双边合同的风险分担框架

有关详细信息，请参见[32]中的命题5.8，并参考[42]。为了简化本文，我们在主要章节中处理（2.2 2）的案例。对于风险中性代理人的情况，我们在附录C中报告了分析。因此，除了附录C假设2.12外，以下各节均包含以下假设。（i） sA，m=sB，m=0，（ii）UA（x）=-e-γax和UB（x）=-e-γBx。在下一节中，我们以简化形式表示（2.20），并对容许集进行更精确的定义。（2.20）是一类委托代理问题。这一问题通常被称为典型的委托人背景下的第一种情况。一般来说，解决主要代理问题是一个挑战，因为相关方程（例如耦合的FBSDE）的可解性不容易获得。双边合同的风险分担框架11由于我们也遇到类似的困难和非凹面，我们需要修改问题的动态版本，并根据公用设施施加一些限制。我们将在第3.2.4节中详细说明这一点。减少过滤。本节首先介绍一长串符号。本文中经常使用以下符号。对于i∈ {A，B}，t∈ [0，T]，？增值税：=（BAt）-1（增值税- et公司∧？τ），？VBt：=（BBt）-1（VBt+et∧\'（τ），（2.23）vt：=（BAt）-1et，ct：=（BAt）-1mt，（2.24）δt：=vt- ct，Kt：=BAt（BBt）-1，（2.25）πit：=（位）-1ηi，St⊙ Stσt，it：=Bt（位）-1Zt，（2.26）’φAt：=πAt- 在，’φBt：=πBt+Bt，（2.27）σt∧it：=（ut- Rit1），位：=λit- ∧t，（2.28）Θt（δ）：=1τA=tLAδ+- 1τB=tLBδ-.（2.29）我们对上述符号进行了一些评论。备注2.13。根据（2.23），\'Vi，i∈ {A，B}是（折扣）调整过程。通过（2.24），v是贴现市场敞口，c是贴现单边，通过（2.25），δ是两个过程之间的差异。注意δ=v- c=0表示完全校对。

通过（2.26），i、 我∈ {A，B}，是由各方的融资率调整的市场扩张的增量风险。乘以（2.27），’φi，i∈ {A，B}，是投资于风险资产的金额与净价格的delta风险之间的差异，即“φ”可以被视为对冲误差。如果代理行B没有对冲市场风险，我们有φB=B、 请注意，如果bi=0，则Ri=r，by（2.28）。我们将找到“Vionto F”的预测，然后我们将主要通过简化流程来处理风险分担问题。对于任何i∈ {A，B}，我们让φide注意到‘φiuntil’τ的F-可预测缩减。即φi，i∈ {A，B}，是F-pre可指令的和t≤？τ？φit=1t≤\'τφit。根据It^o的公式和（2.24），v满意度，对于t∈ [0，T]，dvt=- sAtvt+在∧t时dt+AtdWt公司- （BAt）-1dDt。请注意，v是外源性给定的。因此，如果Ri，i∈ {A，B}，与定义的Viand'Viarewell独立，然后Viare也由（2.23）定义。定理2.14。假设si，si，m，i∈ {A，B}，有界且xi∈{A，B}ZT|δt |+|∧it |+|φit |+|位|+|it部门|dt<∞, a、 然后，很好地定义了以下过程Va和vB：dvAt=φAt∧At+AtbAt+sAtvtdt+φAtdWt，（2.30）dvBt=φBt∧Bt- BtbBt公司- sBtKtvtdt+φBtdWt。（2.31）此外，假设Ri，i∈ {A，B}，与Vi无关，且va=νA+p，vB=νB- p、 那么vi，i∈ {A，B}，是'Viuntil'τ的F-可选约化，即vi，i∈ {H，C}，是F-可选的，对于任何t≥ 0.12 J.LEE，S.STURM，C.ZHOUProof。检查第一个分区很容易。

