SABR中期权价格的波动性扩张

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英文标题：
《A volatility-of-volatility expansion of the option prices in the SABR
  stochastic volatility model》
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作者：
Olesya Grishchenko, Xiao Han, Victor Nistor
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We propose a general, very fast method to quickly approximate the solution of a parabolic Partial Differential Equation (PDEs) with explicit formulas. Our method also provides equaly fast approximations of the derivatives of the solution, which is a challenge for many other methods. Our approach is based on a computable series expansion in terms of a \"small\" parameter. As an example, we treat in detail the important case of the SABR PDE for $\\beta = 1$, namely $\\partial_{\\tau}u = \\sigma^2 \\big [ \\frac{1}{2} (\\partial^2_xu - \\partial_xu) + \\nu \\rho \\partial_x\\partial_\\sigma u + \\frac{1}{2} \\nu^2 \\partial^2_\\sigma u \\, \\big ] + \\kappa (\\theta - \\sigma) \\partial_\\sigma$, by choosing $\\nu$ as small parameter. This yields $u = u_0 + \\nu u_1 + \\nu^2 u_2 + \\ldots$, with $u_j$ independent of $\\nu$. The terms $u_j$ are explicitly computable, which is also a challenge for many other, related methods. Truncating this expansion leads to computable approximations of $u$ that are in \"closed form,\" and hence can be evaluated very quickly. Most of the other related methods use the \"time\" $\\tau$ as a small parameter. The advantage of our method is that it leads to shorter and hence easier to determine and to generalize formulas. We obtain also an explicit expansion for the implied volatility in the SABR model in terms of $\\nu$, similar to Hagan\'s formula, but including also the {\\em mean reverting term.} We provide several numerical tests that show the performance of our method. In particular, we compare our formula to the one due to Hagan. Our results also behave well when used for actual market data and show the mean reverting property of the volatility.
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中文摘要：
我们提出了一种用显式公式快速逼近抛物型偏微分方程（PDEs）解的通用快速方法。我们的方法还提供了解的导数的快速近似，这对许多其他方法来说是一个挑战。我们的方法基于“小”参数的可计算级数展开。作为一个例子，我们详细讨论了SABR PDE的重要情况，即$\\ beta=1$，即$\\部分{\\ tau}u=\\ sigma^2 \\大[\\ frac{1}{2}（\\部分^ 2\\u xu-\\部分{xu）+\\ nu \\ rho \\部分{x \\部分{sigma u+\\ frac{1}{2 \\ sigma u\\，\\大]+\\ kappa（\\ theta-\\ sigma）\\部分{\\ sigma，sigma通过选择$\\nu$作为小参数。这将产生$u=u\\u 0+\\nu u\\u 1+\\nu^2 u\\u 2+\\ldots$，其中$u\\u j$独立于$\\nu$。术语$u\\u j$是可显式计算的，这对许多其他相关方法也是一个挑战。截断此扩展将导致以“闭合形式”计算的美元近似值，因此可以非常快速地进行计算。大多数其他相关方法使用“time”$\\tau$作为一个小参数。我们的方法的优点是，它缩短了计算时间，因此更容易确定和推广公式。我们还获得了SABR模型中隐含波动率的显式扩展，以美元为单位，类似于Hagan公式，但也包括{em均值回复项。}我们提供了几个数值试验，证明了我们方法的性能。特别是，我们将我们的公式与哈根公式进行比较。当用于实际市场数据时，我们的结果也表现良好，并显示了波动率的均值回复特性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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关键词：SABR 波动性 SAB Differential Quantitative

SABR随机波动率模型中期权价格的波动性-波动性扩展Olesya GRISHCHENKO、XIAO HAN和VICTOR NISTORAbstract。我们提出了一种用显式公式快速逼近抛物型偏微分方程（PDEs）解的通用快速方法。我们的方法也提供了解导数的快速近似，这对许多其他方法来说是一个挑战。我们的方法基于“小”参数的可计算级数展开。作为一个例子，我们详细讨论了SABR-PD Eforβ=1的重要情况，即τu=σ(徐- xu）+νρx个σu+νσu+κ(θ - σ)σ、 选择ν作为小参数。这将产生u=u+νu+νu+。，与ν相关。术语ujare是显式可计算的，这对于许多其他相关方法也是一个挑战。截断此展开式将导致u的可计算近似值处于“闭合形式”，因此可以非常快速地进行计算。大多数其他相关方法使用“时间”τ作为一个小参数。我们的方法的优点是，它会导致水平，因此更容易确定和推广公式。我们还获得了SABR模型中隐含波动率的一个显式展开式，与Hagan公式类似，但也包括均值回复te rm。我们提供了几个数值试验，证明了我们方法的性能。特别是，我们将我们的公式与哈根公式进行比较。当用于实际市场数据时，我们的结果也很好，并显示了波动率的均值回复特性。产生数学问题的内容：λSABR PDE方法、历史和主要结果4论文内容的实践动机71。Duhamel-Dyson微扰级数展开81.1。一般结果：Duhamel和Campbell Haus Dorff-Backerformulas 81.2。

