（tk+1）=wi（tk）+t型(1 - γ） r+γS（tk）- S（tk-1)t S（tk）wi（tk），到每个交叉代理i=1。。。，N、 正常数r>0表示利率和γ∈ （0，1）所有代理人股票投资的固定比例。目标是研究非高斯回报分布对财富分布的影响。我们在图14中绘制了经验财富分布图。随着γ的增加，我们得到财富分布的剩余峰度增加。事实上，超额峰度接近股价的超额峰度，大约为6。100次运行的平均结果如图13所示。图15中的qq图清楚地显示了固定γ=1时财富分布的不对称肥尾行为。因此，财富分布的尾部对于正值是胖的，对于负值是瘦的。

这种行为表明，尾部行为从价格分布转化为财富分布，并且严重依赖于投资分数γ。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Gamma-2-1012345超额峰度现金（t=结束）交叉模型-基本现金（t=结束）图13：交叉模型最后时间步的财富超额峰度。参数如表3所示，wi（t=0）=1，r=0.01。在未来的研究中，我们可以通过增加财富依赖来概括跨机构的微观超额需求。这将导致财富和股价行为之间的额外耦合。图14：最后一个时间段的财富分布直方图。参数如表3所示，wi（t=0）=1，r=0.01-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5标准正态分位数-20246输入样本财富分位数（t=end）图15：财富分布的QQ图。参数如表3所示，wi（t=0）=1，r=0.01。SDE离散化在本节中，我们再次考虑交叉代理，但我们改变了清除机制。我们将定价规则设置为beS（tk+1）=S（tk）+t FCross（tk、S、ED）+√t S（tk）（1+θ| ED（tk）|）η，η~ N（0，1）。我们选择SDE的Euler-Maruyama离散化：dS=FCross（S，ED）dt+S（1+θ| ED |）dW，其中W是维纳过程，SDE应在It^o意义上进行解释。对于我们的第一次模拟，我们将漂移算子F设置为：FCross（t，S，ED）：=S（t）ddtED（t）。如图16和图17所示，此模型的行为与原始Crossmodel相同。因此，我们得到了一个定价规则，它是时间连续模型的适当时间离散化。1000 2000 3000 4000 5000 6000 6000 8000 9000 10000时间步长012价格1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000时间步长-101超额需求图16：SDE定价规则的交叉代理。

参数如表3所示，θ=2除外。在第二次测试中，我们设置漂移系数toFCross（t，S，ED）：=S（t）ED（t）。我们研究了这两种模型对股票价格行为的不同影响。我们的研究表明，选择F交叉导致高斯价格行为。我们使用额外峰度来测量这一点，我们平均了100次（见表2）。这是一个有趣的结果，因为它揭示了漂移系数对股价行为的巨大影响。0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50lag00.51自动相关基本模型日志（返回）|日志（返回）| 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50lag00.51自动相关异方差模型日志（返回）|日志（返回）|图17：基本模型（上图，参数见表3）和完整模型（参数见表3，θ=2除外）中日志返回和绝对日志返回的自动相关。我们获得与前面第3.1节中相同的行为。过量峰度Fcross，θ=0 27.0434FCross，θ=2 22.5530FCross，θ=0-0.0044FCross，θ=2 1.2580表2：100次运行的平均过量峰度，具有不同的漂移函数。5结论我们使用最近引入的模拟器SABCEMM给出了各种模拟结果。我们简要介绍了SABCEMM软件。之后，我们对LLS模型、Cross模型和Franke Westerhoff模型进行了多次模拟。为了验证交叉模型不容易产生有限的尺寸效应，我们对数百万个代理进行了模拟。我们利用SABCEM的良好分离、模块化设计，允许构建模块的重组，通过简单地改变市场机制来创建新的ABCEM模型。对于之前发布的ABCEM模型，我们的结果和获得的程式化事实与文献中的发现一致。

扩展的数值研究（如使用多个代理进行模拟或长时间模拟）支持了这些众所周知的模型的有效性。基于交叉模型agent设计的新ABCEM模型的研究揭示了一些新的见解。我们的研究表明，股票收益率的厚尾特性影响财富分布的尾部。有趣的是，股票回报中的投资比例决定了尾部的大小。因此，投资于股票的资金越多，财富分配的尾部就越突出。此外，我们已经看到，市场机制的选择严重影响股票回报数据的厚尾特性。我们得出结论，市场机制的精确形式对于生成真实的股价数据至关重要。这些观察结果使我们得出结论，进一步构建积木的组合可能有助于找到程式化事实的起源，并理解产生这些事实的机制。致谢托尔斯滕·特里伯恩感谢Hans-B¨ockler Stiftung和亚琛大学启动拨款的支持。这项工作的部分资金来自德国联邦和州政府的卓越计划。附录A。1数学附录定义1。平稳随机过程R（t），t>0的自相关定义为：C（l）：=Corr（R（t+l），R（t））=Cov（R（t+l），R（t））E[（R（t）-\'\'R）]=E[（R（t+l）-\'（R）（R（t）-\'\'R）]E[（R（t）-\'\'R）]，l>0相关系数由两个随机变量的归一化协方差Cov给出。自相关函数C（l）∈ [-1，1]取决于托卡斯蒂克过程中称为滞后l>0的时间偏移。定义2。

超额峰度定义为平稳随机股票收益过程的归一化四阶矩R减去修正项，由κ：=E[（R-\'\'R）]σ- 3，’R：=E[R]，σ：=E[（R-\'\'R）]。定义3。样本X的Hill估计∈ Rn>0按x排序≥ x个≥ ... xnis定义值：=kkXi=1ln（xi）- ln（xk）！-1，k：=b0.05*nc。详情请参阅（Hill 1975）。A、 2模型交叉模型我们提出了中定义的交叉模型（Cross等人，2005年）。我们假设固定数量的N∈ N个代理。每个经纪人在每个时间步骤中决定他想在市场上做多还是做空。因此，投资倾向σi，1≤ 我≤ Nof每个代理在σi=±1之间切换。当时所有投资者的超额需求[0，∞) 定义为：ED（tk）：=NNXi=1σi（tk）。此外，该模型还引入了两个压力，即羊群压力和无为压力，用于控制切换机制。不作为压力由间隔时间确定=mi1+αi，mi（1+αi）,其中，midenotes代理i的最后一次切换的股票价格，αi>0是所谓的行动阈值。放牧压力由以下公式得出：（ci（tk+1）=ci（tk）+t | ED（tk）|，如果σi（tk）ED（tk）<0ci（tk+1）=ci（tk），则为。此外，还定义了放牧阈值βi。阈值从均匀分布的i.i.d.随机变量中随机选择一次。αi~ Unifc（A，A），A>A>0，βi~ Unifc（B，B），B>B>0。这些常数随时间变化，因为它们对应于投资者能够抵御羊群压力的时间单位。B： =B·t、 B：=B·t、 切换机制随后诱导切换ifci>βior S（t）/∈ 二。切换后，放牧压力重置为零，不活动间隔也会更新。