SABR中期权价格的波动性扩张

更具体地说，对于序列a：=（ai）i∈一、 其中，I是一个具有| I |元素的有限集l-标准kakis由（61）kak给出：=| I|-1十一∈Iai。（当使用复数时，ai将替换为| ai |，但这在后面的内容中不是必需的。）类似地l- 以及l∞-a的范数：=（ai）i∈Iaregiven作者：kak：=| I|-1Pi∈I | ai |和kak∞:= maxi公司∈I | ai |，分别是。对于l∞-正常，正常化当然不起作用。因此，对于每个交易日τ=1，N我们有一组J=260个三元组mτ={（yτ，J，∑τ，J，Tτ，J）}，（因此J=1，…，J）。上述集合中的每三个分别代表货币性、报价波动性和到期时间。假设罢工总是K=1，r=0，这不会改变我们对备注1的计算。然后，使用函数Crelof方程（45）（62）pτ，j=Crel（yτ，j，∑τ，j，Tτ，j），获得该交易的期权价格。更准确地说，我们在本小节开头概述的程序包括以下内容。对于每个目标函数和每个交易日τ，我们使用最小二乘优化法来确定最终目标函数最匹配的参数（ντ、στ、ρτ）（在l感知）引用数据。在为三种类型的测试中的每一种更详细地解释这一点之前，让我们首先对我们的数据结构做出以下评论。备注3.1。在我们的数据中，市场数据不提供对数货币价值yτ，j，而是提供对冲参数τ、 j.值y=ln（Sert/K）根据 使用公式（63）yτ，j=στ-1pTτ，j2N个-1(τ、 j）- στ -1pTτ，j,其中στ-1是在前一个交易日确定的隐含波动率，t=t。对于第一个交易日，我们将参数作为初始值，即前一轮计划的平均值。

我们还估计了yτ，jusing∑τ，jin而不是στ-1，但在表1.3.3中报告的误差估计中未发现任何显著差异。第一类市场数据测试：隐含波动率。对于第一类测试，我们使用了两种隐含波动率近似值作为目标函数：σ和σHde，如下所示。22 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORTable 1。将模型的隐含波动率与市场数据进行比较。ISE OSEνstd（ν）σstd（σ）ρstd（ρ）σD.0152。0179 1.335 0.3 .1889 .078 -0.54 .07σH.0154。0181 1.332 0.29 .1902 .079 -0.58 .0693.3.1. 目标函数：σD。隐含波动率函数的第一个选择，即σD，是orem 2.2提供的一个函数，通过将其截断为二阶近似值（以ν的幂为单位），即，（64）σD（y，ν，σ，T）：=σ+νe+νe。我们使用该目标函数如下。回想一下，Jτ是当天τ的市场数据集。对于每个交易日τ，我们计算了参数（ντ，στ，ρτ），该参数使（的平方）最小化l我们的目标函数（σD）和市场提供的模拟函数（隐含波动率，在这种情况下用各种指数表示∑）之间的误差。

也就是说，我们选择（ντ，στ，ρτ）来最小化（65）kσD（Jτ，ν，σ，ρ）- ∑（Jτ）k：=| Jτ| X（y，∑，T）∈JτσD（y，ν，σ，ρ，T）- Σ=Xj=1σD（yτ，j，ν，σ，ρ，Tτ，j）- ∑τ，j.使用的最小值lnorm是我们模型的拟合误差，或“样本内误差”（ISE），通过将（ν，σ，ρ）替换为（ντ，στ，ρτ）：（66）kσD（Jτ，ντ，στ，ρτ）-∑（Jτ）k：=Xj=1σD（yτ，j，ντ，στ，ρτ，Tτ，j）-∑τ，j.我们还计算了通过将（ν，σ，ρ）替换为（ντ）得到的“样本外”（OSE）误差-1, στ -1, ρτ -1） ，即使用前一天获得的参数s。（67）kσD（Jτ，ντ-1, στ -1, ρτ -1)-∑（Jτ）k：=Xj=1σD（yτ，j，ντ-1, στ -1, ρτ -1，Tτ，j）-∑τ，j.下表（表1）的第二行总结了我们的测试结果，提供了ISE和OSE、平均值ν、σ、ρ，以及特定目标函数（本例中为σ）的标准偏差std（ν）、std（σ）和std（ρ）。3.3.2. 目标函数：σH。回想一下，在[31]中，Hagan、Kumar、Lesniewski和Woodward应用了奇异摄动技术来推导SABR动力学下的闭合形式隐含效用近似，表示为σH。设z=νσln（F/K）和（68）ξ（z）=lnp1- 2ρz+z+z- ρ1 - ρ.SABR 23的VOL-OF-VOL展开式对于β=1，本文考虑的唯一情况，其隐含波动率近似值由以下公式给出：（69）σH（y，ν，σ，ρ，t）：=σzξ（z）h1+ρνσ +2 - 3ρνti，（另见【1】。）at表1中的las t数据行汇总了与上一段相同的信息，但针对σH替换σD.3.3.3。结论表1中总结的计算结果表明，对于数据集中出现的参数，两个公式σ和σD得出了非常相似的结果（通常情况下并非如此！）。3.4. 第二类市场数据是：实际价格。

