双边合同的风险分担框架

因此，可以理解资金转移的第二个条件，即巴塞尔协议II的保证金要求本质上考虑了无摩擦金融市场。在下一节中，我们将推导p的最大值原理*对于（2.38）。主要是由于非凹面的不均匀性，为了找到最佳对（p*, δ*), 我们需要sB，m=sA，m=0或{δ}，对于一些δ∈ R、 第二个条件意味着变化幅度c固定为agiven过程。4、最优初始价格。在本节中，假设了Emma 3.2中的条件，以便获得可采性。p的下一个极大值原理*基本上是一种延迟状态。首先，我们考虑δ不是控制变量的情况，即a={δ}，对于某些δ∈ R、 在前面的章节中，我们假设sA，m=sB，m=0。然而，当一个是单体时，我们不需要关于市场利率的条件。定理4.1。假设A={δ}，对于某些δ∈ R、 因此，δ*= δ. 让X*:= Xp系统*,δ*,f*·:=^f·（p*, 十、*·), 对于给定的t≤ T，定义Qt∈ Ras设置为f*t（·）是不可区分的。假设（p*,十、*)∈Q=0，dP dt公司- a、 s，（4.1）即（p*, 十、*) 不属于^f，dP的不可区分集合 dt公司- a、 此外，假设“βTU′a（X*T）-βTλU′B（νB- p*)+ZT（p*,十、*t）/∈Qtp^ft（p*, 十、*t） +x^ft（p*, 十、*t）dt#=0。（4.2）然后p*是最佳初始价格。证据请注意，f*t（·）对于任何t都是凹的∈ [0，T]也是可区分的，即最大原则（4.2）基本上是一个一阶条件。我们只需要检查（p*, 十、*) 在Q中不被吸收。因为我们假设A={δ}，对于一些δ∈ R、 δ*不依赖于（p，X）。对于任何过程，我们都允许*:= ^1p*对于任意p∈ Rφ*:= ^1p- φ*.

然后，EY*=EβTUA（XpT）- UA（X*T）+ βTλUB（νB- p）- UB（νB- p*)+ZT公司f*tdt公司≤EβTU′A（X*T）十、*T- βTλU′B（νB- p*)p*+ZT公司f*tdt公司≤EβTU′A（X*T）十、*T- βTλU′B（νB- p*)p*+ EZT（p*,十、*t）/∈Qtx^ft（p*, 十、*t）十、*t+p^f（p*, 十、*t）p*dt公司.最后一个不等式由f的凹性得到*和（4.1）。请注意十、*t=p*, 对于anyA双边合同风险分担框架19t∈ [0，T]。因此，根据（4.2），我们有Yp公司- Y*≤p*EβTU′A（X*T）-βTλU′B（νB- p*)+ p*EZT（p*,十、*t）/∈Qtp^ft（p*, 十、*t） +x^f（p*, 十、*t）dt公司=当我们一起控制（p，δ）时，需要两个资金利差条件，sA，m=sB，m=0。该证明类似于定理4.1。提案4.2。假设sA，m=sB，m=0。让X*:= Xp系统*, f*·:=^f·（p*, 十、*·), 对于givent≤ T，定义Qt∈ Ras f的集合*t（·）是不可区分的。A s s ume（p*,十、*)∈Q=0，dP dt公司- a、 s，即（p*, 十、*) 不属于^f，dP的不可区分集合 dt公司- a、 此外，假设“βTU′a（X*T）-βTλU′B（νB- p*) +ZT（p*,十、*t）/∈Qtp^ft（p*, 十、*t） +x^ft（p*, 十、*t）dt#=0。然后（p*, δ*) 是风险分担合同。我们将在下一节中讨论示例。5、示例。在第3.2节中，有人指出，清洁价格的delta套期保值和市场摩擦的缺席是使全额保证金要求达到最优的必要条件。我们首先推导出给定条件下的风险分担合同。示例5.1。假设si，m=si=φi=0，i∈ {A，B}，A=R。因此，Xp=νA+p，β=G。我们将检查（p*, δ*) = （^p，0）式中，^p：=γBνB- γAνAγB+γA-γB+γAlnλγBγA.（5.1）通过（3.17）-（3.18），我们得到I+t（Xpt，p）=（LA）-1（^p-p） ，我-t（Xpt，p）=（LB）-1（^p-p） ，其中^p定义为（5.1）。因此，通过取p=^p，我们恢复了全裕度约定：δ*= 此外，X^p+LAI+=νA+^p，νB- p+LBI-=νB- 因此，根据（3.9），^ftis可在（^p，X^p）处区分，即对于t∈ [0，T]，Qt=.