SABR 101.3的换向器计算。ν101.4幂的扩展。Bj的符号公式，j=1，2。111.5. 加热内核和卷积131.6。不同操作器的计算Gj1.7。关于实施的备注17本文中表达的观点是作者的观点，并不一定反映美联储理事会或美联储系统内任何其他个人的观点。手稿可从http://www.math.psu.edu/nistor/.2O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTOR2。应用：导数和隐含效用的近似182.1。导数的近似值182.2。隐含波动率193。模型校准和市场测试203.1。数据说明203.2。方法203.3的一般说明。第一类市场数据测试：隐含波动率213.4。第二类市场数据测试：实际价格233.5。第三类市场数据测试：原木价格244。数值试验254.1。近似值的剩余值：在PDE 254.2中替换。我们的公式隐含波动率与Hagan公式数据264.3的比较。蒙特卡罗模拟274.4。与有限差分近似解275的比较。方法315.1的扩展。平均回复波动率为325.2的对数正态模型。SABR模型（含一般β）34参考文献35简介我们提出了一种新的、通用的、非迭代的方法，通过构造抛物型偏微分方程解的闭式近似公式，快速逼近合适的抛物型偏微分方程。除了速度非常快之外，我们的方法还有一个优点，即它可以用来近似溶液的衍生物。

在坚果壳中，我们的方法是首先使用Dyson摄动级数将抛物型偏微分方程的解u展开为一个“小”参数，然后显式计算级数展开的项。Dyson级数展开长期以来一直用于计算；我们的成果是实现了具有可计算项的sucha级数。我们的方法扩展了[10，14，35]中设计和使用的一般微扰型方法的范围。我们通过提供SABR偏微分方程（PDE）解u的闭合形式近似，以及期权定价中出现的平均re版本（λSABR模型），来说明我们的方法。能够在SABR PDE中处理平均回归项是我们方法的另一个优点。而在上述论文中，小参数是时间，在本文中，小参数是“波动率的波动率”参数ν（见方程（1））。这使我们的方法与以前使用序列扩展的方法不同，但也有区别[27、31、32、33、49、44、54]。Dyson微扰级数展开式是通过迭代Duhamel公式得到的，因此我们将其称为Duhamel-Dyson微扰级数展开式。下面是关于早期结果的更多信息，特别是关于Duhamel-Dyson微扰级数展开。我们对获得具体结果感兴趣，因此我们尽量减少理论上的考虑（包括证明），而不是SABR 3的体积展开，仔细解释我们的方法并尽快获得我们的公式，然后进行数值测试。数学问题：λSABR偏微分方程。

虽然我们的方法很一般，但由于我们想通过明确的结果来说明和测试我们的方法，所以我们将主要集中在本文中的PDE（1）(τu=σ(徐-xu）+νρx个σu+νσu+ κ(θ - σ)σu（x，σ，0）=v（x，σ）。通过使用变量x=ln（Sert）和τ=T的变化，从通常的SABR PDE【31，32】中获得该PDE- t、 通过选择β=1，并包括标准平均值恢复项κ（θ-σ)σ. 我们将使用λSABR PDE一词来表示方程（1）。当k=0时，我们也将使用术语SABR PDE。为了建立我们的微扰方法，我们将κ=νκ写为so-me-dparameterκ。也就是说，我们认为s相同阶的κ为ν。因此，当ν=0时，SABR PDE降低为正向Black-Scholes PDE（对于正向价格，x=ln（Serτ））（2）τu-σ(x个- x） u=0。（此处τ=T- t） 。如果是Black-Scholes方程的解，我们的方法提供了（3）u=u+νu+νu+…+形式的展开式νkuk+O（νk+1）。对于方程（1）中的一般初始数据v，可以使用v相对于格林函数的积分计算术语Ujc，但这并不完全明确（见备注1.7和1.10）。为了获得完全明确（或“闭合形式”）的结果，我们将初始条件v（x，σ）=u（x，σ，0）具体化为实践中感兴趣的条件，即v=h，由（4）h（x，σ）=ex给出- K |+：=最大值{ex- K、 0}。对于该初始数据，我们还使用u=FSA（S，K，ν，σ，ρ，τ）来表示λSABR PDE方程（1）的解。设FBSbe为Black-Scholes公式（orfunction），它是初始数据为h=| ex的Black-Scholes偏微分方程的解- K |+。因此，（5）FSA（S，K，0，σ，ρ，τ）=FBS（S，K，σ，τ），FBS（S，K，σ，τ）可根据累积正态分布函数N显式计算。对于初始条件v=h，展开式（3）变为（6）FSA（S，K，ν，σ，ρ，τ）=FBS（S，K，σ，τ）+νF+νF+。