为了检查第二部分，我们将其公式应用于（BAt）-1瓦特和这个庄园（BAt）-1增值税= - 大鼠（BAt）-1VAtdt+（BAt）-1dVAt=1t≤“∧Atdt+1t时的τπ”≤\'τπAtdWt- （BAt）-1 CT。此外，通过（2.8）和vτ=vτ-, a、 s，（BAt）-1dCt=1t≤τ（BAt）-1dDt+d（1τ≤t） vτ-- d（1τ≤t） Θτ（Δτ-).（2.32）然后，通过组合（2.32）和（2.33），我们得到了“VAt=d”（BAt）-1（增值税）- 及物动词∧τ=1吨≤τsAtvt+(R)φAt∧At+阿特巴特dt+1t≤？τ？φAtdWt- 1t>τ（BAt）-1dDt- d（1τ≤t）vτ-- Θτ(δτ -).（2.33）之后是Dt<τ？增值税=(R)增值税-d（1t<τ）+1t≤“τd”增值税- δ′τ（dt）\'VA\'τ=\'VA\'τ-d（1t<τ）+1t≤τsAtvt+(R)φAt∧At+阿特巴特dt+1t≤？τ？φAtdWt- d（1吨≥τ)vτ-- Θτ(δτ -)- δ′τ（dt）“VA”τ=1t≤？τdvAt- d（1吨≥？τ）？VA？τ- d（1吨≥τ)vτ-- Θτ(δτ -).让Yt：=1t<τvAt+1t≥\'τ（vAτ）-- vτ-+ Θτ(δτ -)). 同样，根据It^o的公式和vτ=vτ-,a、 s，dYt=1t≤？τdvAt- d（1’τ≤t） 增值税-+ d（1’τ≤t）vAτ-- vτ-+ Θτ(δτ -=1吨≤？τdvAt- d（1’τ≤t）vτ-- Θτ(δτ -).因此，如果Y=(R)VA，则对于任何t，我们获得Y=(R)VAt∈ [0，T]。此外，VAI精确地表示“Va和mo”的F-可选还原，“VAt=1t<”τVAt+1t≥\'τ（vAτ）-- vτ-+ Θτ(δτ -)).（2.34）同样，我们可以得到“VBt=1t<”τVBt+1t≥\'τ（vBτ）-+ Kτ-vτ-- Kτ-Θτ(δτ -)).（2.35）注意，由于e是外源性的，所以m的控制与δ的控制是等效的。因此，我们根据δ求解（2.20）：Vi，p，m=Vi，p，δ。此外，我们表示c*:= （BA）-1米*和δ*:= v- c*.现在，我们准备减少风险分担问题。回想一下（2.20），我们的目标是最大化所有贴现投资组合的效用之和（p，δ）∈ A： 鄂华（BA？τ）-1VA，p，δ′τ+ λUB（BB？τ）-1VB，p，δ′τi、 （2.36）双边合同的风险分担框架13为此，我们将（2.36）中的两个术语表示为简化形式。

实际上，通过引理A.1，其中可积性条件成立（BA？τ）-1VA，p，δ′τi=鄂华T<τvA，pT+1τ≤T（vA，pτ-+ Θδτ)i=EGTUA（vA，pT）+ZTGthhAtUAvA，pt+LAδ+t+ hBtUA公司弗吉尼亚州，pt- LBδ-t型idt公司,安德赫布（BB？τ）-1VB，p，δ′τi=EhUBT<τvB，pT+1τ≤T（vB，pτ-- Kτδτ）i=EGTUB（vB，pT）+ZTGthhAtUBvB，pt- 10万吨δ++ hBtUB公司vB、pt+LBKtδ-t型idti。我们确定gt：=1δ≥0g+t+1δ<0g-t、 式中，g+t（vA，vB，δ）：=GthhAtUA（vA+LAδ）+λUB（vB- 10万吨δ）+ hBt公司UA（vA）+λUB（vB）ig公司-t（vA，vB，δ）：=GthhBtUA（vA+LBδ）+λUB（vB- LBKtδ）+ 帽子UA（vA）+λUB（vB）i、 为了使上述约化有效，我们假设以下整数条件：Xi∈{A，B}|Ui（viT）|+ZT | Ui（viT）| dt< ∞,（2.37）并且我们定义了给定Borel集a的容许坐标集D R如下：定义2.15。δ ∈ D、 如果δ∈ HTand（i）δ∈ A、 dP dt公司- a、 s，（ii）ERT公司gt（vA、pt、vB、pt、δt）dt公司< ∞.然后，风险分担问题可以重写为asmax（p，δ）∈AEGTUA（vA，pT）+λGTUB（vB，pT）+ZTgt（vA，pT，vB，pT，δt）dt,（2.38）式中，A=R×D和vi，i∈ {A，B}，在（2.23）-（2.2 8）、（2.30）和（2.31）中定义。注意，由于我们假设sA，m=sB，m=0，所以vidoes不依赖于δ。当代理A为风险中性时，我们只需要sB，m=0，在这种情况下，D应以稍微不同的方式定义。我们将在附录C备注2.16中对此进行详细讨论。（i） 风险分担框架可以看作是一个双主体问题。由于没有一方可以单独决定合同，我们的风险分担问题的数学结构不同于典型的委托代理问题。例如，对于代理行A而言，无论是从融资影响还是违约损失的角度来看，向代理行B提供抵押品都没有好处。比方说，我们认为A是代理人，B是委托人。然后，如果我们首先解决代理问题，例如，如[30]中所述，它总是给出平凡的解决方案δ*= v- c*= ∞.14 J.LEE，S.STURM，C。

