SABR中期权价格的波动性扩张

在第二次测试中，我们也将解的有限差分近似值作为SABR PDE的基准。这是最相关的方法（因此我们最后保存了be ST），因为FD方法比Mo nte Carlo方法更精确，并且在我们的例子中，可以得到相当好的近似解（但并不完美）。事实上，我们已经计算了方程（1）的解FSAof的有限差分（FD）近似序列wkof，其中κ=0是通过连续定义我们的节点集获得的。对于该序列的wkof近似，我们已经测试了FD近似的收敛性，并将其与之前考虑的各种近似C进行了比较：CSA、2、CD、CH和CBS。表7和表8显示了最近离散化（最大k）的比较结果。现在让我们解释一下这些表格中包含的结果。我们继续假设r=0，所以FSA=CSA，FD=CD，依此类推。4.4.1. 概述该方法及其挑战。第3节（使用市场数据）中的测试给出了y的范围，大致包含在[-0.3, 0.3]. 因此，在我们的FD测试中，我们采用了I：=[-1，1]作为y的兴趣区间。这意味着我们已经将我们的FD近似值wk与其他方法仅对y预测的值c进行了比较∈ [-1, 1]. 我们同样也支持an28 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORinterval对σ间隔的兴趣：=[0.14，0.23]=[0.18/c，0.18 c（也就是说，J是相对于对数刻度上0.18对称的区间s；但请注意，我们已将值四舍五入到两个重要数字）。鉴于我们涉及市场数据的结果（见第3节），平均波动率选择0.18似乎是一个合理的选择。

然后，我们在节点p点（74）（x，σ）处，将我们的FD近似值WK和其他近似值C（na-mely CH，CV，CSA，2和CBS）进行了比较∈ I×J=[-1, 1] × [ 0.14, 0.23 ] .参数ν、ρ、T也选择接近市场数据提供的参数（我们将在下文解释）。在实现和错误分析中，我们必须处理以下事实：域是非紧的，SABR PDE的系数远远不是常数，事实上，它们在某些区域非常小，在其他区域非常大。接下来，让我们解释一下我们是如何具体处理这些问题的。4.4.2. 切割误差。回想一下，我们要解的方程是域（x，σ）上的方程（1）（在这些测试中，κ=0）∈ R×（0，∞). 由于域是非紧的，为了使用有限差分（FD）离散此方程，我们通过限制为矩形域来执行域的切割Ohm := [-xMAX，xMAX]×[σmin，σMAX]，σminσMAX=0.18和Ohm 明显大于I×J。这要求我们指定边界上的解的值Ohm do干管的Ohm, 在计算之前不需要的东西（因为，我们没有规定边界条件，而是假设我们的解u（t）在合适的加权Sob-olev空间中）。因此，我们将问题（1）替换为（75）tw=σ(xw公司- xw）+νρx个σw+νσw（x，σ）∈ Ohmw（x，σ，0）=ex- 1 |+and w（x，σ，t）=g（x，σ，t）if（x，σ）∈ Ohm .根据经典结果，请参见[8、15、17、39、4、5、47、48]，例如，该方程的FD近似收敛到方程（75）的解w，这一点在我们的实现中没有非常清楚的说明。然而，对于v=h且κ=0，方程（75）的解w不同于方程（1）的s解Csao。

然而，鉴于备注1.6和方程格林函数的指数衰减t型- 五十、 o必须保证g与边界上的实际解不太远（即使g=0也可以），即ku- wkI×J→ 0作为Ohm 接近总域R×（0，∞) （参见[12，46]和其中的参考文献。参见als o[19]。这里的标准是未规范化的l使用感兴趣域I×J中的节点定义的范数。因此，一个大的切割不会对感兴趣的s小矩形I×J上的期望值产生太大的影响。然而，问题是，在实施中应该选择多大的切割。为了回答这个问题，我们需要精确估计出补偿误差。很难对这种削减进行严格的估计，而且最简单的估计似乎比我们在实施过程中看到的要大得多。相反，我们选择数值估算SABR 29的体积膨胀体积Ohm 通过反复增加它，直到我们的FD解决方案在感兴趣的领域I×J上变化很小。具体而言，我们Ohm := [-3，3]×[0.0193，1.6803]对于我们测试的最大ν值（ν=1.5）和我们测试的最大T值（T=5）。当T和ν的一些较小值仅略微改变结果时，使用了一些较小的区间。注意，在宏观上，σ中的区间明显大于x中的相应区间（与相关区间相比），因此σ中的离散比x中的离散需要更多的节点。我们发现，如果通过在Ohm, 这与ν=0.4.4.3的偏微分方程的解相对应。离散化错误。