此外，通过简单的计算，p^ft（p，x）=-x▄ft（p，x），andU′A（νA+^p）=λU′B（νB- ^p）。因此，我们得到（p*, δ*) = （p，0）。注意，当γB=γA，νA=νB=0，λ=1，则^p=0。因此，在这种情况下，（p*, δ*) = (0, 0).如果我们取γB=γA=1，νB=νA=0，（5.1）减少到^p=-ln（λ）/2。特别是，当双方具有相同的谈判权力，即λ=1时，我们的^p=0。可以说，^p代表了代理人偏好和谈判能力的调整量，这在市场上是不可观察的信息。因为双方很难就这些参数达成一致。此外，值得注意的是，^p不依赖于hi，Li，i∈ {A，B}，因为价格是从完全抵押的合同中数学推导出来的。如果一方不对冲delta风险，我们就无法得到^p的显式解，因此我们只讨论p的存在性*满足（4.2）。20 J.LEE，S.STURM，C.Zhou示例5.2。假设si，m=0，πA=A、 πB=0，即φA=0，φB=B、 我们考虑恒定的违约强度，并且在不丧失一般性的情况下，假设γA=γB，LA=LB=0.5，λ=1，νA=νB=0。因此，对于t∈ [0，T]，Xpt=p-Zth公司sAs+γBγASBvs+Bs（bBs- ∧Bs）+ASBASID-Zt公司BsdWs，Iit（p，Xpt）=-Xpt公司- p、 我∈ {-, +}.由于γA=γB，我们表示U：=UA=UB。通过简单的计算，我们可以检查qt=, 对于t≤ T，和p^ft（p，Xpt）+x^ft（p，Xpt）=-γhBβtU（Xpt）-U型(-p）, -Xpt公司- p≥ 0,-γhAβtU（Xpt）- U型(-p）, -Xpt公司- p＜0。回想一下，xptin随着p的增加而增加。因此，两者p^f+x^f和[U′（XT）-U′型(-p） ]降低。r、 此外，这两个术语都倾向于∞ （分别为。-∞) 作为p→ -∞ （分别为p→ ∞). 因此，存在p∈ R满足（4.2）。一次p*得到，δ*也可以找到，但在这种情况下，（p*, δ*)可能不是（^p，0），即完全抵押可能不是最优的。6、结论。

在本文中，我们引入了一个新的风险分担框架，以了解双方如何在存在特定实体信息（如sdefault风险和融资利差）的情况下签订双边合同。根据我们的模型，我们可以解释为什么银行购买收益率低于其融资利率的国债。风险分担框架中对最优抵押品的分析解释了巴塞尔协议III中保证金要求背后的含义：衍生产品价格s中未考虑清洁价格和融资利差的双方对冲Delta风险。请注意，在无摩擦金融市场中，完全抵押真的是最优的，这是巴塞尔协议III中的一个固有假设。如果我们将差距风险、千伏安和享乐策略也包括在控制变量中，这一结论可能会改变。我们把这种分析作为进一步的研究课题。附录A.一个辅助引理。下一个引理是从[11]借用来的，在本文中经常使用。引理A.1。让我∈ {A，B}。（i） 设U是一些s的Fs可测可积随机变量≥ 0那么无论如何≤ s、 E（1s<τU | Gt）=1t<τG-1tE（GsU | Ft）。（ii）Let（Ut）t≥0be是实值的F-可预测过程，E | U'τ|<∞. 然后，E（1τ=τi≤TUτ| Gt）=1t<τG-1tEZTTHISGUSDS英尺.附录B.随机变量空间和随机过程。在本文中，我们表示随机变量空间和随机过程。定义B.1。

