SABR中期权价格的波动性扩张

为了数值验证我们的结果，我们将这两种近似与通过其他方法获得的近似进行了比较。因此，我们首先将我们的两个近似公式与[31]中的方程式（2.17）进行比较，得出了众所周知的FSA近似值，通常在实践中使用。当t或ν都很小时，我们的近似值与哈根近似值几乎完全一致。事实上，哈根公式中ν的一阶系数的幂级数近似值y=ln（F/K）与我们的eterm一致。当取一年时，两种近似值都非常准确，模拟价格之间的最大差异为0.8美分，或期权价格的0.1–0.2%，这在买卖价差范围内。当t增加到10年时，最大误差增加到1.5%。然而，请注意，在到期时间较长的情况下，期权的价格也较高，因此百分比（或相对）误差仍然是合理的。我们还将我们的两个近似公式与哈根公式、蒙特卡罗公式和有限差分公式进行了比较，得出了期权价格的近似值以及一系列履约和到期日。同样，结果是好的，至少对于t≤ 1、详见第3、4节。我们注意到，在这些数值试验中，使用Monte Car lo或有限差分进行足够准确的试验是一个挑战，这表明了采用其他更快方法的重要性。SABR 7VOL扩展的可能性是，我们的方法的一个重要部分，结合[10]的结果，将允许我们扩展β的范围。实际动机。只有从应用的角度出发，才能正确理解本文的方法和结果。让我们就此说几句话，不要涉及不必要的细节。期权和其他衍生品长期以来一直用于金融应用。

著名的布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholesmodel）[9]首次对其进行了严格的数学定价，假设基础资产（例如股票）遵循对数正态分布或几何布朗运动。虽然Black-Scholes模型在实践中被广泛使用，但众所周知，Black-Scholes模型产生的期权价值与市场上的期权价值截然不同。例如，鲁宾斯坦（Rubinstein）的《se minalpaper》（第51页）重新研究了这些差异的原因。对我们来说，最重要的原因是基础资产的波动性是非恒定的。因此，现在越来越普遍的是，考虑模型放松了基础资产持续波动的假设。在实践中，时变波动率导致了Black-Scholes市场隐含波动率（有时，简单地说，隐含波动率）σimp的概念，定义为Black-Scholes公式中必须使用的波动率，以恢复（在给定时间）市场价格。也就是说，（17）CM（S，K，t）=CBS（S，K，σimp，t），其中CM（S，K，τ）由市场价格或其他模型（如我们案例中的ABR模型）给出。远期价格F通过公式F=ertC与实际价格相关，从现在起，t表示到期时间。如果几何布朗运动完美地描述了下垫面的行为，那么Black-Scholes隐含波动率将作为到期时间τ和s trike K的函数保持不变。然而，实践立即表明情况并非如此。Se e【26、28、52】了解更多信息。波动率在实践中不是常数这一事实促使引入了其他几种模型。其中，我们对随机波动率模型很感兴趣（例如，参见[18，31，38，40]）。

在随机波动率模型中，波动率不仅在时间上是非常数的，而且实际上是一个具有自身波动率的随机变量，在这里表示为ν，称为波动率波动率或vol-of-vol。这解释了为什么SABR PDE有两个空间变量（在我们的约定中为x和σ），而B-lack-Scholes PDE只有一个空间变量（在我们的约定中为x）。然而，随机波动率模型的缺点之一是计算量较大。因此，重要的是找到随机波动率模型中期权定价解决方案的良好完备性近似。本文的目的是通过在ν中的泰勒型展开，为vol参数ν的vol的小值提供这样一个n近似。有关moreon-sto-chastic波动率模型和本主题的进一步参考，请参见[22，44]。我们注意到，我们的结果为volatilityparameterν的波动性提供了现实的估计。他们还表明，使用随机波动率可以改善数据的真实性，通过进一步包括均值回复项，我们可以得到更好的结果。见第3.5小节，尤其是表3。论文的内容。本文的组织结构如下。第1节包含了pape r的主要结果。在这一节中，我们在general8 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.Nistora中解释了我们的方法，然后我们详细地计算了λSABRPDE的特殊情况，从而获得了解的三阶精确的ν展开式。这相当于找到了Fand-Fin展开式FSA=FBS+νF+νF+….的精确公式。。在本节中，我们还提供了λSABR PDE分布核的近似值，原则上允许将其解近似为任何初始数据的任意预定精度。