ZHOU（ii）人们可能希望在[31]中采用随机变分法。然而，请注意，g是δ中的分段凹形。即使g是凹的，它也可能是不可区分的。因此，如果我们采用随机变分法，我们将面临一个非常具有挑战性的FBSDE，其漂移（正向）SDE的不连续系数。【26】处理了一个类似的案件。然而，在我们的例子中，我们遇到了具有退化波动率和无界系数的多维FBSDE。这种FBSDE的可解性超出了本文的范围，我们将其留作将来的研究。相反，在本文中，我们对提供抵押品的融资成本/收益施加了一些条件，即si、m、i∈ {A，B}，取决于实用程序，并使用验证参数。3、最佳抵押品。在这一节中，我们利用鞅最优性原理来刻画风险分担问题中的最优协整。然后，我们通过验证证明，具有特征的抵押品确实是最佳解决方案。首先，我们只解决了变动幅度δ的问题，初始价格p固定∈ R： 最大δ∈判定元件GTUA（vA，p，δT）+λGTUB（vB，p，δT）+ZTgt（vA，p，δT，vB，p，δT，δT）dt.（3.1）那么，协议成本p*将在给定的最佳变化裕度δ下找到*. 然而，主要是由于Remark 2.16中所述问题的非凹性，我们需要对提供特征化抵押品的资金施加一些限制。回想一下，我们考虑了两种情况：风险中性代理人a和风险规避代理人B使用小杠杆投资其资本，使sB，m=0，以及两个风险规避方sB，m=sA，m=0。如前所述，风险中性代理的数学分析推迟到附录C。在下文中，我们首先为两种情况推导出最佳抵押品，然后再给出财务解释。

最显著的两个特征是对违约强度的弱依赖性以及与全额保证金要求的关系。关于最优抵押品与保证金要求之间关系的讨论是本文的一个重要部分。该融资条件对于确定p不必要*如果δ不是控制变量，例如，对于某些δ，a={δ}∈ R、 我们定义了（2.38）的动态版本，并使用鞅最优性原则（MOP），如【39】所示。为此，我们定义了一组与给定ε一致的控制∈ D到特定时间t≤ T我们用D（t，ε）表示集合，即ε∈ D、 D（t，ε）：=δ ∈ Dδ.∧t=ε·∧t型. 现在，定义（3.1）asJεt（p）的动态版本：=ess supδ∈D（t，ε）EGTUA（vA，pT）+λGTUB（vB，pT）+ZTtgs（vA，ps，vB，ps，εs）ds英尺.（3.2）然后利用鞅最优性原理对最优抵押品进行了刻画。通过MOP，（Jεt）0≤t型≤它被选为cádlág版本，因此对于任何ε∈ D、 nJεt+Ztgs（vAs、vBs、εs）dso0≤t型≤Tis a（P，F）-支持。此外，对于最佳抵押品δ*对于J，nJδ*t+Ztgs（vAs、vBs、δ*s） ds dso0≤t型≤这是a（P，F）-鞅。当可接受性得到保证时，可通过验证找到（3.1）的解决方案。在继续之前，为了通过一个随机过程来表示最佳对照品，我们定义了一个过程（Xt）t≥0使UA（Xt）：=UA（增值税）-乌兰巴托vBt公司- vB= -经验值- γA大桶-γBγA（vBt- vB）.（3.3）双边合同的风险分担框架15即Xt=增值税- （γB/γA）（vBt- vB）。更精确地说，X由xt=vA+Zthstvt+φAt∧At给出-γBγAφBt∧Bt+AtbAt+γBγABtbBtids+ZtφsdWs，（3.4）然后，（3.1）将表示为w.r.t X，其中φt：=φAt- （γB/γA）φbt和st：=sAt+（γB/γA）sBtKt。定理3.1。假设可积性条件（2.37）成立。

