一般强度部分信息下的最优做市

（1.2.2）在该模型中，YT代表时间t的市场机制，是一系列不同因素相互作用的结果，例如市场对资产的情绪以及与其他流动性提供者的不同竞争水平。在做市商的数学文献中，这些影响几乎从未明确建模。为此，很自然地假设Yi不能被只能看到N的MM直接观察到-, N+和W。（正如在使用隐马尔可夫链模型进行过滤和控制时经常假设的那样，MM知道参数k、Q和Y的u，需要在实践中对其进行建模/估计。）我们定义了MM的库存流程nt：=n+n-t型- N+t，（1.2.3）和现金账户流程xδ-,δ+t：=x+ZtSu+δ+udN+u-Zt公司苏- δ-udN-u、 （1.2.4）对于某些固定初始值n∈ Z和x∈ R、 MM在终端时间的偏好由CARA效用函数表示：Uγ（c）=1- e-γcγ，对于c∈ R和γ>0，U=Id。注意fn-,N+=FN和FN-,N+，W=FN，W，自N起-, N+有a.s.无常见跳跃。我们将对强度进行一些非常自然的建模假设。这些将[BL14、Gu\'e17、GL15]中的内容推广到具有多个市场制度的环境中，而不需要对衍生品或甚至平滑性设置任何条件。假设1.2.2（订单强度）。存在函数∧±i：（δ*, δ*) → (0, +∞) 对于i=1，k和N*∈ N∪ {+∞} 具有-N*≤ n≤ N*, 使得：（i）λ±t=λ±，αt=∧±Yt-（δ±t）{Nt公司-<N*}如果α=（δ-, δ+).（ii）∧±iis连续，递减（不一定严格）和limδ→+∞δ{γ=0}∧±i（δ）=0，如果δ*=+∞, 适用于所有1≤ 我≤ k、 符号。为了可读性，我们经常写±tin而不是{Nt公司-<N*}.N*是对MM库存的自我约束（以其符号为准），如【GLFT13】中最初提出的。当N*= ∞ 我们处于一个不受约束的环境中*有效性意味着MM不会在任何时候购买（或出售）-= N*（分别为Nt-= -N*).

在实践中，MM可以通过放弃报价或采用阻止任何交易的超大价差报价（即“存根”或“占位符报价”）来实现这一点。备注1.2.3。最后一个假设特别指出，当息差增长任意大时，强度应降至零。此外，当γ=0时，我们要求它们的解离速度大于1/δ。粗略地说，这表明对于任何γ≥ 0对于“短引号”，MM瞬时裕度的“预期”效用z±i（δ）：=λi（δ）Uγ（δ），应消失。这在实践中是一个合理的假设，因为相反的假设可能会导致不切实际的最优策略，例如不断引用“有限利差”。评论注意，上述强度是可预测的，并且由于任何容许的扩散δ-, δ+有界，λ-, λ+依次有界。因此，N-, N+、N和X是非爆炸性的（例如，参见[Br'e81，p.27 T8]）。此外，对于任何常数λ*> 0，使λ-+ λ+≤ λ*, 很容易看出这一点∈ N、 t型∈ [0，T]和r≥ 0，Eα[| Nt | p]≤ Eα[（n+n-t+N+t）p]≤ Eα[（n+M）p]，Mα| Nt |（r）≤ Mαn+n-t+N+t（r）≤ Mαn+M（r），（1.2.5），其中M~ 泊松（λ*T）和MαRis随机变量R的矩母函数。下面是一些示例，我们将在第4.5节中回顾文献中的标准假设。我们注意到，指数强度、幂律强度和Logistic强度是数学文献中最常用的显式强度，这是出于可压缩性的原因。示例1.2.4。1∧±i（δ）=a±ie-b±iδ，a±i，b±i>0，-∞ ≤ δ*< δ*≤ +∞.2∧±i（δ）=a±i1+c±ieb±iδ，a±i，b±i，c±i>0，-∞ ≤ δ*< δ*≤ +∞.3∧±i（δ）=a±iπ/2+arctan(-b±iδ+c±i）, a±i，b±i>0，c±i∈ R-∞ ≤ δ*< δ*≤ +∞.4.