我们的方法的一个优点是它允许我们包括均值回复项，所以我们在大多数计算中都将其保留在公式中。在第2节中，我们通过提供隐含波动率σimp=σ+νe+νe+。从方程式FSA=FBS（σimp）获得。我们获得了类似的扩展 := SC套期保值参数。在第3节中，我们使用了价格的两个近似值，即FSA，2：=FBS+νF+νFANDF或FD：=ertCBS（σ+νe1+νe）。我们使用这些公式以及Hagan的公式，使用市场数据校准我们的模型，并比较这些模型。我们的近似值在这方面很有竞争力。市场校准的结果也为我们在第4节中执行的数值测试提供了一个真实的参数范围。在该部分中，我们进行了几个测试，以查看我们的结果与λSABR偏微分方程的精确解有多接近。特别是，我们还将我们的解决方案与通过有限差分（FD）测试得到的解决方案进行了比较。我们详细讨论了FD实施的结果及其挑战。在最后一节中，我们概述了我们的方法和结果的一些可能扩展：处理平均回复因子的更精确方法和处理原始SABR PDE中β6=1的方法。我们感谢温成、安娜·马祖卡托、丹·皮尔乔尔、卡米利亚·波普和斯彦章进行了有益的讨论。1、Duhamel-Dyson微扰级数展开在本节中，我们详细介绍并解释了我们的方法。为了说明这一点，我们进行了一些一般性计算，得出了初始条件为h的λSABR P DE的格林函数的二阶近似值。然后确定了系数Fand-Fin方程（6），这是我们解FSA=FBS+νF+νF+。

λSABRPDE的。由于本文主要对λSABRPDE的数值方法感兴趣，我们将理论方面（包括证明）保持在最低限度，试图尽快获得我们的公式，然后进行数值测试。1.1. 一般结果：Duhamel和Campbell-Hausdor-fff-Backer公式。正如在导言中一样，我们可以将SABR PDE的研究作为逼近广义演化方程（7）问题的一个特例（即形式tu公司-Lu=0，u（0）=v）。在本小节中，我们回顾了与方程（7）相关的一些一般结果，包括Duhamel公式及其推广、Duhamel-Dyson随机级数展开以及Campbe ll Hausdor ff-Backer公式。从下一小节开始，我们专门讨论λSABR-PDE的情况。方程（7）中出现的运算符L称为抛物线生成器（给定PDE或半群etL的）。只要进化问题（7）的解决方案存在，是唯一的，并且持续依赖于初始数据（在合适的函数空间V中），我们就可以说我们的问题是适定的（包括SABR 9Hadamard意义上的体积展开）。在这种情况下，我们将写出u（t）=eth，其中etL:V→ V是一个连续的线性映射，因此etLv连续依赖于V∈ V（即etLisa c-半群[2，5 0，53]）。我们经常以正式的方式使用这种符号，也就是说，即使它在主题上没有完全正确。假设在我们的演化方程，方程（7）中，L=L+V，并且之前的tha tu（0）=V，a s。假设两个土地均为c半群。

然后使用u（t）=etLv和tu公司- Lu=V u将Duhamel公式写成形式（18）etLv=etLv+Zte（t-τ）LV eτLV dτ。通过用Duhamel公式代替u（τ），即用τ代替t，在原始Duhamel公式的最后一个积分中用Back代替mula，然后迭代此过程（n-1） -次，我们得到了导言的方程式（8）和（9）。误差termEnin方程（8）是公式结果的最后一个积分，类似地由（19）En给出：=ZtZτ。Zτn-1e（t-τ） LV e（τ-τ） 我。e（τn-1.-τn）LV eτnLv dτ。请注意，在上一个实验中，我们使用了L而不是L。如果我们要再重复一次，以获得n+1的Duhamel Dyson公式，我们将在积分定义En中替代应用于eτnLv的Hamels公式（18）。一般来说，这种积分很难计算，人们花费了大量精力来理解它们。然而，如果LandV生成一个有限维李代数，可以通过为公式（CHB）建立一个“Campbell-Hausdor-fff-Backer”来计算这些积分【10、14、54】。想法是在我们感兴趣的情况下，使用CHB公式将所有指数运算符etl向左移动。这也是我们在本文中要做的。我们注意到，在我们的论文中，CHB公式是一个有限的和，因此不存在收敛问题。在金额不确定的情况下，也可以在某些情况下使用CHB公式；参见【54】中的示例。回想一下，[T，T]：=TT- tttandadt（T）=[T，T]的换向器。显然，我们现在已经准备好陈述我们的主要技术要素之一，坎贝尔豪斯多夫-贝克尔（Campbell Hausdor ff-Backer，CHB）公式（关于更广泛的概括性，请参见[10、14、54]）。定理1.1。设Land V为运算符，使得adm+1L（V）=0对于某些m。对于任何θ>0，def nePm（L，V；θ）：=mXk=0θkk！adkL（V）=L+θ[L，V]+θ[L，[L，V]]+。