+νkFk+O（νk+1）。我们的主要结果之一是提供一种方法来显式计算此展开式的系数Fjin。因此，原则上，我们得到了溶液FSA的闭式近似。我们通过计算为Fand F提供了显式、闭式公式。这导致了u=fsa的显式、闭式近似，其误差或阶数为O（ν）。另请参见下一小节，以获得对我们结果更精确和完整的描述。与通常的迭代数值方法不同，我们基于闭式解的方法具有有限的预见性，因此应用范围有限（小ν，而不是太大τ）。然而，O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORwe使用我们的方法获得的显式闭合d型公式在金融应用中受到青睐，在这些应用中，不需要很高的精度，但重要的是要有非常快速、易于实现的方法。在这些应用中，FSA（S，K，ν，σ，ρ，τ）表示在SABR模型中具有行使K、波动率σ和到期时间τ的欧洲看涨期权的无套利远期价格。然而，我们也可以对我们的方法进行适当的修改，以获得具有任意预定精度的近似解和任何初始数据。这使用了时间上高阶的λSABR PDE的格林函数的n近似值，并结合了[10，14]中使用的自举过程。然而，bootstrap过程是迭代的，它依赖于数值积分和时间离散，这会增加其成本，并且不再显式。见备注1.7和1.10。

数值积分将我们引入到Fredholm积分算子中，另请参见【29】。虽然从数学角度来看，没有均值回复的SABR模型很容易理解，因为它符合标准理论，但只有一个包含均值回复项时，情况就不是这样了。因此，在均值回复情况下，我们的结果不太完整。例如，当κ=0时，我们不需要σ=0的边界条件，但当κ>0时，这就不那么清楚了。本文于2014年作为SSRN预印本首次发行，基于第二名作者2012年在宾夕法尼亚州立大学的硕士论文（在A.Mazzucato和V.Nistor的指导下）[34]。事实上，整个项目已经开始，而所有的作者仍然在宾夕法尼亚州立大学，我们很高兴感谢他们的持续支持。方法、历史和主要结果。现在，让我们解释我们的方法，陈述我们的主要结果，并简要讨论它们与早期作品的比较。如上所述，我们将考虑方程（1）中定义的λSABR PDE，我们的目标是近似其解u，通常，解u=FSA（s，K，ν，σ，ρ，t，对于初始数据u（0）=h=| ex- 尤其是K |+。（从现在起，我们将在λSABR PDE中使用t而不是τ。）为了建立一些符号和概念，让我们考虑一般演化方程（7）tu=Lu，u（0）=v。我们将把这个方程的解形式化为u（t）=etLv。总成L=L+V。用L、esL和V表示etLv的一个典型结果是以下Duhamel-Dyson微扰级数展开：（8）etLv=I+I+…+在里面-1+En，其中I=etLv，I=Rte（t-τ）LV e（t-τ）Lv dτ，通常，（9）Ik：=ZtZτ。Zτk-1e（t-τ） LV e（τ-τ） 我。V e（τk-1.-τk）LV eτkLv dτ，dτ=dτ。dτk，k<n。一个类似的公式给出了误差项En，除了最后一个Lis被L代替，见方程（19）。

