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关于φdisESd的导数-i[（2+Sd-i） P′（φd+Sd-iφd+（N- Sd公司-i） L）+φdP′（φd+Sd-iφd+（N- Sd公司-i） L）| wi=H]<0（32），因为2+Sd-i> 0，φd>0，P′<0，和P′\'≤ 现在，考虑d′>d，并假设φd′<φd，其中φ和φd′满足（31）中的一阶条件，根据这一条件取期望值，因为∈ （0，1）使得dEw，w[πi]=0意味着露水，w[πi]d> d>0。因此，任何d∈ {0，1}对于任何使其各自的随机变量Sd最大化的d-土地标准差\'-i： 0=ESd-i[P（φd+Sd-iφd+（N- Sd公司-i） L）+φdP′（φd+Sd-iφd+（N- Sd公司-i） L）| wi=H]<ESd-i[P（φd′+Sd-iφd′+（N- Sd公司-i） L）+φd′P′（φd′+Sd-iφd′+（N- Sd公司-i） L）| wi=H]≤ ESd\'-i[P（φd′+Sd′）-iφd′+（N- Sd′-i） L）+φd′P′（φd′+Sd′）-iφd′+（N- Sd′-i） L）| wi=H]。第一个不等式是由于（32），φd′<φd。第二个不等式是由于假设2，F（x）=P（φd′+xφd′+（N- x） L）+φd′P′（φd′）+xφd′+（N- x） L）在x中递减。但结果表明φd′不满足平衡的一阶条件，因此我们存在矛盾。因此，φdis（弱）递增ind.命题6的证明。根据定义，W=U（Q），其中Q=∑N+1i=1qi。注意，U′（Q）=P（Q）≥ 对于任何平衡Q，P′<0，φ>0。此外，请注意，在任何可用性实现Q（d）的情况下，我们都可以将eq写为d的函数=∑isi（φd- 五十） +（N+1）L=（φd- 五十） S+（N+1）L，在S中是递增的和线性的。这意味着接管所有生产者随机状态的预期E[W]完全由S的概率分布定义。设S为每个生产者状态的随机向量，即S=[S，S，…sN+1]。那么对于所有的我，是的，和S=∑isi，我们有thatEs[W（Q（d））]=ES[W（Q（d））]。

然后对于d′>d:Esd′[W]- Esd【W】=Esd′【W（Q（d′））】- ESd[W（Q（d））]=N+1∑k=1U（Q（d′））Pr{Sd′=k}-N+1∑k=1U（Q（d））Pr{Sd=k}≥N+1∑k=1U（Q（d））（Pr{Sd′=k}- Pr{Sd=k}）=Esd′[U（Q（d））]- Esd[U（Q（d））]≥ 第一行是因为S提供了上述预期的等效信息。第二行是对离散变量期望的扩展，第三行是因为命题5，Q（d）在d中增加，U（Q）在Q中增加。第四行将第三行改写为预期差，这是非负的，因为U是增加的，凹的，Q（S）=（φ- 五十） S+（N+1）L是线性的，在S中是递增的。示例2的证明。对于线性反向需求，条件（4）和（5）由（33）和（34）表示。Pr{L | H}（s）- L- 2φ - x） +Pr{H | H}（s- 3φ - x） =0（33）Pr{L，L}（s- 2升- 2x）+2 Pr{L，H}（s- L- φ - 2x）+Pr{H，H}（s）- 2φ - 2x）- 在线性投资需求下，c=0（34），（33）是风力发电机的一阶条件，（34）是具有恒定边际成本的传统发电机的一阶条件。E方程（33）允许我们在平衡状态下写出φ的表达式，类似于推论1的结果，但包括x的影响。φ=（s- x） β+（s- x个- 五十） d（1- β） 3β+2d（1- β） =sβ+（s- 五十） d（1- β) - x（β+d（1- β） ）3β+2d（1- β） （35）我们可以重新排列生成器的一阶条件（34），以获得方程式（7）。假设φ<H时，传统发电机选择参与市场，即（7）由x≥ 结合方程式（35）和（7），我们得到了（6）中的结果。对称性平衡的唯一性是显而易见的，因为（6）中φ的结果不依赖于x。命题8的证明。