定义δ*t（p，x）：=arg maxδ∈A.UA（x）ψAt（δ）+λUB（vB，p）ψBt（δ）,（3.5）ψAt（δ）：=- hAtUA（LAδ+）- hBtUA公司(-LBδ-),（3.6）ψBt（δ）：=- 哈图布(-10万吨δ+）- hBtUB（LBKtδ-).（3.7）如果δ*（p，X）∈ D、 然后δ*（p，X）是（3.1）的溶液。此外，J=EβTUA（XT）+λUB（νB- p）+ZT^ft（p，Xt）dt,（3.8）式中，βt：=-GtUB公司vBt公司- vB和^ft（p，x）：=βtUA（x）ψAt（δ*t（p，x））+λUB（νB- p） ψBt（δ*t（p，x））.（3.9）证明。对于ε∈ D、 定义ξεt：=Jt+Rtgs（vAs、vBs、εs）ds。注意，jt独立于ε∈ D乘以（3.6）和（3.7），-GtUB（vBt- vB）-1gt（vAt，vBt，εt）=UA（Xt）ψAt（εt）+λUB（vB）ψBt（εt）。因此，对于任何ε∈ D、 ξε- ξδ*（p，X）是（p，F）-上鞅。此外，对于任何∈ 判定元件ξT- ξδ*（p，X）T≤ Eξ- ξδ*（p，X）= 因此，当δ的容许性*（p，X）是保证的。找到δ的m的显式表达式*（p，X），我们考虑A=R，并将（3.5）表示为δ*t（p，x）：=arg maxδ∈A.δ<0f-（t，p，x，δ）+1δ≥0f+（t，p，x，δ）,对于某些函数f-, f+。那么，菲，我∈ {-, +} δ是连续可微的，对于任何（t，p，x），存在Iit（p，x），因此δfi（t，p，x，Iit（p，x））=0。（3.11）然后，δ*（p，X）可在I处获得-, I+，和零。我们可以很容易地看到-（t，p，x，δ）：=hBtUA（x+LBδ）+λUB（νB- p- LBKtδ）+ 帽子UA（x）+λUB（νB- p）,（3.12）f+（t，p，x，δ）：=hAtUA（x+LAδ）+λUB（νB- p- 10万吨δ）+ hBt公司UA（x）+λUB（νB- p- LBKt）.（3.13）16 J.LEE，S.STURM，C.Zhou因此，我们得出-t（p，x）：=γBνB- γBp- γAx- 自然对数λKtγBγALB（γBKt+γA），（3.14）I+t（p，x）：=γBνB- γBp- γAx- 自然对数λKtγBγALA（γBKt+γA）。（3.15）δ的精确形式*可以通过表征区域nmaxrf获得-> maxRf+o。该区域的计算是一个简单但繁琐的过程；参见，例如，【24】。我们只获得了一个简单案例的确切形式，稍后将看到。我们用下一个引理完成定理3.1。证明见附录D引理3.2。设A=R，并假设（et）t≥0，（Zt）t≥0，（πit）t≥0，i∈ {A，B}，是有界的。

然后δ*（p，X）∈ D和（2.37）保持。示例3.3。考虑对冲delta风险的Ag e nt A和不对冲e的代理B，即πA=A、 πB=0。他们签订了由代理人a支付的债券合同，即D=1JT，∞K、 我们假设OIS率（rt）t≥0在下一个SDE之后：drt=k（θ- rt）dt+ρ√rtdWQt，对于某些k，θ，ρ∈ R和风险中性度量Q。此外，我们假设hi，i∈ {A，B}，有界且sB=sB，m=0。然后，根据Clark-Ocone公式，对于t≥ 0，Zt=- ρ√rtA（t，t）B-1et，其中et=A（t，t）e-rtA（t，t），A（t，t）：=2ae（a+k）（T-t） /22a+（a+k）（ea（t-t）- 1)2kθ/ρ，A（t，t）：=2（ea（t-t）- 1） 2a+（a+k）（ea（T-t）- 1） ，a：=pk+2ρ。由于r>0，Z是有界的。因此，表3.2中的所有条件都已满足。现在，我们准备讨论最佳抵押品的财务解释。在下一节中，将讨论（3.14）-（3.15）的财务含义以及与保证金要求的关系。3.1. 抵押品分析。在本节中，我们提供了对之前案例中得出的最佳抵押品的财务解释。已为违约风险过账抵押品。在我们的模型中，违约风险有两个主要组成部分：强度和损失率。我们首先讨论了最佳抵押品和违约强度之间的弱依赖性。我们首先给出δ的显式形式*在下面的引理中。我们在附录D.双边合同风险分担框架17引理3.4中提供了证明。假设A=R，则δ*t（p，x）由δ给出*t（p，x）=（0∨ I+t（p，x））+（0∧ 我-t（p，x）），其中（3.16）I-t（p，x）：=-γAx- γBpLB（γBKt+γA）+γBνB- 自然对数λKtγBγALB（γBKt+γA），（3.17）I+t（p，x）：=-γAx- γBpLA（γBKt+γA）+γBνB- 自然对数λKtγBγALA（γBKt+γA）。（3.18）从（3.16）-（3.18）中注意到，最佳抵押品仅取决于损失率，而不是违约强度，这是一个相当自然的结果。

