SABR中期权价格的波动性扩张

使用[10，14]中的Bootstrap方法，可以在任何时候将其转换为ar位精度近似值。详见备注1.10。1.5. 加热内核和卷积。注释1.7中讨论了算子Bj的格林函数，虽然在原则上是明确的，但由非常复杂的公式给出。然而，可以使用h和etL的特殊性质进一步简化Bjh的计算。让我们定义（29）φt（x，σ）=σ√2πte-xσ√t型-σ√t型.那么众所周知，（30）etL（x，y）=φt（x- y、 σ），即etLf（x）=RRetL（x，y）f（y）dy和u（t，x，σ）：=etLf（x）满足偏微分方程tu（t）- Lu（t）=0，初始条件u（0）=f.（即etL（x，y）是t型- 五十、 ）特别是，这将产生ETL，最终公式中需要ETL，如下所示。Le tN（x）：=（2π）-1/2Rx-∞e-t/2dt是正常的累积函数。然后（31）etLh（x，σ）=Z∞ln Kφt（x- y、 σ）（ey- K） dy=exN（d+）- 千牛（d-) ,我们使用了方程式（11）的符号。这建议考虑整数核算子Tk，其中k（x，y）是一个合适的可测函数，Tkf（x）：=RRk（x，y）f（y）dy。然后k被称为Tk的分布核。如果k（x，y）=φ（x- y） ，那么我们也将写出Cφ=tk，我们将Cφ称为与φ卷积的算子。So（32）Cφf（x）=ZRφ（x- y） f（y）dy。特别是，etL（x，y）是φt的卷积算子：（33）etL（x，y）=Cφt。我们所有的卷积算子都是x变量的卷积算子，但它们通常以σ作为参数。卷积符号中的参数σ有时会被指定，如上一个等式中所示。设h（x）=ex- K |+=（例如- K） +是欧洲看涨期权的常见薪酬，等式（4）。回想一下函数φ：R→ C是sa id，若xk为Schwartzclassjxφ（x）对所有k，j有界≥ 0

如果φ是Schwartz类，那么φ及其所有导数都是可积的。我们有以下引理，它强调了多项式b所起的重要作用=x个- x、 引理1.8。假设φ是Schwartz类的函数。然后（34）xCφ=Cφx=Cφ′，即（Cφψ）′=Cφ（ψ′）=Cφ′（ψ），对于Schwartz类ψ。此外，如果存在两个常数C>0和>1，则|φ（k）（x）|≤ 总工程师-| x |对于k=0，1，2，则bcφh（x）=kφ（x- ln K）。特别是，如果P∈ R[σ，x] ，形式为P的运算符是x变量中的卷积运算符。14 O.GRISHCHENKO，X.HAN和V.NISTORNote如果P∈ R[σ，x] 。更准确地说，我们得到P etL=etLP是一个由x变量中卷积算子的σ参数化的族。证据证明是通过直接计算进行的。为了方便读者，我们注意到第二个关系来自第一个关系和bh=(x个-x） h=Kδln K，其中δi是狄拉克分布，集中在y。下面的注释解释了计算的最后一步，即在展开式中F=Bh和F=Bh，FSA=FBS+νF+νF+。方程式（6）的。备注1.9。让我们首先注意（35）nxφt（x）=▄Hn（x）φt（x），对于多项式▄Hn（x），g≥ 0，其系数是σ的函数。设Hn为Hermite多项式和（36）l（x） ：=xσ√t型-σ√t、 然后▄Hn=(-σ√t） nHn公司(l（x） ）。详见备注1.1 4。设Bj=etLQj，如命题1.4所示，设bf=x个- x、 与e之前一样，则Qj=PiGjiiσ（固定金额），含Gji∈ R[σ，x] 。我们将看到Gj0=Gjb，Gj=Piaji其中，aji=aji（σ）是σ中的多项式。还记得x、 σ和ETLCurvet，因此etLand GJ0委员会。