让m∈ N和p≥ 2.oLpT：所有FT可测随机变量ξ的集合，使得kξkp：=E[|ξ| p]p<∞.o SpT：所有实值、F自适应、cádlágprocess（Ut）t的集合≥0，这样Kukspt：=E支持≤T | Ut | pp<∞.右连续和左极限。双边合同风险分担框架21oHp，mT：所有Rm值、F-可预测流程（Ut）的集合≥0，这样Kukhpt：=EZT公司美国犹他州pdt公司p<∞.o Hp、mT、loc：所有Rm值、F-可预测流程（Ut）的集合≥0，这样ZT美国犹他州pdt<∞, a、 当d=1时，我们表示HpT：=Hp，1T和HpT，loc：=Hp，1T，loc。附录C：增量现金流下的风险中性代理。在本节中，我们将推导出风险中性的最佳抵押品：UA（x）=x。与前面的章节一样，代理人B的风险规避程度为UB（x）=-e-γBx。在这种情况下，我们可以放宽对A的边际融资比率的限制。然后，我们打算推导出与第3.1节和第3.2小节中假设m>0的类似论点。（C.1）。现在，为了对增加的现金流进行建模，假设银行在新合同开始之前，已经有了一些被赋予的适应过程（DE、eE、mE）的合同。如果双方未签订新合同，现金流保持上升=1τ>tDEt+1τ≤t型DEτ+eEτ- 1τ=τA≤tLA（eEτ- mEτ-)++ 1τ=τB≤tLB（eEτ- mEτ-)-.另一方面，随着新合同的签订，世博会确定和保证金分别成为（eE+e）和（mE+m）。

因此，对于新合同，总现金流量为：=1τ>t（DEt+Dt）+1τ≤t型DEτ+Dτ+eEτ+eτ- 1τ=τA≤tLA（eEτ+eτ- mEτ-- mτ-)++ 1τ=τB≤tLB（eEτ+eτ- mEτ-- mτ-)-.因此，代理A应处理的金额是CEto CS的增量，即t≤ T，Ct：=CSt- CEt=Dt∧(τ -)+ 1τ ≤teτ-- 1τ=τA≤tLA公司（eτ-- mτ-+ eEτ- mEτ-)+- （eEτ- mEτ-)++ 1τ=τB≤tLB（eτ-- mτ-+ eEτ- mEτ-)-- （eEτ- mEτ-)-.（C.2）因此，我们将违约金额表示为Θt（δ）=1τA=tLA（δ+δEt）+- （δEt）+- 1τB=tLB（δ+δEt）-- （δEt）-.（C.3）此外，通过（C.1），T heorem 2.14中推导出的'VA的F-减少量与dva略有不同，δT=（sA，mtδT+αAt）dt+φAtdWtαAt：=sA，tvt+φAt∧At+阿特巴萨，t： =sAt- 注意，Va取决于δ，因为我们假设sA，m>0，这是与主要部分的主要数学差异。我们仍然假设代理人B可以交付抵押物22 J.LEE，S.STURM，C.Zhou，没有任何过高的成本/收益，即sB，m=0。在这种情况下，Vb不依赖于δ。由于Va和δ之间的依赖性，我们对可容许的抵押品集D:E施加了一个稍微严格的条件GTUA（vA，δT）+λGTUB（vBT）+ZT公司gt（vA，δt，vBt，δt）dt公司< ∞,（C.4）其中，我们现在表示gt：=1δ+δE≥0g+t+1δ+δE<0g-tandg+t（vA，vB，δ）：=Gt哈图亚vA+LA（δ- （δEt）-)+ λhAtUBvB- 10万吨（δ- （δEt）-)+ hBt公司UA（vA+LB（δEt）-) + λUB（vB- LBKt（δEt）-),g级-t（vA，vB，δ）：=GthBtUA公司vA+LB（δ+（δEt）+）+ λhBtUBvB- LBKt（δ+（δEt）+）+ 帽子UA（弗吉尼亚州）- LA（δEt）++λUB（vB+LAKt（δEt）+）.如第3节所述，第一项任务是通过MOP确定最佳抵押品的特征。为此，我们通过合并一个终端条件GTvA，δTinto dt积分项，轻松修改（3.1）。观察其公式yieldsdGtvA，δt= 燃气轮机sA，mtδt+αAt- htvAt公司dt+GtvA，δtφAtdWt。（C.5）如果GvA，ΔφA∈ 它的积分项是（P，F）-局部鞅。

