双边合同的风险分担框架

结果表明，（2.4）是满足其条件的选择之一；见【4，提案5.1】。然而，满足条件的FTP可能有很多选择，因此，我们调查了对双方来说最重要的价格。2.3. 双边合同下的对冲投资组合。在本节中，在CVA、DVA、融资利差和抵押品下，我们定义了双方签订合同的对冲投资组合。我们主要从A的角度来描述套期保值的投资组合。然后，B的投资组合可以通过类似的方式推导出来。2.3.1. 股息、平仓金额和等额。本节首先解释双边合同中的现金流。考虑两名代理人，他们希望签订一份双边合同，交换承诺的股息。我们用D表示累积股息过程。我们假设D是一个F适应的cádlág过程，并且与违约无关。D的值由满足以下随机微分方程（SDE）的n维F-ada pted（即非违约）基础资产S=（S，…，Sn）确定：dSit=uitSitdt+（σit）SitdWt，1≤ 我≤ n、 （2.5）式中σi∈ Rd和ui∈ R是F-可预测的。此外，我们表示u∈ Rnandσ∈ Rn×d，即（u）i=ui，row（σ）i=σi。不假设n=d。换句话说，无论是否交易CDS和债券等对冲违约风险的资产，所考虑的市场可能是完整的，也可能不是完整的。在本文中，我们考虑了缺乏资产的市场来对冲违约风险。我们仅将所有t的σt设为满秩，以便将风险溢价∧定义为σ∧=（u）的解- r1），（2.6），其中1：=（1，…，1）∈ Rdand r是一种F自适应过程，表示隔夜指数掉期（OIS）利率。我们稍后将使用∧作为定价手段，以确定结算金额。Rec∧的存在保证了经典背景下的无套利条件。

然而，由于套利机会的经典定义没有充分反映双边合同的套期保值者特定性质，因此有许多研究在双边合同的背景下正确地重新定义套利机会。所开发的条件与纸上略有不同，但套利机会的可能性通常与（2.6）的条件相似。例如，参见[12，建议3.3]。有关套期保值者特定套利机会的定义，读者可以参考[12、10、6、7、8、41、40]。作为惯例，我们在某一时刻设定股息过程的正值（分别为负值），这意味着代理a向代理B支付（分别由代理B支付）。例如，如果a以行权价格κ和到期日T出售S的期权，则对于任何≥ 0，Dt=1t≥T（κ-ST）+。请注意，合同开始时交换的初始价格不是D的一部分。我们将6 J.LEE，S.STURM，C.Zhou套期组合中的初始价格作为其初始值。由于F-适应的cádlág过程的跳跃被[35，定理4.21]的F-停止时间耗尽，并且τ避免了任何F-停止时间（回忆（2.1）），因此D在默认情况下不会跳跃，即。，Dτ=0，几乎可以肯定。（2.7）让我们转而解释平仓金额和保证金流程。如果一方违约，股息D的义务可能无法完全履行。对于违约风险，在重新启动合同之前，在信贷支持附录中记录了结算金额和抵押品的约定。在违约事件发生时，股息流停止，应结算CSA结算金额。然而，由于违约，违约方将无法支付全部结算金额。为降低违约损失风险，双方交换抵押品。

在双边合同中，变动保证金和初始保证金通常予以公布，平仓金额被确定为按市值计价的风险敞口。在我们的模型中，只有变化幅度是随机控制问题控制变量的一部分，稍后将介绍。为了简单起见，我们排除了初始保证金。如【13，第12页】所述，“变动保证金的金额反映了当前风险敞口的大小”，建议“必须交换为非中央结算衍生品的按市值计价风险敞口提供充分担保所需的全部金额”【13，第15页】。该法规背后的含义将在稍后根据我们的模型进行讨论。备注2.4。关于初始页边距的一般做法，读者可以参考[45，22]。此外，初始保证金导致预计的相关BSDE。对于预期BSDE的数值模拟，读者可以参考文献[1]。现在，我们用数学方法描述了收尾量和变动幅度。计算市场风险敞口的常用方法之一是清洁价格，它基本上是经典的风险中性价格。在经典定价中，我们使用“所谓的”无风险利率。请注意，将其称为无风险利率有点不合情理，因为双边合同下的论点实际上是经销商无法获得无风险利率，但人们承认，OIS利率是所谓无风险利率的最佳代理。因此，在下文中，我们使用OIS比率来评估清洁价格，并用（rt）t表示≥0、我们假设（rt）t≥0是F适应的，并用B表示（rt）t上的货币市场账户≥0，namelyBt：=expZtrsds公司对于任何t≥ 0.我们可以找到定价指标Q，以便B-1Si，1≤ 我≤ n、 是（Q，F）-局部鞅，因为σ是（2.6）中的满秩。让Et表示t的新市值敞口≤ T