在本小节中，我们报告了比较实际价格的测试结果。通过Black-Scholes公式（43），选择隐含波动率的近似值可以得出价格的近似值。例如，如果我们用σD近似σimp（就像在上一小节的第一组测试中一样），则得出的价格近似值为（70）CD（y，σ，t）：=Crel（y，σD，t）。（尤其是CD=e-rtFD，见方程式（16）。）此外，如果我们用σH近似σimp，所得公式将表示为（71）CH（y，σ，t）：=Crel（y，σH，t）。对于短期期权，SABR PDE解的近似值被广泛认为是非常精确的。我们将得出的价值和Cd与市场数据提供的价格Cm进行了比较。除了这些近似价格函数外，我们还测试了正则化的CHof Haga n公式，以及CSA的第二阶近似，即CSA，2=e-rtFSA，2定理1.1 1。如备注1.15和1.16所述，我们可以假设K=1和r=0，将所有结果乘以一个全局因子。3.4.1. 目标功能：CD2和CSA。然后，我们按照上一小节的步骤进行，但我们使用了Cd而不是σ，并且实际价格Cm=CBS（S，K，∑，t）而不是∑，其中∑是隐含波动率，由数据se t提供。我们还包括了对近似价格公式的测试，包括κ=。在我们的测试中，我们假设-rt=1。

因此，我们选择（ν，σ，ρ）来最小化（72）Xj=1，而不是（65Crel（yτ，j，σD（yτ，j，ν，σ，ρ，Tτ，j），Tτ，j）- Crel（yτ，j，∑τ，j，Tτ，j）,式中，Crelis如等式（45）所定义（因此，我们将dσd（yτ，j，ν，σ，ρ，Tτ，j）替换为dσd（yτ，j，ν，σ，ρ，Tτ，j）-∑τ，jwith Crel（yτ，j，σD（yτ，j，ν，σ，ρ，Tτ，j），Tτ，j）-方程（65）中的Crel（yτ，j，∑τ，j，Tτ，j）。为了获得样本内误差（ISE）和样本外误差（OSE），我们对方程（66）和（67）进行了一些类似的修正。这等于将方程式（72）中的（ν，σ，ρ）替换为（ντ，στ，ρτ），以获得ISE和（ντ-1, στ -1, ρτ -1） 以获得OSE。我们对CSA进行了类似的处理，2=e-rtFSA，2（见方程式（15））。结果见表2.24 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORTable 2的最后两列。将模型的实际价格与市场数据进行比较。ISE OSEνstd（ν）σstd（σ）ρstd（ρ）CH.0038。0043 1.0463 .24 .197 .07 -0.56 .07CH.0036。0042 1.0687 .28 .192 .07 -0.39 .15CD。0037 .0042 1.0502 .25 .196 .07 -0.53 .08CSA，2.0037。0043 1.0566 .25 .196 .07 -0.55 .07表3。将模型的对数价格与市场数据对象函数ISEνstd（ν）σstd（σ）ρstd（ρ）ln（CH）进行比较。069 .077 1.2 .2.19 .08 -0.57 .06ln（￠CH）。056 .066 1.4 .4.18 .08 -0.28 .12ln（CD）。059 .068 1.5 .3.19 .08 -0.54 .04ln（CSA，2）。067 .076 1.3 .3.19 .0 8 -0.55 .05ln（Cκ）。064 .074 1.2 .3.19 .08 -0.55 .04ln（哥伦比亚广播公司）。119 .123 .18 .063.4.2. 目标函数：CHandCH。该表第二列提供了用Chare替换CDR的类似结果。结果表明，由于ξ（0）=0，σHdue的商z/ξ（z）的公式中存在一些数值不稳定性，因此对于很小的z，我们讨论了机器精度问题。