引理1.8简化了Bjh的计算，j=1，2，如下所示：（37）Bjh（x）=etL西吉iσh（x）=etLGj0h（x）=Gj0etLh（x）=bGjetLh（x）=bCGjφth=KGjφt（x- ln K，σ）=下集（σ）~Hi（x- ln K）φt（x- ln K，σ）。为了完成我们的计算，剩下要做的就是找到微分算子Gj，j=1，2，或等价的多项式aji（σ）。我们还注意到x（ψ（x- a） ）=(ψ） （十）- a） ，因此在编写▄Gjφt（x）时没有混淆的危险- ln K，σ）。最后一句话也解释了为什么，若我们对计算形式Bjh的项感兴趣，那个么将指数保持在公式的左边更方便（以消除σ).此讨论允许我们确定SABR 15Remark 1.10的B.VOL-of-VOL扩展的分布内核。回想一下，B=J=etLtL公司-tadL（L）, 将J的公式、方程式（22）和等式（24）结合起来。然后B=etLt型ρσx个σ+ κ(θ - σ)σ+tσ[ρσx+κ（θ- σ)](x个- x）= t型ρσx+κ（θ- σ)etLσ+tσ[ρσx+κ（θ- σ)](x个- x） etL=tκ（θ- σ） Cφtσ+tρσCHφtσ-tκσ（θ- σ） CHφt+tσ[κ（θ- σ) - ρσ]C▄Hφt+tσρC▄Hφt。这得出Bv=Cψσv+Cψv。那么，u（0）=v的任何初始值问题的解可以近似为u≈ Dtv，Dtv（x，σ）：=Zhφt（x- y、 σ）+ψ（x- y、 σ）v（y，σ）+ψ（x- y、 σ）σv（y，σ）idy。当然，如果还包括Bterm，则会得到更好的估计，然而Bterm要复杂得多。可以执行bootstr ap，即将区间[0，T]划分为N个子区间，并在每个区间上近似求解相应的初始问题。该isu（（k+1）T/N）≈ DT/Nu（kT/N）。一旦建立了误差k u（t），这种方法就可以很好地工作- Dtvk=O（ta），A>1。参见【10、14】。1.6. 微分算子的计算Gj。

我们现在详细使用备注1.9中所述的方法来计算F=Bh和F=Bh的显式闭式表达式，其中，我们记得，B=Jand B=J+I（L，L）。微分算子Gj∈ R[σ，x] ，j=1，2，考虑该备注中定义的本小节区域，因此满足Bjh（x）=KGjφt（x- ln K，σ）。我们继续使用符号b=x个- x、 为了简单起见。回想引理1.3中的als o，adL（L）=-σ[ρσx+κ（θ- σ） ]b.引理1.8和方程26，然后给出（因为t=0）Bh=Jh=etLtL公司-tadL（L）h=-tetLadL（L）h。因此，G=：tσ[ρσx+κ（θ- σ） ]=a+ax和（38）F（t，x，σ）=Bh（t，x，σ）=KGφt（x- ln K，σ）=Ka+aH（x- ln K）φt（x- ln K，σ），从而得到引言中的公式（1 2）。第二项类似，但计算需要更多的工作。我们将使用Lh=Lh=0。我们首先计算中期（39）L【L，L】h=-(ρσx个σ+ κ(θ - σ)σ)σ[ρσx+κ（θ- σ） ]bh=-(ρσx+κ（θ- σ))[3ρσx+κ（θ- 2σ）]bh=-ρσx+κρσ（4θ- 5σ)x+κ（θ- σ)(θ - 2σ)伯克希尔哈撒韦。16 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORWe然后将此计算与[L，L]h=σ[ρσ]一起使用x+κ（θ-σ） ]bh，公式（27）和（28），关系式σh=0σ通勤时间x、 获得BH=（J+I（L，L））h=etLtL公司-tadL（L）+tadL（L）h+etLtL公司-tadL（L）L-tLadL（L）+t（adL（L））h=etL-tadL（L）+tadL（L）-tLadL（L）+t（adL（L））h=etLtσ+tσb+t3ρσx+κρσ（4θ- 5σ)x+κ（θ- σ)(θ - 2σ)+tσ[ρσx+2ρσκ（θ- σ)x+κ（θ- σ） ]b伯克希尔哈撒韦。Leta=tσ+tκ（θ- σ)(θ - 2σ）a=-tσ+tκρσ（4θ- 5σ) -tκσ（θ- σ） a=tσ+tρσ+tκσ（θ- σ)-tκρσ（θ- σ） a=tκρσ（θ- σ) -tρσa=tρσ。然后▄G=Pa2iixand，最终，（40）F（t，x，σ）=Bh（t，x，σ）=KGφt（x- ln K，σ）=KXj=0a2iHi（x- ln K）φt（x- ln K，σ）。把我们的计算放在一起，我们得到以下结果。（回想方程式（6）的旋转，但也可参见方程式（15）。）定理1.11。