违约损失需要抵押品，而不是债务本身。换句话说，抵押品是指违约会造成多少损失，而不是违约发生的可能性。回忆δ*= v- c*观察（3.17）和（3.18），最佳变化幅度c的大小*随着Li，i的增加∈ {A，B}，增加。我们将更详细地讨论损失率的影响。乘以（3.16），当δ*（p，X）≤ 0，I-（p，X）=δ*（p，X）。在这种情况下，随着Lb的增加，c*= v-δ*（p，X）减少S，因为过账给代理行B的抵押品平均损失增加。另一方面，当δ*（p，X）≥ 0，最佳抵押品c*= v- δ*（p，X），与LBand无关，增加w.r.t LA。同样，这是因为高损失率使得代理人B向代理人A提供抵押品l具有风险。与p和λ的关系是不言而喻的。如果合同开始时向代理行a提供较高的价格p，则代理行a需要在合同开始时提供更多的抵押品。此外，λ越高，即代理人B的议价能力越强，代理人A应提供的抵押品越多。此外，召回Xt=增值税-（γB/γA）（vBt-（3.16）似乎表明，最佳抵押比率应由各方的相对表现决定。这在实践中并不明显适用。然而，我们可以使用X从巴塞尔协议III的全额保证金要求中得出一个有趣的解释，这将在下一节中讨论。备注3.5。从（3.16）-（3.1 8），抵押品的主要因素是损失率。在实践中，无论实体是什么，损失率通常都选择为0.6。我们的模型与损失率实践相结合，部分解释了适用于所有银行的保证金要求。3.2. 全利润要求分析。

在本节中，我们解释了巴塞尔协议III要求的经销商间市场约定背后的含义。可以理解，经销商间约定是δ*（p，X）=0。根据（3.14）和（3.15），全裕度约定要求Hattxt+γA（sA- sB）t=γBγA（νB- p）-γAlnλγBγA, 数据处理 dt公司- a、 s.（3.19）因此，由于{Xt+（γa）-1Rt（sAs-sBs）ds}t≥0应为常数，φ=0是必要的。如果两方的对冲策略是相互独立选择的，则通过（3.4），φ=0可能意味着φA=φB=0。因此πA=A和πB=-B、 换言之，双方应规避市场敞口的三角洲风险。此外，为了获得（3.4），这个常量条件意味着sA+γBγAsBKtv+AbA+γBγABbB+sA- sBγA=0，dP dt公司- a、 s.（3.20）表示（3.20）以任意方式保持A和B、 我们应该让sA=sB=0。因此，要使市场交易达到最佳状态，以下两个条件是必要的：o两个代理对冲净价的增量风险，o融资利差不会转移给各方。18 J.LEE，S.STURM，C.Zhou第二项似乎是预期结果，因为条件δ*= 0固有地考虑了两方，其利润是对称的。如果一个人可以通过利润率过程获利或弥补亏损，δ*= 0可能不是最佳值。是否应从交易对手处收回融资利差以及如何处理会计问题仍在争论中；例如，参见[36、37、25、5、2]。事实上，在无摩擦的市场中，融资的选择与MM理论中的定价是分离的。然而，由于摩擦性困境成本，股东的决定可能取决于资金的选择。在这种情况下，需求中的边际不再是最优的。