平均输出由[q（w）+q（w）+x]=2 Pr{L，H}（L+φ+x）+Pr{L，L}（2L+x）+Pr{H，H}（2φ+x）=x+2βφ+2（1- β） L.对于d的导数，我们有E[q（w）+q（w）+x]d=βφd> 0，由于预期的线性，以及E【qi（wi）】d=βφd、 对于i∈ {1，2}，和x个d=-βφd、 现在，平均福利由ew给出，w【w】=2 Pr{L，H}U（L+φ+x）+Pr{L，L}U（2L+x）+Pr{H，H}U（2φ+x）- c（x）。均衡是对称的，因为风力发电商有相同的策略；传统发电商与风力发电商有着不同的目标和策略。取d的导数，Ew，w【w】d=ζ（2U（L+φ+x）- U（2L+x）- U（2φ+x））+x个dPr{L，L}P（2L+x）+2(φd+x个d） Pr{L，H}P（L+φ+x）+（2φd+x个d） Pr{H，H}P（2φ+x）- cx个d=Γ+2φdPr{L，H}P（L+φ+x）+2φdPr{H，H}P（2φ+x）+x个dx=Γ+βφd（2φ- x）≥ Γ ≥ 第二行和第三行将第一项替换为Γ=ζ（2U（L+φ+x）-U（2L+x）- U（2φ+x））连接表达式；Γ是风分流对福利的影响，由于U的凹度，它是弱正的，如命题2所述。第二个等式使用（34）中的一阶条件。第三个等式使用条件概率Pr{L，H}=Pr{L | H}β和Pr{H，H}=Pr{H | H}β，以及（33）中的一阶条件。表达式2φ- 当c=0和d=0时，x最小化。因此，通过使用（6）和（7），c，d=0，我们确认2φ- x个≥ 0、这一事实和≥ 0建立最终线性中的不等式并完成证明。命题9的证明。

平均价格可以表示为w，w[P]=2 Pr{L，H}P（L+φ+x）+Pr{L，L}P（2L+x）+Pr{H，H}P（2φ+x）。取d的导数得出：Ew，w【P】d=ζ（2P（L+φ+x）- P（2L+x）- P（2φ+x））- 2.φd（Pr{L，H}+Pr{H，H}）-x个d=ζ0- 2βφd+βφd=-βφd、 这是因为P（x）表示线性逆dema and，因此第一项总和为0，以此类推x P′（x）=-1，也由于Pr{L，H}+Pr{H，H}=β这一事实。这就完成了证明。与双生产者情况一样，对于线性逆dema and曲线，平均价格在d中单调递减。命题10的证明。我们试图证明，当γ=0时，始终存在满足（9）、（10）和（11）的合适t。假设γ=0。重新排列ICcondition givest≤Pr{H | H}+Pr{L | H}（1-πLπM）。（36）重新排列IR-H条件提供了t的另一个上限：t≤ 1+β2d（1- β)-βd（1- β） φ（s- 2φ）πM-φ（s- φ - 五十） πM-γPr{L | H}πM.（37）重新安排IR-L条件为t:t提供了一个下限≥L（s）- φ - 五十） πM+γPr{H | L}πM.（38）证明如下：当γ=0时，t的下界，（38）的右侧（RHS）总是小于或等于（36）和（37）的RHS中t的上界。因此，始终存在一个R的非空可行子集，从中可以选择满足共谋标准的转移t。首先，当γ=0时，（38）的RHS总是小于（36）的RHS。（38）的RHS，L（s- φ - 五十） πM<L（s- 2L）πM≤ 1/2，其中第一个不等式是由于φ>L，第二个是因为L（s- 2L）在L=s/4时最大，因为πM=s。此外，从（36）的RHS，Pr{H | H}+Pr{L | H}（1-πLπM）≥Pr{H | H}+Pr{L | H}（1-) = 其中不等式是因为πL≤之所以相等，是因为表达式是两个值的加权概率和，等于1/2。