.TheneθLV=Pm（L，V；θ）eθL，类似地，V eθL=eθLPm（L，V；-θ).设R[σ，σ, x] 是中微分算子的代数σ和x具有σ中的系数多项式。CHB公式允许我们计算Duhamel Dys中的IkofEquation（9）项，关于pe rturbative系列展开式，公式（8）。事实上，直接计算得出以下推论。10 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORCorollary 1.2。在定理1.1的假设下，我们得到了（t-τ） LV e（τ-τ） 我。e（τk-1.-τk）LV eτkL=etLPm（L，V；-τ) . . . Pm（L，V；-τk-1） Pm（L，V；-τk），因此Ik=etLpk（t），其中pk（t）∈ R[σ，σ, x] 依赖于t、L和V的ds多项式。类似地，通过将指数移动到r灯光，我们得到Ik=qk（t）etL，其中qk（t）∈ R[σ，σ, x] dep结束t、L和V上的多项式。1.2. SABR的换向器计算。我们想使用CHB公式（定理1.1）及其推论1。2明确识别λSABR PDE的每膨胀级数展开中的Ikinthe Duhamel Dyson项，即不等式（8）。为此，我们需要引入分解L=L+并计算相关的换向器，以便使用CHB公式确定我们的位置。让我们介绍一下微分算子：（20）L=σ(x个- x） ，L=ρσx个σ+ κ(θ - σ)σ、 L=σσ、 andL：=L+νL+νL。通过这种方式，λSABR PDE（方程（1））成为我们的一般演化方程，方程（7）的特例，对于L：=L+νL+νL。我们可以使用上一小节的一般结果，对于L=L+V，其中V：=νL+νL。微分算子L、L、L和Vw的符号在整个论文中保持不变。下面的le-mma表明，在λSABR PDE的情况下，我们可以使用CHB公式a n，因此可以显式计算Land V的Duhamel-Dyson微扰级数展开式中的项：引理1.3。让b：=x个(x个- 1).

那么adL（L）=-σ[ρσx+κ（θ- σ） 如果j>1，则b和djl（L）=0。同样，adL（L）=-(σ+ 2σσ） b，adL（L）=σb，如果j>2，则djL（L）=0。特别是，如果j>2，则adjL（V）=0，因此我们可以使用CHB公式。1.3. ν的权力扩张。现在让我们用ν的幂展开Duhamel-Dyson微扰级数e展开中的项，见方程（8）。然后，我们使用定理1.1的CHB公式及其推论，推论1.2（其使用由引理1.3证明），得到命题1.4。我们有（21）个etL=etL+νB+νB+。νn-10亿-1+νnRn，其中Bj=PjetL=etLQj，j<n，其中Pj，Qj∈ R[σ，σ, x] 它。此外，Rn=P etL+En=etLQ+En，方程式（19）中为Enas。现在我们来计算项Bj，j=1，2。目标是最终获得展开式中F=Bh和F=Bh项的精确公式FSA=FBS+νF+νF+。方程式（6）的。从方程式（8）和（9）以及v=νL+νL的关系来看，SABR 11中的VOL-OF-VOL展开式，让我们引入符号（22）J：=Zte（t-τ） LLeτLdτ，J：=中兴通讯（t-τ） LLeτLdτ，andI（T，T）：=ZtZτe（T-τ） LTe（τ-τ） LTeτLdτdτ上述积分定义见【14，54】。同样，让我们考虑“误差项”R=I（L，L）+I（L，L）+νI（L，L）+ZtZτZτe（t-τ） LV e（τ-τ） LV e（τ-τ） LVEτLdτdτdτ。（我们再次注意到，最后一个公式中的最后一个指数与其他指数不同，使用的是L而不是L。）通过收集L=L+V的Duhamel-Dyson微扰级数展开中的类似幂为ν的项，其中L、V和所有其他微分算子如等式（20）中所述，我们看到，建议1.4的展开式变为（23）etL=etL+νJ+ν（J+I（L，L））+νR。也就是说，（24）B=Jand B=J+I（L，L）。请注意，当定义指数（或半群）时，方程（23）是一个精确的公式，而不仅仅是一个近似值。