因此，对于z非常小，我们在z/ξ（z）和1之间插入te-σz≈ z/ξ（z）以获得新的公式CH，我们还总结了（略好的）结果。在处理市场数据时，z实际上从来都不是零，但在处理数字测试时，我们确实得到了z=0，因此这种插值变得必不可少。3.4.3. 结论重新使用CHwithCHIMP将此公式的性能提高了一小部分，但意义重大。在任何情况下，所有这些模型（Black-Scholes模型除外）的表现都非常相似，通过检查样本内误差s（ISE）和样本外误差（OSE）可以看出。3.5. 第三类marke-t数据测试：对数价格。读者可能已经观察到了前一节中使用的方法的谬误：通过观察差异CM- 例如，我们没有考虑这样一个事实，即当Cm很小时，我们希望误差更小。因此，我们现在执行相同的测试，但针对的是价格的对数。因此，我们将CD替换为ln（CD）（与其他Cs类似）。因此，对于目标函数ln（CD），我们最小化（73）Xj=1自然对数Crel（yτ，j，σD（yτ，j，ν，σ，ρ，Tτ，j），Tτ，j）- 自然对数Crel（yτ，j，∑τ，j，Tτ，j）,其他目标函数的所有其他公式都以类似的方式变化。我们还测试了均值回复项。我们在表3总结的结果中得出，平均值回复项对应于ln（Cκ）。SABR 25的VOL-OF-VOL扩展这里是对这些结果的一些评论。最好的模型是修改后的哈根模型，紧随其后的是我们的隐含波动率模型（因此，在这种情况下，考虑定理2.2的隐含波动率公式而不是定理1.11的近似价格公式是一个优势，尽管它们之间有一个O（ν）阶差）。

为了进行比较，在最后一行，我们还展示了Black-Scholes mo de l的表现，这被认为比所有其他的表现都要差得多。与价格的类似近似值相比，使用隐含波动率的ν展开可以改善结果。引入均值回复项也可以改善（对于小κ）结果。这可以通过比较ln（Cκ）对应的行与ln（CSA，2）对应的行，以及从CSA公式中得到的Cκ公式（包括均值回复项）来看出。备注3.2。我们已经包含了参数s（ν，σ，ρ）的平均值和标准偏差的信息，因为我们将使用它们来选择数值测试的最有利参数。从这个意义上说，我们不明白你的意思-.01和标准偏差0.28.4。数值试验我们对我们的近似公式CSA、2和CDin进行了数值试验。数值试验证实了我们的方法在适当的参数范围内的有效性。在下面的所有数值测试中，我们选择了K=1和K=0。我们还选择了r=0，因此for ward价格SF=ertC和实际价格C之间的区别消失了。4.1. 近似值的个体：在PDE中替换。评估本pap中考虑的各种方法性能的最简单的数值测试是检查得到的价格函数C是否满足SABRPDE（方程（1））。回想一下，在我们的数值测试中，L是SABR PDE的生成器，κ=0。也就是说，我们共同计算残差tC公司-LC，其中，对于哈根模型，C=chf；对于我们使用近似波动率σD的模型，C=cd2；对于我们的二阶近似值，C=CSA。如果C是SABR-PDE的n精确解，则残差为零。

所以范数R=ktC公司- theresidual的LCk告诉我们C离实际解有多远。为了比较，我们还计算了当C=CBS时的残差范数，即当C仅由Black-Scholes公式给出时的残差范数。可以说，如果个体的范数很小，那么C接近实际解，因为对于κ=0，PDE是适定的。然而，情况并非如此，因为较大的残差并不意味着Cis远离溶液（这与如果f′很小，则给出fis很小的现象相同，但并非相反）。我们计算了l-不同区域的残差范数。例如，让我们考虑一组数据点，其中ν=0.12 5，T属于n 0.1和1之间的等距节点集，ρ=-0.4，σb延伸至0.1和0.3之间的一组等距节点，y属于-0.5和0.5。表4总结了我们选择C的残差标准。（在该表中，我们显示了标准乘以1000，因为这些数字在其他方面非常小。）我们对其他不同地区进行了相同的测试，包括参数值接近市场数据的地区。26 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORTable 4的结果，如预期的那样，随着ν、T和区间大小的增加而恶化。残差R的估计：=k(t型- 五十） CkC=CHCDCSA，2CBSR 0.489 0.181 0.163 16.436ν=。125，吨∈ [0.1, 1], ρ = -.4, σ ∈ [0.1、0.3]和y∈ [-0 .5, 0.5].表5：。残差估计（续）C=CHCDCSA，2CBSνT∈ y∈R33 .07 .072 1.8 .1 [ 0.1, 30 ] [-0.3, .3] R。38 .28 .37 1.8 .1 [ 0.1, 30 ] [ -1.5，1.5]R。02 .016 .018 1.4 .25 [ 0.1, 0.2 ] [ -1.5，1.5]R 3.2 2.4 5.2 18.8 1[0.1，1][-0.2，0.2]R 4.3 26。14.8 15.5 1 [ 0.1, 1 ] [ -1，1]R 6.1 4。7. 17.5 1 [ 0.1, 2 ] [ -0.2，0.2]表6。