对于离散化，be以间隔上的uniformgrid开始[-3，3]，网格尺寸h=1/2。然而，在区间[0.0193，1.6803]上，我们选择了一个具有19个节点的几何级数网格（因此，我们感兴趣区间的终点，其prec ise值为0.1404和0.2307，在所选节点中）。对于T=5，我们在第一次迭代中使用了190个时间步。我们使用了一种直接方法，因为在我们的情况下，它很容易实现，并且相当有效，至少在σ变量中选择了正确的网格（即几何进度网格）之后。然后，我们通过将每个间隔划分为两个较小的间隔来连续重新定义网格，同时保持每个维度中网格的性质。（也就是说，在x方向，我们选择端点的算术平均值来划分旧区间，而在σ方向，我们使用了几何平均值。）相应地，为了满足FD实现的稳定性条件，我们每次执行一次调整时必须将时间步数乘以4。因此，我们得到了方程（7-5）的解w的一系列近似值。特别是，每个近似解都需要（基本上）比前一个多16倍的计算时间。由于代码的运行时间（用C++编写并在简单的笔记本电脑上运行），这对我们的近似精度造成了一些严重的限制。预期收敛速度KWK+1- wkk公司≈ 4.-1周- 工作时间：-1k几乎立即被观测到，这导致了形式kw的良好误差估计-wkk公司≈ 3.-1周-工作时间：-1k（与经验估计的Cut-o ff误差不同，尽管我们知道它比任何指数都快，因为t型-五十） 。

在感兴趣域I×J和总域上都观察到了这种收敛速度Ohm.为了查看获得的精度，我们加入了以1开头的条目*见表7。它不对应于FD近似序列中的最后一项wk，而是对应于wk-1、对应于wk的条目就在其下方，我们可以看到数字s非常接近（除了估计误差kw-wkkI×J，正如预期的那样，在第k个任期内，其体积大约小四倍）。请注意，该表中记录的值表示相应规范值的100倍，因为我们处理的是小数字。4.4.4. 总误差估计。使用之前pa ragraphs的符号，我们可以看到（感兴趣的领域）总误差为（76）kCSA- wkkI×J≤ kCSA公司- wkI×J+k w- wkkI×J.30 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORTable 7。闭式近似解与迭代FD近似的比较，ρ=-.2、所有标准均乘以100。TνkδCHk kδCHk∞对数CHkδCSA，2k kδCSA，2k∞记录CSA，2kδHDk est错误5 1 10。5 22.7 74.3 7.35 16.8 55.3 5.32 .0362 1.5 6.32 14.2 78. 2.91 7.72 56.7 5.9 .01022 1 1.4 5 3.28 35.3 0.939 2.26 38.6 1.72 .00912 .5.1 0.23 4.03 .136 .398 6.68 .179 .00221* 1.5 1.25 2.81 43.9 .741 1.6 56.4 1.7 .04421 1.5 1.24 2.9 43 .3.732 1.61 56.4 1.69 .0111 1 .24 1 .53 14.3 .2379 .608 22.2 0.403 .0101.5 1 .029 .088 2.13 .051 .179 4.83 .06 65 .003在本估算中，k CSA- wkI×Jis是截断误差，因为我们将FDtest限制在有界域内Ohm. 在我们的测试中，切割误差与k无关，因此Ohm 一开始必须选择相当大的尺寸。术语kw-wkkI×JR表示由于FD离散化而产生的误差，goe s为0，预计为c4-k、 kCSA的估算结果- wkkI×Jare包含在表7和表8的la st列中。