因此，t（38）上的下界最多，t（36）上的一个上界至少。现在，仍需证明（37）的RHS（t上的另一个上界）至少与（38）的RHS一样大。等效地，它们的差值T大于或等于零：T=1+β2d（1- β)-βd（1- β） φ（s- 2φ）πM-φ（s- φ - 五十） πM-L（s）- φ - 五十） πM=βd（1- β)(-φ（s- 2φ）πM）+πM- （φ+L）（s- φ - 五十） πM≥ 第二行是对第一行的重新排列。第二行中的第一项为正，因为πM=最大φ2φ（s- 2φ）通过垄断企业的定义；因此，φ（s-2φ）πM≤. 第二项为正，因为πM=maxφ，L（φ+L）（s- φ - 五十） 因此，上述约束均不存在，并且总是存在一些允许生产者串通的t。命题11的证明。设BRi（ζ）=1-当qj=ζ时，ζ表示i的最佳回复。我们旨在描述信息共享的期望值，它由ew给出，w[w（K，Kc）]=Pr{L，H}WL，H（K，Kc）+Pr{H，L}WH，L（K，Kc）+Pr{L，L}WL，L（K，Kc）+Pr{H，H}WH，H（K，Kc），（39）式中（根据（1）），Pr{L，L}=（1- β)(1 -dββ+d（1-β） ），Pr{H，L}=Pr{L，H}=（1- β） dββ+d（1-β） ，且Pr{H，H}=βββ+d（1-β).在{w，w}州合作/共享信息的好处∈ {H，L}，由Ww，w（K，Kc）表示，由（12）给出，当企业合作并共享其私人信息时，QKw，w表示状态（w，w）下的总产量。同样，当企业在没有共享信息的情况下竞争时，QKcw、WDE也会影响总产出。我们考虑以下四种情况：情况1：{L，H}。在这种情况下，WP 1处于低状态，WP 2处于高状态。信息共享增加了总产量，因为WP 2可以产生更多的能量，因为肯定地知道WP 1只能产生L个单位，而不是Ew[q | w=H]=L Pr{L | H}+φPr{H}>L。

因此，QKL，H=L+BR（L）=L+1- L=1+L，其中QKcL，H=L+φ。情形2：{H，L}这种对称情形与情形1相同。案例3：{H，H}在这种情况下，信息共享会减少总产量，因为生产者了解到，对立的生产者有能力在古诺水平上进行生产，因为信息共享消除了另一个生产者处于低状态的可能性（鉴于另一个生产者处于高状态，这会导致他们过度生产）。在信息共享下，两个生产者都在古诺水平上生产。因此，QKL，H=2qC=。在没有信息共享QKcL的情况下，H=2φ。情况3：{L，L}在这种情况下，WP 1和WP 2都处于低状态。因此，合作和竞争之间没有区别，因为两者都是在L水平上生产的，这意味着WL，L（K，Kc）=0。将这些结果代入（39）和（12），我们得到了thatEw，w[w（K，Kc）]=dβ（1- β） β+d（1- β)1+1-1+1- 2（L+φ）+（L+φ）+ββ+d（1- β)-- 2φ +(2φ).通过重新排列上述方程，我们得到了thatEw，w[w（K，Kc）]=Γ（β，d，L）39β+28d（1- β) - 60Ld（1- β) - 81βL. （40）公因数Γ（β，d，L）=βd（1- 3L）（1- β） （β+d（1- β） ）（3β+2d（1- β） ）为正，因为根据假设1，（1- β) ∈ (0, 1). 同样，由于L<1/3，（40）39β+28d（1- β) - 60Ld（1- β) - 81βL>39β+28d（1- β) - 20d（1- β) - 27β=12β+8d（1- β) > 0.信息共享的社会福利效益Ew，w[w（K，Kc）]是两个积极条件的产物，因此Ew，w[w（K，Kc）]>0。命题12的证明。设BRi（ζ）=1-当qj=ζ时，ζ表示i的最佳回复。