因此，EGTvA，δT- （νA+p）= EZTGt公司sA，mtδt+αAt- htvAt公司dt公司.因此，（3.1）可以写入asmaxδ∈判定元件（νA+p）+λGTUB（vBT）+ZTgt（vA，δt，vBt，δt）+gt（sA，mtδt+αAt- htvA，δt）dt公司.（C.6）然后，我们将（C.6）的动态版本定义为：Jεt（p）：=ess supδ∈D（t，ε）E（νA+p）+λGTUB（vBT）+ZTthgs（vA，δs，vBs，δs）+Gs（sA，msδs+αAs- hsvA，δs）内径英尺.（C.7）然后（Jεt）0≤t型≤它被选为cádlág版本，因此对于任何ε∈ D、 nJεt+Ztgs（vA，εs，vBs，εs）+gs（sA，msεs+αAs- hsvA，εs）dso0≤t型≤这是一个（P，F）-超鞅。此外，对于最佳抵押品δ*对于J，nJδ*t+Ztgs（vA，δ*s、 vBs，δ*s） +Gs（sA，msδ*s+αAs- hsvA，δ*s）dso0≤t型≤这是一个（P，F）-鞅。下面的定理对细节进行了总结。在给出定理之前，我们先介绍两种符号。我们将δ与Va分开，表示dvAt=dvA，δt-sA，mtδtdt，更精确地说，~vAt=ZtαAsds+ZtφAsdWs。（C.8）双边合同的风险分担框架23注意▄vA=0。此外，我们表示：=ZTtGshsds。（C.9）最佳抵押品稍后将由（It）t表示≥该术语出现在本节中，因为它可以是正的。如果我们考虑提供抵押品的成本，那么何时违约就变得非常重要。然而，违约时间的影响仍然很小。回顾h的定义= h类- h、 因此，（It）t≥0可以理解为抵押品对违约时间依赖性的纠正条款。当τa和τb独立时，h=手I=0。定理C.1。假设Gh是确定性的。定义δt（~vAt，vBt）：=arg maxδ∈A.gt（增值税、vBt、δ）+ItsA、mtδ,（C.10）~gt（vA、vB、δ）：=1δ+δE≥0g+t（vA，vB，δ）+1δ+δE≥0▄g+t（vA，vB，δ），▄git（vA，vB，δ）：=git（vA，vB，δ）+GtsA，mtδ+αAt- htvA公司, 我∈ {-, +}.Ifbδ（￠vA，vB）∈ D、 然后（bδt（~vAt，~vBt））0≤t型≤这是（3.1）的溶液。证据

对于ε∈ D、 我们定义了一个（P，F）-se半鞅（Yt）t≥0asYt：=Jεt- EZTtGuh公司uZtsA，msεsds杜邦英尺=Jεt- EZt公司ZTtGuh公司udusA，msεsds英尺=Jεt-ZtItsA，msεsds。请注意，Y不依赖于ε。我们还确定ξεt：=Yt+ZtItsA，msεsds+Ztgs（vA，εs，vBs，εs）+gs（sA，msεs+αAs- hsvA，εs）ds。（C.11）为了简化（C.11），请注意Gt（vA，εt，vBt，εt）+Gt（sA，mtεt+αAt- htvA，εt）=gt（vA，εt，vBt，εt）- GthtvA，εt+ GthtvA，εt- htvA，εt+Gt（sA，mtεt+αAt）=gt（vA，εt，vBt，εt）- GthtvA，εt+ Gth公司tvA，εt+Gt（sA，mtεt+αAt）。