∧±i（δ）=a±i（b±iδ+c±i）-d±i，a±i，b±i>0，d±i>{γ=0}，c±i∈ R、 maxi公司{-c±i/b±i}<δ*< δ*≤ +∞.为了验证想法，考虑示例1，让我们观察到，如果Y代表MM竞争水平的下降，则a±i（分别为b±i）的值应随着Y的增加而增加（分别为减少）。如果Y代表对资产的积极情绪（或“看涨”）不断增加，情况也是如此。实际上，Y将是这些影响和更多影响的结合。为了简单且不失一般性，我们的模型中只对第一种备选方案进行了形式化（如donein【Gu’e17、GL15、GLFT13】），这反映在允许的实值利差中。我们还可以根据库存的符号允许不同的约束，但我们避免这样做以简化符号。通过可能扩大空间，我们可以考虑一个计数过程Z，它与N没有共同的跳跃-, N+和随机强度λ*- λ-- λ+≥ 0。然后进程Z+N-+ N+是强度为λ的泊松分布*占主导地位的N++N-. 随后立即提出索赔。假设MM可以在时间T以参考价格stmin对冲任何剩余库存，以确定执行成本。忽略0和T之间的折扣，我们考虑了MM所面临的优化问题，MM试图最大化终端惩罚利润和损失（P&L）的预期效用，supδ-,δ+∈AEδ-,δ+“UγXδ-,δ+T+STNT- `（NT）-σζZTNtdt#, （1.2.6）式中：（i）ζ≥ 0.当ζ>0时，我们在模型中加入了连续罚款，正如donein【CJ15】所述，以便MM进一步控制其累积库存风险。这是用ζ加权的SAMEA减去存货按市值计价的方差。（二）`：R→ [0, +∞) 表示最终执行成本，并在[0+∞), 递减(-∞, 0]和`（0）=0。

（实际上通常是凸的。）（iii）如果N*= +∞, 我们设置γ=ζ=0≡ `.对参数的最后一个限制表明，我们将考虑的唯一一种库存可能任意大的情况（无论其标志是什么）是完全风险中性且成本可以忽略不计的情况。风险规避案例更具挑战性，甚至在完整信息案例中也没有得到完整的数学细节处理（见[GLFT13]中的讨论）。（iii）给出的模型在实践中是次要的，然而，它将允许我们进一步了解一般问题和方法，并在几乎没有额外成本的情况下拥有更全面的观点。评论之前在最优做市方面的工作并没有同时考虑惩罚和CARAutility（γ>0），而是分别对待这两个系列的模型【Gu’e17】。除了对统一方法和推广现有模型的明显兴趣外，允许γ>0和ζ>0同时增加了theMM风险管理能力的灵活性。事实上，在[Gu\'e17]中，作者用一个唯一的风险规避参数γ为每个问题推导了一些HJB型ODE系统，然后通过引入一个辅助参数0将它们联系起来≤ξ ≤ γ. 后者随后被解释为仅衡量非执行风险的风险厌恶，并被带入“最优策略”的公式中。然而，这些策略并不是由0<ξ<γ的任何特定优化问题产生的。通过查看单一市场制度下我们模型的完整信息版本（第4节）的方程式，可以立即看到【Gu’e17】中的方程式是通过重新参数化γ=’ξ和ζ=’γ获得的-ξ.

因此，（1.2.6）中的公式特别允许我们为非执行风险规避的任何价值确定[Gu\'e17]中策略的最优性，并在一般情况下区分对不同类型风险的规避。我们可以说，在我们的模型中，γ表示对所有类型风险的厌恶，而βζ用于进一步增加对非执行风险以外的风险的厌恶。1.3跳跃测量了解我们的模型中涉及的跳跃测量和强度核将有助于后续研究。设uN（dt，dz）（或简单的uN）为N的跳跃（或计数）度量（见[Br'e81，p.234]或[JS02，p.69]中的定义）。我们对Yan和这对（Y，N）的跳跃度量使用了类似的符号。这些都是有限的随机度量，因为过程对于任何δ+，δ都是非爆炸的-∈ A（见（1.2.5）），它们允许可预测的强度核（见[Br'e81，p.235D2]）。如果mz（dz）是点z处的狄拉克测度∈ R、 然后，uN，uYandu（Y，N）的（Pα，F）可预测强度核分别由以下公式给出：ηα，Nt（dz）=ηN（Yt-, δ-t、 δ+t，Nt-, dz）=λ-tm（dz）+λ+tm-1（dz）=∧-年初至今-(δ-t） {Nt-<N*}m（dz）+∧+Yt-（δ+t）{-Nt公司-<N*}m级-1（dz），ηYt（dh）=ηY（Yt-, dh）=Xj6=Yt-qYt公司-,jtmj公司-年初至今-（dh）（1.3.1）和ηα，（Y，N）t（dh，dz）=ηα，Nt（dz） m（dh）+ηYt（dh） m（dz）。（1.3.2）我们用“uNα（dt，dz）”、“uYα（dt，dh）和“u（Y，N）α（dt，dh，dz）”表示相应的（F，Pα）补偿测量。评论注意，方程式（1.3.2）是假设Y，N没有公共跳跃的结果（这反过来相当于（1.2.2））。实际上，很容易看出，Y，N有a.s.无共同跳跃当且仅当u（Y，N）（dt，dh，dz）=uN（dt，dz） m（dh）+uY（dt，dh） m（dz），（1.3.3），这意味着（1.3.2）。1.4模型的构建和表征在本节中，我们严格构建并表征了我们的模型。

