一般强度部分信息下的最优做市

为了以具体的方式简化我们的发现，同时尽可能保持陈述的简单，我们将在本节中假设：oMM的风险规避参数γ=0。o只有两种可能的状态：状态1代表客户低流动性的“坏”制度，状态2代表高流动性的“好”制度过渡速率矩阵Q是常数强度是对称的、成比例的和指数的，即∧±（δ）=∧（δ）=ae-bδ和∧±（δ）=∧（δ）=m∧（δ），其中a，b>0，m>1。后一种假设允许我们以分析的方式执行方程（3.1.5）中的优化。实际上，比例强度意味着，虽然GoodScheme上的交易更加活跃，但客户对利差变动的反应方式仍然没有受到影响。Asin【CJ15】，我们将考虑三种类型的惩罚来管理库存风险：对最大多头和空头头寸的限制、累计库存惩罚和MM的二次（可能可以忽略不计）终端惩罚（或成本）。也就是说，oN*< +∞, ζ ≥ 0和`（n）=cn，对于某些c≥ 让我们写出π：=π，对于给定可观测信息的处于坏状态的条件概率。请注意，在本节中，π是一个标量，因为π=1- π忽略了附加变量的需要。

点（t，n，π）处的PIDE（3.1.5）读数为：0=θt+un-σnζ+2^q（π）θπ+ab^m（π）{n<n*}e-bcδ-+{n>-N*}e-bcδ+, （5.0.1）终端条件θ（T，n，π）=-cδ±（t，n，π）=b给出的cN和部分信息最优价差- 2w（π）^m（π）θπ（t，n，π）-θ（t，n 1，π/^m（π））- θ（t，n，π）, 式中：（5.0.2）（i）^q（π）=qπ+q（1- π） 是可观察到的向不良状态过渡的速率。（ii）^m（π）=π+（1- π） m是不良状态下可观察到的强度增加（作为比率）。（iii）w（π）=（m）- 1)π(1 - π） 是从不良状态增加的百分比强度的平方根的可观察方差；i、 e.，一种可观察到的订单流量波动率的度量。前面的方程对δ有效* 0 δ*, 或者更准确地说，对于δ*, δ*这样δ*≤cδ±≤ δ*适用于整个领域。否则，需要对最优利差进行调整和封顶，并相应地改变哈密顿量，如命题4.5.2所述。求解（5.0.1）的简单实现的有限差分格式包括反转时间，并在（t，π）和n=-N*, -N*+1.N*. θ（t，n）形式的项 1，π/^m（π）），其中π/^m（π）通常会超出网格，可以通过线性插值进行近似，如DF14所示。极限方程可用于π→ 0+和π→ 1.-前提是-q> 0，我们从此假设。在适当的CFL条件下，该方案可以证明是一致的、稳定的和单调的。根据满足比较原则的方程（3.1.5）（参见[CEFS16a，Thm.5.3]以及在定理3.1.4的证明中为什么它适用于我们的模型），我们知道该方案收敛于唯一的连续粘度解[BS91]，并且我们可以恢复MM的预期惩罚dp&L（定理3.1.1和3.1.4）。

MMI遵循的最佳策略，然后以反馈形式给出cδ-（t，Nt-, ∏t-),cδ+（t，Nt-, ∏t-).如前所述，从技术上讲，这些都是最佳（或-最优）策略。我们在这里并没有严格证明它们的最优性特征，只是注意到离散时间动态规划的众所周知的结果，以及（5.0.1）的离散解与解析解的收敛性，表明它们可以安全地使用。我们将把注意力集中在最优的ask价差上，并对出价价差进行类似的观察。表1中的参数值用于本节中介绍的所有实验。对于经典的单区模型中存在的那些，我们选择了之前工作中使用的值（在γ=0的情况下[CJ15]），以使比较更加清楚。具体而言，c值将取0或0.01，在每个实验中进一步规定。时间范围将始终是相应轴上显示的时间范围。

请注意，我们的工作是在对称市场中进行的，它只分析了一面。参数uσζa b N*m级-q=q-δ*= δ*数值0.1 0.1 2 5表1：给出的数值试验的静态参数值。5.1比较全部和部分信息最优策略根据本节的现有假设，函数|θ的全部信息方程（4.1.3）变为：0=|θt+un-σnζ+~qiθ（t，n，1）-θ（t，n，2）+abmi{n<n*}e-bfδ-+{n>-N*}e-bfδ+,（5.1.1）终端条件|θ（T，n，i）=-Cn和由fδ±（t，n，i）=b给出的全信息最优价差-θ（t，n 1，i）-θ（t，n，i）, 式中：（5.1.2）（i）~qi=q{1}（i）+q{2}（i）是向不良状态的有效过渡率。（ii）~mi={1}（i）+{2}（i）m是不良状态下的有效强度增加（作为比率）。前面的方程对δ有效* 0 δ*, 就像部分信息的情况一样。虽然类似，但坏状态i=1（分别为好状态i=2）的方程式（5.1.1）不是π的（5.0.1）极限方程式→ 1.-（分别为π→ 0+). 事实上，一个拥有完整信息的MM可以期望获得更大的利润。因此，一般来说，即使在这些极端情况下，θ>θ。然而，如图1和图2所示，相应的最优策略确实（至少大致）一致。图1显示了不同库存水平（实线）下部分信息下的最优ask价差随时间的变化。它还显示了不同过滤器值（从左到右π=0、0.6和1）的变化情况，以及它与良好区域（左）和不良区域（右）中完整信息（虚线）下的最佳ask扩散的比较情况。在所有情况下，库存水平都从上到下增加，并且忽略了终端执行成本（c=0）。