我们假设市场敞口按净价格计算：假设2.5。对于任何t∈ [0，T]，et=BtEQRTtB-1sdDs英尺.通过假设2.5，我们可以导出（et）t的一些性质≥我们在附录D引理2.6中报告了证明。（i） eT=0。（ii）e？τ=1τ≤Teτ。（iii）det=rtet+BtZt∧tdt+BtZtdWt- 滴滴涕∈ [0，T]，对于某些Z∈ H2，dT，位置。（iv）eτ-= eτ几乎可以肯定。备注2.7。请注意，Z与▄et=B的delta风险密切相关-1台。事实上，如果eis Malliavin是可区分的，并且是St的平滑函数，即▄et=▄e（t，St），那么Clark OconeA将成为ISDA主协议的一部分。双边合同的风险分担框架7公式，Zt=Dtet=[诊断（St）σt]Se（t，St），其中dt是Malliavin导数运算符att和Sis为经典梯度。我们稍后将看到，Z在解释完全抵押背后的含义方面起着特殊的作用。此外，如果D∈ 我们可以在H2，dT中选择Z。让mt表示在t上公布的变更保证金金额≤ T西米拉RY，mt≥ 0（分别mt<0）表示A在时间t向B发布（分别接收）边距≤ T我们假设（mt）t≥0是一个Fadapted cádlág过程。请注意，m被选择为F-adapted，以确保财务建模的一致性。我们需要抵押品，因为我们不知道违约的全部信息。因此，抵押品的数量仅根据可用信息计算。引入风险分担问题时，可允许集合将更精确地定义。一旦一方宣布破产，保证金程序停止。因此，在默认τ≤ T，抵押品金额为mτ-, 但财富等于eτ+Dτ（=eτa.s）应从m a转移到B。此外，只有当τ=τa和eτ≥ mτ-（分别为τ=τ带eτ<mτ-). 由LA（各自）表示药剂A（各自B）的损失率。

LB），违约金额为τ=τA LA（eτ- mτ-)+- 1τ=τB LB（eτ- mτ-)-.我们假设李，我∈ {A，B}，是正常量。最后，我们可以确定全部现金流成本：=1τ>tDt+1τ≤t型Dτ+eτ- 1τ=τA≤tLA（eτ+Dτ- mτ-)++ 1τ=τB≤tLB（eτ+Dτ- mτ-)-.根据（2.7）和Le mma 2.6中的最后一项≤ T，几乎可以肯定T=1τ>tDt+1τ≤t型Dτ+eτ- 1τ=τA≤tLA（eτ- mτ-)++ 1τ=τB≤tLB（eτ- mτ-)-.（2.8）在下一节中，我们将详细定义a s融资组合，以对冲C。我们根据年龄nt A构建投资组合，因为代理人B的投资组合是最相似的。在继续之前，我们提供了一些与模型的可能扩展相关的r e标记。备注2.8。（i） 有人可能会争辩说，清洁价格不是一个合适的clos e-out金额，因为不考虑代理B的违约。然而，将Ag e ntB的违约风险纳入风险敞口可能会严重惩罚存续方，因为一方的违约事件可能会对存续方的信誉产生负面影响，尤其是当违约成员对系统性风险有影响时。对于此类讨论，读者可参考[21]。（ii）在实践中，变动保证金按日内计算（例如，每天两次或三次）。在本文中，为了简单起见，我们假设一个连续的边际过程。有人可能希望将模型变化裕度作为一个cádlág步骤过程来更精确地描述现实，参见【20】。（iii）违约标的资产超出本协议的范围。对于强调传染风险的建模，读者可能希望参考[38、17、18、16]。（iv）在现实中，很难估计准确的违约强度。例如，代理行B的风险敞口与违约概率之间的依赖性并非易如反掌，这有时被称为对/错方向风险，但从市场报价中估计依赖性很有挑战性。