我们旨在描述以下EW，w[D（K，Kc）]=Pr{L，H}DL，H（K，Kc）+Pr{H，L}DH，L（K，Kc）+Pr{L，L}DL，L（K，Kc）+Pr{H，H}DH，H（K，Kc），其中在{w，w}状态下合作/共享信息的益处∈ {H，L}isDw，w（K，Kc）=πKw，w+πKw，w- πKcw，w- πKcw、wandπKiw、wdenotes i在州（w、w）的利益，当公司合作并共享其私人信息时。类似地，πKciw、wdenotes i的优势在于企业在没有信息共享（没有合作）的情况下进行竞争。我们分别考虑以下四种可能的情况。案例1：{L，H}。在这种情况下，WP 1处于低状态，WP 2处于高状态。因此，信息共享对WP 2非常有利（对WP 1不利）。这是因为生产商2将战略性地过度生产，从而导致大米价格下跌，损害了生产商1。这种生产过剩对生产者2有利，尽管它会导致均衡价格下降。在这种情况下，与没有信息共享的竞争相比，合作对WP 2有利，对WP 1不利。直观且重要的是，当L很小时，信息共享对WP 2的额外收益特别高。更精确地说，πKL，H=L[1- （L+BR（L））]πKL，H=BR（L）[1- （L+BR（L））]，其中BR（L）=1-五十、 在没有合作的情况下，每个WP按照原始平衡供应。因此，πKcL，H=L[1- （L+φ）]πKcL，H=φ[1- （L+φ）]，φ=β+（1-五十） （1）-β） d3β+2（1-β） dby推论1。对于一个代数，我们可以显示dh，L（K，Kc）=πKH，L+πKH，L- πKcH，L- πKcH，L=β(1 - 3L）2（2d）（1- β) - 3β)- Lβ(1 - 3L）2（2d）（1- β) - 3β).情况2：{H，L}这种对称情况与情况1相似。因此，DH，L（K，Kc）=πKH，L+πKH，L- πKcH，L- πKcH，L=β(1 - 3L）2（2d）（1- β) - 3β)- Lβ(1 - 3L）2（2d）（1- β) - 3β).情况3：{H，H}在这种情况下，WP 1和WP 2都处于高状态。

因此，合作对双方都非常有益，因为通过减少不确定性，他们在相应的古诺水平上进行协调和生产，即qC=。因此，信息共享的特点如下：πKH，H=πKH，H=qC[1- 2qC]在没有合作的情况下，每个W P都对自己的信念做出了最好的回应；因此，πKcH，H=πKcH，H=φ[1- 2φ]其中（如上所述）φ=β+（1-五十） （1）-β） d3β+2（1-β） d.使用代数，我们可以显示dh，H（K，Kc）=πKH，H+πKH，H- πKcH，H- πKcH，L=2qC[1- 2qC]- 2φ[1 - 2φ]=+2（β+d（1-五十） （1）-β） ）3β+2d（1-β)- 1.（β+d（1- 五十） （1）- β） ）3β+2d（1- β)≥ 0其中，最后一个不等式如下，因为φ>qC=（因为在这种状态下，由于不确定性和不协调，每个WP产生φ的产量过多）。情况4：{L，L}在这种情况下，WP 1和WP 2都处于低状态。因此，合作和竞争之间没有区别，因为两者都是在L水平上生产的，这意味着DL，L（K，Kc）=0。将上述情况的结果插入（13）意味着ew，w[D（K，Kc）]=βD（1- 3L）（1- β） （3β+2d（1- β） ）（β+d（1- β))21β+16d（1- β) - L（81β+60d（1- β)).因此，存在唯一的L*（d，β），当且仅当ifL<L时，Ew，w[d（K，Kc）]>0*（d，β）=21β+16d（1- β） 81β+60d（1- β).在上面的表达式中，请注意L*（d，β）<。注意f（x）=x（1- 2x）在x中是凹的，并且在x=时最大，因此f（qC）>f（φ），因为φ>qC=>。