Dyson级数方法与Hagan公式OBJ函数的比较lll∞σH- σD.0057。0139 .16 7频道- 光盘0010 .0026 .0266ln（CH）- ln（CD）。0326 .0938 3.598年。在这些测试中，我们的模型be对于小ν，甚至对于大T都有更好的效果。然而，对于较大的ν值，Hagan的模型表现更好（对于这种类型的测试）。在所有这些测试中，我们只使用了T的值≥ 0.1，因为T<0.1.4.2时，程序中使用的数值微分变得不太可靠。我们的隐含波动率公式与哈根的市场数据公式的比较。对于上文中解释的所有参数qτ，j：=（ντ，στ，ρτ，yτ，j，Tτ，j），我们还计算了隐含挥发度σH之间的差异- σD，价格Sch（qτ，j）- CD（qτ，j）：=Crel（σH（qτ，j））- Crel（σD（qτ，j））：=Crel（yτ，j，σH（ντ，στ，ρτ，yτ，j，Tτ，j），Tτ，j）-Crel（yτ，j，σD（ντ，στ，ρτ，yτ，j，Tτ，j），Tτ，j）。我们同样计算了相应原木价格之间的差异：ln（CH（qτ，j））- ln（CD（qτ，j））：=ln（Crel（σH（qτ，j）））- ln（Crel（σD（qτ，j）））。对于所有这些选项，我们计算了l, l, 和l∞norm，表6总结的结果得出的结论是，平均而言，σ和σd预测了一些非常接近的值。然而，有时，这些值可能非常不同。获得了价格差异的“最佳结果”，但这些结果并不太重要，因为它们不是无量纲的（它们没有考虑价格的大小）。SABR 274.3的VOL-OF-VOL扩展。蒙特卡罗模拟。公式CH、CD或CSA、2均不是SABR PDE的正确解决方案。为了将它们与真解进行比较，我们需要一种方法来很好地逼近真解，以便查看哪种方法最接近真解。

回想一下，在我们的数值测试中，κ=0。在第一组测试中，我们使用蒙特卡罗方法来近似SABR P DE的真实解。为了进行测试，我们首先使用30000条路径和时间步10，通过蒙特卡罗模拟（以下由CMC表示）来计算看涨期权的价格-4、我们以此值为基准。然后，我们计算了差值EH=CH- CMCand ED=CD- CMCfora K和t的范围，并将其绘制为货币y=ln F/K的函数。我们在整个测试过程中选择以下参数：F=10，σ=0.2，ν=0.2，ρ=-0.3.当t=1时，近似值CHand和Cd几乎完全一致，并且都相当准确。最大误差为0.8%，约为基准价格CMC的0.1%-0.2%。当t增加到3和10时，误差开始增大，两种近似值逐渐发散。当CHand和Cd都高估CMC时，Hagan的近似值往往会给出更好的近似值，而如果他们都低估CMC，Duhamel-Dyson微扰级数近似值的误差r较小。因此，总的来说，无法判断隐含波动率的两个近似值（Hagan和我们的）中哪一个更适合小t。最后，当它大到30年时。CHand和Cd之间的差异变得显著。有趣的是，CHand-Cd都高估了时间的CMCmost，而且Cd几乎系统性地为低CH。因此，在这种情况下，Duhamel Dyson摄动级数方法为大多数罢工提供了更好的近似值。事实上，Hagan近似的最大相对误差为22%，而Duhamel-Dyson微扰序列展开法的相对误差仅为12%。然而，对于ν=1.5，我们的蒙特卡罗模拟甚至对于路径也不收敛。为此，我们还尝试了有限差异模拟。4.4. 与有限差分近似解的比较。