在一个定义良好的框架中，除了mathematicalinterest之外，本文将在处理过滤和优化问题时使用本文中给出的结果和技术。我们首先在假设下证明模型的存在性（命题1.4.1）。我们通过参考概率（可在[Br'e81，Chpt.VI]中找到其概述）以及特别是点过程的Girsanov定理来构造它。对于以下命题，让我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, F、 F，Q）在通常条件下，F=F，F完成了平凡西格玛代数。我们称Q为参考概率。假设此空间支持二维计数过程（N-, N+（见[Br'e81，第二章]中的定义），维纳过程W和具有有限状态空间{1，…，k}，初始分布u和时间相关生成器矩阵xq=（qijt）1的马尔可夫链Y≤i、 j≤K满足假设1.2.1，使得N-, N+，Y验证（1.2.2）。我们设置N=N--如前所述，假设N±具有强度±t={Nt公司-<N*}, 其中N*∈ N∪{+∞}已给出。Let∧±i：（δ）*, δ*) → R表示i=1，k假设1.2.2（ii）下的be函数，可原谅-∞ ≤ δ*< δ*≤ +∞ 和N*∈ N∪ {+∞} 具有-N*≤ n≤ N*, 定义A如（1.1.1）所示。提案1.4.1。设α=（δ-, δ+) ∈ a并将过程Zα定义为随机指数Zα：=EZ·Λ-于-(δ-u）- 1.dN-u--udu+∧+余-（δ+u）- 1.dN+u-+udu. 然后，（i）Zα是严格正一致可积（F，Q）-鞅。特别地，等式[ZαT]=1。（ii）由dpαdQ=Zα定义的Pα是一个等效的概率度量，对于（F，Pα），N±isa计数过程的强度λ±t=∧±Yt-（δ±t）±t，W是维纳过程，Y是状态空间{1。

，k}，初始分布u和生成矩阵Q.（即，假设1.2.1、1.2.2和（1.2.2）均已验证。）这样一个更简单的模型可以构造为正则空间的乘积，并且存在计数过程，其强度在[JP82、Thm.24和Cor.31]中得到了证明。从独立的泊松测度开始，有限维结果与一维结果具有相同的证明。证据参见附录A。反过来，假设我们从一系列过滤概率空间开始{(Ohm, F、 F=（英尺）0≤t型≤T、 Pα）}α∈第1.1节中的Aas，支持计数过程（N-, N+）和满足条件（1.2.2）的马尔可夫链Y，以及维纳过程W。还假设Yhas有限状态空间{1，…，k}，初始分布u和时间相关的生成器矩阵Q，并且我们的假设1.2.1和1.2.2已经到位。我们设置N=N-- N+与之前一样。我们希望通过测量值的反向变化，根据命题1.4.1中的参考概率来描述任何此类模型。然而，我们只要求FN上引用概率的唯一性。我们将在续集中回到这个结果。提案1.4.2。设α=（δ-, δ+) ∈ A和定义Zα：=EZ·1/Λ-于-(δ-u）- 1.dN-u- λ-udu+1/λ+Yu-（δ+u）- 1.dN+u- λ+udu. 那么，（i）Zα是严格正一致可积（F，Pα）-鞅。具体而言，Eα[(R)ZT]=1。（ii）由dqαdPα=(R)Zα定义的Qα是一个与Pα等价的概率度量，对于（F，Qα），N±是一个强度为±t的计数过程，W是一个维纳过程，Y是一个具有状态空间{1，…，k}，初始分布u和生成器矩阵Q的Markovchain。此外，Y，N，W是独立的。（iii）如果我们将Zα定义为引理1.4.1中Qα下的Zα，则Zα=1/(R)Zα（即，测量的两个变化是彼此相反的）。（iv）对于所有▄α∈ A、 Q▄α≡ FNT上的Qα。证据