我们选择显示π=0.6，因为过滤器的效果在该值周围更加明显；它会产生一个最佳的价差，即 T，比完全信息下的相应值高6%-30%（取决于库存水平）（实践中存在较大差异）。我们将在第5.2节中回到这一点。所有其他值显示类似的中间行为。回想一下，当库存达到最小值=-N*= -3、MM在库存再次增加之前不会再出售（要么放弃报价，要么给出“存根”报价），这就是为什么没有为此头寸绘制价差的原因。我们看到，在完全和部分信息下，一个区域模型中已经存在的一些特征在两个区域中都得到了保留；也就是说：我们的数字发现确实与这一直观的说法一致。图1：在全部和部分信息（虚线和实线分别）下，作为时间函数的最佳ask扩散，以及不同的库存和过滤价值。在所有情况下，库存水平都会自上而下增加。忽略终端执行成本（c=0）。o对于t T价差不依赖于时间（近似），其渐近值随着库存减少到较低的约束n=-N*. 事实上，对于流动头寸或空头头寸，任何额外的询价订单都会增加库存风险，使其更接近允许的最低水平，并提高累计库存罚款。货币市场部通过增加价差来管理这一风险，从而要求更高的即时利润，并降低被执行的可能性。同样地，对于多头头寸，风险敞口越高，价差越低，因为MM寻求平仓在终端成本可以忽略的情况下，价差收敛到与库存无关的终端价值。

这是完全风险中性MM的最佳利差，成本可以忽略不计（推论4.5.3），它只会最大化“预期瞬时利润”。（该值由Cδ+（T，·，·）=1/b给出，即流动性对价差变化的倒数百分比敏感性；参见提案4.5.2）。原因是，随着时间范围的临近，MM再次执行的可能性越来越小。t和t之间累积的惩罚消失，达到库存约束的风险降低。因此，MM承担了更大的风险，最后一次尝试通过增加执行概率（零头寸或空头头寸）或增加执行时的瞬时收益（多头头寸）来增加预期损益。然而，可以观察到以下差异：o在完全信息下（对于对称市场），相对于风险中性值，库存中的利差始终是对称的，即1/b-fδ+（·，n，·）=fδ+（·，1-n、 ·）-1/b，对于0<n≤ N*. 然而，在部分信息下，随着MMI传播的增加，这种对称性被打破。事实上，这适用于任何0<π<1的情况，通过方程式（5.0.2）和（5.1.2）的比较可以得出这一结论，因为θπ<0（处于不良状态的概率增加会降低预期的损益；请参见[BL09，引理3.3]的论点）。因此，当确切的制度未知时，完整的信息传播会向下倾斜。粗略地说，这种偏差大约与θπ（预期损益对可观察状态变化的敏感性）和w（π）（可观察有序流动波动率）的乘积成正比，与可观察强度增加^m（π）成反比。直觉上，一个部分知情的MM不仅面临着市场机制转变的风险，而且还面临着当前状态的不确定性，因此必须相应地增加利差。

这是通过考虑损益和订单流量中的流量的任何可见变化的成本，以及流动性增加的贴现来实现的好的和坏的制度在参考价格的订单流动率上有所不同（即订单强度的振幅参数a和am）。因此，有人认为部分信息策略本质上应该是一些中间参数的一种区域策略，例如a^m（π）。然而，在完整的信息框架中，客户流动性的增加会导致渐进利差（即，对于t T）接近风险中性值（见[CJ15，GLFT13]）。另一方面，在部分信息的情况下，这不再是事实，因为之前提到的regimerisk调整改变了利差最后，我们注意到，在接近到期时，行为发生了显著变化，在再次接近GIT之前，一些存货的展期超过了风险中性值。直觉上，超调是由于增加了制度风险调整，而收敛是由于额外库存风险的消失。（回想一下，theMM的主要担忧是她的终端对冲成本，如果有，这并不取决于市场机制。）不对称市场中的信息不足也会产生类似的影响【CJ15】。图2与图1进行了相同的比较，但在本例中包括了终端执行成本。观察结果基本上保持不变，除了息差的最终行为发生了变化，就像经典的单一制度案例一样。在这里，利差偏离了风险中性的无成本价值，而不是接近它，因为MM在最后一刻试图降低她的对冲成本。