让我们解释一下这些表中其他列的含义。设k·k：=k·kl（I×J）和k·k∞:= k·kl∞（I×J）。设CH为Hagan的模式l和CSA预测的溶液，2b为我们的DuhamelDyson级数模型预测的溶液，与之前的e一样。“log”列显示kln（CH）- ln（wk）和kln（CSA，2）- 节点处差异的ln（wk）k范数，其中kcorres最终离散化。我们还写δCH：=CH-wk，类似地，δCSA，2：=CSA，2- wkandδHD：=CH- CSA，2。我们已经对ρ=-.2和其他参数的不同值。结果见表7。类似的结果，但ρ=-.5包含在表8中，其中我们分别显示了FD误差和切割误差的估计值。因为这些数字非常小，所以这些表格中的所有标准都乘以100。上述测试（同时考虑到离散化和切割误差）似乎表明，Duhamel-Dyson方法至少与asHagan方法一样具有竞争力（如果不适合大T和与市场数据兼容的参数）。因此，与我们的结论最相关的量是kδCHk和kδCSA，2k。表7和表8中的测试结果有时允许我们比较以下不同的其他评估方法。让我们对哈根公式和二阶近似CSA，2这样做。我们有（所有规范都在感兴趣的领域I×J）（77）kCH- CSA，2k≥ kCH公司- CSAk公司- kCSA，2- CSAk公司≥ kCH公司-wkk公司-kCSA，2-wkk公司-2kCSA公司-wkk=：kδCHk-kδCSA，2k-2kCSA公司-wkk。这使得CSA，2将更接近实际解CSA（在I×J的网格点上），我们没有kδCHk-kδCSA，2k>2kCSA-wkk。另一方面，如果标准kCH-CSA，2k较小，需要决定kCH中的哪一个-CSAkand kCSA，2-CSAk更小。当T和ν很小时，情况就是这样。

一般来说，kCH的差异-CSA，2k比kCSA快到0-wkk，所以对于这些值，SABR 31的VOL-OF-VOL扩展表8。闭式近似解与迭代FD近似的比较，ρ=-.5、所有标准均乘以100。TνkδCHk kδCHk∞对数CHkδCSA，2k kδCSA，2k∞记录CSA，2δHDFD err cut-o OFF 2 1 1 1.24 2.88 1 6.8 1.03 2.47 39.4 1.54。0185 .04181 1 .253 .543 2.4 .314 .752 25.9 .462 .0212 .00160.5 1 .0497 .137 1.41 .0671 .177 13.7 .0936 .0058 .0012很难判断哪一个是CHO CSA，2更接近CSA。因此，对于ν或T的较小值，我们需要更高的精度（即更大的k），以便区分模型，这两种模型似乎都非常接近实际解（特别是对于与市场数据兼容的参数，对于T≤ 2). 由于将k增加1会使程序运行时间大约增加15倍，因此在我们的测试中，区分CHand CSA、2对于小T或ν是一个真正的挑战。FD实现中的另一个挑战是，该方法的成本随着T的增加而快速增加。如果我们能够保持切割域固定（使用T），成本将在T中呈线性增长（这已经是一个挑战）。然而，作为Tgrowth，我们需要采取更大的Ohm, 因为Green函数大致减少了likee-d/（2T），其中d是R×（0）上的双曲线距离，∞). 为了保持较大T的相同精度，我们预计Ohm 增长速度至少与√T所以如果用4T代替T，那么我们必须将（双曲线）距离加倍M、 这意味着σmax乘以e2ν。由于我们选择了σ方向的几何网格（正是出于这个原因），因此σ方向的节点数量不会增加太多。

（这个麻木的人长得像ln(Ohm最大值）。）然而，在（直接）FD方法中，它会通过因子e4ν影响矩阵的稳定性（因为x） 而我们需要按比例减少时间步长的大小。因此，时间步长的总数需要增加4e4ν。当ν很大时，这是非常昂贵的。关于均值回复案例的一些最新结果，请参见[21、33、54]。然而，我们强调，许多在非均值回复情况下（即κ=0）成立的理论结果尚不清楚，甚至可能在κ6=0.5的情况下也不成立。到目前为止，我们已经完全解决了更一般的λSABR模型的一个特例。也就是说，我们取了β=1和κ=0。然而，换向器方法的适用性并不要求F（t）和σ（t）为对数正态。如前所述，该方法工作的关键条件是模型系数都是状态变量的多项式函数。乍一看，具有一般β的SABR模型违反了这一条件，因为系数F（t）β不是F（t）的多项式函数。幸运的是，我们将证明，如果volatilityprocess是对数正态的（即κ=0），那么简单的变量更改会将SABRequations转换为具有多项式系数的SABRequations。32 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.Nistorth另一个假设，即κ=0，也不是至关重要的。当κ6=0时，可以通过将前向波动率[σ（T）]作为我们的状态变量来消除均值回复漂移项。这在我们的模型中产生了轻微的复杂性，因为转换后的SDE不会是时间均匀的。