参见附录A.2过滤问题由于MM不能直接观察F中的所有信息，而只能观察FN、W（尤其是她不能观察Y），为了解决部分信息下的优化问题（1.2.6），我们希望首先将其减少到完全信息下的等效问题。在本节中，我们在Pα下工作，α=（δ-, δ+) ∈ A固定。我们有时会从隐式符号中省略α。让我们考虑可选投影∏α，i：=o（{Yt=i}）（Pα，FN，W），1≤ 我≤ k、 和∏α：=（∏α，1，…，∏α，k）。也就是说，∏α是Y的条件分布的唯一c\'adl\'ag版本，给定可观察信息：∏α，它=Pα（Yt=i | FN，Wt）。它反映了MM对市场状态的信念，因为她会随着时间的推移不断更新这些信念。在任何时间点，MM通常会观察到订单到达的价格，这些价格似乎与任何特定制度的价格不完全匹配，而是一些平均价格。我们想描述N的可观测（即FN，W-）可预测强度-, πα的N+和u9项。粗略地说，N+的可观测强度是通过投影得到的：Eα[λ+t | FW，Nt][Br'e81，p.32注释和T14的伪证明]。这产生了不同制度强度的平均值，该值由市场状态的可观察概率加权。对于满足通常条件的过滤概率空间（∑，H，H，P）上的任何c ` adl ` ag有界过程M（不一定适应），H上M的可选投影是唯一的c ` adl ` ag过程OM（P，H），如每个t的OM（P，H）t=EP【Mt | Ht】a.s。

它的存在由可选投影定理保证（例如，参见[JYC09，p.264]或[Nik06，p.357-358]）。唯一的技术难题是找到此类流程的可预测版本。o（λ+）具有所需的射影性质，但通常是不可预测的。o（λ+）t-, 另一方面，我可以预测，但通常不享有投影属性。事实上，我们正在寻找的过程“介于”这两者之间。命题2.1.1（可观测强度）。（Pα，FN，W）-预测强度分别为N±和uN。，arecλ±tα：=±tkXi=1∏α，iu-∧±i（δ±u）和bηα，Nt（dz）：=cλ-tαm（dz）+cλ+tαm-1（dz）。符号设c∧±（π，δ）=Pki=1πi∧±i（δ）；因此，cλ±tα=±tc∧±（α∏u-, δ±u）。证据见附录A。我们现在给出了Y的可观测分布的滤波（或Kushner Stratonovich）方程。这些是控制∏α动力学的耦合随机微分方程（SDE）。它们允许MM在接收新信息时动态高效地更新现有估计∏αtupon，而无需从头开始重新计算。简而言之，给定市场的一方和报价的价差，订单到达通过一个乘法因子修改观察到的Ib状态概率。该系数由状态i的阶数密度与观察到的阶数密度之间的差异百分比给出。然而，在订单之间，概率会以更微妙的方式持续变化，这不仅取决于不同的流动性水平，还取决于它们之间的转移率。符号我们表示为  RKTH（k- 1） -单工（即。， = {π ∈ Rk：0≤ πi≤1表示所有i，且piπi=1}和o其内部相对于超平面{π∈ Rk:Piπi=1}（即。，o={π∈ :0<πi<1表示所有i}）。命题2.1.2（Y的可观察分布）。过程∏α=（∏α，1。

，α，k）是SDEsd约束系统的唯一强解∏it=kXj=1qjit∏jt+∏it∏jt-t（λ-j- Λ-i） （δ-t） ++t（λ+j- ∧+i）（δ+t）dt+πit-Λ-i（δ-t） c∧-（αu∏）-, δ-u）- 1.dN-t+πit-∧+i（δ+t）c∧+（παu）-, δ+u）- 1.dN+t，（2.1.1）根据∏=u和∏t∈  对于所有t∈ [0，T]a.s.证明。见附录A备注2.1.3。考虑身份 \' [0，1]k-1（分别为。o\' （0，1）k-1） 通过代换πk=1获得-Pj<kπj（其中，第k坐标的选择完全是任意的）。然后，（α∏，1…，α∏，k）的SDEs（2.1.1）约束系统成为（α∏，1…，α∏，k）的“无约束”系统-1) ∈ [0，1]k-1、从今以后，我们将在任何方便的时候使用此标识。我们用一个简短的引理来结束这一部分。它指出条件分布∏α不能到达单纯形的相对边界, 前提是它从相对内部开始。这等于说，所有制度在时间零点都有一些正概率。引理2.1.4。如果u∈ o, 那么，我就不能了∈ o对于所有0≤ t型≤ T a.s.证明。参见附录A。根据前面的引理，我们将从这里开始假设u∈ o, （2.1.2）并因此与o而不是.3值函数和HJB方程在本节中，我们将滤波器作为附加状态变量来处理MM的控制问题。我们定义了MM的值函数，并旨在通过HJBequation对其进行表征。让t∈ [0，T]。我们认为我们的模型“从t开始”，而不是0。每当从时间“t”定义流程时-Forwards”（即，从时间t开始，并将其左极限值定为t）这意味着它在[0，t]上是常数。特别是，我们将此约定用于处理w的formR·tand的所有积分（随机或非随机）-WT和N±-N±t-.