λSABR偏微分方程解F的形式二阶近似为（41）FSA，2（S，K，ν，σ，ρ，t）=eth（t，x，σ）+νBh（t，x，σ）+νBh（t，x，σ），其中eth由方程（31）给出，Bh=Fand Bh=由方程（38）和（40）明确给出的价格，x=ln（Sert），如前所述。备注1.12。自初始数据h（x）=ex-K |+=（例如-K） +在σ中非常平滑–事实上，在我们的随机波动率模型中，即使与σ无关，【14】的方法将给出Rh是有界的（因此，对于νsmall，νRh非常小）。即，（42）FSA（S，K，ν，σ，ρ，t）- FSA，2（S，K，ν，σ，ρ，t）=O（ν），然而，这一事实的严格证明超出了本文的范围。SABR 17的VOL-OF-VOL展开式[44]中获得了κ=0但一般β的类似公式。他们使用的是一种小时间渐近方法，与文献[14]中的方法非常相似，这导致了更长的公式。1.7. 关于实施的评论。在执行fsa，2（S，K，ν，σ，ρ，t）公式时，考虑以下备注将很方便。为简单起见，我们从现在起限制为κ=0的情况。备注1.13。首先，在我们的计算中，计算正向价格很方便，通常用F表示，并用各种指数修饰。然而，在实践中，可能需要使用实际价格，用C表示，并用相应的指数加以修饰。它们与公式F=ertC有关，这与价格C以“今天”的货币给出这一事实有关，其中远期价格e是使用到期时的货币价值报价的。这里，当然，r是利率，t是到期时间，就像以前一样。这与我们的计算一致。的确，设d±：=ln S-ln K+rtσ√t±σ√t： =ln（F/K）σ√t±σ√t、 如前所述，等式（11）。特别地，l（十）-ln K）=d-.

然后，我们重新调用了（43）CBS（S，K，σ，t）=SN（d+）给出的具有行使K、标的S和波动率σ的所有期权的价格CBS（S，K，σ，t）的Black-Scholes公式- e-rtKN（d-) .回想一下，FBS=etLh，因此公式FBS=ERTCBS通过方程式（31）进行验证，因为x- ln K=ln（插入/K）。术语ln（Sert/K）称为对数货币。备注1.14。回想一下，Hermite多项式Hn（x）（概率论者的版本）由（44）Hn（x）给出：=(-1） nex/2nxe公司-x/2n≥ 0 .其中，只有H（x）=1，H（x）=x，H（x）=x- 1，H（x）=x- 3x，且h（x）=x- B级评估需要6x+3。如果l（x） 是x（so）的任意线性函数l′是常数），则nxe公司-l（x） /2=(-l′)nHn公司(l（x） ）e-l（x） /2。让我们来看看l（x） ：=xσ√t型-σ√t从现在开始，如（36）所示，其中φt（x，σ）=ce-l（x） /2，c∈ R、 因此，我们有▄Hn（x）：=(-l′)nHn公司(l（x） ）。回想式（29）中给出的φ（但也可参见式（33））和式（3）中定义的多项式Hna（即，nxφt（x）=Hn（x）φt（x））。此外，在实施过程中，有必要注意到l（十）- ln K）=d-, 该▄Hn（x-ln K）=-σ√t型nHn（d-), φt（x-lnK，σ）=σ√2πte-d-/2、回想一下d-在方程式（11）中定义。备注1.15。设f（S，K）为任意函数。我们可以说，如果f（λS，λK）=λf（S，K），则它在（S，K）中是一次齐次的。如果是这种情况，函数g=K-1f可以仅用y=ln（Sert/K）表示（在本讨论中，假设r和t是参数）。例如，BlackScholes定价公式是（S，K）中德格力公式的齐次公式。方程式（1）的形式告诉我们，萨伯模型中欧洲所有国家的远期价格FSAO也是（S，K）中一级的同质价格。自CSA起：=e-rtFSA，我们有18个O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORthat CSAI在（S，K）中也是一级同质的。

