SABR中期权价格的波动性扩张

结果，v′i=2（eκtiz- θ（eκti- 1）eκti【L，L】=ρe-κtvv′(x个- x） 。因此[L（t），ZtL（s）ds]=ρe-κtvZt（eκtz- θ（eκt- 1）eκtdt(x个- x） 。重新定义术语产生第一个身份。第二个和第三个恒等式的计算类似。结合以上两个引理，Jand-jca可以通过简单（但冗长）的计算得到。然后，与前面一样，运算符1+νJ+νjc可以写成x，x、 。，x、 每个系数都是参数的基本函数。剩下的唯一一个问题是，我们如何计算存在挥发物反转时的跃迁密度eRTtL（s）ds（x，t；y，t）？注意，当ν=0时，我们得到了具有确定性波动率的Black-Scholes模型，由（85）dσ（t）dt=κ（θ）给出- σ（t））。因此，终端原木价格X（T）可以明确地表示为X（T）=X（T）-ZTtσ（s）ds+ZTtσ（s）dW（s）。以Ft为条件，X（T）通常与平均值X（T）分布-V（t）和方差V（t），w with V（t）表示时间累计方差。然后，通过（86）eRTtL（s）ds（x，t；y，t）=q2πV（t）e给出了ν=0的cas e中的传递度-（y）-x+V（t））2V（t）这里的V（t）可以通过求解ODE（85）得到，因为（87）V（t）=θτ+κθ（z（t）- θ） （eκτ- 1）+2κ（z（t）- θ） （e2κτ- 1）eRTtL（s）ds（x，t；y，t）以及期权价格遵循引理5.1和5.2以及方程式86.5.2。SABR模型（含一般β）。我们现在考虑原始的SABRmodel，其波动率遵循纯对数正态分布，即（88）dF（t）=σ（t）F（t）βdW（t）dσ（t）=νσ（t）dW（t）dW（t）dW（t）=ρdt，当β6=1时，该模型不再被认为是受体积系数体积扰动的Black-Scholes模型。在指数d中，当ν=0时，（88）退化为本身难以求解的CEV模型。

因此，我们的第一个目标是对SABR 35a变量技术的变化应用VOL展开，以使变换后的模型在经过修正的Black Scholes mo de l中获得增益。首先注意，“瞬时波动率”不是σ（t），而是σ（t）f（t）β-我们称之为局部波动过程，并用M（t）表示。好消息是，当σ（t）遵循如（88）所示的无漂移对数正态过程时，M（t）的Ito差异不单独取决于σ（t）和F（t），而仅取决于M（t）。要看到这一点，应用伊藤的lemmadM（t）=（β- 1） M（t）（νρ+（β- 2） M（t））dt+（β- 1） M（t）dW（t）+νM（t）dW（t）（89）让表示β- 1，SABR模型现在重写为s（90）dF（t）=M（t）F（t）dW（t）dM（t）=M（t）（νρ+（- 1） M（t））dt+M（t）dW（t）+νM（t）dW（t）dW（t）dW（t）=ρdt，因此，我们现在可以将SABR模型视为受两个“vol of vol”参数s，和ν扰动的Black-Scholes模型。此外，上述方程中的系数都是F（t）和M（t）的多项式函数。因此，如果我们对期权价格CSA（f，m）在和ν上进行泰勒级数展开，那么CHB定理可以保证系数可以用无数项精确计算。请注意，当波动率为均值回复时，上述结果不再成立，因为局部波动过程s M（t）不再是自治的。我们还指出，与前一种均值回复波动率的情况不同，我们并没有试图摆脱M（t）-方程中的“波动率漂移”项。

原因是我们现在对b oth和ν进行泰勒展开，因此M（t）的漂移不会进入我们的零阶算子，并使其余的计算复杂化。方程（90）表示期权价格u（x，m，τ）解决了以下初始值问题（91）uτ=m（uxx- ux）+m（νρ+（- 1） m）um+m（m+νρ）uxm+m（m+2νρm+ν）um，u（x，m，0）=（ex- K） +。右侧的二阶微分算子可以写为，L=L+L+νLν+L+νLν+V Lν，其中L=m(x个- x） ，L=（- 1） m级m+mx个m、 Lν=ρmx个m、 L=mm、 Lν=mm、 Lν=ρm(m+mm） 。参考文献【1】Antonov A.、M.Konikov和M Spector。FreeBoundarySABR。风险，2015年。[2] H.阿曼。线性和拟线性抛物问题。数学专著第一卷，第89卷。Birkhauser Boston，Inc.，马萨诸塞州波士顿，1995年。抽象线性理论。36 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTOR【3】H.Amann。一致正则黎曼流形上的抛物方程和退化初边值问题。在数学流体力学的最新发展中，Adv.Math。流体机械。，第43–77页。伯克豪斯/斯普林格，巴塞尔，2016年。[4] H.阿曼。Sobolev-Slobodeckii和H¨older spaceson一致正则黎曼流形中抛物型方程的Cauchy问题。J、 进化。设备。，17(1):51–100, 2017.[5] B.安曼、亚历山德罗·D·伊奥尼斯库和V·尼斯特。李流形上的Sobolev空间和多面体区域的正则性。文件编号：。数学11： 161–206（电子版），2006年。[6] B.Am mann、R.Lauter和V.Nistor。关于具有lie结构的黎曼流形的几何。国际数学杂志。数学Sci。，2004(1-4):161–193, 2004.[7] C.Bacuta、V.Nistor和L.Zikatanov。提高多面体上高阶元素的收敛速度。一、 先验估计。数字。功能。肛门。Opti m.，26（6）：613–6392005。[8] M.Ben Artzi、J.-P.Croisille和D.Fishelov。

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