我们将证明，这对于换向器方法的应用来说并不是一个重要的问题。综上所述，κ6=0和β6=1这两种最普遍的情况实际上更加困难，无法单独通过命令方法来处理。因此，在本节的其余部分，我们只考虑沿两个方向的梯度，1）κ6=0和β=1，2）β6=1和κ=0.5.1。具有均值回复波动性的对数正态模型。我们首先考虑β=1的简单情况，而波动过程不是对数正态的，而是由类似于Ornstein-Uhlenbeck过程的过程驱动的。然后，我们假设风险中性度量下的价格波动动力学为（78）dF（t）=σ（t）F（t）dW（t）dσ（t）=κ（θ- σ（t））dt+νσ（t）dW（t）dW（t）dW（t）=ρdt，为了消除波动率漂移项，我们考虑远期波动率，定义为终端波动率σ（t）的时间t条件期望，z（t）=Et[σ（t）]。那么z（t）是一个构造鞅，因此它的动力学没有偏差。为了推导z（t）和σ（t）之间的精确关系，我们计算了（eκtσ（t））=eκt（dσ（t）+κσ（t）dt）=κθeκtdt+νσ（t）eκtdW（t）。将上述条件从t代入t，取两边的条件期望Et[·]，我们得到κTz（t）- eκtσ（t）=θ（eκt- eκt）。ab-ove允许我们将变量σ（t）写为新状态变量z（t）和时间的函数，即（79）σ（z，t）=eκ（t-t） z（t）- θ（eκ（T-t）- 1 ).很容易验证（80）dz（t）=ν（z（t）- θ(1 - eκ（t-T）））dW（T）。因此，我们得出了转换后的模型，（81）dF（t）=σ（z，t）F（t）dW（t）dz（t）=νe-κ（T-t） σ（z，t）dW（t）dW（t）dW（t）=ρdt，我们现在回到之前的情况，“波动”过程没有漂移，尽管系数现在是状态变量的时间依赖函数。

将价格过程F（t）替换为X（t）=ln（F（t）），转换模型下的期权价格u（X，z，t）解决了以下初值问题（82）uτ=σ（uxx- ux）+νρe-κτσuxz+νe-2κτσuzzu（x，z，0）=（ex- K） +SABR 33的VOL-OF-VOL展开相应的微分算子为（83）L=σ(x个- x） ，L=ρe-κτσx个z、 L=e-2κτσzandL=L+νL+νLV=νL+νL请记住，这里的σ是（79）给出的z和τ的函数，并且Li是一个较长的时间同态。因此，在eRτL（s）ds中，系统的基本解不再是一个半群，而是一个演化系统。重复应用Duhamel原理可得到以下Duhamel-Dyson微扰级数展开式：eRτL（s）ds（84）eRτL（s）ds=eRτL（s）ds+ZτeRτtL（s）dsV（t）eRtL（s）dsdt+ZτZteRτtL（s）dsV（t）eRttL（s）dsV（t）eRtL（s）dsdtt再次应用CHB恒等式，我们可以很容易地得出以下Lemmaremma 5.1。eRτL（s）dsu（x，z，0）=eRτL（s）ds（1+νJ+νJ）u（x，z，0）=（1+νJ+νJ）eRτL（s）dsu（x，z，0），其中J=zτ[L（t），ZtL（s）ds]dtJ=zτ[L（t），ZtL（s）ds]+[ZtL（s）ds，[ZtL（s）ds，L（t）]]dt+I（L，L）I（L，L）=τZt（t）+[L（t），ZtL（s）ds][L（t），ZtL（s）ds]DTD防。证明是使用CHB恒等式和u（x，z，0）仅依赖于x的事实进行的简单计算。引理5.2。换向器由：[L（t），ZtL（s）ds]=ρ2κ（1）给出- e-κt）（zeκt- θ（eκt- 1））（eκt（z- θ） +z+θ）(x个- x） [L（t），ZtL（s）ds]=2κ（e-κt- e-2κt）（zeκt- θ（eκt- 1））（eκt（z- θ） +z+θ）(x个- x）z+4κ（1- e-2κt）（zeκt- θ（eκt- 1 ))(x个- x） [ZtL（s）ds，[ZtL（s）ds，L（t）]]=4κe-2κt（eκt- 1）（zeκt- θ（eκt- 1））×（eκt（z- θ） +z+θ）(x个- x） 证明。让我们首先计算时间索引换向器[L（t），L（t）]。为简洁起见，我们使用符号vito表示σ（z，ti），并使用v′ito表示 σ（z，ti） z、 34 O.GRISHCHENKO、X.HAN和V.NISTORRecallσ（z，τ）=eκτz- θ（eκτ- 1 ).