我们还发现，Bh和Bh在（S，K）中也是一次齐次的，这与FSA的性质一致。特别是FSA、2和CSA：=e-rtFSAare还具有一级的homog e one ousin（S，K）。备注1.16。设y：=x- ln K表示对数货币。我们已经注意到了l（y） =d-. Let（45）Crel（y，σ，t）：=K-1ertCBS（S，K，σ，t），因此绉纱仅在y上直接分布（并且仅在S或K上独立分布，如备注1.15所述）。这在实现中很有用，这里我们通常会给出，但不会给出S和K，我们希望估计形式（46）lnCBS（S，K，σ，t）CBS（S，K，σ，t）=lnCrel（y，σ，t）Crel（yσ，t）的相对误差，yj=ln（Sjert/K）。同样为了实现，让我们注意到我们有（47）CSA，2（S，K，ν，σ，ρ，t）=Ke-rt公司Crel（y，σ，t）+（νρ√t型√2π+νΞ）e-d-/2.,式中（48）Ξ=σt3/2√2π6+4σ√td公司-+（12ρ+4）（d--1)+3ρσ√t（d--3d-)+3ρ（d--6d-+3),由方程式（38）和（40）以及定理1.11.2得出。应用：导数近似和隐式volatility我们现在介绍我们开发的方法的两个应用。2.1. 导数的近似值。我们的方法特别适合于近似CSA的导数（其中一些导数被称为“希腊人”）。实际上，关于方程（1）的解CSAOF的参数（而非ν）的导数和ν中的泰勒展开式可以互换。我们应该了解以下内容SCSA。ν的渐近展开式SCSATU可以从CSAby的相应展开式中获得，将微分仪按项与方程（6）中的S进行比较。例如，让我们计算近似值:= SCSA，2（S，K，ν，σ，t）。该近似值可通过对方程（41）中S=ex的微分直接获得-R和σ。

在区分响应时，我们还考虑到以下事实：S=S-1.x，S=S-2(x个- x） ，因此沙与所有其他微分算子进行比较（这是因为所有其他微分算子都是σ中的多项式，σ、 以及x） 。我们继续假设κ=0。例如，等式（38）给出（49）SBh（t，x，σ）=KSxGφt（x- ln K）=Kρ√t2S型√2πH（d-)e-d-/2.SABR 19的VOL-OF-VOL扩展类似，（50）xGφt（x）=xhtσ+tρσx+tσ(x个- x） +tρσ(x个- x） iφt=htσИH（x）-tσИH（x）+σt（3ρ+1）~H（x）+tρσ（~H（x）-H（x））iφt（x，σ），因此（51）xBh（t，x，σ）=KxGφt（x- ln K）。同时使用SCBS=N（d+），然后我们得到以下定理，这是“套期保值参数”的类似物 := SCSAof定理1.11。定理2.1。设t为到期时间，ex=Sert。然后是SCSA（S，K，ν，σ，t），表示为SCSA，2（S，K，ν，σ，t），由（52）给出SCSA，2（S，K，ν，σ，ρ，t）=N（d++νe-x个-rt公司(xBh+νxBh），其中xBh和方程（49）和（51）明确给出了xBh。换句话说，我们可以按项计算Duhamel Dyson级数中的导数。2.2. 隐含波动率。为了在我们的SABR模型近似中定性地了解隐含波动率的行为，有必要将（41）转换为隐含波动率的渐近展开。因此，我们假设隐含波动率的二阶近似值的形式为（53）σimp=σ+νe+νe+O（ν），并计算系数ean和eto。然后我们让P（σ）：=CBS（S，K，σ，t），并通过方程（54）P（σimp）：=CBS（S，K，σimp，t）=CSA（S，K，ν，σ，ρ，t）定义σimp。然后，我们将σimpfunction的一般形式替换为Black-scholes公式cbs和Taylor ex，并在ν这个复合函数中围绕初始波动率σ展开。另见【27、30、49、44】。