此外，根据Fubini定理，ZtGuhuhZusA，msεsdsidu=ZtsA，msεshZtsGuhuduids。此外，ZtGuhuvA，εudu=ZtGuhuhvA，εu-ZusA，msεsdsidu+ZtGuhuhZusA，msεsdsidu=ZtGuhuvAudu+ZtsA，msεshZtsGuhuduids，（C.12）24 J.LEE，S.STURM，C.Zhoand for t≤ T，gt（vA，εT，vBt，εT）- GthtvA，εt+Ght▄vAt=g（▄vAt，vBt，εt）。（C.13）因此，（C.11）可以写成asYt+ZtItsA，msεsds+Ztgs（vA，εs，vBs，εs）+gs（sA，msεs+αAs- hsvA，εs）ds=Yt+ZtItsA，msεsds+ZtsA，msεshZtsGuhuduids+Ztgs（vA，εs，vBs，εs）- GshsvA，εs+GhsvAs+Gs（sA，msεs+αAs）ds=Yt+ZtIssA，msεsds+Ztgs（vAs，vBs，εs）+gs（sA，msεs+αAs- hvAs）ds=Yt+ZtIssA，msεsds+Zt▄gs（▄vAs，vBs，εs）ds。那么，因为Y与ε无关∈ D、 根据bδ（|vA，vB）的容许性假设，对于任何ε∈ D、 我们有ξε- ξbδ（~vA，vB）是（P，F）-上鞅。因此，对于任何ε∈ D、 E类ξεT- ξbδ（￠vA，vB）T≤ Eξε- ξbδ（|vA，vB）= 那么，根据可容许性，bδ（~vA，vB）是（3.1）的解。最后一步是证明在某些条件下，bδ（~vA，vB）是可容许的。我们考虑了A=R，并找到了这种情况下bδ（△vA，vB）的显式形式。然后，可积条件很容易检查。首先，请注意▄g+，▄g-在δ中连续可微且严格凹。

T hus，对于任何（T，vA，vB），都存在（vA，vB），i∈ {-, +} 因此δ▄git（vA，vB，bIit（vA，vB））+sA，mtIt=0（C.14）。然后，很容易检查Bδ（▄vA，vB）是否在-, I+，和-δE.观察▄gi，i的精确形式∈ {-, +}, 为▄g-t（vA，vB，δ）：=Gth类tvA+（hBtLB+sA，mt）δ+αAt+（hBtLB- hAtLA）（δEt）+λhBtUBvB- LBKt（δ+（δEt）+）+ λUB（vB+LAKt（δEt）+）,g+t（vA，vB，δ）：=Gth类tvA+（hAtLA+sA，mt）δ+αAt+（hBtLB- hAtLA）（δEt）-+ λhAtUBvB- 10万吨（δ- （δEt）-)+ λhBtUB（vB- LBKt（δEt）-).因此，假设hiLi>0，i∈ {A，B}，Ii，i∈ {-, +}, 可以显式表示为BI-t（vA，vB）=- （δEt）++vBKtLB+γBKtLBlnGt【hBtLB+sA，mt】+sA，mtItGtλγBKthBtLB,（C.15）bI+t（vA，vB）=（δEt）-+vBKtLA+γbktlanGt【hAtLA+sA，mt】+sA，mtItGtλγBktathla.（C.16）定理C.1由下一个引理完成。这个证明类似于引理3.2的证明，所以我们省略了它。引理C.2。设A=R。