因此，这些问题导致了强有力的定价论据。参见[34，9]。2.3.2. 自筹资金对冲投资组合。代理人的资金来源可以是外部融资提供商、财政部、回购市场等。金融危机后，此类融资利率并不代表无风险利率（近似于最近的OIS利率）。我们考虑F适应过程s（Ri，mt）t≥0，i∈ {A，B}，表示从保证金贷款人处获得的保证金资金利率，并表示≥ 0，Bi，mt：=经验值ZtRi，msds.（2.9）8 J.LEE，S.STURM，C.ZHOUA BrmRA，mRB，mMargin providerFunding deskMargin providerFunding deskRARBFig。1： 缔约方之间的利率。当一方由其内部资金提供者提供资金以提供抵押品时，Ri，m=Ri。实际上，RMI通常被选为联邦基金利率或EONIArate，即rm=r。与保证金流程相关的另一个现金流是保证金接收人的薪酬。当代理行A抵押（各自收到）变更保证金时，代理行B应就利率向代理行A支付报酬（各自应支付报酬）。我们让rmand BM表示代理A的报酬率和账户。因此，对于每一方，过账保证金所涉及的净成本/收益由Ri，m确定- rm，i∈ {A，B}，wedenote这个扩散由si，m，即si，m：=Ri，m- rm，i∈ {A，B}。（2.10）一般来说，变动保证金允许再抵押，换句话说，保证金账户可用于维持套期组合。此外，我们假设双方应通过利率Ri，i为其运营融资∈ {A，B}，用于构造其余的端口组合。

Wedenote关联资金账户并由Biand si，i分摊∈ {A，C}，即位：=expZtRisds公司,（2.11）sit：=Rit- rt.（2.12）然后，各方使用上述账户和风险资产（Bi、Bi、m、Bm、S）构建其对冲组合，即∈ {A，B}。Le tДi：=（ηi，ηi，m，ηm，ηi，S）表示（Bi，Bi，m，Bm，S），i∈ {A，B}，在套期保值组合中，我们都使用代理i的交易策略。我们假设，i，i∈ {A，B}，是G-可预测的，并使用一种惯例，即积极的交易策略意味着长期的位置。如果代理行A提交的抵押品金额为mtat t，则她需要从保证金贷款人处交付账户BA，MTT的ηA，mtshares。然后，代理人A将拥有保证金账户Bmtto的ηm股份，其中应计提代理人B的报酬。因此，ηmBm=m，（2.13）ηA，mBA，m+ηmBm=0，（2.14）ηB，mBB，m- ηmBm=0。（2.15）备注2.9。在实践中，我们考虑重新抵押的现金抵押品。有时可能会将风险资产作为抵押品过账，并将保证金账户分离，而双边合同的风险分担框架9意味着该账户不包括在对冲组合中。当我们考虑不同的惯例时，财富过程的数学结构也会变得不同。对于各种约定，读者可能希望参考[12，28]。此外，抵押品的数量可能取决于对冲组合的价值，这有时被称为内生抵押品。【23】和【46】分别讨论了PDE和BSDE的内源性协同效应。现在，我们能够确定一个自我融资的投资组合。定义2.10。