也就是说，我们有（55）P（σimp）+O（ν）=P（σ）+σP（σ）（νe+νe）+σP（σ）（νe+νe）=P（σ）+σP（σ）eν+σP（σ）e+σP（σ）eν=P（σ）+νe-rt（Bh+νBh）。回想一下，F=ex=serand y=ln（F/K）=x- ln K是原木货币。Letz=d-= l（y） v=σ√t、 我们还将定义P的前两个导数：=Cbs相对于σ，因此我们在这里记录它们（注意，F N′（d+）=KN′（d-))(56)Pσ=Ke-rt公司√tN′（d-) > 0和P(σ） =Ke-rtd+d-√tσN′（d-) ,可以通过替换N′（d-) =√2πe-d-/2、比较方程（41）和（55）并根据方程（5）和（4）匹配ν-系数，我们得到（57）e=e-rtJh公司/σP（σ）=ρσt- 2年= -ρvz/2。20 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.Nistors同样，让我们表示a=6+4σ√tH（z）+（12ρ+4）H（z）+3ρσ√tH（z）+3ρH（z），Bh公式中出现的长因子，方程（40）。然后，使用σP（σ）=Ke-rt公司√tN′（d-) 和√2πN′（d-) = e-（y）-σt/2）2σt，我们得到（58）e=e-rtBh公司-σP（σ）e/σP（σ）=e-rtKN′（d-)√t型σP（σ）σtA-d+d-e2σ=v√t型A.- 6ρz（z+v）=σt-ρtσ-σt-ρtσy+y6σ-ρy4σ+tρσ。我们得到以下结果：定理2.2。设t为到期时间，y=ln（F/K）=ln（Sert/K）。隐含波动率σimp的渐近展开形式为σimp（y，ν，σ，ρ，t）=σ+νe+νe+…+νkek+O（νk+1）。e=-ρσ√td公司-/2 ande=σt-ρtσ-σt-ρtσy+y6σ-ρy4σ+tρσ。3、模型校准和市场测试在讨论我们的数值测试之前，了解我们的公式在使用市场数据时的表现是很有用的。查看市场数据的主要原因不是为了表明我们的方法是好的（尽管我们确实做到了这一点，至少部分做到了），而是为了找到最有趣的数据集，以便在下一节中对我们的结果进行数值测试。因此，我们应用我们的方法，在下面描述的一些特定数据上校准我们的模型，并将结果与使用下面提到的Hagan近似值获得的结果进行比较。3.1.

数据说明。我们使用的数据是连续2517个交易日的SP500指数期权。每天有260个=2×10×13数据点：2个用于选择调用/放入，10个用于选择到期时间T：（59）12 T∈ {1、2、3、4、5、6、9、12、18、24}和13选择, 即，（60） ∈ {0.2，0.25，0.3，…，0.75，0.8}（值y=ln（Sert/K）由以下公式确定 如下所述，备注3.1）。3.2. 方法的一般说明。我们使用市场数据运行三种类型的测试。每种类型的测试都通过其目标函数进行区分。更准确地说，对于第一类测试，我们使用隐含波动率作为目标函数，对于第二类测试，我们使用实际价格（从隐含波动率和Black-Scholes公式中获得）作为目标函数，最后，对于第三类测试，我们使用实际价格的对数。接下来我会更详细地解释这一点。SABR 21的VOL-OF-VOL扩展对于三个目标函数和2517个交易日中的每一个，我们使用最小二乘优化来估计模型参数（ν、σ、ρ），以验证市场数据。（有关显式公式，请参见方程式（65）。）我们在表1的第一列中列出了拟合误差（即“样本内”误差）。我们还使用参数（ν、σ、ρ）来预测第二天的市场数据，然后列出相应的（“样本外”）误差。我们研究了不同类型的“错误”（更准确地说，是规范）：l-, l-, 和l∞-规范，但为了简单起见，我们将主要讨论l-标准误差。所有这些规范都是重新规范化的，因为我们总是使用平均值（或概率度量）。