[32]中也使用了此扩展来研究SABR PDE的分布核。因此，方程（8）中的展开项是esLV esLV esL形式的展开式积分。esn公司-1LV esnLv，其中s+s+…+sn=t，sj≥ 0（指数和V s交替）。一般来说，我们不知道任何方法来显式计算这种形式的积分。然而，如果Land V生成一个有限维李代数，我们可以将所有表达式“移动”到SABR 5公式的VOL-of-VOL展开式的一侧，这样得到的积分的形式可以很容易计算。具体而言，这是通过多次应用定理1.1提供的坎普·埃尔·豪斯多夫·贝克尔公式实现的，如【10，14】所示。参见[54]，了解这个过程的一种形式，它导致了可解的李代数s（而不是nilpo-tent代数）。在λSABR PDE的特殊情况下，我们得到（10）e（t-τ） LV e（τ-τ） LV。e（τk-1.-τk）LV eτkL=etLPk（t，τ），其中t≥ τ. . . ≥ τk≥ 0，V和指数交替，并且Pk（t，τ）在t中是非多项式的，τ=（τ，…，τk）具有系数微分算子，类似的结果，但在[10，11，14，44]中得到了将t作为s小参数的结果。由于“指数”etL（使用L生成的半群定义）不再依赖于τ，因此可以用简单的方式对τ进行积分，从而可以从积分中分解出来。Duhamel-Dyson微扰序列展开和李代数技术之间的联系在【14】中首次被注意到。通常，为了与拉普拉斯函数在双曲线平面上的热核的显式公式相结合，用于研究SABR PDE，在[32]中使用了微扰级数展开式，特别是Duhamel-Dyson微扰级数展开式。

在ral基因中，物理应用中广泛研究了随机扩展。在【10、11、14、44】中使用了它们，将“时间”t作为一个小参数，以计算formIkup到t阶误差的一般积分∞（即t中的任意顺序）。在[44]中实现了这一方向上的重要进展，从而获得了SABR PDE的完整显式计算（将时间作为一个小参数）。正如帕普所说，这是一个非常乏味的，尽管是初步的计算。它还不需要使用其他“小参数”来发现替代扰动，特别是，我们对λSABR PDE的计算没有那么繁琐。有关小时间渐近的相关计算，请参见[49、43、41]。追溯到更久远的时代，在许多其他贡献中，我们需要提到亨利·拉伯德（Henry Laborder e）[35，37，36]使用黎曼几何热核近似的作品，Gatheral及其合作者（他在核渐近中使用he研究隐含波动性）的作品，以及莱斯尼夫斯基（Lesniewski）及其合作者（31，32，33）的作品，他们引入并研究了SABR模型，Fouq ue、Papanicolaou、Sircar和Solna的工作【24、23、25】，他们研究了期权定价中的随机波动模式ls和奇异摄动技术，另见【22】。对于这些作者中的许多人来说，其动机是研究随机波动率模型，下文将对此进行更详细的讨论，我们的研究结果也强调了其重要性。随着k的增长，术语etLPk（t，τ）h的显式计算变得越来越繁琐。因此，我们只计算FSA的二阶近似值（单位：ν）。这相当于将V表示为ν的倍数，并收集具有相同的ν幂次的项，直到二阶，剩余的项包含在错误中。

对于ν和ν的系数，我们获得了完整的闭合形式（即完全显式）表达式，并对其进行了数值测试。（第一项，确切地说，是ν的系数，由Black-Scholes公式给出，因此无需做额外的工作。）此外，对于初始值v=h=| ex- K |+，etLPk（t，τ）h的计算非常简单，因为σh=0.6 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORHere现在是我们获得的结果类型的一个例子。设（11）d±：=ln（Sert/K）σ√t±σ√t=x- ln Kσ√t±σ√t通常出现在Black-Scholes公式中，N是正态累积分布函数。因此N′（x）=√2πe-x/2。然后，对于方程（6）中出现的项，我们得到（12）F（S，K，σ，t）=Ktκ(θ - σ)√t型- ρσd-N′（d）-) .Fis的公式要复杂得多，如定理1.11所示。在实践中，人们通常对“隐含波动率”感兴趣，或者更准确地说，对“SABR模型隐含波动率”感兴趣SABR模型隐含波动率σimp由FSA（S，K，ν，σ，ρ，t）=FBS（S，K，σimp，t）定义。（另请参见方程式（17）“Black-Scholes市场隐含波动率”。）然后，表达式（6）产生SABR模型隐含波动率的ν的一个表达式，即，（13）σimp=σ+νe+νe+O（ν）。系数EAN和EAR是通过繁琐但基本的计算得出的。例如，（14）e=-ρd-σ√t/2如果κ=0。有关e的更复杂公式，请参见定理2.2。我们还提供了一种近似方法SFSA（S，K，ν，σ，ρ，τ），在实践中很重要，见定理2.1。因此，我们得到了FSA的两个二阶近似值（S，K，ν，σ，ρ，t），即，（15）FSA，2（S，K，ν，σ，ρ，t）=FBS（S，K，σ，t）+νF（S，K，σ，t）+νF（S，K，σ，t），通过截断方程（6）和（16）FD（S，K，ν，σ，ρ，t）=FBS（S，K，σ+νe+νe，t），通过截断σimpto二阶公式获得。