此外，它是运算符的等式，因此（25）etLv=etLv+νJv+ν（Jv+I（L，L））+νRv，我们主要用于v（x）=h（x）：=| ex- K |+。1.4. 符号Bj的ic公式，j=1，2。现在我们来讨论命题1.4的项Bj，j=1，2的符号计算。根据方程式（24），为了计算B带，我们需要计算J、J和I（L，L）。为此，我们使用CHB公式将积分J、J和I（L，L）中的指数依次向左移动。首先，积分Jin方程（22）的定义给出（26）J=ZtetL（L- τadL（L））dτ=etLtL公司-tadL（L）.类似地，（27）J=ZtetL（L- τadL（L）+τadL（L））=etLtL公司-tadL（L）+tadL（L）.12 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.Nistor最后，方程式（22）中积分I的定义给出（28）I（L，L）=ZtZτe（t-τ） LLe公司-τL（L- τadL（L））dτdτ=ZtZτetL（L- τadL（L））（L- τadL（L））dτdτ=etLtL公司-tadL（L）L-tLadL（L）+t（adL（L））.这就完成了B带的符号计算，即根据指数ETL和Lj的换向器。备注1.5。请注意，我们得到了ETL形式的所有指数都向右移动的公式，以及它们都向左移动的公式。这两种形式都是必需的，但它们有不同的用途。我们得到的公式足够明确，可以进行精确计算。特别是，方程式（23）c的系数B=Jand和B=J+I（L，L）可以写成Bj=PjetLand Bj=etLQj的形式，其中PJ，Qj∈ R[σ，σ, x] ，j=1，2，这一事实将很快被利用。扩展中的其他术语也是如此（j≥ 3).备注1.6。让我们注意到ETL是被定义的（因为它将池塘与热方程族相关联）。特别是etLσijx=σijxetL公司。对于etL来说，情况更加复杂。设M：=R×[0，∞)  （x，σ）。

如果κ=0，则t是，如果没有均值回复项，则L由导数σ生成X和σσ以及σa和x中的光滑、完全有界函数（或系数）。在[5,6]中，在“李流形”上的微分算子框架中研究了这种类型的微分算子在我们的例子中，M是一个李流形，其结构由M到圆盘的标准紧定位在双曲坐标下生成。几何学是hype-rbolic平面的几何学，这在[32]中也有所发现。由于李流形是有界几何体[5]，在[46]和最近由Herbert Amann[3，4]提出的理论表明，方程（7）在与该几何体相关的Sobolev空间中是适定的，即在形式为hm（M；g）：={f的空间中∈ L（M）| ZMσi+j-1.九jσu dxdσ<∞, i+j≤ m}。不幸的是，这种适定性结果在均值回复情况下是未知的。然而，参见【33，54】。正因为如此，我们对均值回复ca se的处理将更加简单和正式。对这类流形的分析与双曲空间的分析有关[32]。它还与多面体域上偏微分方程的边奇异性分析有关[7、13、16、20、42]。备注1.7。原则上，我们可以精确计算算子s Bj的分布核（或格林函数）。它们与etL操作符的内核密切相关。对于B，我们将这样做，见备注1.1 0。然后，这些核可用于对任何初始数据v进行积分，通过在小参数的展开中截断，获得我们的偏微分方程的半离散化（即仅在一段时间内离散化）。这种半离散化可以通过有限维空间中的函数对v的近似，然后通过SABR 13的体积展开的数值积分，转化为完全离散化。这种近似对于小时间非常有用。