假设δE，E，Z，πi，i∈ {A，B}，是有界的。此外，assumehiLi∈ 赫坦德（G+I）sA，姆希利，I∈ {A，B}，（C.17）是有界的。Thenbδ（￠vA，vB）∈ D、 双边合同的风险分担框架25与（3.14）和（3.15）不同，bδ（vA，vB）取决于Ha和hB。如上所述，这种依赖性是由sA的资金影响引起的，m，通过设置sA，m=0，（C.15）-（C.15）减少为-t（vA，vB）=- （δEt）++vBKtLB-ln（λγBKt）γBKtLB，（C.18）bI+t（vA，vB）=（δEt）-+vBKtLA-ln（λγBKt）γBKtLA。（C.19）此外，我们可以得出与第3.1节相似的解释。此外，在下面的内容中，我们假设所有参数都是常数，默认时间与F无关，即i=0。完全附带约定可以说δ*= v- c*= 0和δE=0，dP dt-a.s.因此，对于任何t，Ii=0≤ T根据（C.15）和（C.16），完全抵押要求-γB（sA- sB）t=γBlnλγBhiLihiLi+sA，m, 我∈ {A，B}，dP dt公司- a、 特别是s.（C.20），（vBt- （南非）- sB）t/γB）t≥0应为常量。

因此，（C.20）意味着φB=πB+B=0，即三角洲对冲，以及-sBKv+φB∧Bt- BbB公司-南非- sBγB=0，dP dt公司- a、 s.（C.21）考虑一个合同，使得Z 6=0，因此v 6=0和B6=0。由于（C.21）应适用于所有合同，因此Z 6=0，（C.21）意味着sB=bB=sA- sB=0。等效地，通过（2.12），（2.28），sB=sA=sA，m=0。因此，保证金要求基于代理B的资金影响和增量对冲的假设。由于我们认为代理A是风险中性的，因此未得出代理A的混合策略的任何属性。附录D引理的证明。Lemma 2.6的证明。（i） 是从定义中得出的，而（ii）是从（i）中直接得出的。对于（iii），请注意-1台+RtB-1SDSIS an（Q，F）-局部martinga le。因此，通过（局部）鞅表示性质，存在Z∈ H2、dT、LOC，对于任何t≥ 0，B-1台+ZtB-1sds=ZtZsdWQs，其中wqi是Q下的布朗运动，即WQt=Wt+Rt∧sds。因此，（et）t≥0遵循SDE：det=rtetdt+BtZtdWQt- 滴滴涕=rtet+BtZt∧tdt+BtZtdWt- 滴滴涕。（D.1）由（iii），（et）t≥0是一个F适应的cádlág过程，但τ避免了F停止时间。因此eτ=0几乎可以肯定，相当于eτ-= 引理的eτa.s.证明3.2。让我∈ {A，B}和ψ（x）：=C的ECxf∈ R、 必须表明，对于任何C∈ R、 ψ（X），ψ（vi）在ST中。注意v=（BA）-1e以（2.26）和（2.27）为界，iandφi也有界。表示αA：=φA∧A+AbA+sAvαB：=φB∧B- BbB公司- KsBv，26 J.LEE，S.STURM，C.Zhou我们可以写出dvit=αitdt+φitdWt。将It^o公式应用于ψ（vi），dψ（vit）=Cαit+（Cφit）/2ψ（vit）dt+Cφitψ（vit）dWt。（D.2）根据假设，（D.2）中的系数是一致的Lipsitch连续的。因此，存在（D.2）的唯一解决方案，即≤T |ψ（vit）| i<∞.尤其是Ui（vi）∈ 所以我们在可积条件（2.37）下得到了bta。类似地，可以得到ψ（X）∈ 圣。