如果增值税=增值税（ДA，C），t∈ [0，T]，定义为VAT=ηAtBAt+ηA，mtBA，mt+ηmtBmt+ηA，StSt，（2.16）满足VAT=VA+Zt∧(R)τηAsdBAs+Zt∧？τηA，msdBA，ms+Zt∧(R)τηmsdBms+Zt∧\'τηA，SsdSs- 计算机断层扫描∧对于任何t∈ [0，T]，然后VAis称为代理人A的自我融资投资组合。备注2.11。请注意，对于t>τ，VAt=VAτ。In（2.17），Ct∧对于任何t，τ=Ct≥ 0，定义（2.8）。代理人B的自我融资投资组合定义类似。差异是变化幅度和C的方向。然后，通过（2.10），（2.13）-（2.17），我们可以看到代理A的自融资投资组合流程，同样，代理B的自融资投资组合流程=RAtVAt公司- sA，mtmt+ηA，St⊙ St[ut- 1RAt]dt+ηA，St⊙ StσtdWt- dCt，（2.18）dVBt=RBtVBt+sB，mmt+ηB，St⊙ St[ut- 1RBt]dt+ηB，St⊙ StσtdWt+dCt，（2.19），其中⊙ 是组件式产品。如果我们考虑一个对T市场风险持有裸头寸的代理人，我们将ηi，S=0。在检查（2.18）和（2.19）是否定义明确之前，我们首先介绍我们的目标问题。我们找到了最佳的初始价格和变动幅度，以优化这两个部分的ag gregatedutilities。如果定价没有调整，则在合同开始时应交换经典的风险中性价格。设p表示支付给代理人的金额。因此，支付给代理人A的初始价格为e+p。更确切地说，表示各方的初始捐赠由νA和νB表示，VA=νA+e+p，VB=νB- e- p、 因此，请选择（p，m）。为简化符号，我们通常抑制（p，m），例如Vi=Vi，p，m，i∈ {A，B}。然后，使用容许集A，实用程序Ui:R→ R、 λ>0时，我们将风险分担问题定义如下：（p*, m级*) = arg最大值（p，m）∈埃瓦（BA？τ）-1VA，p，m？τ+ λUB（BB？τ）-1VB，p，m？τi、 （2.20）我们将在以下章节中更准确地定义。注意，对冲策略不是控制变量。

换句话说，我们假设双方根据自己的方法而不是风险分担框架来选择策略。可以说λ是代理人B的相对获得权，或代理人A想要签订合同的程度。人们还可以将λ视为衍生品交易中应确认多少资金利差的信念。10 J.LEE，S.STURM，C.ZHOUAs我们在第2.3.2节第*是支付给代理A的金额加上E。由于违约风险和资金利差，这笔额外付款是必要的。如果双方分别对合同进行定价，则由于该模型上的资金利差不同，计算价格可能会对各方有所不同。因此，当合同价格为初始价格E+p时*, 有些公司应该承担费用。因此，p*可以将n视为双方同意签订合同的成本，因此我们称为p*协议成本。我们也叫m*最佳抵押品（或保证金）和（p*, m级*) 风险分担合同。在给出详细信息之前，我们首先提供了选择模型（2.20）背后的贴现因子的动机。在（2.20）中，投资组合的价值通过贴现因子进行调整。贴现因素对于公平性来说是必要的，因为两个代理人的融资利率不同。一般来说，违约风险越高，融资利率越高。然而，hedgingportfolio随着其融资率的增长而增长（回忆（2.18）和（2.19））。因此，在不考虑事实的情况下，我们会在更健康的信贷条件下处罚一方。人们可能希望将贴现因素置于公用事业之外，因为这是投资组合优化文献中的一个典型选择。在这种情况下，当投资组合过程向前发展时，融资利率的影响与公用事业中的风险规避参数混合在一起。

然而，未来价值纯粹是在不考虑风险规避的情况下贴现的，因此我们最终会根据风险规避对某一方进行惩罚或奖励。[48]中讨论了samecontext中的一个参数。对于公用设施，我们将调查两种情况：UA（x）=x，UB（x）=-e-γBx，（2.21）UA（x）=-e-γAx，UB（x）=-e-γBx，（2.22）对于某些γi>0。我们选择Exponential实用程序主要是为了简单。要使用电力设施，我们需要Vi，i∈ {A，B}，为下界。为此，有界条件应该被应用到（p，m），但这使得说明更加复杂。此外，在电力设施下通常无法获得最佳抵押品的明确形式。为了解决风险分担问题，我们需要对融资利差进行不同的限制，这取决于用于描述最佳抵押品的公用事业的选择。之所以需要这些限制，主要是因为值函数w.r.t变化幅度不是凹的。更准确地说，我们需要sB，m=0 in（2.21），和sA，m=sB，m=0 in（2.22）。不仅当一方的资本结构具有较小的杠杆作用时，而且当甲方为变动保证金实现安全融资时，可以假设融资的条件。这种情况并不常见，但[3]讨论了一些担保融资的例子。另一种解释是，在保持融资条件的同时不丧失太多的概括性，这在一定程度上是由一个完整的市场论点所证明的。完全市场模型表明，代理人可以保证他们不会根据支付结构在借贷头寸之间切换其融资状态。基金状态的这种二元性质与支付函数相对于隐性资产是非递增还是非递减有关。