我们注意到，在这两个例子中，较高的惩罚ζ会增加两种制度的完全信息最优利差之间的差异，但不会从质的角度改变观察结果。图3显示了三种不同库存头寸的部分信息最优ask价差随时间和过滤器的变化：极短（左）、最短（中）和极长（右），且无终端惩罚。我们可以看到，过滤器上的排列是凹的，对于空库存和π，达到最大凹度≈ 0.6，随着位置变短或变长而逐渐减小。我们已经在方程（5.0.2）中观察到，部分信息MM增加了她的利差以管理更高的制度风险，并且这种修正与预期损益敏感性θπ乘以观察到的顺序波动率w（π）=（m）近似成比例- 1)π(1 - π). 启发性的是，对于风险规避型MM来说，分布的变化应该类似于w（π）的凹度，区域不确定性的成本对于一个浮动头寸来说是最高的（因为偏离它会增加价格敞口）。为什么在π附近达到最大变化的问题≈ 0.6再次适用于第5.2节。图2：在完全和部分信息（虚线和实线分别）下，作为时间函数的最佳ask扩散，以及不同的库存和过滤价值。在所有情况下，库存水平都会自上而下增加。终端执行成本：`（n）=-cn，c=0.01。图3：不同库存水平下，最佳部分信息ask价差随时间和过滤器的变化（不良制度的可观察可能性）。忽略终端执行成本（c=0）。5.2样本路径和对过滤器的仔细观察有不同的方法来模拟具有随机强度的点过程。

一种简单实现的经典方法是所谓的细化方法[Oga81]。该方法特别适合我们的框架，因为它可以通过利用N的可观测强度（见定理3.1.1和[GKM11，Alg.3.2]），与第2节中发展的过滤理论相结合。感兴趣的读者可以参考[LTT18]了解细化范围方面的优化。图4显示了由具有不完全信息的MM的最佳行为产生的四条样本路径。它们是通过联合模拟库存N（中间）从N=0开始，过滤器∏=α，1（底部）从π=0.5开始，以及最优策略α来获得的=cδ-（t，Nt-, ∏t-),cδ+（t，Nt-, ∏t-)（顶部），对于c=0。图4：c=0、n=0和π=0.5的最优部分信息买卖价差（第一）、库存（第二）和过滤（第三）的样本路径。我们想分析∏的行为。让我们回顾一下，根据MM在时间t观察到的信息，∏Tre表示处于不良状态（流动性低的缓慢市场）的可能性。MM根据迄今为止收到的订单（买卖）进行评估，这与查看其库存的演变情况相同。如果我们仔细观察任意两个连续订单之间发生的情况，就会发现有一种模式会重复自身。随着时间的推移，MM没有收到任何订单，她认为市场很可能处于糟糕的状态，因此∏t增加。如果以这种方式经过足够的时间，则∏tgets逐渐接近某个优势“平衡”值，约为0.6。（回想一下，这与我们之前遇到的对利差影响最大的价值相同。）但一旦收到订单，MM就会重新审视自己的可能性，因为进入高流动性的良好体制似乎更有可能。

这就是为什么我们看到∏tJumps在每次交易中向下（即在库存的跳跃时间）。那么π是什么≈ 0.6那么特别？如果我们看一下控制过滤动力学的SDE（2.1.1），它现在的内容是：d∏t=^q（πt）+w（πt）a-te公司-bcδ-t++te-bcδ+tdt+πt-^m∏t-- 1.dN-t+dN+t.（5.2.1）在跳跃之间，∏t卷的每条路径符合一个ODE。如果有足够的时间经过而没有另一个订单到达，我们可以考虑t的渐近行为→ T对于c=0，这导致tod∏tdt≈ ^q（πt）+w（πt）aeβ，β=1或β=2，取决于当前库存水平。这首颂歌的右侧是一条凹抛物线∏t，它有一个负根，另一个是π*, 介于0和1之间。对于表1中的参数值，它是π*≈ β=1时为0.572，或π*≈ β=2时为0.636。因此，π*是过滤器的吸引子（即稳定平衡），这解释了∏t向0.6的趋势以及该值的中心作用。事实上，随着过滤器接近其吸引子之一，MM耗尽了她所拥有的所有信息，在接到另一个订单之前，无法对市场状况进行进一步评估。从某种意义上说，这是她面临最不确定因素的时候，她相应地增加了利差以管理政权风险。命题1.4.1的补充证明。N-, N+是有限变化（FV）过程，没有公共跳跃，因此[N-, N+]=0 Q-a.s。因此，随机指数的乘法[JS02，p.138]和FV过程的指数公式[Br'e81，p.337 T4]得出显式表达式Zα=Zα，-Zα，+，带Zα，±t=expZt1.- ∧±Yu-（δ+u）±udu！于≤电话：N±u6=0∧±Yu-（δ+u）。（A.1.1）则（i）遵循∧±i（δ±）的严格正性和有界性≤ 我≤ k、 asin【Br'e81，p.168 T4】，终端时间T。唯一的区别是，在我们的案例中，N±的Qin强度为{Nt公司-<N*}≤ 1而不是1。